中考高分的十八个关节_关节12_几何图形的不变性
中考高分的十八个关节+关节6+统计问题的“三项注意”和概率求法的“一个核心”WORD
关节六统计问题的“三项注意”和概率求法的“一个核心”一、以“三项注意”指导统计问题的解决从统计类中考试题（特别是解答类的题）来看，其考查目标主要集中在如下的方面： 方面一、统计图、表的绘制、阅读和使用；方面二、数据的代表值（众数、中位数、平均数），和离散程度（极差、方差等）的确定； 方面三、根据数据的代表值和离散程度作出决策对总体作出合理推断。
要解决好以上三个方面的问题，就应当落实好如下的“三项注意”；Ⅰ、注意每个统计图、表的完备性和同一组数据的两个统计图、表之间的一致性； Ⅱ、注意数据代表值和离散程度确定时的准确性； Ⅲ、注意决策与推断要求的取向性。
1、注意统计图、表的完备性与一致性的运用不论统计图还是统计表，都是对全体数据的一种分类表示，因此，各类之间和应等于全体，且各类之间互不交融—这就是它的完备性；而同一组数据的两种统计图、表是对同一全体、同一分类情况的不同表示形式，二者必是一致的，许多统计问题正是以这样的两条性质作为解答的基础的。
例1 小刘对本班同学业余兴趣爱好进行了一次调查，她根据采集到的数据，绘制了下面的图（1）和图（2） （1）（2）请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在图（1）中，将“书画”部分的图形补充完整；（2）在图（2）中，求出“球类”部分所对应的圆心角的度数，并分别写出爱好“音乐”、“书画”、“其它”的人数占本班学生数的百分数；（3）观察图（1）和图（2），你能得出哪些结论，（只要写一条结论）【观察与思考】根据“完备性”，应先求得“全体”，而这个“全体”就隐含在“球类”部分在两种图、表中的 “一致性”之中，而得到“全体”之后，本题的几个问题即可迎刃而解。
书画球类35%其它 音乐兴趣爱好内容人数 26 8 4 10 球类 书画音乐 其它12 14解：（1）40%3514=÷ （人） ∴本班同学共40人。
∴爱好书画的同学为4121440---10=（人）将图（1）补充完整后如图（1`）。
中考高分的十八个关节 关节15 由函数图象衍生出的问题
关节十五由函数图象衍生出的问题图象本是函数关系的一种表达方式，现以它为主背景，可以衍生出如下的两类问题：Ⅰ、由图象反过来研究对应的实际问题，这类问题解决的基本过程是：“图象→对应的函数关系→实际问题”； Ⅱ、图象和坐标系里的几何图形相结合，这类问题解决的基本方向是：将图象上点的特征和几何图形的相关计算恰当地结合起来。
一、由图象研究对应的实际问题例1 如图（1），三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。
正常水位时，大孔水面宽度20=AB 米，顶点M 距水面6米（即6=MO 米），小孔顶点N 距水面5.4米（即5.4=NC 米）。
当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF 。
【观察与思考】读图，并和实际背景对照，可知： ①应先求出大孔对应的抛物线的解析式； ②求出F 点的横坐标；解：设大孔对应的抛物线解析式为h ax y +=2， 因为点)6,0(),0,10(M B 在该抛物线上，即 解得65032+-=∴x y 令5.465032=+-x ，解得51=x ，.52-=x 10=∴EF 米。
答；当水位不涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽为10米。
例2 某企业有甲、乙两个长方体形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙水池，甲，乙两个蓄水池中的水的深度y （米）与注水时间x （小时）之间的函数图象如图（2）的所示，结合图象回答下列问题：（1）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水深度相同；（2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水量相同；【观察与思考】由两段图象可求出对应的两函数关系式， 再借两函数关系式去解决（1），（2）两个问题。
xyOA BEM FN正常水位Ch a +=1000h =6h =6503-=ay42 1甲乙2,3211=-=b k 232+-=∴x y 甲。
设22b x k y +=乙。
把（0，1）和（3，4）代入，解得1,122==b k ，1+=∴x y 乙（1）根据题意，由 解得53=x 。
九年级数学中考复 习高分的十八个关节 关节10 图形变换引出的计算与证明人教版
关节十图形变换引出的计算与证明图形（或部分图形）经“平移”、“轴对称”或“旋转”（包括中心对称）之后，就会引起图形形状，位置关系的变化，就会出现新的图形和新的关系。
因此，图形变换引出的问题主要有两类：一类是变换引出的新的性质和位置关系问题；另一类是变换引出的几何量的计算问题。
一、图形平移变换引出的几何计算与证明这类问题的解法的思考应当突出两点： Ⅰ、把背景图形研究清楚；Ⅱ、充分运用图形平移的性质，特别应注意的是：“平移变换不改变角度”（即平移中的线和不平移的线，交角的大小不变）。
两者的恰当结合，就是解法的基础。
例1 如图，若将边长为cm 2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动，若重叠部分PC A '∆的面积是21cm ，则移动的距离'AA 等于 。
【观察与思考】第一，搞清楚背景图形：ABC ∆和'''C B A ∆ 均为底边长为cm 22的等腰直角三角形；第二，由平移搞 清楚新图形的特征：由于平移不改变角度，可知PC A '∆也 是等腰直角三角形，这样一来，,)'22(212'C A S PC A =∆ 即2411AC =。
解得,2'=C A 而22=AC ， 222'-=∴AA 。
解：填222-。
【说明】可以看出，由背景和平移的性质相结合得出PC A '∆为等腰直角三角形，是本题迅速获解之关键。
例2 如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆。
（1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长。
（1）【观察与思考】第一，搞清楚原图形即ABC ∆的特征：,AC AB =BCA （'C ）E为CA 的长度。
中考高分的十八个关节+关节8+审题与解法探寻的策略
关节八审题与解法探寻的策略任何一个解题过程都可分为两大环节，第一个环节是“解法的思考与形成”第二个环节是“解法的实施”。
越是思维含量大与能力要求高的题目，越重在第一个环节。
审题与解法的探寻是构成第一个环节的两个步骤或说两个侧面，它们各有侧重但又密不可分，我们只是为了更好地进行分析和说明问题，才把二者分开来论述。
一、 审题的策略1、研究背景绝大多数的数学题目，在已给的条件中都蕴含了结论的成立或不成立，即使是探究型的题目，要探究出的结论也必以条件为发生的根据。
而题目所给的背景，就是最重要的条件，所以研究“背景”是获得解法的前提和启动器。
例1如图，已知ABC ∆。
（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E ，（BC 的中点除外）连结AD ，AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形。
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AE AD AC AB +>+【观察与思考】研究背景对于（1），通过画草图，如图（1`），其中除了ABC ∆外，还有五个三角形，它们由顶点A 引的高都相等，易知只有在“DE CE BD ≠=”的条件下，才能确保图中“只存在两对面积相等的三角形”。
对于（2），要证明AE AD AC AB +>+，由“要证线段的不等应借于三角形中三边的关系”这一基本认识，结合（1`）中的EC BD =，立刻想到将AEC ∆平移至 （1`） FBD ∆，再进行推导。
解：（1）略；（2）证明：如图（1``），分别过点D ，B 作CA ，EA 的平行线， 两线交于F 点，DF 与AB 交于G 点。
FBD AEC FDB ACE ∠=∠∠=∠∴,在AEC ∆和FBD ∆中，又有BD CE =，FBD AEC ∆≅∆∴在AGD ∆中，AD DG AG >+， 在BFG ∆中，FB FG BG >+，0,0>-+>-+FB FG BG AD DG AG 。
中考高分的十八个关节 关节12 几何图形的不变性
关节十二探究二：几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目又可分为两大类：第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。
第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。
这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入。
现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。
一、探究图形变化引出的不变性或变化规律从图形变化过程来看，又分为三条途径：Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。
从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。
对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。
（1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达例1 如图（1），在ABC ∆中，BA CG AC AB ⊥=,交BA 的延长线于点G 。
一等腰直角三角GF尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B 。
（1）（2）（1）在图（1）中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系， 然后证明你的猜想。
中考高分的十八个关节 关节14 坐标系里的几何图形doc
关节十四坐标系里的几何图形将几何图形置于坐标系，是为了用代数的方法研究图形，因此坐标系里是“数形结合”的大演场，是“几何与代数综合”的新舞台。
现在，我们就来研究这类问题的思考与解法特征。
坐标系里的几何图形问题又可分三类：Ⅰ、坐标系里的基本几何图形； Ⅱ、坐标系里的几何图形引入动点； Ⅲ、坐标系里的几何图形实施交换。
※这三类问题围绕的共同核心都是“求点的坐标”与“求线段的长度”，解决的共同依据是“几何图形的性质”（包括变换的性质）和“几何计算”（特别是构造与解直角三角形。
）一、坐标系里的基本几何图形例1 如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B ，C 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为︒60，那么C 点的坐标是 ，B 点的坐标是 。
【观察与思考】 去构造合适的直角三角形，如图那样作辅助线，可由OCM Rt ∆求得点C 的坐标，由OEA Rt ∆和BEN Rt ∆求得点B 的坐标。
解：如图所示，作x CM ⊥轴于点M ，在OCM Rt ∆中，︒=∠=30,1COM OC ，,23,21==∴MO CM ∴C 点的坐标为)1,23(-。
又设AB 与y 轴的交点为E ，y BN ⊥轴于N 。
xy O ABC M N E60°在OEA Rt ∆中，332,33,30,1==︒=∠=OE AE EOA OA 。
在BEN Rt ∆中，︒=∠-=-=-=60,333331BEN AE AB BE ,21323333,633-=⋅-=-=∴BN EN 213+=+=EN OE ON 。
点B 在第二象限，∴B 点的坐标为231,231(+-）。
【说明】从本题可以看出：Ⅰ、求点的坐标是坐标系里几何图形问题的核心，而求点的坐标的基本过程是分这样的两步走：首先，选定或构造恰当的直角三角形，通过解相关的直角三角形，求得有关的线段的长；然后根据点所在的象限，将有关线段的长转换为点的坐标。
中考高分的十八个关节 关节17 图形的分割与剪拼
关节十七图形的分割与剪拼纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。
我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为： （1）借助于“边、角”计算的分割； （2）依“面积等分”为要求的分割；Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。
一、图形的分割1、借助于“边、角”计算的分割例 1 （1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。
【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2），（1）可从“等边”推演角之间的关系。
解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。
（2）设ABC ∠y =，C ∠x =，过顶点B 的直线 ①交边AC 于D 。
在等腰三角形DBC 中，①若C ∠是顶角，如图③，则︒>∠90ADB ，,2190)180(21x x CDB CBD -︒=-︒=∠=∠ y x A --︒=∠180。
②此时只能有ABD A ∠=∠，即)2190(180x y y x -︒-=--︒，︒=+∴54043y x ，即ABC ∠与C ∠的关系是：ACABC︒5.67 ︒5.67 ︒5.22︒5.22AB C︒45 ︒5.22︒5.22︒45 ADC ABC ∠-︒=∠43135。
②若C ∠是底角，则有两种情况。
③第一种情况：如图④，当DC DB =时，则x DBC =∠，ABD ∆中，x y ABD x ADB -=∠=∠,2。
Ⅰ、由AD AB =，得x y x -=2，此时有x y 3=，即有关系C ABC ∠=∠3。
中考高分的十八个关节+关节5+几何计算方法与作用的归纳
关节五几何计算方法与作用的归纳当以比单纯逻辑论证宽泛得多的思想和视角来研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”的意义和作用，就被大大地加强了。
第一，几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；第二，当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；第三，那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。
因此，《课标》理念下的几何学习，几何计算的份量加大了，层次提高了。
在本关节，我们先将几何计算的基本方法加以归纳，为而后的应用作好充分准备。
一、掌握好几何计算的两种主要方法几何计算的两种主要方法是： Ⅰ、借助于解直角三角形； Ⅱ、借助于三角形的相似关系。
1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算 （1）要善于依题情恰当地构造直角三角形例1 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）（1`）（1）A 、αsin 1 B 、αcos 1C 、αsinD 、αcos【观察与思考】将原问题抽象为图（1`），在菱形ABCD 中，α∠=∠A ，顶点A 到直线CD 和直线CB 的距离都为1，求菱形ABCD 的面积。
为此，作,CD AH ⊥交CD 的延长线于点H ，则有AH ，AD AH CD S ABCD ⋅=⋅=菱形其中ααsin 1,sin 1sin 1==∠==ABCD S ADH AH ，AD AH 菱形即AB CD Hαα例2 如图，在ABC Rt ∆中，190==︒=∠BC ，AC ACB 。
将ABC ∆绕点C 逆时针旋转30°得到111C B A ∆，1CB 与AB 相交于点D 。
求BD 的长。
【观察与思考】注意到,45︒=∠B 若作CB DG ⊥于点G ，如图（1`）则（1） 可得DBG Rt ∆中，DG=BG ，同时在︒=∠∆30DCG ，CDG Rt 中，而CB=1， 从而可构造关于BD 的方程，求得其值。
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探究二：几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目又可分为两大类：第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”. 第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”.这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入.现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征.一、探究图形变化引出的不变性或变化规律 从图形变化过程来看，又分为三条途径：Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律.从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同. 1、图形变换引出的不变性或变化规律我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。
对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性. （1） 借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达例1、如图（1），在ABC ∆中，BA CG AC AB ⊥=,交BA 的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.（1）（2）（1）在图（1）中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想.（2）当三角尺沿AC 方向平移到图（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D 。
过点D 作BA DE ⊥于点E.此时请你通过观察、测量DF DE ,与CG 的长度，猜想并写出DF DE +与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想.（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到图（3）所示的位置时，（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不说明理由）.【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面（3）干扰，题中的图（1），图（2），图（3）对应的几何图形就是： AB CGFAB CGF ED ABCG FE DACGFABDG FCEABDG FCE（1`） （2`） （3`）它们就是我们早已熟悉的基本模式；“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和都等于这个三角形一腰上的高”。
至此，本题的解法已是显而易见，本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”。
例2 、用两个全等的正方形ABCD 和CDFE 拼成一个矩形ABEF ，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合，且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转。
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF 的两边BE ，EF 相交于点G ，H 时，（如图（1），通过观察或测量BG 与EH 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线，EF 的延长线相交于点G ，H 时，（如图（2）），你在图（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。
（2）（1）【观察与思考】可以有两种化归的思考方法：方法Ⅰ、若将原图再补上两个全等的小正方形，使基本背景成为一个大正方形，如图（1`）和图（2`）。
这时点D 就是大正方形的中心。
根据“正方形是关于中心90°旋转对称图形”（见关节四），立刻知道DCG Rt ∆绕点D 逆时针旋转90°便与DFH Rt ∆重合，当然全等，即均有FH CG =，进而有EH BG =。
方法Ⅱ、原图的背景ABCEFD 是由两个全等的的正方形拼成，因此，若正方形ABCD 绕点D 逆时针旋转90°，则它与正方形CEFD 重合，由︒=∠90GDH ，可知在此过程中BG 与EH 重合（具体论述略）。
（1`）（2`）本题的思考也是回归到“基本图形的性质”，而题目体现的也是“图形变换中的不变性”。
解：只需按如上的方法Ⅰ写出相应的三角形全等的理由即可（结论和过程略）。
例 3 、已知，四边形ABCD 中，︒=∠︒=∠=⊥⊥60,120,,,MBN ABC BC BA CD BC AD AB ，MBN ∠绕BACAB =CA BF ⊥于F ，BA CG ⊥于GAC AB =，D 为BC 上一点，BA DE ⊥于E ，CA DF ⊥于F ，BA CG ⊥于G 。
,AC AB =D 为BC 上一点，BA DE ⊥于E ，CA DF ⊥于F ， BA CG ⊥于G 。
ABCDE F GHAB C DE FGH A B C DE FG H PN MA B CD E FG HPNM点旋转，它的两边分别交DC AD ,（或它们的延长线）于E ，F 。
当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE =时，（如图（1），易证：EF CF AE =+。
当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE ≠时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段EF CF AE ,,又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
（1）（2）（3）【分析】由背景︒=∠=120,ABC BC BA ，可知BA 和BC 具有绕点B 旋转120°的重合性，依此构造全等三角形。
解：在图（1）和图（2）中均有EF CF AE =+，理由如下；如图（1`）和图（2`），作︒=∠60FBG ，交DC 延长线于点G （这时即有BAE Rt ∆绕点B 顺时针旋转120°重合于BCG Rt ∆中，（1`）（2`）（3`）在BAE Rt ∆和BCG Rt ∆中，CBG FBC FBC EBF EBC ABE BC BA ∠=∠-︒=∠+∠-︒=∠-︒=∠=60)(120120, 。
,BCG Rt BAE Rt ∆≅∆∴BG BE CG AE ==∴,。
在BEF ∆和BGF ∆中，BF BG BE GBF EBF ,,60=︒=∠=∠公用。
BGF BEF ∆≅∆∴，CF AE CF CG GF EF +=+==∴。
对于（3）的情况，有结论：CF AE EF -=。
理由是：如图（3`），作,60︒=∠EBG 交AD 于点G ，与情况（1`）、（2`）类似地可证明BCF Rt BAG Rt ∆≅∆，得,CF AG =又可有BFE BGE ∆≅∆，可知CF AE AG AE EG EF -=-==ABCDMEN F ABCDMEN FABCDMENF ABCDMEN F GABCDMENFGABCDMENFG由图（1）到图（2）体现的是“不变性”，而由图（1）到图（3），体现的却是“变换过程中的变化规律”。
由以上三个例子可以看出：许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题，解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”。
这也进一步说明：“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则。
（2）借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一和差异性来获得解法 例4 如图，已知矩形ABCD ，,3,3==BC AB 在BC 上取两点E ，F （E 在F 左边），以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PF PE ,分别交AC 于点H G ,。
（1）求PEF ∆的边长；（2）若等边三角形PEF ∆的边EF 在线段BC 上移动，试猜想： PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论。
【观察与思考】本题的核心是研究特定的等边PEF ∆在矩形ABCD 内平移的有关问题，首先，把矩形ABCD 的情况搞清楚：在已知数据的基础上易知33tan =∠ACB ，即︒=∠=∠30CAD ACB其次，把等边PEF ∆在矩形ABCD 内平移中的各类形态集中在图（1）中，进行观察和比较，容易看到： 第一，在特殊情况（E 重合于B 时），由')'(P E AB Rt ∆可计算出230cos 3''=︒=E P 。
即PEF ∆的边长为2。
第二，比较PEF ∆和'''F E P ∆两种形态对应的图形情况，有1''+=+==BE A P PP PA PH ，再比较''''''F E P ∆和'''F E P ∆两种形态所对应的图形情况，有1'''''''')''(''''+=+==BE A P P P A P H F P 。
这就促使我们形成了对PH 和BE 数量关系的猜想，并找到了其根据，至于计算和证明，我们还应按题目提供的一般情况的图形来进行。
（1）（2）解：（1）过P 作BC PQ ⊥于Q ，如图（2），在PEQ Rt ∆中，2233,60,3==∴︒=∠==PE PEQ AB PQ 。
（2）PH 和BE 数量关系是1+=BE PH 。
理由如下： 作,//'PE BP 交AD 于'P ，如图（3）（3）在A BP Rt '∆中，1',30',2'=∴︒=∠=AP ABP BP 。
1'',30+=+==∴︒=∠=∠BE A P PP PA PH PHA PAH。
AB C DE F PGHAB C DEFPGH'P （'E ） 'F )''(F''E''P'G'HAB C DEFP GH QAB CDEFPGHQ'P【说明】正是借助于对特殊情况的考察，特别是不同形态情况的对比，更快地发现了等边PEF ∆平移反映的不变性。
例5 （1）如图，（1），OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OB OA ⊥，点C 是OB 延长线上的任意一点，过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交OC 于点,E 求证：CE CD =。
（2）若将图（1）中的半径OB 所在的直线向上平移交半径OA 于点F ，交⊙O 于点'B ，其他条件不变，如图（2），那么CE CD =的结论还成立吗？为什么？ （2）（3）（1）（3）若将图（1）中的半径OB 所在的直线向上平移到与⊙O 相离的位置，它与半径OA 的延长线交于点G ，点E 是DA 延长线与CF 的交点，其他条件不变（如图（3），那么CE CD =的结论还成立吗？为什么？【观察与思考】先考虑图（1）这种特殊情况下是如何推得结论的。