第5章 离散时间系统结构与滤波器设计3(FIR滤波器设计)

WR (e jw ) WR (w)e
j( N 1 )w 2
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wN ) N 1 sin( jw( ) 2 2 e w sin( ) 2

WR (e jw ) 是曾经讨论过的频域抽样内插函数。
其幅度函数：
wN ) 2 WR ( ) w sin( ) 2 sin(

在 w 2 / N 之内为一个主瓣，两侧形成 许多衰减振荡的旁瓣
jw jw jw n 0 N 1 其他n
hd (n)e jwn
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按照帕塞瓦公式有：
1 2 e 2
E(e


jw
) dw hd (n) h(n)
n 0
2
N 1
2
其他n
h
d
(n)
2

要使e2最小，就必须使第一项求和式最 小，即希望有：
hd (n) h(n) 0,0 n N 1
l (
N 1 )w 2
W ( w)e
j(
N 1 )w 2
28
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N 当 N 1 时， 1 N ，窗谱的幅度函数为：
2 2 W ( w) 0.5WR ( R) 0.25WR ( w ) WR ( w ) N N

主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍， 8，但是阻带最小衰减变为 /N 即为 44db。
WR (e jw ) WR (w)e
j(
N 1 )w 2
w(n) 2 2 n , N 1n N 1 N 1 2
2
2n N 1 , 0 n N 1 2
2 N 1 Nw ) j ( N 1 ) w sin ( 4 ) w j N 1 w 2 sin( 2 e 2 4 2 W (e jw ) e w w N 1 N sin( ) sin( ) 2 2
2

缺点相位的FIR滤波器。

对非线性相位的FIR滤波器，一般可以用IIR滤波 器来代替

IIR滤波器设计中的各种变换法对FIR滤波器 设计是不适用的，这是因为IIR滤波器是利用 有理分式的系统函数，而FIR滤波器的系统函 数只是多项式。
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一、FIR滤波器最优化准则
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4、海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）

“ ”在 时成立；此时主瓣宽度 8 / N 为 ,此时阻带最小衰减为25db。

N 1
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3、汉宁（Henning）窗（升余弦窗）
w(n) 1 2n 1 cos RN (n) 2 N 1
e jnw0 e jnw0 cos nw0 2
(1)使理想幅度特性不连续点处边沿加宽， 形成一个过渡带，过渡带的宽度等于窗的频 率响应的主瓣宽度 w 4 / N



(2)在截止频率的两边 w wc N 的地方出现 最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡， 其振荡幅度取决于旁瓣的相对面积，而振荡 的多少，则取决于旁瓣的多少。
此处过渡带是指两个肩峰之间的宽度，与滤波器 的真正过渡带有一些区别 滤波器的过渡带比这个数值要小 2
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（3）增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的 频率响应为 Nw Nw
2 WR ( w) w sin( ) 2 改变N只能：

sin(
)
sin(

2 w 2
)
sin x N x
改变窗谱的主瓣宽度、 改变坐标的比例 改变幅度绝对值大小 由Sa(x)决定的， 或者说只由窗函数的形状来决定的。
d

相当于窗的宽度为无穷长，没有实际意义。
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通常希望窗函数满足两项要求:

窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带; 尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对面积，使肩 峰和波纹减小，增大阻带的衰减。

在滤波器阶数给定的情况下，这两项要 求往往是不能同时得到满足的

往往是增加主瓣宽度（牺牲过渡带宽）以换 取对旁瓣的抑制，为了得到平坦的通带幅度 响应和较小的阻带波纹。
5.6 FIR滤波器设计方法

无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器存 在明显的缺点：相位的非线性。

日常生活中，像图像处理以及数据传输等都 要求信道具有线性相位特性。

若要做到线性相位，则需采用全通网络 进行相位校正。这样做又将大大增加系 统的复杂度。
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FIR滤波器特点

优点：



可以具有严格的线性相位，同时具有任意的幅 度特性。 FIR滤波器的单位冲激响应是有限长序列，因 而滤波器一定是稳定的。 对于任何非因果有限长序列，只要经过一定的 延时都能变成因果的有限长序列，因而总能用 因果系统来实现。 可以用快速傅里叶变换(FFT)算法来实现，提 高运算效率。 取得很好的幅度衰减特性，FIR滤波器系统的 阶次比IIR滤波器高。
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如果将理想频率响应也写成： N 1
其中：
H d (e ) H d (w)e
jw j( 2 )w
1 H d ( w) 0
c
其他
H (e jw ) 因此，FIR滤波器的频率响应
为：
d
H (e jw ) 1 2 e
j(
H
N 1 )w 2

d
( )e
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若窗函数在边沿处(n=0和n=N-l附近) 比矩形窗变化要平滑而缓慢：


窗边沿不再陡峭，则高频分量减小，阻带衰 减增大。 但窗谱的主瓣宽度却比矩形窗的要宽，造成 滤波器幅度函数过渡带的加宽。
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常用的窗函数

1、矩形窗 2、三角形（Bartlett）窗
w(n) RN (n)



H d (e jw )e jwn dw
h(n) hd (n)w(n)

指标是在频域提出的 设计是在时域进行的
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我们以一个截止频率为wc的线性相位的 理想低通滤波器为例来加以讨论。 设滤波器的群延时为 ,即：
wc w wc wc w , w wc
j(
N 1 ) 2
WR ( w )e
j(
N 1 )( ) 2
1 * 2
H


d
( )WR ( w )d
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显然，FIR滤波器的频率响应也是线性相位的。
窗函数对幅度特性的影响
1 H ( w) 由上可见： 2

H ( )W (w )d 下面分析卷积给幅度造成的起伏


最优化设计是将所有频域抽样值皆作为 变量，在某一优化准则下，求得最优结 果。 设计FIR滤波器主要有两种最优化准则


均方误差最小准则 最大误差最小化准则

此处我们主要介绍均方误差最小准则下 的滤波器设计，起到抛砖引玉的作用。
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均方误差最小准则是使误差能量最小

H d (e jw )，表示要求的频率响应， 若用 jw 用 H (e ) 表示实际得到的滤波器频率响应，
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H w （2） wc 时， ( )正好与W (w )的一半 H (w ) 重叠，如图(c)所示，因此 H (0) 0.5 。 2 W （3）w w N 时， (w ) 的全部主瓣在 H d ( ) 的通带 w wc之内,如图 (d)所示，因此 卷积结果有最大值，既 H ( w 2N )为最大 值，频率响应出现正肩峰。
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不能改变主瓣与旁瓣的相对比例


因而，当截取长度N增加时，只会减小 4 过渡带宽 / N ，而不会改变肩峰的相对 值。

2 / N 例如在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为 8.95%，N增加时, 减小，故起伏振荡 变密，最大肩峰则总是8.95%，这种现象 称为吉布斯(Gibbs)效应。 H (w)
0 n N 1
其他

此时符合线性相位特性的条件
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Hd(n)及W(n)的频谱特性
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加窗对滤波器频率响应的影响

窗函数的频率特性为：
W (e jw ) w(n)e jwn
n 0 N 1

对矩形窗，则有：
WR (e jw ) e jwn
n 0 N 1

可表示成幅度函数与相位函数：
d R


(1) w 0 时的零频率处的响应值 H (0) 应该是 图(a)与图(b)两函数乘积的积分，也就是 WR ( ) 在 wc 到 wc 内的积分面积。由于一般 情况下都满足 wc 2 / N ，所以 H (0) 可以近 似看成是WR (w) 全部积分面积。
e jw jw H d (e ) 0
1 hd (n) 2

wc
wc
e
jw
wc sinwc (n ) e dw wc (n )
jwn
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hd(n)是中心点在α的偶对称无限长非因果序列， 要得到有限长的h(n)，一种最简单的办法就是 w(n) RN (n) 取矩形窗RN(n)，即： 若有线性相位的约束，窗函数的选择必须保证 所截取h(n)是对称的。

为了克服这一缺陷，还有另外一种最优准则， 最大误差最小准则，有兴趣的同学可参考相 关资料，此处不再赘述。
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二、 窗函数设计法

设计具有有限长单位冲激响应h(n)的滤 波器来逼近的理想滤波器频率响应。
H (e jw ) h(n)e jw