充要条件具体概念解析
充分条件、必要条件、充要条件题型解析
ʏ朱珠充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象性而成为同学们难以理解的内容㊂下面就这方面的题型进行举例分析㊂一㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的判断充分条件与必要条件:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒/q,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件㊂一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,则p是q的充分必要条件,简称充要条件㊂概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件㊂判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q,及q⇒p这两个命题的正确性,若p⇒q真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p 真,则p是q成立的必要条件㊂要否定p与q不能相互推出时,举出一个反例即可㊂例1(1)已知实系数一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0),则下列结论正确的是()㊂①Δ=b2-4a cȡ0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4a c=0是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4a c>0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4a c<0是这个方程没有实根的充要条件㊂A.③④B.②③C.①②③D.①②④(2)若p:AɘB=A,q:∁U B⊆∁U A,则p 是q的()㊂A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析:对于(1),利用Δ=b2-4a c判断方程根的情况,当Δ=0时,一元二次方程有两个等根;当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的根;当Δ<0时,一元二次方程没有实数根㊂对于(2),画出V e n n图(如图1),结合图形,可帮助求解㊂图1解:(1)Δȡ0⇔一元二次方程a x2+b x+ c=0(aʂ0)有实根,①正确㊂Δ=0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根,②正确㊂Δ>0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0 (aʂ0)有实根,但a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根⇒/Δ>0,③错误㊂Δ<0⇔一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)无实根,④正确㊂应选D㊂(2)结合图1可得AɘB=A⇔A⊆B⇔∁U A⊇∁U B,即p是q的充要条件㊂应选C㊂充分条件与必要条件的两种判断方法:直接利用定义判断;集合法,将命题p,q分别看作集合A, B,当A⊆B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当A=B时,p,q互为充要条件㊂二㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的应用利用充分条件㊁必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p 与q的关系(充分㊁必要㊁充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,最后求出参数的取值范围㊂例2已知集合A={x|a<x<a+2}, B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围㊂分析:由A是B的充分不必要条件,说0 1知识结构与拓展高一数学2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.明集合A 是B 的真子集,即A ⫋B ,由此可得实数a 满足的条件,从而得到实数a 的取值范围㊂解:因为A 是B 的充分不必要条件,所以A ⫋B ㊂又因为A ={x |a <x <a +2},B ={x |x <-1或x >3},所以a +2ɤ-1或a ȡ3,解得a ȡ3或a ɤ-3,所以实数a 的取值范围是{a |a ȡ3或a ɤ-3}㊂充分条件㊁必要条件中的含参数问题,往往是通过集合的包含关系来解答的㊂三㊁充要条件的证明充要条件的证明,可分为充分性和必要性的证明,证明时要注意两种叙述方式的区别:①p 是q 的充要条件,由p ⇒q 是充分性,由q ⇒p 是必要性;②p 的充要条件是q ,由p ⇒q 是必要性,由q ⇒p 是充分性㊂例3 求证:方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等实根的充要条件是0<m <13㊂分析:先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立㊂证明:先证充分性(由条件推结论)㊂因为0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0的判别式Δ=4-12m >0,所以方程有两个不相等的实根㊂设方程的两根为x 1,x 2,当0<m <13时,x 1+x 2=2m >0且x 1x 2=3m>0,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,所以0<m <13⇒方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根㊂再证必要性(由结论推条件)㊂若方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,则Δ=4-12m >0,x 1x 2=3m>0,所以0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根⇒0<m <13㊂综上可得,方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13㊂ 证明p 是q 的充要条件,既要证明命题 p ⇒q为真,又要证明 q ⇒p 为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性㊂证明充要条件,即证明原命题和逆命题都成立㊂要注意 p 是q 的充要条件 与 p 的充要条件是q 这两种说法的差异,要分清哪个是条件,哪个是结论㊂1.求证:关于x 的方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂提示:先证明p ⇒q ,即证明必要性,再证明q ⇒p ,即证明充分性㊂设命题p :方程a x 2+b x +c =0有一个根是1,命题q :a +b +c =0㊂先证明p ⇒q ,即证明必要性,由x =1是方程a x 2+b x +c =0的根,可得a ㊃12+b ㊃1+c =0,即a +b +c =0㊂再证明q ⇒p ,即证明充分性,由a +b +c =0,可得c =-a -b ,因为a x 2+b x +c =0,所以a x 2+b x -a -b =0,即a (x 2-1)+b (x -1)=0,也即(x -1)(a x +a +b )=0,所以x =1是方程的一个根㊂综上可知,方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂2.已知三个不等式:a b >0,b c -a d >0,c a -db>0(其中a ,b ,c ,d 均为实数)㊂用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,则可组成的正确命题的个数是( )㊂A.0 B .1 C .2 D .3提示:a b >0为①,b c -a d >0为②,ca-d b >0为③㊂若①②成立,则1a b (b c -a d )>,可得c a -d b >0,即③成立㊂若①③成立,则a bc a -d b>0,可得b c -a d >0,即②成立㊂若②③成立,则由③得b c -a da b>0,由②b c -a d >0得a b >0,即①成立㊂应选D ㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
f(z)解析的充要条件
f(z)解析的充要条件f(z)是复变函数中的一个概念，它的解析性是一个重要的性质。
在本文中，我将探讨f(z)解析的充要条件。
复数是由实部和虚部组成的，可以用z = x + yi表示，其中x和y 分别为实数部分和虚数部分。
在复变函数中，f(z)是一个将复数域映射到复数域的函数。
我们来定义f(z)在复平面上的解析性。
f(z)在复平面上解析的充要条件是它在复平面的某个区域内连续且具有一阶偏导数。
这意味着f(z)在该区域内可以展开为幂级数，即存在一个圆盘D内的幂级数展开，使得f(z)在该圆盘内解析。
我们来讨论f(z)解析的一些重要性质。
如果f(z)在某个区域内解析，那么它在该区域内无处不可导。
这是因为解析函数是可微的，即它在解析区域内的每个点都具有导数。
如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内是无穷次可导的。
这是因为解析函数具有良好的性质，可以通过求导的方式来计算其高阶导数。
如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内的导数也是解析的。
这意味着解析函数可以通过求导的方式来获得新的解析函数。
对于复变函数而言，解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。
在理论上，解析函数是复变函数的一个基本概念，它具有丰富的性质和应用。
在应用上，解析函数在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，解析函数被广泛应用于电磁场和流体力学等领域的数学建模中。
在工程学中，解析函数被应用于信号处理和图像处理等领域。
在金融学中，解析函数被用于期权定价和风险管理等领域。
f(z)解析的充要条件是它在某个区域内连续且具有一阶偏导数。
解析函数具有一些重要的性质，包括无处不可导、无穷次可导以及导数也是解析的。
解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。
它在复变函数的研究中起着核心的作用，并在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。
专题02 充要条件问题(解析版)
专题02 充要条件问题【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面.所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的充分而不必要条件；若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
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的必要而不充分条件；若错误!未找到引用源。
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的充要条件； 若错误!未找到引用源。
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的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件.4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2020年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知,,m n l 不过同一点，当,,m n l 两两相交时，,,m n l 在同一平面内；但当m //n ，l 与它们相交时，,,m n l 也在同一平面内，故选B ．例2【2020年高考上海卷】【答案】A【解析】1:q 当0a >，()0f a >，因为函数()f x 单调递减，所以()()()()f x a f x f x f a +<<+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a >，当满足命题1q 时，使命题p 成立，2:q 当00a x =<时，()0f a = ，因为函数()f x 单调递增，所以()()()()f x a f x f x f a +<=+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a <，当满足命题2q 时，命题p 成立，综上可知命题1q 、2q 都是命题p 的充分条件，故选A ．例3．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高三三模）已知命题:11p x ->，命题:1ln q x ≥，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由–11x >可得，0x <或2x >﹔由ln 1x ≥可得，x e ≥.所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：B.例4．（2020·北京市第五中学高三三模）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （12）＝0，则“不等式f （log 4x ）＞0的解集”是“{x |0＜x ＜12}”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分且必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为定义域为R 的偶函数()f x 在[0，)+∞上是增函数，且1()02f =，4(log )0f x ∴>，即41(log )()2f x f >，即41(|log |)()2f x f >，即41|log |2x >，即41log 2x >，或41log 2x <-， 解之得2x >或102x <<，{|2x x ∴>或10}2x <<是1{|0}2x x <<的必要不充分条件，故选：C ．例5．（2020·山东潍坊高三三模）设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21ia z =--是纯虚数“是“1a =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222a a a a z +=-=-=-=-----+是纯虚数， 则21a =，1a =±，1a =±是1a =的必要不充分条件，故选：B.例6．（2020·广州大学附属中学高三三模）已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C例7．（2020·宝鸡中学高三三模）已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ．例8．（2020·河北新华石家庄二中高三三模）使不等式2x ≤成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．13x +≤ B ．12x +≤C ．2log (1)1x +≤D ．11||2x ≥ 【答案】A【解析】因为||2x ≤22x ⇔-≤≤，|1|342x x +≤⇔-≤≤， |1|231x x +≤⇔-≤≤，2log (1)111x x +≤⇔-<≤，11||2||2x x ≥⇔≤且0x ≠20x ⇔-≤<或02x <≤， 因为{|22}x x -≤≤ 2{|}4x x -≤≤，所以使不等式||2x ≤成立的一个必要不充分条件是42x -≤≤，故选：A ．例9．（2020·四川绵阳高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和21nn S p =⨯+，则{}n a 为等比数列的充要条件是（ ） A ．01p << B ．1p =-C ．2p =-D ．1p >【答案】B 【解析】21n n S p =⨯+,当1n =时，112+1a S p ==，当2n 时，()11121212nn n n n n a S S p p p ---=-=⨯+-⨯+=⨯，{}n a 为等比数列，21p p ∴+=1p ∴=-当1p =-时，21nn S =-+， 可得12n n a -=-，由12(2)nn a n a -=≥知{}n a 为等比数列， 故{}n a 为等比数列的充要条件是1p =-，故选：B例10．（2020·天津南开高三三模）已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-【答案】A【解析】命题2:230p x x +->，解之得：3x <-或1x >， 命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ， 则：1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞.故选：A ．【精选精练】1．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三三模）设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故本题选A.2．（2020·山东高三三模）“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】因为直线l 在平面α内，也可以与平面α内的无数条直线垂直，所以，“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”不是“直线l 与平面α垂直”的充分条件；若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的所有直线都垂直。
第2节：函数解析的充要条件
vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得
2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且
f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2) =(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D
证 ) 显然 ) f (z) u i v v i u 0 x x y y
故 u u v v 0 x y x y
所以u=常数, v=常数, 因而 f(z)在D内是常数.
例4. 设函数 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在区域D内解析, 并 满足下列条件之一，那么 f(z)是常数: [书P67: 10]
u v , u v
(*)
x y y x
这时f (z) u i v 1 u v x x i y y
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2)
在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f (z) x 2iy; 2) w z 2 ;
3) f (z) x2 y2 x i(2xy y2 ).
4) f (z) ex (cos y i sin y).
解. 1) 因为 u=x, v=2y,
第九讲 充分必要条件(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第九讲充分必要条件（精讲）（解析版）【知识点透析】一：充分条件与必要条件的概念命题真假若“p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒qp ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件q 不是p 的必要条件【注意】（1）前提p ⇒q ，有方向，条件在前，结论在后；（2）p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；（3）改变说法：“p 是q 的充分条件”还可以换成q 的一个充分条件是p ；“q 是p 的必要条件”还可以换成“p 的一个必要条件是q 二、充分条件、必要条件与集合的关系A ⊆B p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件A B p 是q 的不充分条件q 是p 的不必要条件B ⊆A q 是p 的充分条件p 是q 的必要条件B A q 是p 的不充分条件p 是q 的不必要条件充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；三、充要条件的概念一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q .此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.【知识点精讲】题型一充分条件与必要条件的判断【例题1】（2023·山东威海高一期末）2x =是260x x +-=的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先2026x x x +-⇒==，其次2260x x x +-==⇔或3x =-，则2260x x x +-==⇒，所以：2x =是260x x +-=的充分不必要条件，故选A.【例题2】（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p ：x 为自然数，命题q ：x 为整数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两个命题中的x 取值范围，分析是否能得到p ⇒q 和q ⇒p ．【详解】若x 为自然数，则它必为整数，即p ⇒q ．【例题3】（2022春•山西太原高一期中）已知非零复数a ，b ，那么“2a ab =”是“a b =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】①若0a =，1b =时，满足2a ab =，但a b =不成立，∴充分性不成立，②若a b =时，则2a ab =，∴必要性成立，2a ab ∴=是a b =的必要不充分条件，故选B．【例题4】．（2022·河南安阳高一课时检测）设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义，逐项分析判断作答.【详解】对于A，若开关A 闭合，则灯泡B 亮，而开关A 不闭合C 闭合，灯泡B 也亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件；对于B，灯泡B 亮当且仅当开关A 闭合，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件；对于C，开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，而开关A 不闭合，灯泡B 一定不亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；对于D，开关A 闭合与否，只要开关C 闭合，灯泡B 就亮，“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件．故选：C【例题5】（2023·江苏高一专题检测）若命题:2p x >；命题2:320q x x -+>，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】．A【解析】命题:2p x >．由命题2:320q x x -+>，解得：命题:{|1q x x <或2}x >．p q ∴⇒．即p 是q 的充分不必要条件．故选：A【例题6】．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））已知x ∈R ，则“31x -<”是“260x x --+<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例题7】（2022·甘肃景泰二中高一课时检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是）A ．0x <B ．0x ≥C ．{3,5}D ．35x ≤【答案】A 【解析】由－5x ＋3≥0，得{x |x ≤35}，只有选项A 中x 的范围为其真子集.故选：A.【例题8】（2022·湖北武汉高一课时检测）伟人毛泽东的《清平乐•六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】．B【解析】解：设p ⌝为不到长城，推出q ⌝非好汉，即p q ⌝⇒⌝，则q p ⇒，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要条件，故选：B ．【例题9】（2022·江苏高一专题检测）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】．A【解析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A ，B ，C ，D ，由甲是乙的充分不必要条件得，B A ⇒由乙是丙的充要条件得，C B ⇒，由丁是丙的必要不充分条件得，DC ⇒所以DA ⇒，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.【变式1】（2022·陕西榆林高一期末）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是()A ．若两个角是对顶角，则两个角相等B ．若5x >，则10x >C ．若ac bc =，则a b =D ．若x y +是偶数，则x ，y 都是偶数【答案】A【解析】对于A ，对顶角相等，正确；对于B ，若5x >，则10x >，错误；对于C ，若ac bc =，则a b =条件是0c ≠，故C 错误；对于D ，x ，y 是奇数x y +是偶数，故D 不是充要条件．故选A．【变式2】（2022·广东佛山市·高二期末）已知x ∈R ，则“2x =-”是“2560x x -->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】解：不等式2560x x -->即为：1)60()(x x -+>，解得：1x <-或6x >，因为()()2,16,-∈-∞-+∞ 可知：“2x =-”是“2560x x -->”的充分不必要条件．故选：A ．【变式3】．（2022·河北张家口高二期末）已知,a b 为实数，则“22a b >”是“330a b >>”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分与必要条件的定义，结合不等式的性质判断即可【详解】当2,1a b =-=时，2222(2)411a b =-=>==，而3381a b =-<=，所以22a b >成立不是330a b >>成立的充分条件；因为330a b >>，所以0a b >>，所以22a b >，所以22a b >成立是330a b >>成立的必要而不充分条件.故选：B.题型二充分条件与必要条件的应用【例题10】（2023·山东青岛高三专题模拟）已知p :1x >或2x <-，q :x a >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A．{}2a a <-B．{}2a a >-C．{}21a a -<≤D．{}1a a ≥【答案】D【解析】设p 表示的集合为{|1A x x =>或}2x <-，q 表示的集合为{}|B x x a =>，由q 是p 的充分不必要条件，可得B 是A 的真子集，利用数轴作图如下：所以1a ≥，故选：D.【例题11】．（2023·江苏无锡高三专题模拟）已知p 2>，q ：0m x -<，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．3m <B ．3m >C ．5m <D ．5m >【例题12】．（2022·长沙市南雅中学高二月考）已知集合{}2680A x x x =-+<，()(){}10B x x a x a =---<，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则a 的取值范围是（）A ．()2,3B ．[]2,3C ．()(),23,-∞+∞D ．(][),23,-∞⋃+∞【答案】．B【解析】由{}{}268024A x x x x x =-+<=<<，1a a +> ，{}1B x a x a ∴=<<+，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则必有B 是A 的真子集；142a a +≤⎧∴⎨≥⎩，23a ≤≤；故答案选：B【例题13】．（2022·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（文））已知条件p ：x a >，条件q ：1>02xx -+．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的最大值是________．【答案】2-【分析】利用不等式的解法化简q ，根据必要不充分条件即可得出范围，进而求出最值．【变式1】．（2023·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．1a <-C ．1a ≥D ．1a >【答案】．A由||2x a +<可得22a x a --<<-∴p ：22a x a--<<-又p 是q 的充分不必要条件，且q ：x a ≥，∴2a a --≥∴1a ≤-【变式2】．（2022·云南曲靖高一课时检测）已知命题2:320p x x -+≤，命题22:440q x x m -+-≤．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,)+∞C ．{0}D ．(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】．D2:320p x x -+≤，12x ≤≤，22:440q x x m -+-≤，22m x m -≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，1m ≥，∴1m ≤-或m 1≥．故选：D．【变式3】．（2023·江苏省海头高级中学高一月考）设全集U =R ，集合2{|650}A x x x =-+-≥，集合{|122}B x a x a =--≤≤-.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】．（1）7a ≥；（2）13a <.【解析】解不等式2650x x -+-≥可化为2650x x -+≤，解得15x ≤≤，所以{|15}A x x =≤≤（1）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以A B ⊆，所以12125a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得7a ≥，所以实数a 的取值范围是7a ≥；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆.当B =∅时，122a a -->-，解得13a <；当B ≠∅时，所以12125212a a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥--⎩，无解.综上，实数a 的取值范围是13a <.题型三充分性与必要性的证明【例3】（2022·河北保定高一课时检测）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．【答案】见解析【解析】证明必要性：因为1a b +=，所以10a b +-=．所以()()()33222222a b ab a b a b a ab baab b ++--=+-+--+()()221a b a ab b =+--+0=．证明充分性：因为33220a b ab a b ++--=，即()()2210a b a ab b+--+=，又0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠．因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以10a b +-=，即1a b +=．综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．【变式】（2023·云南曲靖高一课时检测）求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++=．【答案】证明见解析【解析】充分性：0a b c ++= ，c a b ∴=--，代入方程20ax bx c ++=得20ax bx a b +--=，即()()10x ax a b -++=．∴关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1；必要性： 方程20ax bx c ++=有一个根为1，1x ∴=满足方程20ax bx c ++=，2110a b c ∴⨯+⨯+=，即0a b c ++=．故关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++=．。
必要和充分条件怎么判断两者的关系是什么
必要和充分条件怎么判断两者的关系是什么充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p 的充分必要条件。
必要和充分条件怎么判断充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A 为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B 的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。
充分条件和必要条件的关系1、充分条件：如果条件A是结论B的充分条件：A与其他条件是并连关系，即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立（就像是个人英雄主义）。
2、必要条件：条件A是结论B的必要条件：A与其他条件是串联关系，即条件A必须存在，且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论。
（团结的力量）。
3、充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p 是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
充分条件和必要条件哪个范围大一些充分条件大，充分条件：有A这个条件一定能推出B这个结果，但是有B这个结果不一定能推出A这个唯一条件。
必要条件：有B这个结果一定能推出A这个条件，但是A这个条件不能推出B这个结果。
充要条件”包含了“充分条件”和“必要条件”，范围比两者都要更大，而“充分条件”和“必要条件”则包含了小部分条件不是完整的。
相互推理不同：“充分条件”不能推理出“必要条件”和“充要条件”；“必要条件”不能推理出“充分条件”和“充要条件”；“充要条件”可以推理出一定满足“充分条件”和“必要条件”。
第一章 1.2.2充要条件
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小结 一般地，证明“p 成立的充要条件为 q”时，在证充 分性时应以 q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结 论”，即 q⇒p；证明必要性时则是以 p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即 p⇒q.
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1.2.2
跟踪训练 2 求证： 方程 x2＋(2k－1)x＋k2＝0 的两个根均大 于 1 的充要条件是 k<－2.
证明 充分性：当 q＝－1 时，a1＝p－1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
an＋1 pnp－1 ∵p≠0 且 p≠1，于是 ＝ ＝p， an pn－1p－1 即数列{an}为等比数列.
当 n＝1 时也成立.
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必要性：当 n＝1 时，a1＝S1＝p＋q.
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1.2.2
1.“lg x>lg y”是“ x> y”的 A.充分不必要条件
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( A )
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若 lg x>lg y 成立，则 x> y一定成立；而当 x> y成 立时，例如 x＝1，y＝0，此时 lg x>lg y 不成立.
充要条件的判断
已知 p：整数 a 是 6 的倍数，q：整数 a 是 2 和 3 的
∵p⇒q，且 q⇒p，
倍数，那么 p 是 q 的什么条件？q 又是 p 的什么条件？
答案
∴p 是 q 的充分条件也是必要条件；同理，q 是 p 的充分条 件也是必要条件.
结论
一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q.
高中命题充要条件逻辑关系知识点总结经典例题解析高考题带答案
命题【考纲说明】1、明白得命题的概念，了解“假设p，那么q”形式的命题及其逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的彼此关系。
2、明白得必要条件、充分条件与充要条件的意义。
3、了解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义；明白得全称量词和存在量词的意义并能对其进行否定。
【知识梳理】1.命题的概念一样地，咱们用语言、符号或式子表达的，能够判定真假的陈述句，叫做命题；其中判定为正确的命题，为真命题；判定为不正确的命题，为假命题。
2.四种命题（1）原命题与逆命题即在两个命题中，若是第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；若是把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.（2）否命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论别离是另一个命题的条件的否定和结论的否定，如此的两个命题就叫做互否命题，假设把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做原命题的否命题.（3）原命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论别离是另一个命题的结论的否定和条件的否定，如此的两个命题就叫做互为逆否命题，假设把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做原命题的否命题.3.四种命题的关系一样到，咱们用p和q别离表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q别离表示p和q的否定，于是四种命题的形式确实是：原命题：假设p则q；逆命题：假设q则p；否命题：假设┐p则┐q；逆否命题：假设┐q则┐p.4.四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.原命题逆命题否命题逆否命题5. 充分条件与必要条件 （1）充分条件的概念若是p 成立时，q 必然成立，即p ⇒q ，咱们就说，p 是q 成立的充分条件．（即为使q 成立，只需条件p 就够了） （2）必要条件的概念若是B 成立时，A 必然成立，即q ⇒p ，咱们就说，q 是p 成立的必要条件．（即为使q 成立，就必需条件p 成立） （3）充要条件若p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。
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“充要条件”是数学中极其重要的一个概念。
(1)先看“充分条件和必要条件”
当命题“若p则q”为真时,可表示为p =& q,则我们称p为q的充分条件,q是p的必要条件。
这里由p =& q,得出p为q的充分条件是容易理解的。
但为什么说q是p的必要条件呢?
事实上,与“p =& q”等价的逆否命题是“非q =& 非p”。
它的意思是:若q不成立,则p一定不成立。
这就是说,q对于p是必不可少的,因而是必要的。
(2)再看“充要条件”
若有p =&q,同时q =& p,则p既是q的充分条件,又是必要条件。
简称为p是q的充要条件。
记作p<=&q
回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题a成立可以推出命题b成立,反过来,
“充要条件”的含义,从命题b成立也可以推出命题a成立,那么称a等价于b,记作a<=&b。
实际上与“等价于”的含义完全相同。
也就是说,如果命题a等价于命题b,那么我们说命题a 成立的充要条件是命题b成立;同时有命题b成立的充要条件是命题a成立。
(3)定义与充要条件
数学中,只有a是b的充要条件时,才用a去定义b,因此每个定义中都包含一个充要条件。
如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说,一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
显然,一个定理如果有逆定理,那么定理、逆定理合在一起,可以用一个含有充要条件的语句来表示。
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”。
“仅当”表示“必要”。
(4)一般地,定义中的条件都是充要条件,判定定理中的条件都是充分条件,性质定理中的“结论”都可作为必要条件。