抽样平均误差
抽样平均误差
抽样平均误差（Sampling average error）什么是抽样平均误差抽样平均误差是抽样平均数（或抽样成数）的标准差，它反映抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。
由于从一个总体可能抽取之个样本，因此抽样指标（如平均数、抽样成数等），就有多个不同的数值，因而对全及指标（如总体平均数、总体成数等）的离差也就有大有小，这就必需用一个指标来衡量抽样误差的一般水平。
抽样平均数的平均数等于总体平均数，抽样成数的平均数等于总体总数，因而抽样平均数（或抽样成数）的标准差实际上反映了抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。
抽样平均误差的计算（一）样本平均数的平均误差以μx表示样本平均数的平均误差，表示总体的标准差。
根据定义：1、当抽样方式为重复抽样时，样本标志值是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。
所以得：（1）它说明在重复抽样的条件下，抽样平均误差与总体标准差成正比，与样本容量的平方根成反比。
例1:有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。
则抽样平均误差为多少？解：根据题意可得：(件)总体标准差(件)抽样平均误差(件)2、当抽样方式为不重复抽样时，样本标志值不是相互独立的，根据数理统计知识可知：（2）当总体单位数N很大时，这个公式可近似表示为：（3）与重复抽样相比，不重复抽样平均误差是在重复抽样平均误差的基础上，再乘以，而总是小于1，所以不重复抽样的平均误差也总是小于重复抽样的平均误差。
如前例，若改用不重复抽样方法，则抽样平均误差为：(件) 在计算抽样平均误差时，通常得不到总体标准差的数值，一般可以用样本标准差来代替总体标准差。
（二）抽样成数的平均误差总体成数P可以表现为总体是非标志的平均数。
即E(X)＝P，它的标准差。
根据样本平均误差和总体标准差的关系，可以得到样本成数的平均误差的计算公式。
平均数的误差分析与修正
平均数的误差分析与修正在统计学中，平均数（也称为算术平均值）是一种常用的度量统计数据集中趋势的方法。
然而，由于样本的随机性和抽样误差，计算得出的平均数并不一定能完全准确地代表总体的真实情况。
因此，对于平均数的误差分析与修正显得尤为重要。
一、误差来源计算平均数可能存在的误差可以从以下几个方面进行分析：1. 抽样误差：通过抽取样本来估计总体情况时，样本的选择可能是随机的，因此样本数据与总体数据之间会存在一定差异。
抽样误差是计算平均数的一个重要来源。
2. 数据异常值：在数据集中，可能存在一些不正常或极端值，这些异常值会对平均数的计算结果产生影响。
特别是在数据集较小的情况下，异常值会对平均数的准确性产生较大的影响。
3. 数据缺失：如果数据集中存在缺失数据，这也会对平均数的计算带来不确定性。
在计算平均数时，需要对缺失值进行合理处理，以减小误差。
二、误差分析对于计算平均数时所引入的误差，我们可以进行以下分析：1. 抽样误差分析：为了减小抽样误差带来的影响，可以采用增加样本量的方式来提高平均值的准确性。
同时，也可以通过更有针对性的抽样方法来提高样本的代表性，减小抽样误差。
2. 异常值分析：对于存在异常值的数据集，可以考虑采用异常值检测算法进行筛选。
通过识别并剔除异常值，可以降低其对平均数的影响，从而得到更准确的结果。
3. 缺失数据分析：对于数据缺失的情况，可以采用合适的方法进行填补，如均值填补、插值法等。
通过合理的处理缺失数据，可以减小平均数的估计误差。
三、误差修正为了减小计算平均数时所引入的误差，可以考虑以下修正方法：1. 置信区间修正：平均数的计算结果通常伴随着置信区间。
考虑到抽样误差的影响，可以通过增加置信区间的宽度来修正平均数的估计误差。
一般来说，置信区间越宽，平均数的估计误差越小。
2. Bootstrapping修正：Bootstrapping是一种重复抽样的方法，通过从样本中反复进行有放回抽样，可以生成多个样本，从而得到多个平均数。
抽样平均误差
什么是抽样平均误差抽样平均误差是抽样平均数（或抽样成数）的标准差，它反映抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。
由于从一个总体可能抽取之个样本，因此抽样指标（如平均数、抽样成数等），就有多个不同的数值，因而对全及指标（如总体平均数、总体成数等）的离差也就有大有小，这就必需用一个指标来衡量抽样误差的一般水平。
抽样平均数的平均数等于总体平均数，抽样成数的平均数等于总体总数，因而抽样平均数（或抽样成数）的标准差实际上反映了抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。
抽样平均误差的计算（一）样本平均数的平均误差以μx表示样本平均数的平均误差，表示总体的标准差。
根据定义：1、当抽样方式为重复抽样时，样本标志值是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。
所以得：（1）它说明在重复抽样的条件下，抽样平均误差与总体标准差成正比，与样本容量的平方根成反比。
例1:有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。
则抽样平均误差为多少？解：根据题意可得：(件)总体标准差(件)抽样平均误差(件)2、当抽样方式为不重复抽样时，样本标志值不是相互独立的，根据数理统计知识可知：（2）当总体单位数N很大时，这个公式可近似表示为：（3）与重复抽样相比，不重复抽样平均误差是在重复抽样平均误差的基础上，再乘以，而总是小于1，所以不重复抽样的平均误差也总是小于重复抽样的平均误差。
如前例，若改用不重复抽样方法，则抽样平均误差为：(件)在计算抽样平均误差时，通常得不到总体标准差的数值，一般可以用样本标准差来代替总体标准差。
（二）抽样成数的平均误差总体成数P可以表现为总体是非标志的平均数。
即E(X)＝P，它的标准差。
根据样本平均误差和总体标准差的关系，可以得到样本成数的平均误差的计算公式。
1、在重复抽样下（4）2、在不重复抽样下（5）当总体单位数N很大时，可近似地写成：（6）当总体成数未知时，可以用样本成数来代替。
减小抽样平均误差的方法
减小抽样平均误差的方法
抽样平均误差（Sampling Average Error，SAE）是统计学
中一个重要的概念，它表示在采样过程中，所测量出的样本值与样本总体的期望值之间的偏差。
由于抽样平均误差的存在，许多统计分析都会出现结果的偏差，从而影响研究分析的准确性。
因此，减小抽样平均误差是统计分析中一项重要的任务。
具体而言，减小抽样平均误差的方法可以从以下几个方面来实现：首先，要提高样本容量，增大样本数目。
样本数目越大，抽样平均偏差就越小，有助于提高统计分析的准确性。
其次，要加强样本随机性，确保样本的分布和样本总体的分布是一致的。
只有这样，才能减小抽样平均误差，提高统计分析的准确性。
此外，还要注意样本的代表性，确保样本反映了样本总体的特征，使得抽样平均误差尽可能的小。
最后，要注意样本的采集方法，一般来说，采用多次随机抽样的方法，可以减小抽样平均误差，提高统计分析的准确性。
总之，减小抽样平均误差是一项重要的任务，可以从提高样本容量、加强样本随机性、注意样本的代表性以及样本采集方法这四个方面来实现。
只有把这四个方面做好，才能使得抽样平均误差尽可能的小，从而提高统计分析的准确性。
抽样平均误差
详解
抽样推断的一般概念
抽样推断的主要内容为：参数估计和假设检验。
抽样的基本概念
1、全及总体和样本总体
全及总体是我们所要研究的对象，而样本总体则是我们所要观察的对象，两者是有区别而又有联系的不同范 畴。全及总体又称母体，简称总体，它是指所要认识的，具有某种共同性质的许多单位的集合体。样本总体又称 子样，简称样本，是从全及总体中随机抽取出来，代表全及总体的那部分单位的集合体。样本总体的单位数称为 样本容量，通常用小写英文字母n来表示。随着样本容量的增大，样本对总体的代表性越来越高，并且当样本单位 数足够多时，样本平均数愈接近总体平均数。
抽样平均误差
反映抽样误差一般水平的指标
01 详解
03
目录
02 抽样估计
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标，它的实质含义是指抽样平均数（或成数）的标准差。即它反 映了抽样指标与总体指标的平均离差程度。抽样推断是在根据随机原则从总体中抽取部分实际数据的基础上，运 用数理统计方法，对总体某一现象的数量性作出具有一定可靠程度的估计判断。抽样推断具有这些特点：它是由 部分推算整体的一种认识方法；它是建立在随机取样的基础上。它是运用概率估计的方法；抽样推断的误差可以 事先计算并加以控制。
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如果说对于一次抽样调查，全及总体是唯一确定的，那么样本总体就不是这样，样本是不确定的，一个全及 总体可能抽出很多个样本总体，样本的个数和样本的容量有关，也和抽样的方法有关。
2、全及指标和抽样指标
根据全及总体各个单位的标志值或标志属性计算的，反映总体某种属性或特征的综合指特点 抽样推断是按随机原则从全部研究对象中抽取部分单位进行观察，并根据样本的实际数据对总体的数量特征 作出具有一定可靠程度的估计和判断。 特点：它是由部分推断整体的一种认识方法；抽样推断建立在随机取样的基础上；抽样推断运用概率估计的 方法；抽样推断的误差可以事先计算并加以控制。 抽样推断的内容 参数估计：参数估计是依据所获得的样本观察资料，对所研究现象总体的水平、结构、规模等数量特征进行 估计。 假设检验：假设检验是利用样本的实际资料来检验事先对总体某些数量特征所作的假设是否可信的一种统计 分析方法。 有关抽样的基本概念 1、总体和样本
抽样误差与样本量
重复 抽样
NZ 2P1 P
不重复抽样
n N2x Z 2P1 P
例如，抽查检验某产品的质量，产品的合
格率90%，要求估计值与实际值之间的误
差最大不超过4%，置信度为95.45%，那 么
应抽取多少件产品进行检查？
已知t 2：p(p1=0p.9) t=2 Δ=4%
n=
2p
=225
即所抽取的产品数至少为225件。
市场调查
抽样误差与样本量
一、抽样误差 二、样本容量的确定
一、抽样误差
1.定义：抽样估计量与被估计的总体参数之间的差值。 抽样平均误差，即样本估计量的标准差。
2. 影响抽样误差的因素
总体各单位的差异程度（即标准差的大小） 样本单位数的多少 抽样方法：不重复抽样的抽样误差比重复抽样的抽样
误差小 抽样组织方式：简单随机抽样、分类抽样、机械抽样
等。
3.抽样误差的计算
❖ 抽样平均数的抽样误差
重复抽样时
x
或
n
s n
不重复抽样时
x
2 1 n 或
n N
s2 1 n n N
•抽样成数的抽样误差
重复抽样时
p
p
n
或
p1 p
n
不重复抽样时
p
2 p
1
n
或
n N
p1 p 1 n
n N
4.抽样极限误差
指在一定的概率保证程度下，抽样 指标与总体指标之间的误差范围。
样本平均数的 z
极限误差：
x
x
样本成数的极限 误差：
p z p
Z 为概率保证程度.
二、样本容量的确定
1.总体均值样本容量的确定
抽样平均误差
抽样误差抽样误差，是指按随机原则抽样时，在没有登记误差和系统性误差的条件下，单纯由于不同的随机样本的样本指标代表总体指标而产生的误差。
（一）抽样实际误差抽样实际误差：是指在一次抽样中由随机因素引起的样本指标与总体指标之间的离差，如x - X ，p - P（二）抽样平均误差抽样平均误差：指样本平均数（或样本成数）的标准差。
它反映了所有抽样结果所得的样本指标值与总体指标值的平均离差。
抽样平均误差的理论公式MX xMi ix ∑=-=12)(μ 或[]2)(x x E x -=μMP pMi ip ∑=-=12)(μ 或[]2)(p p E p -=μ样本的可能数目计算方法 （1）考虑顺序的不重复抽样数目（2）考虑顺序的重复抽样数目（3）不考虑顺序的不重复抽样的数目（4）不考虑顺序的重复抽样的数目nn N N B =!!）（n N N A nN -=!!!）（n N n N C n N-=!1!)!1(1）（--+==-+N n n N CD n nN n N2、抽样平均误差实际运用的公式 （1）样本平均数的抽样平均误差： ①在简单随机重复抽样条件下，X μ＝n2σ②在简单随机不重复抽样条件下，X μ＝⎪⎭⎫⎝⎛--12N n N n σ 当N 很大时，N －1≈N 人，以式改为：X μ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-N n n 12σ（2）样本成数的抽样平均误差： ①在简单随机重复抽样条件下，P μ＝nPQ②在简单随机不重复抽样条件下， 【例7—17】解法一：按抽样平均误差的理论公式计算。
表7—4 考虑顺序的重复抽样样本分布表总体平均数X ＝233211=++=∑=NXNi i抽样平均误差()57735.0300.3212==-=∑=nN i ix N Xxnμ 解法二：按抽样平均误差的实际公式计算（见表7—5） 表7—5 总体分布表总体方差()32122=-=∑=NXXNi iσ抽样平均误差57735.0322122=⨯==nσμ 【例7—18】解法一：按抽样平均误差的理论公式计算。
抽样平均误差
灯泡平均使用寿命 x
xf f
灯泡合格率 p 1－q
70 020 100
700.2（小时）
1－1070 93%
样本标准差 sx
（x －x）2 f f
37 996 19.49（小时）
100
抽样平均误差
【例7.1】 解：
抽样平均误差
（三）影响抽样平均误差的因素 1、总体内部的差异程度 2、样本容量 3、抽样方法 4、抽样组织形式
样误差。 抽样误差是指在遵守了随机原则的条件下，由于 样本的构成与总体的构成不同从而产生的误差。
抽样平均误差
抽样误差
图7-1 统计误差分类
抽样平均误差
二、实际抽样误差
实际抽样误差就是指样本指标值与总体指标值之间的
绝对离差。如 x－X 、p －P 、 s2－ 2 。
在抽样调查中，总体指标值是未知的，因而任何一次 抽样的实际抽样误差也是未知的。因为样本的统计量是随 机变量，因此实际的抽样误差也是随机变量。
统计学
计算公式为：
x
（x－x）2
M
式中， x ——样本平均数；
x ——样本平均数的平均数；
M ——样本的可能组成数目。
抽样平均误差
（二）抽样平均误差的计算
1、平均数的抽样平均误差的计算
（1）重复抽样时平均数的抽样平均误差
x
x
n
（2）不重复抽样时样本平均数的抽样平均误差
x
2 N n
n N 1
抽样平均误差
2、抽样成数的抽样平均误差的计算
（1）重复抽样的抽样成数的平均误差
p
P(1 P) n
（2）不重复抽样的抽样成数的平均误差
p
P(1 n
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抽样平均误差（Sampling average error）
什么是抽样平均误差
抽样平均误差是抽样平均数（或抽样成数）的标准差，它反映抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。
由于从一个总体可能抽取之个样本，因此抽样指标（如平均数、抽样成数等），就有多个不同的数值，因而对全及指标（如总体平均数、总体成数等）的离差也就有大有小，这就必需用一个指标来衡量抽样误差的一般水平。
抽样平均数的平均数等于总体平均数，抽样成数的平均数等于总体总数，因而抽样平均数（或抽样成数）的标准差实际上反映了抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。
抽样平均误差的计算
（一）样本平均数的平均误差
以μx表示样本平均数的平均误差，表示总体的标准差。
根据定义：
1、当抽样方式为重复抽样时，样本标志值是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。
所以得：
（1）
它说明在重复抽样的条件下，抽样平均误差与总体标准差成正比，与样本容量的平方根成反比。
例1:有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。
则抽样平均误差为多少？
解：根据题意可得：(件)
总体标准差(件)
抽样平均误差(件)
2、当抽样方式为不重复抽样时，样本标志值不是相互独立的，根据数理统计知识可知：（2）
当总体单位数N很大时，这个公式可近似表示为：
（3）
与重复抽样相比，不重复抽样平均误差是在重复抽样平均误差的基础上，再乘以，而总是小于1，所以不重复
抽样的平均误差也总是小于重复抽样的平均误差。
如前例，若改用不重复抽样方法，则抽样平均误差为：(件)在计算抽样平均误差时，通常得不到总体标准差的数值，一般可以用样本标准差来代替总体标准差。
（二）抽样成数的平均误差
总体成数P可以表现为总体是非标志的平均数。
即E(X)＝P，它的标准差。
根据样本平均误差和总体标准差的关系，可以得到样本成数的平均误差的计算公式。
1、在重复抽样下（4）
2、在不重复抽样下
（5）
当总体单位数N很大时，可近似地写成：
（6）
当总体成数未知时，可以用样本成数来代替。
例2：某企业生产的产品，按正常生产经验，合格率为90%，现从5000件产品中抽取50件进行检验，求合格率的抽样平均误差。
解：根据题意，在重复抽样条件下，合格率的抽样平均误差为：
在不重复抽样条件下，合格率的抽样平均误差为：
抽样误差的计算
1、表现形式：平均数指标抽样误差；成数（比重）抽样误差。
2、平均数指标的抽样误差
1）重复抽样的条件下：
2)不重复抽样的条件下：
3、成数指标的抽样误差
1）重复抽样的条件下：
2）不重复抽样的条件下：
抽样误差的控制措施
抽样误差则是不可避免的，但可以减少，其措施有：
1、增加样本个案数。
2、适应选择抽样方式。
不重置抽样，样本平均值的标准差为修正系数。
A、无限总体，按照重置抽样计算
B、有限总体：
N比较大，n/N大于等于5%，修正系数简化为1-n/N
N比较大，n/N小于5%，按重置抽样计算
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