Ch7一阶电路和二阶电路的时域分析续

7.9 一阶电路的冲激响应
例7.10 在图示电路中， 例7.10 uC(0−)=0 ，电流源is(t)的波形如图 所示， R =1Ω， C=2F， 求t≥0时的uC 。 解： is(t) =10δ (t) − 8δ (t − 2)A
is (A) 10
2个冲激信号可分别用2个初始值等效。 0 1 2 3 4 t(s) 10 −8 8 uC (0 + ) = uC ( 2 + ) = C C 将问题变换成零输入响应的情况，电路方程为：
7.9 一阶电路的冲激响应
7.9 一阶电路的冲激(Impulse)响应
7.9.1利用h(t)=ds(t)/dt 求解单位冲激响应 7.9.1利用h(t)=ds(t)/dt 在单位冲激信号δ (t)激励下电路的零状态响应称为单位 冲激响应，用h(t)表示。 在信号间有
d ⎧ ⎪ δ ( t ) = dt ε ( t ) ⎨ t ⎪ε ( t ) = ∫ δ (ξ )dξ −∞ ⎩
当is=δ (t)时， uC = h(t)
在δ (t)激励下的响应h(t) ，可用一个具有相应初始条件的零 输入响应来等效。
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7.的相应初始值求解单位冲激响应h(t) 用δ (t)引起的相应初始值求解单位冲激响应h(t) 若某初始电压为零的电容C，在一个单位冲激电流源δ (t) 作用下(并联)，有
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7.10 二阶电路的零输入响应
7.10 二阶电路的零输入响应
RLC串联电路的零输入响应
二阶电路响应特点的复平面表示
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7.10 二阶电路的零输入响应
7.10.1 RLC串联电路的零输入响应 RLC串联电路的零输入响应 已知：UC(0–)=U0 IL(0–)=I0 求：t≥0时的uC(t) 和i(t)。 根据KVL： uR + uL + uC =0 电路方程为：
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7.8 一阶电路的阶跃响应
7.8 一阶电路的阶跃响应
若电路初始状态为零，输入为单位阶跃信号，则相应的响 应则为单位阶跃响应。用s(t)表示。
R εt i C uC t ut R i C uC
相当于t= 0时接入一个1V电压源的零状态响应。 s(t) = uC =(1− e-t/τ)ε (t) 若输入是任意的阶跃信号，其响应等于同一电路的单位阶 跃响应乘上相应的倍数。
强度为1 1 0
δ(t)
t p(t)
1 Δ
δ(t)函数是单位脉冲函数的极限。
δ（t） lim p( t ) =
Δ →0
−
Δ 2
0
Δ 2
t
δ(t)用一种集中(离散的)瞬时作用的效应来代替一种平均持
续作用的效应，反映“强度”的概念。 习惯上将
∫
∞
−∞
δ ( t)dt 称为冲激强度。
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7.10 二阶电路的零输入响应
⎧ d 2 uC R duC 1 + + uC = 0 ⎪ 2 ⎪ dt L dt LC ⎨ du I ⎪ uC (0 + ) = U 0 ; C t = 0 = 0 + ⎪ dt C ⎩
d uC duC 2 + 2α + ω 0 uC = 0 dt 2 dt
uC = (1 − e τ )ε ( t )
− t
us(t)
10V
0
(V) uC 10 6.3 0 1 2
1
2
t(ms)
t(ms)
∴ uC = 10(1 − e − ( t −1) )ε ( t − 1) − 10(1 − e − ( t − 2 ) )ε ( t − 2) V
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波形为
f (t)
0
t0
t
0
t0
t
单位阶跃函数可组成许多复杂信号。
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7.7 阶跃函数和冲激函数
7.7.2 冲激函数 1. 单位冲激函数 单位冲激函数δ(t)，其数学定义为:
⎧ ∞ δ ( t )dt = 1 ⎪∫ ⎨ −∞ ⎪δ ( t ) = 0 ( t ≠ 0) ⎩
d 2 uC du LC + RC C + uC = 0 dt 2 dt duC I0 uC (0+ ) = U 0 ; t = 0+ = dt C
由元件伏安关系：
duC i=C dt
duC uR = Ri = RC dt d 2 uC di uL = L = LC dt dt 2
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7.7 阶跃函数和冲激函数
7.7.1 阶跃函数 1. 单位阶跃函数 用 ε（t）表示，定义为
⎧0 ε (t ) = ⎨ ⎩1 t<0 t >0
1 o t
ε(t)
将ε(t) 乘以常数k，可构成幅值为k的阶跃函数 kε ( t ) 阶跃函数又称开关函数，其实际意义为：
uC (0 + ) = uC (0 − ) + 1 C
C uC
uC (0+ ) = 1 C
即为：
δt C uC uC
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7.9 一阶电路的冲激响应
分析：
⎧ duC 1 ⎪C + uC = δ ( t ) ⎨ dt R ⎪ uC (0 − ) = 0 ⎩
将时间分成[0−， 0+ ]，[ 0+ ，t ）。
f (t) 1 0 t1 t2 t
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7.7 阶跃函数和冲激函数
单位阶跃函数可用来“起始”任意一个函数f (t)。 设f (t)对所有t 都有定义，则
⎧0 f ( t )ε ( t − t 0 ) = ⎨ ⎩ f (t ) t < t0 t > t0
f (t)ε(t− t0)
⎧0 t < 0 ∫−∞ δ (ξ )dξ = ⎨1 t > 0 ⎩
t
⎧0 t < 0 ε (t ) = ⎨ ⎩1 t > 0
t
∫
−∞
δ (ξ )dξ = ε ( t )
从而可得：
d ε (t ) = δ (t ) dt
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7.7 阶跃函数和冲激函数
筛分性(采样性) 设函数f (t)在t =0时连续，当t ≠0， δ(t) =0， 所以有： f (t)δ(t)= f (0)δ(t) 因此
当第一个冲激δ (t)单独作用时：
u
(1) C
is (A) 10 0 1 2 3 4 8 t(s)
10 − t τ = e ε (t ) C − 8 − ( t − 2 )τ = e ε ( t − 2) C
当第二个冲激δ (t −2)单独作用时：
u
( 2) C
当2个冲激共同作用时，总响应为：
uC = u
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7.7 阶跃函数和冲激函数
7.7 阶跃函数和冲激函数 （Step function and Impulse function）
在动态电路的分析中常引用阶跃函数和冲激函数来 描述电路中的激励和响应。 阶跃函数和冲激函数具有不连续点(跃变点)或其导数 与积分有不连续点。
代入参数，上述结果为：
uC = 5e −0.5 t ε ( t ) − 4e −0.5( t − 2 )ε ( t − 2)
⎧ uC = 5e −0.5 t 0 ≤ t ≤ 2S 或 ⎨ uC = (5e −1 − 4)e − 0.5( t − 2 ) = −2.16e − 0.5( t − 2 ) t ≥ 2 S ⎩
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7.9 一阶电路的冲激响应
同理，若某个初始电流为零的电感，当与一个单位冲激 电压源δ (t)串联时，有
1 1 i L (0 + ) = i L (0 − ) + = L L
即
iL L δt iL
iL L
i L (0+ ) = 1 L
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∞ ∞
∫
−∞
f ( t )δ ( t )dt = f (0)∫ δ ( t )dt = f (0)
−∞
同理，对于在t =τ 连续的函数f (t)，有
∫
∞
−∞
f ( t )δ ( t − τ )dt = f (τ )
上式表明：单位冲激函数能把f (t)在冲激出现时刻的函 数值筛选出来，这一性质称为冲激函数的筛分性质。
其波形如图
5 1.84 0 −2.16
uC(V)
1 2 3 4 5
t(S)
Chapter7 一阶电路和二阶电路的时域分析
含有2个独立的动态元件称二阶电路，需要用二阶微分 方程描述。 线性电路的零输入响应是初始状态的线性函数；零状态 响应是输入信号的线性函数；完全响应等于零输入响应和 零状态响应的叠加等概念对二阶电路仍适用。
0+ 1 0+ duC dt + ∫ u dt = ∫ δ ( t )dt 在[0− ， 0+ ]内： ∫0 C 0− R C 0− − dt 0+
CuC(0+)
uC (0 + ) = 1 C
0
1
⎧ duC 1 ⎪ C dt + R uC = 0 在[0+，t)内，则有 ⎨ 1 ⎪ uC (0 + ) = C ⎩ 1 − tτ 其解（零输入响应）为： h( t ) = e ε ( t ) C