正弦定理和余弦定理专题集训
2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【含解析】
4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【原卷版】1．在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cos C＝34，则tan A＝()A．56B．76C．53D．732．在△ABC中，A＝π6，AB＝3，AC＝4，则BC边上的高的长度为()A．2217B．2C．3D．2133．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b cos C且c＝6，A＝π3，则△ABC的面积为()A．363B．27C．203D．1834．已知△ABC的面积为S＝14(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．是直角三角形但不是等腰三角形C．是等腰三角形但不是直角三角形D．等腰直角三角形5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c＝6，A ABC 面积为42，则sin C＝()A．16B．13C．69D．2236．(多选)在△ABC中，下列说法正确的是()A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解C．若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cos BD．若cos2A＋cos2B－cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是()A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55D ．△ABC 为钝角三角形8．(2024·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．10．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC 的面积为12(a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角C ；(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值．11．(多选)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝18，以下结论正确的是()A ．AB ＝8B ．CD BD ＝18C ．AB ＝6D ．△ABD 的面积为37412．(2024·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)()A ．65．46kmB ．85．09kmC ．74．35kmD ．121．12km13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a＝cos B cos A ．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．16．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是()A ，334BC D ，33417．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足－14．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【解析版】1．在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝()A ．56B ．76C ．53D ．73解析：D由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，因为AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，tan A ＝73，故选D ．2．在△ABC 中，A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，则BC 边上的高的长度为()A ．2217B ．2C ．3D ．213解析：A 由A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，得S △ABC ＝12×4×3×12＝3，由余弦定理得：BC ＝3＋16－2×4×3×32＝7，BC 边上的高的长度为2×37＝2217．故选A ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝b cos C 且c ＝6，A ＝π3，则△ABC 的面积为()A ．363B ．27C ．203D ．183解析：D在△ABC 中，a ＝b cos C ，所以sin A ＝sin B cos C ，又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝0，因为B ，C sin C ≠0，所以cos B ＝0，所以B ＝π2，又因为c ＝6，a ＝6tan A ＝63，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ac ＝183，故选D ．4．已知△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 的边长)，则△ABC 的形状为()A ．等边三角形B ．是直角三角形但不是等腰三角形C ．是等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形解析：D依题意△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)，则12bc sin A ＝14(b 2＋c 2)，2bc sin A ＝b 2＋c 2，由于0＜A ＜π，0＜sin A ≤1，所以0＜2bc sin A ≤2bc ，由基本不等式可知b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以sin A ＝1，A ＝π2ABC 是等腰直角三角形．故选D ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝3c ＝6，A ABC面积为42，则sin C ＝()A ．16B ．13C ．69D ．223解析：B因为b ＝3c ＝6，△ABC 的面积为42＝12bc sin A ＝6sin A ，解得sin A ＝223，因为A 所以cos A ＝13，在△ABC 中，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42，因为42223＝2sin C ，所以sin C ＝13．故选B ．6．(多选)在△ABC 中，下列说法正确的是()A ．若a cos A ＝b cosB ，则△ABC 为等腰三角形B ．若a ＝40，b ＝20，B ＝25°，则△ABC 必有两解C ．若△ABC 是锐角三角形，则sin A ＞cos BD ．若cos 2A ＋cos 2B －cos 2C ＜1，则△ABC 为锐角三角形解析：BC对于A ，由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°，∴△ABC 为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，a sin B ＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×12＝20，即a sin B ＜b ＜a ，∴△ABC 必有两解，故B 正确；对于C ，∵△ABC是锐角三角形，∴A ＋B ＞π2，即π2＞A ＞π2－B ＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A ＞cos B ，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B －1＋2sin 2C ＜1，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＞0，即a 2＋b 2－c 2＞0，∴cos C ＞0，即C 为锐角，不能说明△ABC 为锐角三角形，故D 错误．故选B 、C ．7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是()A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55D ．△ABC 为钝角三角形解析：ACD因为a sin A ＝4b sin B ，所以a 2＝4b 2，所以a ＝2b ，故A 正确；因为ac ＝5(a 2－b 2－c 2)＝5·(－2bc cos A )，且a ＝2b ，所以2bc ＝－25bc cos A ，所以cos A ＝－55，故B 错误；因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝255，又因为a ＝2b ，所以sin A ＝2sin B ，所以sin B ＝55，故C 正确；由cos A ＝－55＜0可知A ABC为钝角三角形，故D 正确；故选A 、C 、D ．8．(2024·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．解析：由题意△EFD 为等边三角形，则∠EDA ＝π3，所以∠BDA ＝2π3，根据条件△AFC与△BDA 全等，所以AF ＝BD ＝1在△ABD 中，AD ＝3，BD ＝1，AB 2＝AD 2＋BD 2－2×AD ×BD ×cos ∠BDA ＝32＋12－2×1×313，所以AB ＝13．答案：139．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．解析：由题意得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc ＝3，故bc ＝4．因为A ＝60°，b ＋c＝6，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝24，所以a ＝26，△ABC 的周长为6＋26，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12(a ＋b ＋c )r ＝12×(6＋26)r ＝3，所以r ＝3－2．答案：3－210．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC的面积为12(a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角C ；(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解：(1)选择①，根据正弦定理得(a －c )(a ＋c )＝b (a －b )，整理得a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3．选择②，根据正弦定理有sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，从而有cos C ＝12，故C ＝π3．选择③，因为12ca sin B ＝12c (a sin A ＋b sin B －c sin C )，所以a sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C ，由正弦定理得ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3．(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ，即b 2＝1＋3－23cos ∠ADC ．在△BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ，即a 2＝1＋3－23cos ∠BDC ．因为∠ADC ＋∠BDC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC ，所以a 2＋b 2＝8．由C ＝π3及c ＝2，得a 2＋b 2－4＝ab ，所以ab ＝4，从而a 2＋b 2－2ab ＝0，所以a ＝b ＝2．11．(多选)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝18，以下结论正确的是()A ．AB ＝8B ．CD BD ＝18C ．AB ＝6D ．△ABD 的面积为374解析：BCD如图所示，因为AD 是角平分线，设∠CAD ＝∠DAB＝α，则∠BAC ＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos 2α－1＝18，且0＜α＜π2，所以cos α＝34，在Rt △ACD 中，AD ＝1，所以AC ＝AD cos α＝34，在Rt △ACB 中，AB ＝AC cos 2α＝34×8＝6，故A 错误，C 正确；根据角平分线定理，CD BD ＝AC AB ＝34×16＝18，故B 正确；因为cos α＝34，且0＜α＜π2，所以sin α＝74，所以S △ABD ＝12AD ·AB ·sin α＝12×6×74＝374，故D 正确，故选B 、C 、D ．12．(2024·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)()A ．65．46kmB ．85．09kmC ．74．35kmD ．121．12km解析：A如图所示，由题意可得AC ＝46km ，∠ACB ＝16．28°，∠BAC ＝132．57°，由正弦定理可得BC sin A ＝ACsin B ，即BC sin 132.57°＝46sin 31.15°，解得BC ＝46sin 31.15°·sin 132．57°≈460.52×0．74≈65．46．故选A ．13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝12b ，若满足条件的△ABC 有两个，则12b ＜1且1＝a ＜b ，所以1＜b ＜2．答案：32((1,2)内任一数即可)14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．解析：∵(3b －a )cos C ＝c cos A ，∴利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．又∵sin B ≠0，∴cos C ＝13，则C 为锐角，∴sin C ＝223．由△ABC的面积为32，可得12ab sin C ＝32，∴ab ＝9．由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(a ＋b )2＝113ab ＝33，∴a ＋b ＝33．答案：93315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a ＝cos Bcos A．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)已知3b 2c －3a ＝cos Bcos A，则由正弦定理可得3sin B 2sin C －3sin A ＝cos Bcos A，即3sin B cos A ＝(2sin C －3sin A )cos B ，即3sin(A ＋B )＝2sin C cos B ，即3sin C ＝2sin C cos B ，∵sin C ≠0，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，则B ＝π6．(2)由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即22＝a 2＋c 2－2ac cosπ6，即4＝a 2＋c 2－3ac ≥2ac －3ac ，当且仅当a ＝c 时，等号成立，ac ≤42－3＝4(2＋3)，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ≤12×4(2＋3)×12＝2＋3．∴△ABC 的面积的最大值为2＋3．16．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是()A ，334BCD ，334解析：A由于a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，且A ∈(0，π)，所以A＝π3，那么外接圆半径为R ＝12×332＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34·2R sin B ·2R3sin BB ＋12sin ＝32sin B cos B ＋32sin 2B ＝34sin 2B ＋32－12cos 2＝2B －12cos 2＋34＝32sin B ＋34．由于△ABC 为锐角三角形，所以0＜B ＜π2，0<C ＝π－A －B ＝2π3－B <π2，所以π6<B <π2，所以π6＜2B －π6＜5π6，12＜B 1，故32＜S △ABC ≤334．故选A ．17．已知在△ABC 中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足－14．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)因为＝－14，A －12cos －32sin A ＋12cos ＝－14，即32sin A cos A －34sin 2A －14cos 2A ＝－14，所以34sin 2A －38(1－cos 2A )－18(1＋cos 2A )＝－14，整理可得34sin 2A ＋14cos 2A ＝14，所以可得A ＝12，因为A ∈(0，π)，可得2A ＋π6∈所以2A ＋π6＝5π6，可得A ＝π3．(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且a ＝1，A ＝π3，所以b ＝233sin B ，c ＝233sin C ；所以a ＋b ＋c ＝1＋233(sin B ＋sin C )＝1＋233sin B ＋sin1＋因为△ABC 为锐角三角形，＜B ＜π2，＜2π3－B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以π3<B ＋π6<2π3，所以1＋(1＋3，3]，即△ABC 周长的取值范围是(1＋3，3]．。
第04讲 正弦定理和余弦定理 (精练)(含答案解析)
第04讲正弦定理和余弦定理(精练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第04讲正弦定理和余弦定理(精练）一、单选题（2022·全国·高三专题练习）1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c +<，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形（2022·江苏·高一课时练习）2．已知正三角形的边长为2，则该三角形的面积（）A ．4BC D ．1（2022·江苏·高一课时练习）3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45,30,6A C c === ，则a 等于()A ．B ．C ．D ．（2022·河南·高二阶段练习（文））4．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，5CD =，6BC =，则CAD ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒（2022·江苏·南京市第九中学高一期中）5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD ＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC 的面积为（）A ．94B C ．134D ．4（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos c A C =，c =，18ab =，则a b +的值是（）A ．B ．C ．9D ．11（2022·重庆八中高一期中）7．如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，则ACD 的面积为（）A ．6B ．2C ．6D ．6（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）8．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯ ．可知a b ⨯是一个向量，它的模为||||||sin a b a b θ⨯=⋅．已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,3a b c A π=，)22||896BA BC b a ⨯=- ，则cos B =（）A B ．C ．7-D 二、多选题（2022·山东淄博·高一期中）9．在ABC 中，如下判断正确的是（）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC 为等腰三角形B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >D ．若sin sin A B >，则A B>10．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A ．sin sin sin +=+a b cA B CB ．若A B >，则sin 2sin 2A B >C ．cos cos c a B b A =+D ．若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形（2022·山东菏泽·高一期中）11．在ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD，cos CDB ∠=则（）A．sin CDB ∠B ．△DBC 的面积为3C ．ABC的周长为8+D ．ABC 为钝角三角形三、填空题（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））12．已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，且AD 为BAC ∠的角平分线，若3BAC π∠=，AD =，则4b c +最小值为___________.（2022·全国·高三专题练习）13．一艘渔船航行到A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°，距离为C 在A 的北偏西45°，距离为海里，该船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东45°方向，则CD =______海里.四、解答题（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）14．如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 2b A c a =-.(1)求角B ；(2)若2sin sinC sin A B ⋅=，2AD CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.（2022·宁夏·平罗中学三模（文））15．已知函数()f x m n =⋅ ，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =- ，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a cb +的最大值.（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））16．在锐角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,,4,sin 4a b c a b A ===.(1)求sin C 的值；(2)点,D E 分别在边,AB AC 上，ABC 的面积是ADE V 面积的2倍.求DE 的最小值.参考答案：1．D【分析】根据余弦定理，得到cos 0C <，求得(,)2C ππ∈，即可求解.【详解】因为222a b c +<，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，又由(0,)C π∈，所以(,)2C ππ∈，所以ABC 是钝角三角形.故选：D.2．B【分析】由三角形面积公式可求出.【详解】根据三角形面积公式可得该三角形的面积为122sin 602⨯⨯⨯︒=故选：B.3．B【分析】根据正弦定理即可求解﹒【详解】由正弦定理得sin sin a c A C ＝，∴66sin4521sin302a＝＝＝故选：B ﹒4．B【分析】先求出22,AC AD ,再利用余弦定理求解.【详解】因为2226240AC =+=，2226(52)45AD =+-=，在ACD 中，由余弦定理得222cos 22AD AC CD CAD AD AC +-∠==⋅，又因为0180CAD ︒<∠<︒，所以45CAD ∠=︒.故选：B.5．D【分析】设小正三角形边长为x ，由面积比求得x ，再计算出小正三角形面积可得大正三角形面积．【详解】设DE x =，则211sin 1(1)sin12013224ABD DEFBD AD ADB x S x S x ⋅∠⨯⨯+︒+==!!，解得2x =（23-舍去），所以224DEF S ==!，94ABCS ==!故选：D ．6．C【分析】由条件sin cos c A C =结合正弦定理可求C ，再结合余弦定理求a b +.【详解】∵sin cos c A C =，∴sin sin cos C A A C =，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，∴tan C =(0,)C π∈，∴3C π=，又2222cos c a b ab C =+-，c =18ab =，∴222718a b =+-，∴222()281a b a b ab +=++=，∴9a b +=，故选：C.7．C【分析】先在ABC 利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD 、CD ，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】在ABC 中，因为4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，所以由余弦定理，得AC =由正弦定理，得=sin sin 603AC BD ABC ==∠；在Rt △ABD 和Rt BCD中，3AD ===3CD ===，又180120ADC ABC ∠=-∠= ，所以ACD 的面积为123326S =⨯⨯⨯=.故选：C.8．B【分析】根据新定义及三角的面积公式可化为()22182129sin b a bc A -=，再由余弦定理转化为关于,b c 的方程，得出3b c =，再由余弦定理求出cos B 即可.【详解】因为()22||896BA BC b a ⨯=-，所以)221sin 289ac b a B -=,即)2289△ABC S b a -=,)221829sin b a A -=,由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-，代入上式得，22289()b b c bc ⎤-+-=⎦，化简得22690-+=b bc c ，即2(3)0-=b c ，3b c ∴=，此时.a ==22214cos 2a c b B ac +-∴-==.故选：B 9．BCD【分析】选项A.由题意可得22A B =或22A B π+=，从而可判断；选项B.若A B >,则a b >，由正弦定理可判断；选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>，即所以022A B ππ>>->，由正弦函数的单调性可判断；选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，从而可判断.【详解】选项A.在ABC 中,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=所以A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰或直角三角形.故A 不正确.选项B.在ABC 中,若A B >,则a b >，由正弦定理可得2sin 2sin R A R B >,即sin sin A B >，故B 正确.选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>所以022A B ππ>>->，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,故C 正确.选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，即a b >，所以A B >，故D 正确.故选：BCD 10．ACD【解析】利用正弦定理以及边角互化可判断A 、B 、C ，利用向量数量积可判断D.【详解】对于A ，由sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+===+，故A 正确；对于B ，若A B >，当120A =o ，30B = 时，则sin 2sin 2A B <，故B 不正确；对于C ，()cos cos sin sin cos sin cos sin sin c a B b A C A B B A A B C =+⇒=+=+=，故C 正确；对于D ，由0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，可得BAC ∠的角平分线与BC 垂直，所以ABC 为等腰三角形又12AB AC AB AC ⋅=，可得3BAC π∠=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确；故选：ACD 11．ABD【分析】由同角的三角函数关系即可判断A ，设CD a =，利用余弦定理及面积公式即可判断B ，利用余弦定理求得AC ，进而判断C ，利用余弦定理可判断D.【详解】因为cos CDB ∠=sin CDB ∠，故A 正确；设CD a =，则2BC a =，在BCD △中，2222cos BC CD BD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得a =，所以112sin 33225DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯= ，故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠，所以()cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC △中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠，解得AC =所以ABC 的周长为()3584AB AC BC ++=+++，故C 错误；因为8AB =为最大边，所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅，即C 为钝角，所以ABC 为钝角三角形，故D 正确.故选：ABD.12．9【分析】第一步利用等面积法求出,b c 的关系式，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题意画图如下：因为AD 为BAC ∠的角平分线，3BAC π∠=，ABC ABD ADC S S S =+ 所以111sin 60sin 30sin 30222AB AC AB AD AD AC ⋅︒=⋅︒+⋅︒化简得11111,,1222c c b bc b c b c⋅==++=利用基本不等式“1的代换”得()()1145+449154b c b c b c c b b c b c ⎛⎫++=+⨯=+=+≥+ ⎪⎝⎭故答案为：9.13．【分析】利用方位角求出B 的大小，利用正弦定理直接求解AD 的距离，直接利用余弦定理求出CD 的距离即可．【详解】如图，在△ABD 中，因为在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东45°方向上，所以B ＝180°−75°−45°＝60°由正弦定理sin sin AD ABB ADB=∠，所以sin 6s in AB BAD ADB==∠海里；在△ACD 中，AD ＝6，AC＝CAD ＝45°，由余弦定理可得：(222222cos 4563263182CD AD AC AD AC ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以CD＝故答案为：14．(1)π3B =(2)【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.（2）由余弦定理得到ABC 为等边三角形，在ADC △中，利用余弦定理表达出2=88cos x θ-，然后根据三角形面积公式即可求解.（1）由正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A=C A ⋅-,所以()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A+A=A B A B A B⋅+=+即sin 2sin cos A=A B⋅()10,π,sin 0cos 2A AB ∈∴≠⇒= ,()π0,π3B B ∈∴=（2）由2sin sin sin A C =B ⋅2b =ac∴由余弦定理得222222222cos b a c ac B a c ac a c b =+-=+-=+-，222+2a c =b ∴()222222+2+20a c =a c ac =a cb =∴---a c∴=ABC ∴ 为等边三角形，设=AC =x ADC θ∠，，在ADC △中，24+4cos 222x =θ-⨯⨯，解得2=88cos x θ-2++2sin 88cos +2sin ABC ACD ABCD S =S S ==θθθ- 四边形）π4sin3=θ-（）当ππ=32θ-，即5π6=θ时，S 有最大值15．(1)3A π=(2)【分析】（1）利用平面向量数量积运算法则和恒等变换公式化简函数()f x 的解析式，然后求解即可，要注意角A 的取值范围；（2）利用余弦定理和基本不等式求解即可.（1）由题()22cos sin cos 2sin 26f x m n x x x x x π⎛⎫=⋅=-+=+ ⎪⎝⎭所以()2sin 216f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得：223b c bc =+-，整理得到()()()2222133324b c b c bc b c b c 骣+琪=+-³+-´=+琪桫解得b c +≤b c ==等号成立.故c b +的最大值为16．(1)4(2)【分析】（1）根据题意1cos 4A =，进而结合正弦定理得sin B =cos B =()sin sin C A B =+求解即可；（2）结合（1）得4c b ==，进而根据面积关系得8AD AE ⋅=，最后结合基本不等式与余弦定理得212DE ≥，进而得答案.(1)解：ABC是锐角三角形，1sin cos 44A A =∴=.在ABC中，4a b ==，由正弦定理得4sin sin b A B a ==，cos 4B ∴=.()C A B =π-+ ，()1sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+=⨯(2)解：由（1）知，sin sin ,4B C c b =∴==.由题意得1sin 1622,81sin 2ABC ADE bc A S AD AE S AD AE AD AE A ==∴⋅=⋅⋅⋅ .由余弦定理得，222132cos 21222DE AD AE AD AE A AD AE AD AE AD AE =+-⋅≥⋅-⋅=⋅=，当且仅当AD AE ==“=”成立.所以DE的最小值为。
正弦定理、余弦定理专题复习
正弦定理、余弦定理专题复习正弦定理、余弦定理专题复习教师版在下⾯考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题．⼀、知识梳理：1．正弦、余弦定理在△ABC中，若⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则(1)S＝12a·h a(h a表⽰边a上的⾼)；(2)S＝12ab sin C＝________＝________；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).[常⽤结论]1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．2．内⾓和公式的变形(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.⼆、基础⾃测：1．已知△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1 C． 3 D．22.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三⾓形有()A．⽆解B．两解C．⼀解D．解的个数不确定4. △ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，3，则b＝()A. 2B. 3C. 2D. 35．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三⾓形的形状为________．6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的⾯积等于________．三、典例讲解：考点1.利⽤正余弦定理解三⾓形问题例1：在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a＞b，则B＝()A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6规律⽅法：练习1：(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；②若2a＋b＝2c，求sin C.考点2 与三⾓形⾯积有关的问题例2：(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的⾯积为____________．规律⽅法：练习2 ：(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是⾓A，B，C的对边，且2b cos C＝2a＋c.(1)求B；(2)若b＝2，a＋c＝5，求△ABC的⾯积．考点3 判断三⾓形的形状例3设△ABC的内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为() A．锐⾓三⾓形B．直⾓三⾓形C．钝⾓三⾓形D．不确定练习3：(变条件1)本例中，若将条件变为2sin A cos B＝sin C，判断△ABC 的形状．(变条件2)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状．三、巩固提⾼：1.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝2，则AC等于()A. 1B. 2C. 2D. 222.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6B．5 C．4 D．33.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上⼀点，且AD⊥AC，求△ABD的⾯积4.（2020春?五华区校级⽉考）在△ABC中，内⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，（a+c）（sin A﹣sin C）＝（b+c）sin B．（1）求A；（2）若，求b+c的取值范围．5.(2018·天津⾼考)在△ABC中，内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin A＝a cos (B－π6).(1)求⾓B的⼤⼩；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin (2A－B)的值．正弦定理、余弦定理专题复习考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题．⼀、知识梳理：1．正弦、余弦定理在△ABC中，若⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R.a2＝b2＋c2－2bc_cos_A；b2＝c2＋a2－2ca_cos_B；c2＝a2＋b2－2ab_cos_C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝2R.cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab(1)S＝12a·h a(h a表⽰边a上的⾼)；(2)S＝12ab sin C＝12ac_sin_B＝12bc_sin_A；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).[常⽤结论]1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．2．内⾓和公式的变形(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.⼆、基础⾃测：1．已知△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1 C． 3 D．2D[由asin A＝bsin B得b＝a sin Bsin A＝sinπ4sinπ6＝22×2＝ 2.]2.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .由正弦定理得,即sin B=因为b3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三⾓形有() A．⽆解B．两解C．⼀解D．解的个数不确定B[∵b sin A＝24sin 45°＝122，∴122＜18＜24，即b sin A＜a＜b. ∴此三⾓形有两解．]4. △ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝( )A. 2B. 3C. 2D. 3由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,⼜b>0,解得b=3,故选D.5．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三⾓形的形状为________．等腰三⾓形或直⾓三⾓形[由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三⾓形为等腰三⾓形或直⾓三⾓形．] 6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的⾯积等于________．23[因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC ＝12×2×23＝2 3.三、典例讲解：考点1.利⽤正余弦定理解三⾓形问题例：在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a＞b，则B＝( )A. π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析∵a sin B cos C＋c sin B·cos A＝12b，∴由正弦定理得sin A sin B cos C＋sin C sin B·cos A＝12sin B，即sin B(sin A cos C＋sin C cos A)＝12sin B.∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝12，即sin B＝12.∵a＞b，∴A＞B，即B为锐⾓，∴B＝π6，故选A规律总结：练习：(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；②若2a＋b＝2c，求sin C.[解]①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin (120°－C)＝2sin C，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，可得cos (C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin (C＋60°)＝2 2，故sin C＝sin (C＋60°－60°)＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.a＋b＝2c，求sin C.考点2 与三⾓形⾯积有关的问题例.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的⾯积为____________．63[法⼀：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos π3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的⾯积S＝12ac sin B＝12×43×23×sinπ3＝6 3.法⼆：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos π3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的⾯积S＝12×23×6＝6 3.]练习 (2019·武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c .(1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的⾯积．解析 (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ，由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ，即2cos B ·sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1. 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34. 考点3 判断三⾓形的形状例设△ABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．不确定 B [由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin (π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直⾓三⾓形．] 练习：1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )，∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin (A －B )＝0.⼜A ，B 为△ABC 的内⾓．∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三⾓形．2．(变条件)本例中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，⼜0＜C ＜π，∴C ＝π3，⼜由2cos A sin B ＝sin C 得sin (B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三⾓形．四、巩固提⾼：1.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝2，则AC等于( )A. 1B. 2C. 2D. 22解析由题意可知B＝180°－105°－45°＝30°，在△ABC中，由正弦定理得ABsin C＝ACsin B，∴2sin 45°＝ACsin 30°，解得AC＝1.2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sinA－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6B．5 C．4 D．3 (1)A[∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－（4c2＋b2）2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.]3.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上⼀点，且AD⊥AC，求△ABD的⾯积．[解](1)由已知条件可得tan A＝－3，A∈(0，π)，所以A＝2π3，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos 2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，或c＝4.(2)法⼀：如图，由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6，故△ABD⾯积与△ACD⾯积的⽐值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1，⼜△ABC的⾯积为12×4×2sin ∠BAC＝23，所以△ABD的⾯积为 3.法⼆：由余弦定理得cos C ＝27，在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7，所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝ 3.4.（2020春?五华区校级⽉考）在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，（a +c ）（sin A ﹣sin C ）＝（b +c ）sin B ．（1）求A ；（2）若，求b +c 的取值范围．解：（1）△ABC 中，由（a +c ）（sin A ﹣sin C ）＝（b +c ）sin B ，得（a +c ）（a ﹣c ）＝（b +c ）b ，整理得b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，解得，⼜A ∈（0，π），所以．（2）由正弦定理，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以；⼜因为，所以，所以，所以b +c 的取值范围是．5.(2018·天津⾼考)在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos (B －π6).(1)求⾓B 的⼤⼩；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin (2A －B )的值．[解](1)在△ABC中，由正弦定理asin A＝bsin B，可得b sin A＝a sin B，⼜由b sin A＝a cos (B－π6)，得a sin B＝a cos (B－π6)，即sin B＝cos (B－π6)，可得tan B＝ 3.⼜因为B∈(0，π)，可得B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2ac cos B＝7，故b＝7.由b sin A＝a cos (B－π6)，可得sin A＝37.因为a＜c，故cos A＝2 7 .因此sin 2A＝2sin A cos A＝43 7，cos 2A＝2cos2A－1＝1 7，所以，sin(2A－B)＝sin 2A cos B－cos 2A sin B＝43 7×12－17×32＝3314.。
正弦定理和余弦定理专项复习
正弦定理和余弦定理专项复习一、知 识 梳理1、正玄定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：2sin sin sin a b cR A B C===（其中，R 为ABC ∆的外接圆半径）。
2、正选定理的常见变形：（1）sin sin ,sin sin ,sin sin a B b A a C c A b C c B ===。
（2）三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即：::sin :sin :sin a b c A B C =。
（3）2sin ,2sin ,2sin .a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin (R ABC ).222a b c A B C R R R ===∆为外接圆半径 （4）sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++。
（5）余弦定理的应用：①已知两角与任一边，求其他两边和一角；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的变和角。
以已知a ，b ，A 为例：(1)当A 为直角或钝角时，若a>b ，则有一解；若a ≤b ，则无解．3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+- 4、余弦定理的常见变形：（1）222222222cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc c a b B ca a b c C ab+-=+-=+-= 5、三角形的面积公式：111sin sin sin .222S ab C ac B bc A ===考点1: 三角形解的个数1、 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ ）A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定2、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定 考点2: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素3、已知：A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a,b,c 分别是其对边长，（Ⅰ）向量()()1cos ,3--=A π，2(cos()1n A π=-，），n m ⊥.求；（Ⅱ）若 ,,33cos ,2==B a 求b 的长.4、在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，求c.5、若在△ABC中，60,1,ABC A b S ∆∠===求△ABC 外接圆的半径R.6、△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ） A 2 B 12题型2判断三角形形状7、在△ABC 中，bcosA ＝a cosB ，试判断三角形的形状.8、在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 9、在△ABC 中，若cosA cosB ＝b a ，则△ABC 的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形10、△ABC 中，60B =，2b ac =，则△ABC 一定是 （ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形11、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 考点3: 三角形中的三角变换12、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且A=600，c=3b.求：（Ⅰ）a c的值；（Ⅱ）cosB +sin C.13、三角形的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c ，设向量(,),(,),m c a b a n a b c m n =--=+若，,求角B 的大小；14、在Rt △ABC 中，∠C=90°,且∠A ，∠B ，∠C 所对的边a,b,c 满足a+b=cx ，求实数x的取值范围.15、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值。
高中数学 专题4.6 正弦定理和余弦定理(讲+练)(原卷版+解析版)
专题4.6 正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识点一 正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：知识点二 三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .考点一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】 【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. ①求角B 的大小；②设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
课后限集训正弦定理、余弦定理课件一轮新高考数学全国通用
二、填空题 7．在△ABC中，A＝23π，a＝ 3c，则bc＝________. 1 [由a＝ 3c得sin A＝ 3sin C，即sin 23π＝ 3sin C， ∴sin C＝12，又0＜C＜π3，∴C＝π6， 从而B＝π6，∴b＝c，因此bc＝1.]
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4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则
cos B＝( )
A．19
B．13
C．12
D．23
A [由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－
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9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC中，角A，B，C的对边分
别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝________，△ABC的
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a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2 3.]
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专题06 正弦定理、余弦定理及其应用(知识串讲+热考题型+专题训练)(原卷版)
专题6正弦定理、余弦定理及其应用（一）正弦定理1.正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b cR C ===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2.正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b RB =，sin 2cC R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；3.三角形面积公式：其中111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B 最为常用4.已知a 、b 、A ，△ABC 解的情况如下图示．(ⅰ)A 为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A 为锐角时，解的情况如下：（二）余弦定理1.余弦定理文字表述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.2.余弦定理公式：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C3.推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b cC ab+-=4.余弦定理和勾股定理：在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角；a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角_；a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角（三）测距、测角中的常用术语1.方位角：正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角．2.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角.实际应用中常用北偏东(西)若干度，南偏东(西)若干度来表述．3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角，如图所示．4.视角观察物体的两端视线张开的角度，叫做视角．5.坡角、坡比(1)坡角：坡面与水平面的夹角．如下图中的角α．(2)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比．如上图中的HL．（四）实际测量中的常见问题题型一利用正、余弦定理解三角形【典例1】（2023·高一单元测试）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC 的面积为1(sin sin sin )2b b B a Ac C --，则B =（）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3【典例2】（2023年河北省普通高中学业水平合格性考试）在ABC 中，若1BC =，3AC =，2cos 3C =，则sin B =（）A 306B 155C 106D 105【典例3】（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，43a =6b =，1cos 3A =-.(1)求c 的值；(2)求cos 2B 的值.【典例4】（广东省燕博园2023届高三下学期综合能力数学试题）已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且6b ，π4A =，(23tan 3B -=．(1)求AB ；(2)若ABD △与ABC 在同一个平面内，且π4ADB =∠，求CD 的最大值．【总结提升】1.正弦定理问题：(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.2.余弦定理问题：(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3.常见解题策略：(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在ABC 中，已知1260a b A ︒＝，＝，＝，则 31b sin B sin A a>＝＝，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解．(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”．(4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理．题型二利用正、余弦定理判定三角形的形状【典例5】（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()sin ,3aA b c a b c a bc c=+++-=，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形【典例6】（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos sin sin cos ,a A B b A B =，则ABC 的形状为__________【典例7】（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,,1,2a b c b a c a =+=+．(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【规律方法】1.判定三角形形状的方法：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2Rsin A ，2222 b c a bccos A =＋－等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B)＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝2π等．（2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，如22222a b c a sin A cos A R bc＋－＝＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．（3）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要轻易约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．2.特别提醒：(1)判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下结论；(2)在△ABC 中，若sin2A ＝sin2B ，不一定只有A ＝B ，因为sin2A ＝sin2B ⇒2A ＝2B ，或2A ＝π－2B ⇒A ＝B 或A ＋B ＝2π．题型三三角形的面积问题【典例8】（2021春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin2cos A A =，2bc =，则ABC 的面积为__________.【典例9】（2023·福建莆田·统考二模）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，D 为AB 的中点，且CD =．(1)证明：c =；(2)若π4ACB ∠=，求ABC 的面积．【典例10】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.(1)求角A 的大小；(2)设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【规律方法】（1）对于面积公式111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．（3）三角形面积的范围问题，往往转化成三角函数式，利用三角函数的性质或将面积用边表示，应用基本不等式，亦或利用二次函数、“对勾函数”等函数的性质.题型四三角形的周长问题【典例11】（2023·全国·高一专题练习）a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知()sin 3sin b A b c B =-，且1cos 3A =，则不正确的是（）A ．3a c b +=B ．tan A =C ．ABC 的周长为4cD ．ABC 的面积为29c【典例12】（2023·全国·高一专题练习）如图，在锐角ABC 中，π4B =，AB =6AC =，点D 在BC 边的延长线上，且10CD =.(1)求ACB ∠；(2)求ACD 的周长.【典例13】（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b B=，2sin tan tan cos BA C A+=.(1)求角C 和边c 的大小.(2)求ABC 周长的范围.【规律方法】三角形周长范围问题，往往转化成三角函数式，利用三角函数的性质或将面积用边表示，应用基本不等式，亦或利用二次函数、“对勾函数”等函数的性质.题型五解三角形应用举例【典例14】（2023·全国·高一专题练习）为测量河对岸的直塔AB 的高度，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，测得BCD ∠的大小为60°，点C ，D 的距离为200m ，在点C 处测得塔顶A 的仰角为45°，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30°，则直塔AB 的高为（）A ．100mB ．C ．()200m-D ．200m【典例15】【多选题】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点kmC ．当船行驶至B 处时，该船距观测点kmD ．该船在由A 行驶至B 的这5min【典例16】（2023·全国·高一专题练习）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距6n mile ，渔船乙以5n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α．【规律方法】1.距离问题的常见类型及解法：(1)类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．若图中涉及到多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其它三角形从而求解.2.高度问题的关注点与易错提醒：(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．3.角度问题首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）在ABC 中，60A =︒，2a bc =，则ABC 一定是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2．（2023·全国·高一专题练习）在ABC 中，若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，则ABC 是（）.A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3.（2021春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）已知灯塔A 在海洋观测站C 的北偏东40 的方向上，,A C 两点间的距离为5海里.某时刻货船B 在海洋观测站C 的南偏东80 的方向上，此时,B C 两点间的距离为8海里，该时刻货船B 与灯塔A 间的距离为（）A ．3海里B ．4海里C ．6海里D ．7海里4．（2020春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知ABC，222+=a b c ，则ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为)151m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A ．20mB ．30mC ．m D ．m6.（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,43A a π==，若点D 为BC 边的中点，则AD 的最大值为（）A ．BC D ．二、多选题7．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）已知ABC 中，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 下列命题正确的有（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若π6A =，5a =，则ABC 外接圆半径为10C ．若2cos a b C =，则ABC 为等腰三角形D ．若1b =，2c =，2π3A =，则ABC S = 三、填空题8．（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，1cos 3B =，则ABC 外接圆的半径为_______.9．（2023·高一单元测试）为提高执法效能，国家决定组建国家海洋局，国家海洋局以中国海警局名义开展海上维权执法.某海警船从海岛A 出发，沿南偏东80 的方向航行40海里后到达海岛B ，然后再从B 海岛出发，沿北偏东55 的方向航行了C .如果海警船直接从海岛A 出发到海岛C ，则航行的路程为__________海里.10．（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进E ，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米．四、解答题11．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知在非钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为1,,,cos sin 2a b c c a B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求sin A ；(2)若ABC 的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求ABC 的周长.①2a =；②2a c =.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12.（江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学三校2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题）在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知7cos 8C =，34b a =.(1)求cos B 的值；(2)求πsin(2)6B +的值.13．（2023·全国·高一专题练习）地图测绘人员在点A 测得某一目标参照物P 在他的北偏东30°的方向，且距离为，之后该测绘人员沿正北方向行走了40m ，到达点B ．试确定此时目标参照物P 在他北偏东的度数以及他与目标参照物P 的距离．14．（2023·高一单元测试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b C c a +=．(1)求角B 的大小；(2)若5a =，7b =，求c 的长．15．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC ABC 的周长.16．（2023·高一单元测试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos c a b A -=．(1)求B 的大小；(2)若3b =，①求a c +的取值范围；②求ac a c +的最大值．。
(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案
正弦定理、余弦定理综合训练题1．[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．3[解析] D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010 C.55 D.31010[解析] D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sin π4＝3sin A，解得sin A ＝3×225＝31010. 3．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[解析] D 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ·15，即b 2－125b 4．[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．[解析] 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113. －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 5．[2015·全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C.(1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2， 求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2，所以△ABC 的面积为1.6．[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2D C.(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B. 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 8.[2016·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6[解析] C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A＝1，即A ＝π4. 9.[2015·广东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．22 C ．2 D. 3 [解析] C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c, 所以b ＝2.10.[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 11.[2016·北京卷] 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________．[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得b c 2＋b c－2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．12.[2016·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值． 解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.。
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正弦定理和余弦定理高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：[1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A<sinB,cosA<sinC· 2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.2． (2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 3． (2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.4． (2011·课标全国)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；代数化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．审题视角(1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角．温馨提醒(1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形．(3)易错分析：①方法一中由sin 2A＝sin 2B直接得到A＝B，其实学生忽略了2A与2B互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)不少同学直接得到c2＝a2＋b2，其实是学生忽略了a 2－b 2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC 为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．高考中的解三角形问题典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．解后反思 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C － 2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( )A ．4 3B ．2 3C. 3D.322． (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12B.12C ．－1D ．13． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.6． (2011·福建)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 7． 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．9． (12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定2． (2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 23． (2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sinC 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4二、填空题(每小题5分，共15分)4． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________，△ABC 的形状为__________．5． 在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C的值为________．6． 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是______．三、解答题7． (13分)(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．。