正弦定理和余弦定理

04—正弦定理和余弦定理突破点(一) 利用正、余弦定理解三角形利用正弦定理解三角形利用正弦定理可以解决的两类问题:(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况.[例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)利用正弦定理的变形，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b 中，得2R sin A ·sinB cosC ＋2R sin C sin B cos A ＝12×2R sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6.(2)在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝5π6.又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝π－π6－π6＝2π3.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A＝1.[答案] (1)A (2)1[易错提醒](1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍． (2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．利用余弦定理解三角形边，求三个内角．[例2] (1)在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于( ) A ．4 B ．14 C ．4或14 D ．24(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，则A ＝________.[解析] (1)因为a －b ＝4，所以b ＝a －4且a >b .又a ＋c ＝2b ，所以c ＝a －8，所以a 大于c ，则A ＝120°.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)·(a －8)·⎝⎛⎭⎫－12，所以a 2－18a ＋56＝0. 所以a ＝14或a ＝4(舍去)．故选B.(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中得，a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋32c ＝b ，化简整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.[答案] (1)B (2)π6利用正、余弦定理解三角形[例3] 设△ABC 1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值． [解] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝4－26. [方法技巧]正、余弦定理的运用技巧解三角形时，一般是根据正弦定理求边或列等式，若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中一个角之间的关系，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．突破点(二) 利用正、余弦定理判断三角形的形状1．应用余弦定理判断三角形形状的方法：在△ABC 中，c 是最大的边，若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形；若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形；若c 2>a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形．2．判断三角形形状的常用技巧：若已知条件中既有边又有角，则：(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三利用正、余弦定理判断三角形的形状[典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)(2017·锦州模拟)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形[解析] (1)已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cosA ，即sinB ·cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，则B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)∵cos 2B2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝a ＋c 2c ，即1＋cos B ＝a ＋c c .由余弦定理得1＋a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c c .整理得c 2＝a 2＋b 2，即△ABC 为直角三角形．[答案] (1)A (2)B[易错提醒]在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．三角形面积问题练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．[例1] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积．[解] (1)根据正弦定理，由(2b －c )cos A ＝a cos C ，得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， 即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )，所以2sin B cos A ＝sin B ，因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为a ＝3，b ＝2c ，由(1)得A ＝π3，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12，解得c ＝3，所以b ＝2 3.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332.[方法技巧]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．三角形中的范围问题解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．[例2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．[解] (1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A . 因为B 为钝角，所以A 为锐角，所以π2＋A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2. (2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22， 因此22<－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤22，98. [易错提醒]涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．正、余弦定理在平面几何中的应用在平面几何图形中考查正弦定理、余弦定理是近几年高考的热点，解决这类问题既要抓住平面图形的几何性质，也要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式．此类题目求解时，一般有如下思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[例3] (2017·广东茂名模拟)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π3，b ＝7，c ＝2，D 为BC 的中点．(1)求cos ∠BAC 的值；(2)求AD 的值．[解] (1)法一：由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝27×32＝37.又∵在△ABC 中，b >c ，∴C <B ，∴0<C <π3，∴cos C ＝1－sin 2C ＝ 1－37＝27，∴cos ∠BAC ＝cos(π－B －C )＝－cos(B ＋C )＝－(cos B cos C －sin B sin C )＝sin B sin C －cos B cos C ＝32×37－12×27＝714.法二：在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝c 2＋a 2－2c ·a cos B ，∴7＝4＋a 2－2×2×a ×12，即(a －3)(a ＋1)＝0，解得a ＝3(a ＝－1舍去)，∴cos ∠BAC ＝c 2＋b 2－a 22cb ＝4＋7－92×2×7＝714.(2)法一：在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b cos ∠BAC ＝4＋7－2×2×7×714＝9. ∴a ＝3，∴BD ＝32.在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝4＋94－2×2×32×12＝134.∴AD ＝132.法二：如图，取AC 的中点E ，连接DE ，则DE ＝12AB ＝1，AE ＝12AC ＝72，cos ∠AED ＝－cos ∠BAC .在△ADE 中，由余弦定理得AD 2＝AE 2＋DE 2－2AE ·DE ·cos ∠AED ＝74＋1－2×72×1×⎝⎛⎭⎫－714＝134. ∴AD ＝132.[检验高考能力]一、选择题1．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13B.12C.15D.14解析：选D 由题意知，c ＝3a ，b 2－a 2＝52ac ＝c 2－2ac cos B ，所以cos B ＝c 2－52ac 2ac ＝9a 2－152a 26a 2＝14.2．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( )A.45 B ．－45 C.1517 D ．－1517解析：选D 由S ＋a 2＝(b ＋c )2，得a 2＝b 2＋c 2－2bc (14sin A －1)，由余弦定理可得14sin A －1＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A ＝－1517或cos A ＝－1(舍去)．3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3＝B ，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.5．(2017·渭南模拟)在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin (A ＋B )sin B＝23，则A ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A 因为sin (A ＋B )sin B ＝23，故sin Csin B ＝23，即c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12b 2－3bc 43b 2＝6b 243b 2＝32，所以A ＝π6.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4解析：选C 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3.二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b ＝________.解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin [180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin45°＝57.答案：578．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为________．解析：由面积公式，得S ＝12bc sin A ，代入数据得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a ＝23，由正弦定理，得2R ＝a sin A ＝2332，解得R ＝2.答案：29．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析：由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2Asin C＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×a c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：110．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝ABsin ∠ADB，∴sin ∠ADB ＝22. 由题意知0°<∠ADB <60°，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC ＝30°，C ＝30°，∴BC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin ∠BAC ，∴AC ＝ 6.答案： 6三、解答题11．(2017·河北三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． 解：(1)∵a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， ∴由正弦定理得sin A sin B ＝－sin B sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，则sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33，∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.(2)∵A ＝5π6，∴sin A ＝12，由S ＝12bc sin A ＝14bc ＝34c 2，得b ＝3c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ，由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714.12．(2017·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．解：(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2(34cos 2C －14sin 2C )，化简得sin A ＝32，故A ＝π3或2π3.(2)由题知，若b ≥a ，则A ＝π3，又a ＝3，所以由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝asin A＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6. 因为b ≥a ，所以π3≤B ＜2π3，π6≤B －π6＜π2，所以23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6∈[3，23)．即2b －c 的取值范围为[3，23).。