正弦定理和余弦定理
正余弦定理公式大全
正余弦定理公式大全正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要定理，它们在三角形的边和角之间建立了重要的关系，对于解决三角形的边和角问题有着重要的作用。
下面将详细介绍正弦定理和余弦定理的公式以及它们的应用。
1. 正弦定理公式。
在△ABC中，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的内角，则正弦定理公式可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。
其中，R为三角形外接圆半径。
正弦定理的应用非常广泛，可以用来求解三角形的边长或者角度。
通过正弦定理，我们可以很容易地求解出三角形的各个边长或者角度大小，是解决三角形问题的重要工具之一。
2. 余弦定理公式。
在△ABC中，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的内角，则余弦定理公式可以表示为：a² = b² + c² 2bccosA。
b² = a² + c² 2accosB。
c² = a² + b² 2abcosC。
余弦定理的应用也非常广泛，可以用来求解三角形的边长或者角度。
与正弦定理相比，余弦定理在某些情况下更加方便和实用，尤其是当我们已知三角形的三边长时，可以直接使用余弦定理来求解三角形的各个角度大小。
3. 正余弦定理的综合应用。
正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具，它们可以相互结合，应用于各种不同的三角形问题中。
通过灵活运用正弦定理和余弦定理，我们可以解决各种不同类型的三角形问题，包括求解三角形的边长、角度大小，以及判断三角形的形状等。
在实际问题中，正弦定理和余弦定理常常需要结合其他几何知识和技巧来解决问题，因此在运用正弦定理和余弦定理时，需要灵活运用，结合具体问题来选择合适的方法和步骤，以便更加高效地解决问题。
总结。
正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具，它们建立了三角形的边和角之间的重要关系，可以帮助我们求解各种不同类型的三角形问题。
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
首先利用正弦定理把边转化为角，求角 ， 首先利用正弦定理把边转化为角，求角C，再利 用面积公式可求得ab，结合余弦定理得出结论 用面积公式可求得 ，结合余弦定理得出结论.
【解】 (1)由 由
及正弦定理得， 及正弦定理得，
3 Q sin A ≠ 0,∴ sin C = . 2
∵△ABC是锐角三角形， 是锐角三角形， 是锐角三角形 (2)法一：∵ 法一： 法一
内角A， ， 对边的边长分别是 对边的边长分别是a， ， ， 解：设△ABC内角 ，B，C对边的边长分别是 ，b，c， 内角 (1)证明∵m＝(sinA，cosC)，n＝(cosB，sinA)， 证明∵ ＝ 证明 ， ， ＝ ， ， mn＝sinB＋sinC， ＝ ＋ ， ∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC. ＋ ＝ ＋ 由正弦定理得acosB＋acosC＝b＋c. ＋ 由正弦定理得 ＝ ＋ 由余弦定理得 整理得(b＋ 整理得 ＋c)(a2－b2－c2)＝0. ＝ 为直角三角形. ∵b＋c>0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC为直角三角形 ＋ ， 为直角三角形
1 ab sin 2
由面积公式得 即ab＝6. ＝ ①
由余弦定理得
a + b 2ab cos
2 2
π
3
= 7, 即a 2 + b 2 ab = 7.
由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7. 变形得 ＋ ＋ 将①代入③得(a＋b)2＝25， 代入③ ＋ ， 故a＋b＝5. ＋ ＝
③
法二：前同法一，联立①、②得 法二：前同法一，联立①
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 利用正、 利用正 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ＋ ＋ ＝ 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝ π这个结论 这个结论. 这个结论 【注意】 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要 注意】 在上述两种方法的等式变形中， 约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理正弦定理是什么正弦定理是三角学中的一个基本定理，它定义了在任意三角形中，角A、B、C所对的边长a、b、c与它们的正弦值之比相等，都等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2r=D(r为外接圆半径，D为直径)。
这个定理也可以表达为在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
正弦定理的应用非常广泛，在解决三角形问题时非常有用。
例如，可以用正弦定理来求解三角形的边长或角的大小，或者判断一个三角形是否可能存在等。
余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
余弦定理中角条件是唯一的，所以角的对边在等式左边，两邻边及角的余弦在等式右边。
等式右边除夹角余弦值外的部分，可以看作是差的完全平方公式，可以辅助我们记忆。
正弦定理的证明方法方法1、直接过三角形一顶点如C作对边AB的垂线(设垂线长为h),则sinA=h/b,sinB=h/a,所以，sinA/a=sinB/b，同理可得sinC/c=sinB/b,因此a/sinA=b/sinB=c/sinC。
方法2、利用三角形面积公式：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB,整理即得：a/sinA=b/sinB=c/sinC。
方法3：作三角形的外接圆，过B作边BC的垂线交圆于D，连接CD,因圆周角为直角，则CD长为直径(不妨直径长度设为d)。
因圆周角相等，即角D=角A，所以sinA=sinD=BC/CD=a/d,同理可证sinB=b/d,sinC=c/d.所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
方法4.还有一种向量的方法，在旧版课本上。
正弦定理证明具体步骤步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到 a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。
(完整版)必修五;正弦定理与余弦定理
必修五：正弦定理和余弦定理一：正弦定理1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形（1）R Aa C B A cb a 2sin sin sin sin ==++++ （2）⎪⎩⎪⎨⎧C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）⎪⎩⎪⎨⎧B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin ===（4）Rabc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====∆ 以下是ABC ∆内的边角关系：熟记（5）B A B A b a >⇔>⇔>sin sin （大边对大角）（6）B A B A cos cos <⇔>（7）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系（8）2cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ∆的角平分线，则AC DC AB DB = 思考题：1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？4：若21sin >A ，则角A 的范围是什么？解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.例1：已知ABC ∆，根据下列条件，解三角形.（1）10,45,60=︒=∠︒=∠a B A .（2）︒=∠==120,4,3A b a .（3）︒=∠==30,4,6A b a .（4）︒=∠==30,16,8A b a .（5）︒=∠==30,4,3A b a .思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系（2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较.练习：（1）若︒=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？（2）若︒=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？（3）若︒=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？例2：根据下列条件，判断三角形形状.（1）C B A 222sin sin sin =+.（2）C B A cos sin 2sin =（3）B b A a cos cos =（4）A b B a tan tan 22=二：余弦定理1：定理内容：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 另一种形式：bca cb A 2cos 222-+=. 请写出另两个：例1：根据下列条件，解三角形.（1）在ABC ∆中，︒=∠==120,4,5C b a ，求边c .（2）在ABC ∆中，︒=∠==60,8,5C b a ，求边c .（3）在ABC ∆中，8,7,5===c b a ，求最大角与最小角的和.（4）在ABC ∆中，13:8:7sin :sin :sin =C B A ，求C cos .（5）在ABC ∆中，8,120,34=+︒=∠=b a C c ，求ABC ∆的面积.（6）在ABC ∆中，34,60,4=︒=∠=∆ABC S C c ，求ABC ∆的周长.（7）在ABC ∆中，1)(22=--bcc b a ，求A ∠. （8）在ABC ∆中，4,3,2===c b a ，判断ABC ∆的形状.（9）求证：在ABC ∆中，)cos cos cos (2222C ab B ac A bc c b a ++=++.（10）求证：平行四边形两对角线的平方和等于它各边的平方和.。
三角函数与解三角形：正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理【考点梳理】1．正弦定理和余弦定理(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0＜B＜π4，所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.【类题通法】1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．【对点训练】1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]A[解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[答案] 2113[解析] 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.考点二、判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] (1)D (2)A[解析] (1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＜C ，可得C ＞π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不成立．故选A. 【类题通法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能． 【对点训练】1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .2．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析]根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D．考点三、与三角形面积有关的问题【例3】已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sinC.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解析] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.【类题通法】三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【对点训练】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解析] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B)＝sin C，故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.(2)由已知得12ab sin C＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
正弦定理和余弦定理
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[研一题] [例 2] B、b. π 在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A、
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[自主解答] π 3 ∴A＝4或4π.
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
π 又∵c>a，∴C>A.∴A＝4. 5π 6· sin 1n C ＝ π ＝ 3＋1. sin 3
第四章
三角函数
四
正弦定理和余弦定理
• 1、正、余弦定理
定理 正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ a2＋c2－2accos B b2＝a2＋b2－2abcosC c2 ＝
b2＋c2－2bccos A
内
； ； .
容
定理
变 形 形 式
正弦定理 余弦定理 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ； b2＋c2－a2 cosB= a b 2bc ②sin A＝2R，sin B＝2R， 2 a ＋c2－b2 c 2ac sin C＝2R； cos B＝ ； 2 2 2 a ＋ b － c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C＝ 2ab . ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A.
(2)由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确，即
(2)正确．
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2．在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是 否成立？
提示：∵A>B，∴a>b. a b 又∵sin A＝sin B，∴sin A>sin B. 反之，若 sin A>sin B， 则 a>b，即 A>B. 故 A>B⇔sin A>sin B.
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．3．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数 一解两解一解一解| 微 点 提 醒 |1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .(√)(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(√) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .(×)(4)在△ABC 中，“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．(√) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．(×)‖自主测评‖1．(教材改编题)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．(教材改编题)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由正弦定理得b sin A ＝a sin B ， 所以2a sin B ＝3a ，即sin B ＝32，又B 为非钝角，所以B ＝π3，故选C. 3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解C ．有一解D ．解的个数不确定解析：选B 因为a sin A ＝b sin B，所以sin B ＝b a ·sin A ＝2418×sin45°＝223.又因为a <b ，所以B 有两解.4．(教材改编题)已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则最大角为( ) A.2π3 B.3π4C.5π6D.7π12解析：选A 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3k 2)＋(5k )2－(7k )22×3k ×5k＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：由cos2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：12………………考点一 利用正、余弦定理解三角形……|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的边长【例1】 (2018届贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)(一题多解)求AB 边上的高CD 的长． [解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，∴a ＝3或a ＝－2(舍去)，∴a ＝3.(2)解法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，∴CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 解法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.角度二 求三角形的角或角的三角函数值【例2】 (1)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2018届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则A ＝________.[解析] (1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010，故选C.(2)在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A 可得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝4sin A cos A ，∴cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0，即cos A ＝0或sin B ＝2sin A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当sin B ＝2sin A 时，根据正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，结合c ＝2，C ＝π3，得a 2＋b 2－ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2，∴A ＝π6.综上可得，A ＝π2或π6.[答案] (1)C (2)π2或π6『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa 或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化；如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．|变式训练|1．(2018届福建莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．(2019届黄冈模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若23cos 2A ＋cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)∵23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， ∴cos 2A ＝125，又A 为锐角，∴cos A ＝15，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0， 得b ＝5(负值舍去)，∴b ＝5.(2)解法一：由正弦定理可得b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， 又0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴b ＋c ∈(3，23]． 解法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ， ∴(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈ (3，23]．………………考点二 判断三角形的形状…………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 (一题多解)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[解] 解法一：利用边的关系来判断 由正弦定理得sin C sin B ＝cb，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 解法二：利用角的关系来判断 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°， 所以C ＝60°，所以△ABC 为等边三角形.『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．|变式训练|在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， 所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .解法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B .所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 解法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， 所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.………………考点三 三角形面积的计算………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的面积【例1】 (2018届武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c . (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积． [解] (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ， 化简，得2sin B cos C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ， 即2cos B sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3.(2)由余弦正理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34.角度二 已知三角形的面积解三角形【例2】 (2018届沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b . (1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c . [解] (1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，∴2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0， ∵sin B ≠0，∴cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， ∴c ＝27.角度三 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题【例3】 (2018届沈阳市教学质量检测(一)) 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________． [解析] 由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，所以π4<A ＋π4<5π4，所以A ＋π4＝3π4，所以A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，所以bc ≤16，所以S 的最大值为8. [答案] 8『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．|变式训练|1．(2018年全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.。
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考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状
(2010·辽宁高考)在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 故 cosA＝－12，又 A∈(0，π)，故 A＝120°. (2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 又 sinB＋sinC＝1，得 sinB＝sinC＝12. 因为 0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
(2)由(1)知 cosA＝12，则 sinA＝ 23. 又b2＋2cb2c－a2＝12， 所以 bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即 bc≤a2. 故 S△ABC＝b2csinA≤a22·23＝34 3.
考点四 正、余弦定理的综合应用
已知向量 m＝(cosx4，1)，n＝( 3sinx4，cos2x4)． (1)若 m·n＝1，求 cos(23π－x)的值； (2)记 f(x)＝m·n，在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c， 且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数 f(A)的取值范围．
cosA＝ b2＋c2－a2 ； 2bc
cosB＝ a2＋c2－b2 ； 2ac
式 ③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC cosC＝ a2＋b2－c2 .
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，
2ab
asinC＝csinA.
定理
正弦定理
余弦定理
①已知三边，求
①已知两角和任一边，
各角；
故 sin2B＝34，sinB＝ 23或 sinB＝－ 23(舍去)， 于是 B＝π3或 B＝23π. 又由 b2＝ac 知 b≤a 或 b≤c，所以 B＝π3.
在△ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，试根据以 下已知条件解三角形． (1)a＝2 3，b＝ 6，A＝45°； (2)a＝2，b＝2 2，c＝ 6＋ 2； (3)a＝2 2，b＝2 3，C＝15°.
(3)法一：cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝
6＋ 4
2 .
∵c2＝a2＋b2－2abcosC
＝(2
2)2＋(2
3)2－2×2
2×2
3×
6＋ 4
2
＝8－4 3＝( 6－ 2)2，
∴c＝ 6－ 2.
由正弦定理得
sinA＝asicnC＝2
2×
考点一 利用正、余弦定理解三角形
(2010·浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，已知 cos2C＝－14. (1)求 sinC 的值； (2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，求 b 及 c 的长．
[自主解答] (1)因为 cos2C＝1－2sin2C＝－14，及 0<C<π，所以 sinC
△ABC面积的最大值.
∴4＋ab≥2ab，
即 ab≤4(当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”)， ∴S△ABC＝12absinC≤12×4× 23＝ 3， 即当 a＝b＝2 时，△ABC 的面积取最大值 3.
在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边长，已知 2sinA ＝ 3cosA. (1)若 a2－c2＝b2－mbc，求实数 m 的值；
解：法一：由ab＝ccoossBA，得acosA＝bcosB，
∴a·b2＋2cb2c－a2 ＝b·a2＋2ca2c－b2，
若将条件“2asinA＝(2b＋c) sinB＋(2c＋b)sinC” 改为“ab＝ccoossBA”，
∴a2b2＋c2－a2＝b2a2＋c2－b2，试确定△ABC 的形状．
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a＝b或a2＋b2＝c2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
正弦定理和余弦定理
1．(2010·湖北高考)在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cosB
＝
()
A．－2 3 2
22 B. 3
C．－
6 3
6 D. 3
解析：依题意得 0°<B<60°，sinaA＝sinbB，sinB＝bsianA＝ 33，cosB
＝
1－sin2B＝
6 3.
答案： D
的大小为
()
A．150°
B．30°
C．120°
D．60°
解析：由正弦定理可得 b2－c2－a2＝ 3ac，由余弦定理可得 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝－ 23.故角 B 为 150°.
答案： A
4．△ABC 中，若 a＝3 2，cosC＝13，S△ABC＝4 3，则 b＝________. 解析：∵cosC＝13，0<C<π，∴sinC＝2 3 2 ∴S△ABC＝12absinC＝4 3
2．在三角形 ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC 的
大小为
()
2π A. 3
5π B. 6
3π
π
C. 4
D.3
解析：由余弦定理得 cos∠BAC＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝522＋×352×－372 ＝－12，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC＝23π.
答案： A
3．在△ABC 中，已知 sin2B－sin2C－sin2A＝ 3sinAsinC，则角 B
(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即 sinBcosA＝2sinAcosA.
当
cosA＝0
时，A＝π2，B＝π6，a＝4
3
3，b＝2 3
3 .
所以△ABC 的面积 S＝12absinC
＝12×433×233× 23＝233；
当 cosA≠0 时，得 sinB＝2sinA，由正弦定理得 b＝2a，
法二：利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB＝sinC 可化为 2a·a2＋2ca2c－b2＝c，即 a2＋c2－b2＝c2，即 a2－b2＝0， 即 a2＝b2，故 a＝b.所以△ABC 是等腰三角形．
答案：等腰三角形
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容 sinaA＝sinbB＝sincC= 2R
a2＝ b2＋c2－2bccosA ； b2＝ a2＋c2－2accosB ；
c2＝ a2＋b2－2abcosC .
定 正弦定理
理
余弦定理
①a＝ 2RsinA ，b＝2RsinB ，
c＝ 2RsinC ；
变 ②sinA＝ a ，sinB＝ b ，sinC
形＝
c
2R ；
2R
2R
形 (其中R是△ABC外接圆半径)
3×
6＋ 4
2
2 ＝3＋
3.
2
法二：在△ABC 中，由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，
得 12＝6＋c2－2c× 6× 22， 即 c2－2 3c－6＝0， 解得 c＝ 3±3(舍负)，即 c＝3＋ 3. ∵c>a>b，∴C>A>B， 由正弦定理得
sinB＝basinA＝2
6× 3
22＝12，
＝
10 4.
(2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，由正弦定理sinaA＝sincC，得 c＝4.
由 cos2C＝2cos2C－1＝－14，及 0<C<π 得
cosC＝±
6 4.
由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC，得 b2± 6b－12＝0， 解得 b＝ 6或 2 6， 所以bc＝＝4.6， 或bc＝＝42. 6，
6－ 4
6－ 2
2
＝
2 2.
∵a<b，∴A<B.
又∵0°<A<180°，∴A 必为锐角．
∴A＝45°，从而得 B＝120°.
法二：求 c(同法一)，
由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2
＝2
32＋ 6－ 2×2 3×
22－2 6－ 2
22＝ 22，
又∵0°<A<180°，
∴A＝45°，从而 B＝120°.
联立方程组ab2＝＋2ba2，－ab＝4，
解得a＝2 3 3，
b＝4
3
3 .
所以△ABC 的面积
S＝12absinC＝12×2 3 3×4 3 3×
23＝2 3
3 .
综上：△ABC
的面积为2
3
3 .
解：由例题易知：a2＋b2－c2＝ab
又∵c＝2， ∴a2＋b2＝4＋ab
保持例题条件不变，求
又∵a2＋b2≥2ab，
∴b＝a8sin3C＝ 3
83 2×2
3
2＝2
3.
答案： 2 3
5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC的形 状是________． 解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)． 由2sinAcosB＝sinC， 得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0. 又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形．
解：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理得
sinB＝bsianA＝ 62×322＝12. ∵a>b，∴A>B，B 必为锐角，