2011版高三数学一轮精品复习学案：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(单元总结与测试)
高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 平面向量的应用课件 文
【跟踪训练】
1．[2015·沈阳一模]在△ABC 中，|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，AB＝2，AC＝1，E，F 为 BC 的三等分点，
则A→E·A→F＝( )
8
10
A.9
B. 9
25
26
C. 9
D. 9
解析 由|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，化简得A→B·A→C＝0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，不可能为 0， 所以A→B与A→C垂直，所以△ABC 为直角三角形．以 AC 为 x 轴，以 AB 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图 所示，则 A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，由 E，F 为 BC 的三等分点知 E23，23，F31，34，所以A→E＝32，32，A→F＝13，43， 所以A→E·A→F＝23×13＋23×43＝190.
2．[2016·兰州诊断]已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )A．0B来自1C．2D. 5
解析 因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝ 5，故选 D.
3．在△ABC 中，A→B＝(cos18°，cos72°)，B→C＝(2cos63°，2cos27°)，则角 B 等于( )
考点多维探究
考点 1 向量在平面几何中的应用
典例1
(1)[2014·天津高考]已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC
上，BE＝λBC，DF＝μDC.若A→E·A→F＝1，C→E·C→F＝－23，则 λ＋μ＝(
)
1
2
A.2
B.3
5
7
C.6
D.12
(2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(A→B＋
高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案含解析理
第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：(3)复数相等：a ⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.[常用结论]1．(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． 3．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．4．z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i. ( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． ( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )[答案] (1)× (2)× (3)×(4)√2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(教材改编)设m ∈R ，复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 表示纯虚数，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0A [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0m ＋1≠0，解得m ＝1，故选A.]4．复数1＋2i2－i＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－iA [1＋2i 2－i＝1＋＋－＋＝5i5＝i.] 5．(教材改编)设x ，y ∈R ，若(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.则复数z ＝4－2i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]1．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12C ．1 D. 2 C [z ＝1－i1＋i＋2i ＝－2＋－＋2i ＝i ，所以|z |＝1.]2．(2018·浙江高考)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－iB [21－i＝＋－＋＝1＋i ，所以复数21－i 的共轭复数为1－i ，故选B.]3．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________． －2 [∵a ∈R ，a －i2＋i＝a －－＋－＝2a －1－a ＋5＝2a －15－a ＋25i 为实数， ∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.]复数的分类、所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ，的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程组即可求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数，然后利用复数模的定义.►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2C ．2D ．3(3)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2(1)D (2)A (3)B [(1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. (3)因为(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， 所以4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.]►考法2 复数的除法运算【例2】 (1)(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________. (2)(2018·江苏高考)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．(1)4－i (2)2 [(1)6＋7i1＋2i ＝＋－＋－＝6＋14＋7i －12i 5＝4－i.(2)z ＝1＋2i i＝＋－－＝2－i故z 的实部为2.] ►考法3 复数的综合运算【例3】 (1)(2019·太原模拟)设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i (3)若复数z 满足 2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(1)A (2)D (3)B [(1)由1－z1＋z＝i 得1－z ＝i ＋z i. 即(1＋i)z ＝1－i ，则z ＝1－i1＋i ＝－i ，因此z ＝i ，故选A.(2)∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a＋b i ＝3－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，所以z ＝1－2i ，故选B.]复数的乘法类同类项，不含复数的除法幂写成最简形式复数的运算与复数概念的综合题a ，的形式，再结合相关定义解答(1)(2019·合肥模拟)已知i 为虚数单位，则2－i＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i(2)(2019·惠州模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．iB ．i －1C ．－i －1D ．－i(3)(2019·南昌模拟)设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝2，z 2＝－2i ，则z ＝( ) A.12－12i B.12＋12i C ．1＋iD ．1－i(1)A (2)C (3)D [(1)法一：＋－2－i＝10－5i 2－i ＝5，故选A. 法二：＋－2－i＝＋2－＋－＝＋－5＝5，故选A.(2)由已知可得z ＝2i1－i＝＋－＋＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C.(3)对四个选项逐一验证可知，当z ＝1－i 时，符合题意，故选D.]【例4】 (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数1－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(1)D (2)B [(1)11－i＝1＋i －＋＝1＋i 2＝12＋12i ，所以11－i 的共轭复数为12－12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.(2)复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，其在复平面内对应的点(a ＋1,1－a )在第二象限，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1，故选B.]a ，b 一一对应(1)(2019·广州模拟)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z＋z 2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )A．1＋2i B．1－2iC．－2＋i D．2＋i(1)A(2)C[(1)因为z＝1＋i，所以2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝－＋－＋1＋2i＋i2＝－2＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z＝－＋－＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.]1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)C[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝( )A．1 B. 2 C. 3 D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋iC [∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
高三数学(文)湘教一轮复习精品学案：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量答案：C2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD 等于( ) A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA答案：A2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13向量的有关概念1.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④D ．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC . ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，a －|a |是与a 反向的单位向量．向量的线性运算[典例] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF ＝( ) A ．0 B ．BE C ．ADD ．CF(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF ，BF ＝CE ， ∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE ＋EF ＝CF .(2)由题意DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.[答案] (1)D (2)12解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD . 又∵AD ＝2DB ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.答案：23[类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立．共线向量定理的应用[典例]设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．[解](1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC，则A、B、C三点共线．[针对训练]已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a ＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．[课堂练通考点]1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故选C. 2.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝( )A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 解析：选B ∵CB ＝AB －AC ＝a －b ，又BD ＝3DC ， ∴CD ＝14CB ＝14(a －b )，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .3．(2013·贵阳监测考试)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0，选D.4.(2013·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3解析：选B 因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ＝14AC ，AM ＝34AB ，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC 得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解析：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM |＝12|BC |＝2.答案：2[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．设a 、b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 解析：选C 对于A ，可得a ，b ＝－1，因此a ⊥b 不成立；对于B ，满足a ⊥b 时|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；对于C ，可得a ，b ＝－1，因此成立，而D 显然不一定成立．2．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC ，BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．3．(2014·哈尔滨四校联考)在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为( )A.19B.13 C ．1D ．3解析：选B 如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN ，因为B 、P 、N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13.4．(2014·山师大附中模拟)已知平面内一点P 及△ABC ，若PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部解析：选C 由PA ＋PB ＋PC ＝AB 得PA ＋PC ＝AB －PB ＝AP ，即PC ＝AP －PA ＝2AP ，所以点P 在线段AC 上，选C.5．(2014·大连高三双基测试)设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3 .53 C ．2.32解析：选A 设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA ＋OC )＋2(OB ＋OC )＝0，即OM ＋2ON ＝0，所以OM ＝－2ON ，说明M ，O ，N 共线，即O 为中位线MN 上的靠近N 的三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.6．(2013·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM ＝23AD ，因为AD 为中线，则AB ＋AC ＝2AD ＝3AM ，所以m ＝3.答案：37．(2013·大庆模拟)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状为________．解析：∵OA ＋OC ＝OB ＋OD ，∴OA －OB ＝OD －OC ， ∴BA ＝CD ，BA 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，故①错；BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②错；CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.∴正确命题为②③④. 答案：39．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，CD ＝－8e 1－2e 2， 求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，CD ＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：∵AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，CD ＝－8e 1－2e 2，∴AC ＝AB ＋BC ＝4e 1＋e 2 ＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD ，∴AC 与CD 共线．又∵AC 与CD 有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线． (2)AC ＝AB ＋BC ＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC 与CD 共线，从而存在实数λ使得AC ＝λCD ，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.10.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b . (1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，又因为BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线． 第Ⅱ组：重点选做题1．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA ＝a ，OB ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR 等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a解析：选B PR ＝OR －OP ＝(OR ＋OQ )－(OP ＋OQ )＝2OB －2OA ＝2(b －a )．2.如图，在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP 等于________．解析：如图，连接BP ，则AP ＝AC ＋CP ＝b ＋PR ，①AP ＝AB ＋BP ＝a ＋RP －RB ，②①＋②，得2AP ＝a ＋b －RB .③ 又RB ＝12QB ＝12(AB －AQ )＝12⎝⎛⎭⎫a －12 AP ，④ 将④代入③，得2AP ＝a ＋b －12⎝⎛⎭⎫a －12 AP ， 解得AP ＝27a ＋47b .答案：27a ＋47b第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．若向量BA ＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) ．(2,4) C ．(6,10) ．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12.答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13平面向量的坐标运算1.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0) ．(－3,6) C ．(6,2)．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN ＝(x －5，y －(－6))＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A.2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例]如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[解析] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝⎛⎭⎫14 AC －AB ＝(1－k )AB ＋k4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ， 所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.答案：311平面向量共线的坐标表示[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.解：设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC . ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．[课堂练通考点]1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( )A ．－2B ．2C ．－12D.12解析：选C 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n ) a －2b ＝(4，－1)， 由于(m a ＋n b )∥(a －2b )， 可得－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0， 可得m n ＝－12，故选C.3．(2013·大连沙河口模拟)非零不共线向量OA 、OB ，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0 解析：选A PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A.4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ；③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA .其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵由题意得k OC ＝1－2＝－12，k BA ＝2－10－2＝－12，∴OC ∥BA ，①正确；∵AB ＋BC ＝AC ，∴②错误；∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确．5．(2013·保定调研)已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.答案：126．(2014·朝阳一模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( )A.12B.13 C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM ＝x AB ＋y AC (x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB ＋μAC .∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·辽宁高考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：选A AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB |AB |＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是( )A.23B.43 C ．－3D ．0解析：选D ∵CD ＝2DB ， ∴CD ＝23CB ＝23(AB －AC )，∴CD ＝23AB －23AC ，又CD ＝r AB ＋s AC ，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.故选D.3．(2014·江苏五市联考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( )A ．4B ．8C ．0D ．2 解析：选A a －2b ＝⎝⎛⎭⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0， 故有⎝⎛⎭⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ(16＋x )，12x －2＝λ(x ＋1)⇒x ＝4(x >0)． 4.(创新题)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )A ．AC ＝AB ＋AD B ．BD ＝AD －ABC ．AO ＝12AB ＋12ADD ．AE ＝53AB ＋AD解析：选D 由向量减法的三角形法则知，BD ＝AD －AB ，排除B ；由向量加法的平行四边形法则知，AC ＝AB ＋AD ，AO ＝12AC ＝12AB ＋12AD ，排除A 、C.6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)， ∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)． 答案：(－6,21)7．(2014·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}(－13，－23)8．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB ，AC 不共线．∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠19．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )， 即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1)OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴A ，B ，M 三点共线． 第Ⅱ组：重点选做题1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD ，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 解析：选D 依题意，设BO ＝λBC ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ)AB ＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－13，0. 2．(2014·湖南五市联合检测)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图像上运动．Q 是函数y ＝f (x )图像上的点，且满足OQ ＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．解析：令Q (c ，d )，由新的运算可得 OQ ＝m ⊗OP ＋n ＝⎝⎛⎭⎫2x ，12sin x ＋⎝⎛⎭⎫π3，0 ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，12sin x ，⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12c －π6， 所以y ＝f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， 易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，12第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ) (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2013·广州调研)已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝12，则|2a －b |的值为________．解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3.答案： 32．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )， OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析： AB ＝OB －OA ＝(3,2－t )，由题意知OB ·AB ＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.答案：51．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2a ，b ＝0，可得a ，b ＝12，又因为0≤a ，b ≤π，所以a ，b ＝π3.2．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中， AC ＝(1,2)， BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积为12|AC |·|BD |＝12×5×20＝5.平面向量的数量积的运算1.(2014·沧州模拟)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23B ．－23C.56D ．－56解析：选B 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.2．(2014·温州适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC |的最小值是( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．6解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC |＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC |min ＝ 6.3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝⎛⎭⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝⎛⎭⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2.答案：24．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB )＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2. 答案：2[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||ba ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．角度一 平面向量的模1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1 , 则AB 的长为________．解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －12AB ，∴AC ·BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB ·AD －12|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－12|AB |2＝1， ∴|AB |＝12.答案：12角度二 平面向量的夹角2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π 解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.(2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126 B ．－126 C.112 D ．－112解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cosπ3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126，因此选B.角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×⎝⎛⎭⎫－12＝0.∴λ＝1.答案：1(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________．解析：(1)当A ＝90°时， ∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.(3)当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.[类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[典例] (2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.[课堂练通考点]1．(2014·惠州调研)已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为( ) A.5 B.13 C ．5 D ．13解析：选B 由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q |＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13. 2．(2014·江西七校联考)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－16 B.16C ．－17 D.17解析：选C 依题意，λa ＋b ＝(3λ＋1，－2λ)，a －2b ＝(1，－2)，(λa ＋b )·(a －2b )＝(3λ＋1，－2λ)·(1，－2)＝7λ＋1＝0，λ＝－17，故选C.3．(2013·湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A AB ＝(2,1)， CD ＝(5,5)，由定义知AB 在CD 方向上的投影为AB ·CD |CD |＝1552＝322.4．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA ＝a ，OB ＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 解析：选C 因为cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，所以sin ∠AOB ＝sin 〈a ，b 〉＝ 1－⎝⎛⎭⎫a ·b |a ||b |2，则S △AOB ＝12×|a |×|b |×sin ∠AOB＝12|a |2|b |2－(a ·b )2.5．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 解析：由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝(a ＋2b )2 ＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2. 又|a |＝3|b |，所以a ，b＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |2＝－13. 答案：－136．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 解析：取BC 边的中点D ，连接AD ，则AO ·BC ＝(AD ＋DO )·BC ＝AD ·BC ＋DO ·BC ＝AD ·BC ＝12(AB ＋AC )·(AC －AB )＝12(AC 2－AB 2)＝12(62－102)＝－32.答案：－32[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·武汉调研)已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π2B.2π3 C.3π4 D.5π6 解析：选D a ⊥(a ＋b )⇒a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b a ，b＝0，故a ，b＝－32，故所求夹角为5π6. 2．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB ＝(1,1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC ＝2，则n ·BC 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．0 D ．2或－2解析：选B n ·BC ＝n ·(BA ＋AC )＝n ·BA ＋n ·AC ＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 解析：选C 设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C.4．(2014·昆明质检)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：选D 如图，CD ＝CB ＋BD .又∵BD ＝2DA ，∴CD ＝CB ＋23BA ＝CB ＋23(CA －CB )，即CD ＝23CA ＋13CB ，∵∠C ＝π2，∴CA ·CB ＝0， ∴CD ·CA ＝⎝⎛⎭⎫23 CA ＋13 CB ·CA ＝23CA 2＋13CB ·CA ＝6，故选D. 5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32C.⎣⎡⎦⎤12，32 D.[]0，1解析：选C 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1,1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 6．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 45°＝22|b |， ∴|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10.∴|b |＝3 2. 答案：3 27．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN ―→的模为________．解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)， b －c ＝(1，－2－y )．∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4. ∴向量MN ―→＝(－8,8)， ∴|MN |＝8 2. 答案：8 28．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λ AB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC－AB )＝－2AB λ2AB ＋2AC ＋(λ－1)AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712.答案：7129．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? 解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3. (2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB ＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝⎛⎭⎫34，32，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q .。
2011版高三数学一轮精品复习学案：数系的扩充与复数的引入
高三数学一轮精品复习:数系的扩充与复数的引入【考纲知识梳理】1、复数的有关概念（1）复数的概念形如a+bi(a,b ∈R)的数叫做复数，其中a,b 分别是它的实部和虚部。
若b=0,则a+bi 为实数，若b ≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b ≠0，则a+bi 为纯虚数。
（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b=-d(a,b,c,d ∈R).。
（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
X 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
（5）复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z=a+bi 的模，记叙|z|或|a+bi|，即2、复数的几何意义 （1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z （a,b ）(a,b ∈R); （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量OZ （a,b ∈R ）。
3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则:设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则①加法：z 1+ z 2=（a+bi ）+（c+di ）=(a+c)+(b+d)i;②减法：z 1- z 2=（a+bi ）-（c+di ）=(a-c)+(b-d)i;③乘法：z 1· z 2=( a+bi )·(c+di )=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i c di z c di c di c di c d ++-++-===+≠++-+ (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有1z +2z =2z +1z ，（1z +2z ）+3z =1z +（2z +3z ）。
高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教师用书
第四节 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图441所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.图4411．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2. (教材改编)如图442，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图442A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．] 3．设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．0 B ．2 C ．2iD ．2＋2iC [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.] 4．复数1＋2i 2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i A [法一：1＋2i2－i ＝＋＋－＋＝5i5＝i. 法二：1＋2i 2－i＝＋－＝＋2i ＋1＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________． －1 [i(1＋i)＝－1＋i ，所以实部为－1.](1)若z ＝1＋2i ，则z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． (1)C (2)－2[(1)因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i.故选C.(2)由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1] (1)(2017·嘉兴二次质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝i2＋i的虚部为( )A ．－15B ．－25C.15D.25(2)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2 (1)D (2)B [(1)复数z ＝i 2＋i＝－＋－＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D.(2)z ＝11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.]A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________.【导学号：51062150】(1)C (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.(2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴ab＝2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i(n ∈N )．[变式训练2] (1)已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________.(1)D (2)1＋i [(1)由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－＋－＝－1－i ，故选D.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i4×252＋1＝1＋i.](1)则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(1)A (2)A [(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3] (2017·湖州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i －i ，2i ＝0的复数z 对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [由题意得z ×2i－(1＋i)(－i)＝0，所以z ＝＋－2i＝－12－12i ，则z ＝－12＋12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，位于第二象限，故选B.][思想与方法]1．复数分类的关键是抓住z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，且b ≠0时，z 为纯虚数．2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数． 3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．[易错与防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．两个虚数不能比较大小．3．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，应注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．课时分层训练(二十五) 数系的扩充与复数的引入A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·宁波一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [复数(1＋3i)i ＝－3＋i 在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3A [(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.] 3．若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i B [∵z ＝21－i＝＋－＋＝＋2＝1＋i ，∴z －＝1－i.]4．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0C [实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，，则b ＝0，或a ，b 都为0，即z 为实数，故选项A为真，同理选项B 为真；选项C 为假，选项D 为真．]6．若i 为虚数单位，图443中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图443A ．EB ．FC ．GD ．HD [由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i＝＋－＋i －＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i 的点为H .]7．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0D [z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 019＝－z 2 0201－z＝1－i 2 0201－i ＝1－i4×5051－i＝0.]二、填空题8．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i2－i 为实数，则a ＝________. 【导学号：51062151】－12 [1＋a i 2－i ＝＋a＋－＋＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i.∵1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________． 3 [∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.] B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( )A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2| C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.]2．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个C [f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．]3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________. 【导学号：51062152】3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3.]4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________.12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。
高中数学 高三一轮第四章 平面向量与复数 4.5 数系的扩充与复数的引入(学案)
高三一轮复习第四章平面向量与复数4。
5 数系的扩充与复数的引入学案【考纲传真】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2.了解复数的代数表示法及其几何意义．能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．3。
会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减运算的几何意义.【知识扫描】知识点1 复数的有关概念何意义1．复数z＝a＋b i（a，b∈R)和复平面内的点Z(a,b）一一对应．2．复数z＝a＋b i(a,b∈R)和向量错误!一一对应．知识点3 复数代数形式的四则运算1．运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c,d∈R），则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2＝（a＋b i）±（c＋d i）＝(a±c)＋（b±d）i把实部、虚部分别相加减乘法z1·z2＝（a＋b i）(c＋d i）＝(ac－bd)＋（ad＋bc）i按照多项式乘法进行，并把i2换成－1除法错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i(c＋d i≠0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数,然后分子、分母分别进行乘法运算2.复数加减法的几何意义复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!－错误!。
1．必会结论;（1)（1±i)2＝±2i；错误!＝i；错误!＝－i。
（2)－b＋a i＝i（a＋b i）．(3）i4n＝1,i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＊）．（4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＊)．2．必清误区；(1）判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．(2）两个虚数不能比较大小．(3）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z错误!＋z错误!＝0，就不能推出z1＝z2＝0;z2<0在复数范围内有可能成立．【学情自测】1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”)(1）复数z＝1＋2i的虚部为2i.( ）(2）已知z＝a＋b i(a，b∈R）,当a＝0时，z是纯虚数．( ）（3）若复数z＝1＋2i,则共轭复数错误!在复平面内对应的点位于第三象限．（)（4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．（）2．如图，在复平面内，点A表示复数z,则图中表示z 的共轭复数的点是( ）A．A B．BC．C D．D3．(2015·四川高考）设i是虚数单位,则复数i3－错误!＝（)A．－i B．－3iC．i D．3i 4．(2015·全国卷Ⅱ）若a为实数，且错误!＝3＋i,则a＝（）A．－4 B．－3C．3 D．45．已知复数z＝（5＋2i)2(i为虚数单位），则z的实部为________．参考答案1.【解析】依据复数的概念,（1）、（2）不正确，(4)正确．(3)中，错误!＝1－2i对应点为（1,－2），在第四象限，(3)错．【答案】（1）×(2)×（3）×（4)√2。
2011版高三数学一轮精品复习学案第四章平面向量数系的扩充与复数的引入(41平面向量)
2011版高三数学一轮精品复习学案第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入【知识特点】平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。
其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用，是重点内容，也是高考考查的重点。
对于数系的扩充和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题，其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考查的重点。
【重点关注】1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。
2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此类题可以是选择、填空，也可以为中档的解答题。
向量与数列、不等式、圆锥曲线，函数等知识的综合问题。
对学生能力的考查有较高的要求。
3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。
【地位和作用】向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。
向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。
同时，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。
这些体现了数学中化归和数形结合的思想。
向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。
在运用向量知识时，充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。
通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出以下特点：1、考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题；2、重点考查向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算，注重在知识交汇处命题；3、预计在本意在今后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的运算为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主。
高考数学一轮复习 第4单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入听课学案 理
第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示,的说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算(1)律(2)a-b=3.向量的共线定理向量a (a ≠0)与b 共线,当且仅当有唯一的实数λ,使 . 常用结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点,O 为平面内任意一点,则=(+).3.若A ,B ,C 是平面内不共线的三点,则++=0⇔P 为△ABC 的重心.4.在△ABC 中,AD ,BE ,CF 分别为三角形三边上的中线,它们交于点G (如图4-24-1所示),易知G 为△ABC 的重心,则有如下结论: (1)++=0;(2)=(+);(3)=(+),=(+).图4-24-15.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.题组一常识题1.[教材改编]-+-+++= .2.[教材改编]如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结论:(1)=;(2)与共线;(3)与是相反向量;(4)=||.其中错误结论的序号是.图4-24-23.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,=a,=b,则= .4.[教材改编]向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ= .题组二常错题◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.5.给出下列结论:①+=2;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|·a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使+=0成立的是 ()A.a=2bB.a∥bC.a=--bD.a⊥b(2)给出下列说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;④若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是.[总结反思] 对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.式题 (1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC 上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是()A.=B.=C.=D.=图4-24-3(2)给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()A.①④B.③④C.②③D.①②探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)[2017·南昌重点学校模拟]已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶1(2)已知△ABC,若|+|=|-|,则△ABC的形状为.[总结反思] 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)[2017·西宁一模]如图4-24-4所示,图4-24-4在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=()A.+B.-C.+D.-(2)[2017·长春二模]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=()A. B. C. D.[总结反思] 向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4[2017·运城三模]在△ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m 的值为()A.-2B.-4C.1D.4[总结反思] 与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.2.【考向1】[2017·长沙长郡中学三模]已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则()A.=B.=2C.=3D.2=3.【考向2】在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=,则|a+b|= .5.【考向3】[2017·山东滨州二模]如图4-24-5所示,在△ABC中,O为BC的中点,过点O 的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若=m,=n,则m+n= .图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ= ()A.-B.-2C.D.2[总结反思] 两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(a≠0),则a与b共线:(1)当λ>0时,a与b同向;(2)当λ<0时,a与b反向.考向2三点共线的问题6 (1)已知a,b是不共线的向量,=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=()A.-1B.2C.-2或1D.-1或2[总结反思] (1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ,再利用对应系数相等列出方程组,进而解出系数.(2)三点共线的一个常用结论:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,μ,对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足=λ+μ(λ+μ=1).强化演练1.【考向1】已知e1,e2是不共线的向量,则下列各组向量中是共线向量的有()①a=5e1,b=3e1;②a=3e1-2e2,b=-e1+e2;③a=e1+e2,b=-2e1+2e2.A.①②B.①③C.②③D.①②③2.【考向1】[2017·景德镇模拟]已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上3.【考向1】[2017·哈尔滨三中四模]设e1,e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a与b 共线,则实数k=()A.0B.-1C.-2D.±14.【考向2】已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=()A. B. C. D.第25讲平面向量基本定理及坐标表示课前双击巩固1.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2使.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算(2)向量的坐标求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= ,||= .3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔.常用结论1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为,;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为,.题组一常识题1.[教材改编]已知向量=(-5,2),点P(2,3),则点Q的坐标为.2.[教材改编]如图4-25-1,已知向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a用基底e1,e2表示为.图4-25-13.[教材改编]在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(3,1),且=3,则向量= .4.[教材改编]已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则x+y= .题组二常错题◆索引:平面向量基本定理的前提是基底不能共线;由点的坐标求向量坐标时忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.5.给出下列三个向量:a=(-2,3),b=1,-,c=(-1,1).在这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为.6.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量共线的单位向量为.7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则m= .课堂考点探究探究点一平面向量的基本定理1 (1)已知向量a=(3,4),若存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(-2,6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=,e2=(1,-2)(2)[2017·珠海二模]已知D为△ABC所在平面内一点,且=3+4,若点E为直线BC上一点,且=λ,则λ的值为()A.4B.5C.6D.7[总结反思] (1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.式题在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,BC的中点,若=λ+μ其中λ,μ∈R,则λ+μ=()A. B.2 C. D.1探究点二平面向量的坐标运算2 (1)[2017·鹰潭一中期中]已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=()A.(-2,-1)B.(-1,2)C.(-1,0)D.(-2,1)(2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为()A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)[总结反思] (1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.式题 (1)[2018·石家庄二中模拟]已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=()A.6B.-6C.-D.(2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()A.B.C.D.探究点三平面向量共线的坐标表示3 (1)设k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),则下列向量中与2a-b一定不共线的向量是()A.c=(k,k)B.c=(-k,-k)C.c=(k2+1,k2+1)D.c=(k2-1,k2-1)(2)[2017·日照二模]已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若∥m,则实数λ等于()A. B.-C. D.-[总结反思] (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.式题 (1)若A(-2,3),B(3,-2),C,m三点共线,则m=()A. B.-C.-2 D.2(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b与a-2b平行,则μ=()A.-2B.2C.-D.第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例课前双击巩固1.平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= ,并规定零向量与任一向量的数量积为,即.(2)几何意义①向量的投影:叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.②向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与的乘积.(3)向量的夹角已知两个向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b 的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作.2.平面向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ.①交换律:;②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);③分配律:(a+b)·c= .3.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.①e·a=a·e= .②a⊥b⇔.③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .特别地,a·a= 或|a|= .④cos θ= .⑤|a·b| |a||b|.4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论:(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).题组一常识题1.[教材改编]已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a·(a-b)= .2.[教材改编]已知|a|=,|b|=,a·b=,则向量a与b的夹角为.3.[教材改编]已知=1,=2,且向量a与b的夹角为120°,则|2a-b|= .4.[教材改编]已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则λ= .5.[教材改编]在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为.题组二常错题◆索引:向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.6.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a= .7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为.8.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是.课堂考点探究探究点一平面向量的数量积的运算1 (1)[2017·长沙模拟]已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若a·b=3,则x= .(2)[2017·江西重点中学联考]在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=2,则·= .[总结反思] 向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.式题 (1)[2017·资阳期末]已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R.若·=-3,则λ=()A. B.-C. D.-(2)[2017·襄阳四中月考]已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则a·b= . 探究点二向量的夹角与向量的模考向1平面向量的模2 (1)[2017·芜湖、马鞍山联考]已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a∥b,则|a-2b|=()A.45B.90C.3D.3(2)[2017·河南新乡三模]已知向量,满足||=||=2,·=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+μ=1,则||的最小值为()A.1B.C.D.[总结反思] (1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:①a2=a·a=|a|2或|a|=;②|a±b|==;③若a=(x,y),则|a|=.(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是()A.a⊥bB.a∥bC.a⊥(a+b)D.a⊥(a-b)(2)[2017·重庆外国语学校月考]已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)⊥b,则m=()A.-9B.9C.6D.-6(3)如图4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是BC,AB上的点,且满足==λ,当·=0时,则λ的值为.图4-26-1[总结反思] (1)当向量a与b是坐标形式时,若证明a⊥b,则只需证明a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(2)当向量a,b是非坐标形式时, 要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明a·b=0.(3)数量积的运算a·b=0⇔a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.考向3平面向量的夹角4 (1)[2017·北京朝阳区期末]已知平面向量a=(1,0),b=-,,则a与a+b的夹角为()A. B.C.D.(2)已知向量a=(m,3),b=(,1),若向量a,b的夹角为30°,则实数m= .(3)[2017·四川绵阳中学模拟]平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角与c与b的夹角相等,则m= .[总结反思] (1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0°与180°;求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos θ=求解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.强化演练1.【考向1】已知向量a,b满足=2,=3,向量a与b的夹角为60°,则|a-b|=()A.B.19C.D.72.【考向3】已知向量a=,,b=(,-1),则a与b的夹角为()A. B.C. D.3.【考向3】[2018·益阳调研]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),记向量a,b 的夹角为θ,则tan θ= .4.【考向2】[2018·德州期中]已知向量与的夹角为60°,且||=2,||=1,若=λ+,且⊥,则实数λ的值是.5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.6.【考向3】△ABC的外接圆的半径为1,圆心为O,且2++=0,||=||,则·= .探究点三平面向量与三角函数的综合5 [2018·洛阳期中]已知向量a=(sin x,-),b=(1,cos x).(1)若a⊥b,求tan 2x的值;(2)令f(x)=a·b,把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递增区间及其图像的对称中心.[总结反思] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.式题已知向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π].(1)若(a+b)∥c,求x的值;(2)若a·b=,求sin x+的值.第27讲数系的扩充与复数的引入课前双击巩固1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+b i为实数;若,则a+b i为虚数;若,则a+b i为纯虚数.(2)复数相等:a+b i=c+d i⇔ (a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+b i与c+d i共轭⇔(a,b,c,d∈R).(4)复数的模:向量=(a,b)的模r叫作复数z=a+b i(a,b∈R)的模,记作或,即|z|=|a+b i|= .2.复数的几何意义(1)复数z=a+b i←复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+b i(a,b∈R)←平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)= ;②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)= ;③乘法:z1·z2=(a+b i)·(c+d i)= ;④除法:=== (c+d i≠0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .常用结论1.(1±i)2=±2i,=i,=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|z n|=|z|n.4.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.5.复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.题组一常识题1.[教材改编]若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为.2.[教材改编]复数z=(x+1)+(x-2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值范围为.3.[教材改编]已知i是虚数单位,则复数= .题组二常错题◆索引:将复数a+b i(a,b∈R)的虚部误认为是b i;将复数在复平面内所对应的点的位置弄错;错用虚数单位i的幂的性质.4.已知复数z=,则z的共轭复数的虚部为.5.已知复数z在复平面内对应的点落在虚轴上,且满足|z-1|=3,则z= .6.若复数z满足=i2018+i2019(i为虚数单位),则z= .课堂考点探究探究点一复数的有关概念1 (1)[2017·河南六校联考]设复数z=(i为虚数单位),则z的虚部是 ()A.-1B.1C.-iD.i(2)若复数(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b= .[总结反思] 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.式题 (1)[2017·烟台一模]设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=()A.-1B.1C.-2D.2(2)已知复数z=是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为()A.1B.-1C.iD.-i探究点二复数的几何意义2 (1)在复平面内,复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)[2017·保定一模]在复平面内,若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在▱OACB中,点C所对应的复数为()A.2+2iB.2-2iC.1+iD.1-i[总结反思] (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+b i(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+b i(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b).复数的模即为其对应向量的模.式题 (1)[2017·赣州二模]已知复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则复数在复平面内对应的点为()A.B.C.D.(2)[2017·南宁二模]复数(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则a的取值范围为()A.a<0B.0<a<1C.a>1D.a<-1探究点三复数的代数运算3 (1)[2017·全国卷Ⅱ] (1+i)(2+i)= ()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i(2)若复数(1+m i)(3+i)(i是虚数单位,m∈R)是纯虚数,则=()A.1B.2C.3D.4[总结反思] (1)把i看作一个字母,复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算;(2)在只含有z的方程中,z类似于代数方程中的x,可直接求解;(3)在含有z,,|z|中至少两个的复数方程中,可设z=a+b i,a,b∈R,变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于a,b的方程组,求出a,b,从而得出复数z.式题 (1)[2017·合肥质检]已知i为虚数单位,则=()A. B.C.D.(2)[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A. B.C.D.2第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入1.编写意图本单元内容是高中数学中的工具性知识,在近几年高考中主要考查三个方面:一是平面向量本身知识的基础题,多以选择题、填空题的形式出现,难度不大;二是以向量作为工具,考查与其他知识点的交汇与整合,以解答题为主;三是复数的概念及其运算,大多为选择题,较为简单.因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导学生用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识解决这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的“新热点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严格控制难度,用于加强学生对各个知识点之间联系的渗透,构建知识网络,提高综合应用能力;(3)复数考查基本运算,要掌握常规方法和常规运算.2.教学建议本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习中应注意下面几点:(1)向量的运算在高考中一定会有考查,并且难度较大,在复习中要注意对该部分知识进行拓展和提升;(2)向量的数量积在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉及,但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练;(3)复数在高考中一般位于前几道题的位置,难度不大,注意基本概念的理解和基本运算的训练.3.课时安排本单元共4讲和一个小题必刷卷(七),每讲建议1课时完成,小题必刷卷(七)课外完成,共需4课时.第24讲平面向量的概念及其线性运算考试说明 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.2.理解向量的几何意义.3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-[解析] A由题意知=+=+=+(-)=-+.2.[2015·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= . [答案][解析] 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.■ [2016-2015]其他省份类似高考真题[2016·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析] D若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.【课前双基巩固】知识聚焦1.大小方向大小长度|a| || 001 1相同长度相同长度相反-a 不确定的任意的平行2.和三角形平行四边形b+a a+(b+c)相反向量三角形a+(-b)向量数乘λa |λ||a| 相同相反0λa+λb λ1a+λ2a3.b=λa对点演练1.[解析] -+-+++=(++++)-(+)=.2.(4)[解析] 根据向量的概念可知(4)错误.3.(a+b)[解析] ∵+=,+=,=-,∴=(+)=(a+b).4.2[解析] 因为e1与e2不共线,且a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,所以存在μ∈R,使e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得所以λ=2.5.②[解析] 对于①,由于与是相反向量,所以+=0,①错误;对于②,由于a∥b且|a|>|b|>0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,②正确;对于③,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以③错误.6.等腰梯形[解析] =表示与共线,但||≠||,所以四边形ABCD是梯形,又||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.7.[2,6][解析] 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b 不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6].此题易忽视a与b方向相同和a与b 方向相反两种情况.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)将已知等式整理成a=λb的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.(1)C(2)①②[解析] (1)由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使+=0成立.选项A中向量a与b的方向相同,选项B中向量a与b共线,方向相同或相反,选项C中向量a与b的方向相反,选项D中向量a与b互相垂直,故选C.(2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②不正确.当b=0时,a∥b,b∥c,但a与c不一定平行.③正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.④正确.因为与共线,且与有公共点B,所以A,B,C三点在同一条直线上.变式题(1)D(2)A[解析] (1)A中,与的长度相等,但方向不同,所以A错误;B中,与的长度相等,但方向不同,所以B错误;C中,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也相同,即=.故选D.(2)对于①,因为=,所以||=||且与共线,又因为A,B,C,D是不共线的四个点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则与共线且||=||,所以=,故①正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误.向量与互为相反向量,故③错误.对于④,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,即a=c,故④正确.故选A.例2[思路点拨] (1)首先根据条件4=+2构造平行四边形ABEF,然后结合三角形相似的性质求解;(2)以向量,为邻边作平行四边形,通过判断平行四边形的形状来确定△ABC的形状.(1)D(2)直角三角形[解析] (1)如图所示,延长AC到点F,使AC=CF,以AB,AF为邻边作平行四边形ABEF,对角线AE交BC于点D,故4=+2=,即点O在AE上,则△AOB与△AOC的高分别为B,C到AE的距离.由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB,且相似比为1∶2,即CD∶BD=1∶2,又因为△AOB,△AOC的底边均为AO,高的比等于BD∶DC=2∶1,所以△AOB与△AOC的面积之比为2∶1.(2)由|+|=|-|可知,以向量,为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形为矩形,故⊥,即△ABC为直角三角形.例3[思路点拨] (1)首先利用三角形法则与向量共线的性质表示出向量,然后利用三角形法则表示出.(2)由=+确定点D的位置,从而确定两三角形面积的关系. (1)B(2)B[解析] (1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得=,=+,=,=+,则=(+),所以=+=++,所以=++,所以=+=+++=+=-,故选B.(2)由=+得点D在平行于AB的中位线上,从而有S△ABD=S△ABC,又S△ACD=S△ABC,所以S△BCD=1--S△ABC=S△ABC,所以=.故选B.例4[思路点拨] 利用P是直线BN上一点,可设=n,然后用m,n及,表示出向量,对照已知条件即可求得m的值.A[解析] ∵=,∴=.∵P是直线BN上一点,∴设=n,则-=n(-),即=(1-n)+n=(1-n)+=m+,则n=3,所以m=1-n=-2.故选A.强化演练1.A[解析] +=(-)+(+)=+=+=(+)=,故选A.2.A[解析] 由题意得+=2,又+=-2=2,所以=,故选A.。
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2011版高三数学一轮精品复习学案：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入单元总结与测试【章节知识网络】【章节强化训练】一、选择题（本大题共60分，每小题5分）1、若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ B ） A ．1B ．2C ．1或2D ．-1解析： 2320a a -+=得1a =或2,且10a -≠，得1a ≠2a ∴=，选B ． 2、设a 是实数，且1i 1i2a +++是实数，则a =（ B ）Ａ．12Ｂ． 1 Ｃ．32Ｄ． 23、复数a bi +与c di +的积是为实数的充要条件是（ A ）Ａ．0ad bc += Ｂ．0ac bd += Ｃ．ac bd = Ｄ．ad bc = 4、如果222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，那么实数a 的值为（C ）A ．1B ．2C ．2-D ．1或2-5、设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ A ） A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(-∞,0)D.(-∞,-21)6、设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ C ）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形7、已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ C ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 8、如图.点M 是ABC ∆的重心,则MC MB MA -+为（ D ）A ．0B ．4MEC ．4MD D ．4MF 9、已知ABC ∆的顶点)3,2(A 和重心)1,2(-G ，则BC 边上的中点坐标是（ A ） A ．)3,2(- B ．)9,2(- C ．)5,2(- D ．)0,2( 10、已知032),,(),3,4(),2,5(=+-=--=-=c b a y x c b a 若则c 等于（ D ）（A ）81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（B ）138,33⎛⎫⎪⎝⎭（C ）134,33⎛⎫⎪⎝⎭（D ）134,33⎛⎫--⎪⎝⎭11、已知点A （2，3）、B （10，5），直线AB 上一点P 满足|PA|=2|PB|，则P 点坐标是（ C ） （A ）2213,33⎛⎫⎪⎝⎭（B ）（18，7）二、填空题（本大题共16分，每小题4分）13、已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是___（21，321）___．14、已知A （2，3），B （－1，5），且AC ＝31AB ，AD ＝－41AB ，则CD 中点的坐标是_（815，1237）_．15、724i +的平方根是 (43)i ±+ ．解析：设2()724a bi i +=+，其中,a b R ∈，所以227224a b ab ⎧-=⎨=⎩ 解得43a b =⎧⎨=⎩或43a b =-=-，故724i +的平方根是(43)i ±+．16、若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = 4 ． 解析：设z a bi =+（a b ∈R ，），则方程的另一个根为z a bi =-,且2z =⇒222a b +=，由韦达定理，得：22,z z a +==-1,a ∴=-23,3,b b ∴==所以(13)(13) 4.p z z i i =⋅=-+--=三、解答题（本大题共76分）17、（12）设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=有实根，求锐角θ及这个实根． 解答：设实数根为a ，则 2(tan )(2)0a i a i θ-+-+=，即2tan 2(1)0a a a i θ---+=∵a ，tan R θ∈， ∴2tan 2010a a a θ⎧--=⎨+=⎩∴1a =-且tan 1θ=， 又02πθ<<∴4πθ=18、（12分）如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB =a,AD =b,试用a 、b 分别表示DC 、BC 、MN 。
解答：连结ACDC =21AB =21a,……AC =AD +DC = b+21a,…… BC =AC -AB = b+21a-a= b-21a,……NM =ND +DM =NA +AD +DM = b-41a,……MN =-NM =41a-b19、（本题满分12分）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）解答：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =- 由于222||()2z z z i a b ai ++=++32i i-+＝22(3)(2)21i i --+＝1i -所以222a b ai ++＝1i -根据复数的相等得22121a b a ⎧+=⎨=-⎩解得13,22a b =-=±因此，1322z =-±即为所求．20、（14分）已知△ABC 的顶点坐标为A （1，0），B （5，8），C （7，－4），在边AB 上有一点P ，其横坐标为4，在边AC 上求一点Q ，使线段PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分． 解答：设11211541,2,λλλλ++===则AC QA AB PA 431-=∴λ又||||ACAQ ABAP S S ABCAPQ ⋅=∆∆32,021||43|,|43||||2222-=∴<===λλλλ又则ACQA ABPA设点Q 的坐标为（x Q ，y Q ）， 则321)4()32(,3217)32(1--⨯-+=-⨯-+=Q Q y O x ，得)38,5(,38,5-∴-==Q y x Q Q21、（12分）设,C z ∈满足下列条件的复数z 所对应的点z 的集合表示什么图形 .12141log21->--+-z z为半径的圆的外部。
以）为圆心，（为半径的圆的内部或以）为圆心，，表示以点（所以或所以或可得：化简得：可得解：由8012018|1|2|1|02|1|08|1|02|1|08|1|02|1|8|1|,22|1|4|1|12141log21Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z z z >-<-⎩⎨⎧>-->--⎩⎨⎧<--<-->----<--+-->--+-22、（14分）设椭圆方程为1422=+yx ，过点)1,0(M 的直线L 交椭圆于A 、B 两点，O 是坐标原点，点P 满足1()2O P O A O B =+ ，点N 的坐标为)21,21(。
当直线L 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）N P的最大值与最小值。
解答：（1）设直线L 斜率为k ，则L 方程为y=kx+1,设),(11y x A ，),(22y x B 由题设可得它们是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解，即满足032)4(22=-++kx x k 所以22142kk x x +-=+，22121482)(kx x k y y +=++=+而1()2O P O A O B =+= )2,2(2121y y x x ++=)44,4(22kkk ++-。
设P 的坐班为（x,y ），则⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=22444k y kk x 消去k 得0422=-+y y x 。
当k 不存在时，A,B 中点O 原点（0，0）也满足上式 所以动点P 的轨迹方程是0422=-+y y x（2）由0422=-+y y x ，得41)21(422=-+y x ，可得4141≤≤-x2NP ==-+-22)21()21(y x =-+-22)21()21(y x 127)61(22++-x 当41=x 时N P 取最小值=41，当61-=x 时N P 取最大值=621。
【思想与方法解读】解选择题的六大秘诀选择题的题型灵活，数学思想方法体现充分。
因此，解答选择题的基本原则是：小题小做，小题巧做，切忌小题大做；基本要求是：“熟、准、快”，即内容熟练、概念准确、推理快速；基本方法是：形数兼备，直接法为主，其他法为辅。
一、直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，与选择项作比较，作出选择，这种解题方法叫做直接法，直接法是解答选择题最常用的基本方法。
二、图解法数形结合的思想是将反映问题的数量关系与直观的图形结合起来，即把抽象思维与形象思维有机结合起来解决问题的一种重要的数学方法。
对于一些具有几何背景的数学题，如果能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合、以形助数中获得直观的解法。
三、用特例（特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断。
常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。
四、筛选法有时，当同学们面临的问题一易从正面入手直接选出正确的答案，此时可以从选择项入手，排除不正确的，剩下的就是正确的答案，筛选法适用于定性型或不易直接求解的选择题。
五、验证法把各个选择项依次代入题目中，依次判断所得到的结果或者结论能否与题意相符合，如果符合，则是正确答案，如果得到了矛盾的结论，则是错误答案。
六、估算法估算是用于解答选择题的一种简捷方法，它是指通过大体估值、合理猜想或特殊验证等手段，准确、迅速地选出答案的方法，充分体现了小题小（巧）做的解题策略。
在近几年高考的“多想小算”命题思想中，“估算法”更是解决此类问题的有效途径，常用的有以点估式（图）、以部分估整体、以范围估数值等。
教。