高考数学平面向量及其应用习题及答案
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝．【答案】5【解析】因为(a＋λb)⊥a，所以【考点】向量数量积2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是．【答案】8【解析】设AB中点为M，则.因为圆C：，AB＝2，所以，因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系3.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴P为AC的中点，∴.【考点】向量的运算.4.已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是（）A．=B．•=0C．•＜1D．2=2【答案】D【解析】A不正确，、的方向不确定．B不正确，当、垂直时，．C不正确，尽管、的长度都是1，但它们的方向不确定，，当两向量的方向相同时，．由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有，从而2=2，故D正确．故选 D．5.设，是平面内两个不共线的向量，=（a﹣1）+，=b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b=2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴==当a=时，取最小值为4故选：B．6.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为。
【答案】【解析】在上的投影为.【考点】向量的射影问题.7.在△ABC所在的平面上有一点P满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．【答案】【解析】因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的靠近A点的一个三等分点，故.8.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ()．A．(1,2)B．(0,3)C．[1,2]D．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即令z＝λ＋μ＝＋y.由圆C与直线BD相切可得圆C的半径为.由于直线y＝－＋z与圆C有公共点，所以，解得1≤z≤2.9.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.10.已知点，点，向量，若，则实数的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由已知得，又,所以存在实数，使，即，解得，所以正确答案为C.【考点】平行向量11.已知向量a，若向量与垂直，则的值为（）A．B．7C．D．【答案】A【解析】由已知得，，又这两个向量垂直，所以，解得，所以正确答案为A.【考点】向量的运算与垂直关系12.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.（1）当与平行时，________；（2）给出下列命题：①，不是等边三角形；②且，使得与垂直；③无论点在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___.【答案】;①②③【解析】由抛物线方程知，焦点，准线为。
【三轮复习】回归课本-专题6 平面向量及其应用
专题6 平⾯向量及其应⽤1.如图，O 是平⾏四边形ABCD 外⼀点，⽤表示.【答案】【解析】【详解】由，，，即可得到结论.解：.向量的线性运算向量运算定义法则（或⼏何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋（－b ）数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的⽅向相同；当λ<0时，λa 与a 的⽅向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ（μ a ）＝（λμ）a ；（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；λ（a ＋b ）＝λa ＋λb平⾯向量线性运算问题的求解策略：（1）进⾏向量运算时，要尽可能地将它们转化到三⻆形或平⾏四边形中，充分利⽤相等向量、相反向量，三⻆形的中位线及相似三⻆形对应边成⽐例等性质，把未知向量⽤已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形⼿段在线性运算中同样适⽤．（3）⽤⼏个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三⻆形或多边形；③运⽤法则找关系；④化简结果.（2022·新⾼考Ⅰ卷T3）,,OA −⇀OB −⇀OC −⇀−OD −⇀−=−+OD −⇀−OA −⇀OB −⇀OC−⇀−=+OD −→−OA −→−AD −→−=AD −→−BC −→−=−BC −→−OC −→−OB −→−=+=+=+−=−+OD −→−OA −→−AD −→−OA −→−BC −→−OA −→−OC −→−OB −→−OA −→−OB −→−OC −→−在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）A ．B ．C ．D ．【⼀题多变4】7.已知是两个不共线的向量，,e 1⇀e 2⇀⇀A ．1B ．在平⾏四边形中，分别，则的值为______.【⼀题多变4】13.已知，，（1）；（2）．解：（1）由平⾯向量的数量积运算=1∣∣a ⇀∣∣=2∣∣b ⇀∣∣|c |=(⋅)a⇀b ⇀c ⇀(⋅)a ⇀b⇀c ⇀A ．B ．如图，在中，，的⾯积为，的最⼩A．2【⼀题多变4】已知O为坐标原点，点A．C．−→−26.已知中，【分析】利⽤勾股定理判的夹⻆的取值的最⼤值.解：如图，作，垂△ABC AC ,CM −→−CN −→−∵AC =1,BC =∴A +B =A C 2C 2B CD ⊥AB A ．C ．若E 为线段AD 的中点【⼀题多变2】在中，在某海滨城市O附近海⾯有⼀台⻛，据监测，当前台⻛中⼼位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cos θ＝，θ∈（0°，90°）⽅向300 km的海⾯P处，并以20 km/h的速度向⻄偏北45°⽅向移动．台⻛侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增⼤．问⼏⼩时后该城市开始受到台⻛的侵袭？注：cos（θ－45°）＝A．的最⼩值为B．的范围为C．当时，D．当时，【⼀题多变3】骑⾏是⽬前很流⾏的⼀种绿⾊健身和环保它带给⼈们的不仅是简单的身体上的运动（前轮），圆（后轮）的半径均为，A．B【⼀题多变4】38.已知点H 在所在的平⾯内，且满⾜，求证：点H 是的垂⼼（即三条⾼的交点）．【答案】证明⻅解析.【解析】【详解】解：由数量积运算的性质可整理得到，由此得到；同理可证得，，由此可证得结论.解：由得：由同理可得：由同理可得：是的垂⼼三⻆形“四⼼”常⻅的向量表示形式：（1）重⼼．若点G 是的重⼼，则或 （其中P 为平⾯内任意⼀点）．反之，若，则点G 是的重⼼．（2）垂⼼．若H 是的垂⼼，则.反之，若，则点H 是的垂⼼．（3）内⼼．若点I 是的内⼼，则.反之，若，则点I 是的内⼼．（4）外⼼．若点O 是的外⼼，则或.反之，若，则点O 是的外⼼.结合“四⼼”性质与向量运算进⾏推演，得出结论.【⼀题多变1】ΔABC ⋅=⋅=⋅HA −⇀−HB −⇀−HB −⇀−HC −⇀−HC −⇀−HA −⇀−ΔABC ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅=0HB −→−CA −→−HB ⊥CA HC ⊥AB HA ⊥CB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅−⋅=⋅(−)=⋅=0HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HB −→−HA −→−HC −→−HB −→−CA −→−∴HB ⊥CA⋅=⋅HB −→−HC−→−HC −→−HA −→−HC ⊥AB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HC −→−HA −→−HA ⊥CB∴H ΔABC △ABC ++=0GA −→−GB −→−GC −→−=(++)PG −→−13PA −→PB −→PC −→−++=0GA −→−GB −→−GC −→−△ABC △ABC ⋅=⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HC −→−HA −→−⋅=⋅=HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅HC −→−HA −→−△ABC △ABC ⋅+⋅+⋅=0∣∣∣BC −→−∣∣∣IA−→∣∣∣CA −→−∣∣∣IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→⋅+⋅∣∣∣BC −→−∣∣∣IA −→∣∣∣CA −→−∣∣∣+⋅=0IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→△ABC △ABC (+)⋅=(+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−BA −→OB −→−OC −→−CB −→−OC −→−OA −→−AC −→−==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣△ABC 已知正⽅形，边⻓为，动点⾃点出发沿运动，动点⾃点出发沿运动，且动点的速度是动点的2倍，若⼆者同时出发，且到达时停⽌，另⼀个点也停⽌，则该过程中的最⼤值是______．瑞⼠数学家欧拉在1765年发表的《三⻆形的⼏何学》⼀书中有这样⼀个定理：“三⻆形的外⼼､垂⼼和重⼼都在同⼀直线上，⽽且外⼼和重⼼的距离是垂⼼和重⼼距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O ､H ､G 分别是外⼼､垂⼼和重⼼，下列四个选项中结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．。
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一、多选题1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +5．在ABC 中，若30B =︒，23AB =，2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为2-7．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 8．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)10．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+D ．AD CD CD CB +=-11．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c +=12．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =13．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形14．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,33B a c b π=+=,则ac=( ) A ．2 B ．3 C ．12D ．1315．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）A ．316- B ．316 C ．12D ．12-17．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形18．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥19．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 20．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．以上都不对21．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．4322．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S = A ．310 B ．38C ．25D ．42123．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)224．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =C ．若,,,A B CD 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角 25．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A 7 B ．3C ．11D 19．题目文件丢失！27．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．1-B ．12-C ．2-D ．32-28．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则BD AC ⋅=（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．529．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A ．5B ．10C ．4D ．530．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心D ．外心重心内心31．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3π，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．12B ．－12C ．13D ．－1332．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8333．如图，在ABC 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（ ）A ．1277AB AC →→+B ．1377AB AC →→+C ．121414AB AC →→+ D ．131414AB AC →→+ 34．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形35．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a ba b a b a b+=+=++⋅=+，()222222a b a b a b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.2．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.3．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.4．AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；解析：AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=，故B 错误；2cos ,21a b a b a b⋅<>===⋅+，又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.5．BC 【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC 【分析】由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒， 所以60C =︒或120C =︒. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6．AB直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于解析：AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于3:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||42AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．7．BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若解析：BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.8．ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.9．ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.10．BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为，，且，所以，即C 结论正确；因为，解析：BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.11．ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查解析：ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.12．ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等， 解析：ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.13．BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos C A B=->，cos cos cos 0A B C ∴<， 对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 14．AC【分析】将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，联立①②，可得，即，解得或.故选：AC.【点睛】本题考查余弦定理的应解析：AC【分析】将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵,3B a c π=+=，∴2222()23a c a c ac b +=++=①，由余弦定理可得，2222cos 3a c ac b π+-=②，联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2a c =或12a c =. 故选：AC.【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.15．无二、平面向量及其应用选择题16．A【分析】利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值.【详解】 E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD ===+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，1334416λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】 本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.17．D【分析】 先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】 解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=，1cos ||||2AB AC A AB AC ==，3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．18．A【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.综上：①④正确.故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．19．D【分析】根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小.【详解】解：∵2cosA 3cosB 5cosC a b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C==，即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+=-， ∴273101k k k =-，解得3k =， ∴tan 33B k ==，B ＝3π． 故选：D .【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键20．B【分析】计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案.【详解】2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=. 设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形.故选：B .【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.21．A【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan 2C ，从而求得tan C ．【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab C C ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．22．A【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+．设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-,∵MN 为ABC 的中位线，且32OM ON =， ∴36132255410OAC OMC CMN ABC ABC S S S S S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 23．A【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°4=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒，∴12AE =，∴AE =）， 故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．24．C【分析】根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积.25．A【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】 因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒， 所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=.故选：A.【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 26．无27．B【分析】 由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以： ()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-. 故选：B.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．28．A【解析】分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=2211()()24222BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 29．B 【分析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.【详解】()22224419||=1||3m m n m n n m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m n m m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+，令()2(05),5x x f x x x n =<≤=-,则()2'125f x x =-，令()'0f x =，得102x =∴当1002x <<时， ()'0f x >，当1052x << ()'0f x <， ∴当10x =时， ()f x 取得最大值1010f =⎝⎭，故选B. 【点睛】向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 30．C【详解】 试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN =，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.31．A【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【详解】法一：由题意可得BA ·BC ＝2×2cos 3π＝2， BD ·CP ＝(BA ＋BC )·(BP －BC ) ＝(BA ＋BC )·[(AP －AB )－BC ] ＝(BA ＋BC )·[(λ－1)·AB －BC ] ＝(1－λ) BA 2－BA ·BC ＋(1－λ)·BA ·BC －BC 2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，)，D (－1，3)． 令P (x,0)，由BD ·CP ＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1. ∵AP ＝λAB ，∴λ＝12.故选A. 【点睛】1.已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.32．C【分析】作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值. 【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=， 同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩， 解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 33．B【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→=和17AN AB →→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】 解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，已知14AD AB →→=，12AE AC →→=， //FN AC ，则MFE ABE △△和MCF ACD △△， 则：MF ME AB AE =且MF MC AD AC=， 即：2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =，所以124MC MF ME AB AC AC ==， 则：8MC ME =，所以37AM AC =， 解得：37AM AC →→=， 同理//FM AB ，NBF ABE △△和NFD ACD △△， 则：NF NB AE AB =且NF ND AC AD=， 即：12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB =，所以142NB NF ND AC AB AB ==， 则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-，所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即28AB AN AB AN -=-， 得：17AN AB =， 解得：17AN AB →→=， 四边形AMFN 是平行四边形，∴由向量加法法则，得AF AN AM →→→=+，所以1377AF AB AC →→→=+. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 34．A【分析】利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形．【详解】ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，2222a c b cosB ac+-= ， ∴22222a a c b c ac+-= 220c b ∴-= ，∴c b ABC =，是等腰三角形．【点睛】本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．35．A【分析】设sin sin a B b A CH ==，则()m CP a b CH =+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；【详解】如图，sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()m CP a b CH =+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.。
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .【答案】2.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.2.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（）A．B．C．D．【答案】 D.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(－sin ，－cos )，其中x∈[，π]．(1)若|a＋b|＝，求x的值；(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）x＝或x＝（2）(5，＋∞)【解析】(1)∵a＋b＝(cos －sin ，sin －cos )，∴|a＋b|＝＝，由|a＋b|＝，得＝，即sin 2x＝－.∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝或x＝.(2)∵a·b＝－cos sin －sin cos ＝－sin 2x，∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin 2x，∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0，∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5.又c>f(x)恒成立，因此c>[f(x)]max ，则c>5.∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．5.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．6.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为________．【答案】6【解析】由a⊥b得，4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6．当且仅当“32x＝3y”时，即y＝2x时，上式取“＝”．此时x＝，y＝1．7.若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】∵，，∴8=（8，8）﹣（2，5）=（6，3）∵∴12+3x=30∴x=6故选A8.四边形是平行四边形，，，则= （）A．B．C．D．【答案】（A）【解析】因为.故选（A）.【考点】1.向量的加减.2.向量的相等.9.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，将直线方程代人，整理得，，所以，，．由于点在圆上，所以，，解得，，故选．【考点】直线与圆的位置关系，平面向量的坐标运算．10.已知向量=(,),=(,)，若，则=.【答案】【解析】由已知．，解得，.【考点】平面向量的坐标运算.11.已知向量若，则m=______.【答案】-3【解析】根据向量加法的坐标运算得，，因为，故，故填-3【考点】向量加法向量共线12.设向量，满足，，且与的方向相反，则的坐标为【答案】【解析】设，∵与的方向相反，故又∵，则，解得，，故答案为.【考点】共线向量，平面向量的坐标运算.13.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于()A．-B．C．-或D．0【答案】C【解析】由a∥b,得m2-2=0,解得m=±.故选C.14.若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．【答案】－6【解析】a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.15.若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．【答案】(－2，－4)【解析】＝＋＝－＝(－2，－4)．16.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．【答案】(－3，－5)【解析】由题意，得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．17.在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p ＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________．【答案】【解析】由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.18.已知a＝(sin α，sin β)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(k∈Z)．(1)若b∥c，求tan α·tan β的值；(2)求a2＋b·c的值．【答案】（1）－3（2）－1【解析】(1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0，∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠kπ＋ (k∈Z)，∴tan αtan β＝－3.(2)a2＋b·c＝sin2α＋sin2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2＝sin2α＋sin2β＋cos2αcos2β－sin2αsin2β－2＝sin2α＋cos2αsin2β＋cos2αcos2β－2＝sin2α＋cos2α－2＝1－2＝－1.19.已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为()．A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)【答案】D【解析】设B(x，y)，由＝3a，得解得20.已知点点是线段的等分点，则等于．【答案】【解析】由题设，，，，……，，…… ， .所以,，，，……，，…… ， ,= = ,=所以答案是:【考点】1、等差数列的前项和；2、向量的坐标运算；3、向量的模.21.如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆的半径为2，所以正方形的边长为.因为.所以==.所以.故选B.【考点】1.向量的和差.2.向量的数量积.3.由未知线段转化为已知线段.4.化归思想.22. .若向量，则A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算.23.若向量，且与的夹角为则 .【答案】（-3，-6）【解析】由与的夹角为知,【考点】向量数量积的性质和向量的坐标运算.24.向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】平面向量的减法运算25.在平面直角坐标系中，已知向量若，则x=( ) A．-2B．-4C．-3D．-1【答案】D【解析】∵，∴，则，所以，又，∴，．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的坐标表示.26.设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数 .【答案】【解析】不妨假设，则，因为，所以.【考点】平面向量的坐标运算.27.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.28.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.29.已知向量，，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且与共线，所以，故选A.【考点】1.共线向量；2.平面向量的坐标运算30.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示31.已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）7.【解析】（1）利用向量数量积的坐标表示，可转化为三角函数，然后利用利用三角函数的相关公式对其变形，则可求解；（2）利用向量数量积的坐标表示，可转化为角的三角函数，然后利用角之间的关系，使用两角和与差的三角函数相关公式可求解.试题解析：（1）解：（1）∵∴（2）∵∴，，==7【考点】平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式.32.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模33.已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，－1）,则｜2－｜的最大值与最小值的和是（）A．4B．6C．4D．16【答案】C【解析】因为｜2－｜，故其最大值为，最小值为，它们的和为，选C.【考点】平面向量坐标运算、平面向量的模、两角差的正弦定理.34.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且，，解得，，故，故选A.【考点】1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算35.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.36.已知，，，为坐标原点.（Ⅰ），求的值；；（Ⅱ）若，且，求与的夹角.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求、的坐标，，利用三角函数公式化简求得；（Ⅱ）利用已知条件求，确定的值，在由求解.试题解析：（Ⅰ）,，，∴，.（Ⅱ）∵,,，，即，，又，，又，，，∴.【考点】平面向量的坐标运算，向量的夹角与模.37.已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以；.【考点】本小题主要考查平面向量坐标运算，求向量的模.38.已知向量，，，若∥，则=___ ．．【答案】5【解析】因为，向量，，，所以，，又∥，所以，，故答案为5.【考点】平面向量的坐标运算39.已知平面向量，，如果向量与平行，那么与的数量积等于( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，，∴,.∵与平行，∴,解得.∴.∴.故选D.【考点】向量的概念及其与运算，考查向量平行，考查两个向量的数量积.40.已知向量，，若，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】由.故选B.【考点】向量的坐标运算41.已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量，,且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若向量,,试求的取值范围【答案】(Ⅰ) . （Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由题意得，即. 3分由余弦定理得,. 6（Ⅱ）∵， 7∴.∵，∴，∴.∴，故. 12分【考点】平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数公式，正弦型函数图象和性质，余弦定理的应用。
高考数学平面向量及其应用习题及答案doc
高考数学平面向量及其应用习题及答案doc一、多选题1．题目文件丢失！2．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0?=?=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ?=，则a b a b +=- 3．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?=D ．()4BC a b ⊥+4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（）A ．14,33??B ．97,2?? ???C ．14,33??--D ．(7，9)5．在ABC 中，AB =1AC =，6B π=，则角A 的可能取值为（）A ．6πB ．3π C ．23π D ．2π 6．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为27．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（）A ．1AB CE ?=- B ．0OE OC +=C ．32OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为768．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（）A ．ABC 的外接圆的直径为4.B ．若4AC =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<9．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C10．在ABC 中，若30B =?，AB =2AC =，则C 的值可以是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°11．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（）A ．B ．23C ．23-D 12．给出下面四个命题，其中是真命题的是（） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=13．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（）A ．()m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =14．对于ABC ?，有如下判断，其中正确的判断是（）A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ?为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin AB >C ．若8a =，10c =，60B ?=，则符合条件的ABC ?有两个D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?是钝角三角形15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-17．下列命题中正确的是（）A．若a b，则a在b 上的投影为aB．若(0)a cbc c=?≠，则a b=C．若,,,A B C D是不共线的四点，则AB DC=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件D．若0a b?>，则a与b的夹角为锐角；若0a b?<，则a与b的夹角为钝角18．已知ABC所在平面内的一点P满足20PA PB PC++=，则::PAB PAC PBCS S S=△△△（）A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶219．在ABC中，a ，b，c 分别是角A，B，C 所对的边，若lg lg lg sin lg2a c B-==-，且0,2Bπ∈ ?，则ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形20．若O为ABC所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA+-=，则ABC一定为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形21．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得15BCD∠=?，45BDC∠=?，302CD m=，并在点C测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB为( )A．302m B．203m C．60m D．20m22．在ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确．．．的是（）A．23BG BE=B．2CG GF=C．12DG AG=D．0GA GB GC++=23．在ABC中，CB a=，CA b=，且sin sina bOP OC ma Bb A=++，m R∈，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ?的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定25．在ABC ?中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA方向上的投影为（）． A ．4 B ．3C ．-4D ．526．题目文件丢失！27．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（）A ．3B ．1C ．12D ．3228．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60?，则2a b -=（） A ．7B ．3C ．11D ．1929．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2?-- ??C ．31,2?? ???D ．(8，－1)30．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．33(,)2B ．3(,3) C ．3(,3]2 D ．3(,3)231．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ?等于（）A ．316- B ．316 C ．12D ．12-32．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=?，2AB BC ==，1AD =，则BD AC ?=（）A ．2-B ．3-C ．2D ．533．在ABC ?中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（）A B ．3C ．2D 34．已知1a b ==，12a b ?=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（）A ．(-∞B ．)+∞C ．(-∞D ．)+∞35．已知ABC 的面积为30，且12cos 13A =，则AB AC ?等于（） A ．72B ．144C ．150D ．300【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确.A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0?=?=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ?=，则()222222a b a b a b a b a b+=+=++?=+，()222222a b a ba b a b a b -=-=+-?=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.3．ABD 【分析】 A.根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据，，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1 ,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ?=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ?=?==-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ?=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ?+=?+=?+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确.【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ?- ，则972，AB ??=--选项A . 91473023-?--?= ,所以A 选项正确. 选项B. 9977022??-?--?=,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023-?---?-= ? ?????,所以C 选项正确. 选项D. 979702??-?--?≠,所以选项D 不正确故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.5．AD 【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】由余弦定理，得，即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以.【点睛】本题考查余弦解析：AD 【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6A B π==；当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2π. 故选：AD 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.6．CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ?=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2a b b=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn 12= (2m?n)12≤(22m n+)2=2，即mn的最大值为2，正确；故选：CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.7．BCD【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E为AB中点，则，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，解析：BCD【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E为AB中点，则CE AB⊥，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123 (0,0),(1,0),(1,0),3),(,)33E A B C D-，设123(0,),3),(1,),(,3O y y BO y DO y∈==-，BO∥DO，所以3133y y-=-，解得：32y=，即O是CE中点，0OE OC+=，所以选项B正确；322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确；因为CE AB ⊥，0AB CE ?=，所以选项A 错误；1(3ED =，(1,BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +?==，所以选项D 正确.故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.8．ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图解析：ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠?，故A 正确；对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数．易知当122x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解；当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；当AD AB AC <<，即122x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．故B ，D 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．9．ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中解析：ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ?a ＞b ?A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC 【分析】由题意结合正弦定理可得sin 2C =，再由()0,150C ∈??即可得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ?===，又30B =?，所以()0,150C ∈??，所以60C =?或120C =?. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.11．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ?===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos B ==. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.12．AB 【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误. 故选：A B. 【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB 【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】因为0ABBA AB AB，正确；AB BCAC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B . 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.13．ABD 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，解析：ABD 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.14．BD 【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．【详解】在中，对于A ，若，则或，当A ＝解析：BD 【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．【详解】在ABC ?中，对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形；当2A B π+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B=，即sin sin A B >成立．故B 正确；对于C ，由余弦定理可得：b C 错误；对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ?是钝角三角形，故D 正确；综上，正确的判断为选项B 和D ．故选：BD ．【点睛】本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．15．AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的. 对于B,由平面向量基本解析：AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．D 【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+，∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=．解得15cos 17A =-或cos 1A =-．因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-．故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．C 【分析】根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ?=?≠，但a b ≠，故B 不正确；,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ?>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 18．B 【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
2024全国高考真题数学汇编：平面向量及其应用章节综合
2024全国高考真题数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b ，且2b a b ，则b （）A ．12B C ．2D ．12．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x ，若(4)b b a，则x （）A ．2B ．1C ．1D ．23．（2024全国高考真题）设向量 1,,,2a x x b x，则（）A ．“3x ”是“a b”的必要条件B ．“3x ”是“//a b”的必要条件C ．“0x ”是“a b”的充分条件D ．“1x ”是“//a b”的充分条件4．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B ，294b ac ，则sin sin A C （）A ．13B ．13C ．2D ．135．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“·0a b a b”是“a b 或a b ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．（2024上海高考真题）已知 ,2,5,6,k a b k R ，且//a b ，则k 的值为．7．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC u u r u u r u u u r ，则；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG的最小值为．三、解答题8．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求 cos 2B A 的值．9．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A ．(1)求A ．(2)若2asin sin 2C c B ，求ABC 的周长．10．（2024北京高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，7a ，sin 2cos B B ．(1)求A ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b ；条件②：13cos 14B；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B ，222a b c (1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．参考答案1．B【分析】由2b a b 得22b a b，结合1,22a a b ，得22144164a b b b ，由此即可得解.【详解】因为 2b a b ，所以20b a b ，即22b a b，又因为1,22a a b ，所以22144164a b b b ，从而2b .故选：B.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为 4b b a ，所以40b b a，所以240b a b即2440x x ，故2x ，故选：D.3．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b 时，则0a b，所以(1)20x x x ，解得0x 或3，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x 时， 1,0,0,2a b ，故0a b，所以a b，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x ，解得1x ，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x 时，不满足22(1)x x ，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.4．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C ，再利用余弦定理有22134a c ac ，由正弦定理得到22sin sin A C 的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B .由余弦定理可得:22294b ac ac ac ，即:22134a c ac，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C ，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C ，则sin sin A C .故选：C.5．B【分析】根据向量数量积分析可知0a b a b 等价于a b，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为220a b a b a b ，可得22a b ，即a b ，可知0a b a b 等价于a b ，若a b 或a b ，可得a b ，即0a b a b，可知必要性成立；若0a b a b ，即a b，无法得出a b 或a b ，例如 1,0,0,1a b，满足a b ，但a b 且a b ，可知充分性不成立；综上所述，“0a b a b”是“a b 且a b ”的必要不充分条件.故选：B.6．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】//a b ，256k ，解得15k ．故答案为：15．7．43518【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得 ，设BF BE k u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得 ，设 1,3,,03F a a a，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE ，即13CE BA ，则13BE BC CE BA BC u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BC BA BA BC，因为F 为线段BE 上的动点，设 1,0,13BF k BE k BA k BC k，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC22111563112329510k k k k，又因为 0,1k ，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E，可得 11,0,0,1,,13BA BC BE，因为 ,BE BA BC 131，所以43 ；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x 上，设 1,3,,03F a a a，且G 为AF 中点，则13,22a G a ，可得 131,3,,122a AF a a DG a，则 22132331522510a AF DG a a a，且1,03a，所以当13a 时，AF DG 取到最小值为518 ；故答案为：43；518 .8．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ，0t ，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B ，即229254922316t t t t ，解得2t （负舍）；则4,6a c .（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B ，再根据正弦定理得sin sin a b A B ，即4sin A sin 4A ，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc ，因为 0,πA ，则sin 4A（3）法一：因为9cos 016B ，且 0,πB ，所以π0,2B，由（2）法一知sin 16B，因为a b ，则A B ，所以3cos 4A ，则3sin 22sin cos 24A A A2231cos 22cos 12148A A9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A.法二：3sin 22sin cos 24A A A，则2231cos 22cos 12148A A，因为B 为三角形内角，所以sin 16B，所以 9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A9．(1)π6A(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A 可得1sin 122A A ，即sin()1π3A ，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ，故ππ32A ，解得π6A方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A ，又22sin cos 1A A ，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A ，解得cos 2A，又(0,π)A ，故π6A方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x ，则π()2sin (0π)3f x x x，显然π6x时，max ()2f x ，注意到π()sin 22sin(3f A A A A ，max ()()f x f A ，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A 必定是极值点，即()0cos sin f A A A ，即tan 3A ，又(0,π)A ，故π6A方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ，由题意，sin 2a b A A，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b，则2cos ,2cos ,1a b a b ，此时,0a b，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A 又(0,π)A ，故π6A方法五：利用万能公式求解设tan 2A t，根据万能公式，22sin 21t A A t整理可得，2222(2(20((2t t t ，解得tan22A t 223tan 13t A t ，又(0,π)A ，故π6A（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B ，又,(0,π)B C ，则sin sin 0B C，进而cos 2B ，得到π4B ，于是7ππ12C A B，26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ，即2ππ7πsin sin sin6412bc，解得b c 故ABC的周长为2 10．(1)2π3A；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B 式子得3b ，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c，再利用正弦定理得到sin Csin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B，因为A 为钝角，则cos 0B，则2sin B，则7sin sin sin b a BA A，解得sin A ，因为A 为钝角，则2π3A.（2）选择①7b ，则333sin 714142B，因为2π3A ，则B 为锐角，则3B ，此时πA B ，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B ，因为B 为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B得2147，解得3b ， 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B3131335321421414,则1153153sin 7322144ABC S ab C.选择③sin c Ac 5c ，则由正弦定理得sin sin a c A C 5sin C ，解得sin C ，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ，则 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C3111533321421414，则11sin 7522144ABC S ac B △11．(1)π3B (2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B 得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C ，对比已知222a b c ，可得222cos 222a b c C ab ab，因为 0,πC ，所以sin 0C ，从而sin2C ，又因为sin C B，即1cos2B ，注意到0,πB ，所以π3B .（2）由（1）可得π3B，cos2C ，0,πC ，从而π4C ，ππ5ππ3412A ，而5πππ1sin sin sin12462A，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c，从而,a b，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c，由已知ABC的面积为323338c所以c。
高考数学平面向量及复数专项训练试题、参考答案
高考数学平面向量及复数专项训练试题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量(cos 23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则 （ ）AB ．12C ．D ．12-2．如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23C ．2D ． 23-3．220041i i i ++++的值是 （ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．i 4．若(2,3)a =-, (1,2)b =-，向量c 满足c a ⊥,1b c ⋅=,则c 的坐标是 （ ） A ．(3,2)- B ．(3,2) C ．(3,2)-- D ．(3,2)- 5．使4()a i R +∈(i 为虚数单位）的实数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3,3,3AB e CD e AD ==-=，则四边形ABCD 是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，点P 在线段AB 上，且(0AP t AB =≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则使向量a b λ+与2a b λ-的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． (,1-∞--B ． (1)-++∞C ． (,1(13,)-∞--++∞D ． (11--+9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若12,z z C ∈且120z z ->且12z z >B ．22z z =C ．若0,z z -=则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ的值为 （ ） A ．2()4k k Z ππ-∈ B ．2()4k k Z ππ+∈ C ．2()4k k Z ππ±∈ D ．()24k k Z ππ+∈11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，下列结论中正确的是 （ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数21zz+ （ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：2||212z zi i -=+，则z= .14．把函数)2245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到22y x =的图象，且a ⊥b ，(1,1)c =-，4b c ⋅=，则b =_____________。
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C．若满足条件的 有且只有1个，则
D．若满足条件的 有两个，则
7．在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（）
A． B．
C． D．
8．下列关于平面向量的说法中正确的是（）
A．已知A、B、C是平面中三点，若 不能构成该平面的基底，则A、B、C共线
B．若 且 ，则
一、多选题
1．无
2．BD
【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.
【详解】
A选项，若与共线，与，都
解析：BD
【分析】
假设 与 共线， 与 ， 都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.
A．不确定B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
19．三角形 所在平面内一点P满足 ，那么点P是三角形 的（）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
20．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若 ，则∠B的大小是（）
A． B． C． D．
21．已知在四边形 中， ，则四边形 的形状是( )
A．
B．若 ，则
C． ，其中 为 外接圆的半径
D．若 为非直角三角形，则
5．下列结论正确的是（）
A．在 中，若 ，则
B．在锐角三角形 中，不等式 恒成立
C．若 ，则 为等腰三角形
D．在 中，若 ， ，三角形面积 ，则三角形外接圆半径为
6． 中， ， ，则下列叙述正确的是（ ）
A． 的外接圆的直径为4.
二、平面向量及其应用选择题
16．在 中， ， ，且 ， ，则点P的轨迹一定通过 的（）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
17．已知两不共线的向量 ， ，则下列说法一定正确的是（）
A． 与 的夹角为 B． 的最大值为
C． D．
18．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，设 为 的面积，满足 ，且角 是角 和角 的等差中项，则 的形状为（）
【详解】
A选项，若 与 共线， 与 ， 都不共线，则 与 不可能共线，故A错；
B选项，因为 ， , 是非零平面向量,若 ，则 ， ，所以 ，即B正确；
C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由 不能推出 ；如 与 同向， 与 反向，且 ，则 ，故C错；
D选项，若 ，则 ，
，所以 ，即D正确.
故选：BD.
C．若点G为ΔABC的重心，则
D．已知 ， ，若 ， 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为
9．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则下列结论． 的最大内角是最小内角的 倍D．若 ，则 外接圆半径为
10．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（）
A． B． C． D．
29．如图，为测得河对岸塔 的高，先在河岸上选一点 ，使 在塔底 的正东方向上，测得点 的仰角为60°，再由点 沿北偏东15°方向走 到位置 ，测得 ，则塔 的高是（单位： ）（ ）
A． B． C． D．10
30．在 中，若 ，则 的形状是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．以上都不对
22．如图，在 中， ，点 在边 上，且 ，则 等于（）
A． B． C． D．
23．在 中，若 ，则下列结论错误的是（）
A． B． C． D．
24．已知 所在平面内的一点 满足 ，则 （）
A．1∶2∶3B．1∶2∶1C．2∶1∶1D．1∶1∶2
25．如图， 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ， 与 交于E点.若 ，则 的长为（ ）
【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
A． B． C． D． 26．题目文件丢失！
27．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为 ，则山高BC=（）
A．500米B．1500米C．1200米D．1000米
28．在 中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若 ，则 等于（）
A． B． C． D．
14．已知实数m，n和向量 ， ，下列说法中正确的是（）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
15．下列命题中，正确的有（）
A．向量 与 是共线向量，则点 、 、 、 必在同一条直线上
B．若 且 ，则角 为第二或第四象限角
C．函数 是周期函数，最小正周期是
D． 中，若 ，则 为钝角三角形
A． B． C． D．
35．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点 ， 分别是△ 的外心、垂心，且 为 中点，则（）
A． B．
C． D．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
A． B．
C． D．
11．下列命题中，结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则A､B､C､D四点共线；
D．在四边形 中，若 ， ，则四边形 为菱形.
12．下列各组向量中，不能作为基底的是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是 ．则第四个顶点的坐标为（）
31．设 ， ， 为坐标平面上三点，O为坐标原点，若 与 在 方向上的投影相同，则 （）
A． B． C．-2D．2
32．在矩形 中， ，点 在边 上，若 ，则 的值为（ ）
A．0B． C．-4D．4
33．如图所示，矩形 的对角线相交于点 ， 为 的中点，若 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
34．如图所示，设 为 所在平面内的一点，并且 ，则 与 的面积之比等于（ ）
一、多选题1．题目文件丢失！
2．已知非零平面向量 ， , ,则（）
A．存在唯一的实数对 ，使 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．已知 的三个角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则该三角形的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
4．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的面积为 .下列 有关的结论，正确的是（）