2019年高考数学一轮： 第2章 第12节 导数与函数的极值、最值学案 文

第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．(对应学生用书第34页)[基础知识填充]1．函数的极值与导数(1)极值点与极值设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值．(2)极大值点与极小值点①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点；②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点．(3)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[知识拓展]1．对于可导函数f′(x)，f′(x)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．( )(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图2­12­1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )图2­12­1A．1 B．2C．3 D．4A[导函数f′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )3A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 B．－2C．4 D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增加的，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上是增加的．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________. 【导学号：00090069】8[y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.](对应学生用书第35页)利用导数研究函数的极值问题角度1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图2­12­2所示，则下列结论中一定成立的是( )图2­12­2A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．] 角度2 求函数的极值求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值．【导学号：00090070】[解] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；5分(2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝A ．又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，9分从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a lna ，无极大值. 12分角度3 已知极值求参数(1)(2018·青岛模拟)若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为( ) A ．2 B ．6 C ．2或6D ．－2或－6(2)(2018·广州一模)若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________. (1)B (2)2 [(1)∵函数f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，它的导数为f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，由题意知，在x ＝2处的导数值为12－8c ＋c 2＝0，∴c ＝6，或c ＝2，又函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，故导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数．当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23(x －2)，不满足导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数．当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12)＝3(x －2)(x －6)，满足导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数，故c ＝6.故选B ． (2)求导函数可得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2， ∴f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2，或a ＝6，当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，∴a ＝2.][规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程利用导数解决函数的最值问题(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.2分f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，k －1)k －1(k －1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋f (x )单调递减－ek －1单调递增所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞).5分 (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上是增加的， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ， 7分当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上是减少的，在(k －1,1]上是增加的， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上是减少的， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 10分综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ； 当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.12分[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值、最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值． [变式训练1] (2018·南昌模拟)函数y ＝x e －x，x ∈[0,4]的最小值为( ) A ．0 B ．1e C ．4e4D ．2e2 A [f ′(x )＝1－xe x ，当x ∈[0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1,4]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，∵f (0)＝0，f (4)＝4e 4＞0，∴当x ＝0时，f (x )有最小值，且f (0)＝0.]利用导数研究生活中的优化问题y 与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【导学号：00090071】[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.5分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.7分从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )是增加的极大值42是减少的所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分 [规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 40 [由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0＜x ＜40时，y ′＜0；x ＞40时，y ′＞0.所以当x ＝40时，y 有最小值．]。