空间向量数量积(一)
空间向量的数量积运算完整版课件
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
空间向量数量积运算第一课时练习题含详细答案
3.1.3空间向量的数量积运算一、选择题1．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） ①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++④AB CB CD AD -+-A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④2、在空间四边形ABCD 中，若AB a =，BD b =，AC c =，则CD 等于 ( ） A ．()a b c -- B ．()c b a -- C ．a b c -- D ．()b c a --3、已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3，且| a |=1，| b |=2，则向量 a 和向量 b 的夹角（ ） A ．30° B ．60° C ． 120° D ．150°4、已知空间向量 a ， b 满足条件：（ a +3 b ）⊥（7 a -5 b ），且（a -4 b ）⊥（7 a -2 b ），则空间向量 a ， b 的夹角＜a ， b ＞（ ）A ．等于30°B ．等于45°C ．等于60°D ．不确定5、若a ，b 为非零向量，则a·b =|a |·|b |是a 与b 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5、解析:因为a ,b 为非零向量，又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=|a ||b |, 所以cos 〈a ,b 〉=1.所以〈a ,b 〉=0,即a 与b 平行； 反之，若a 与b 平行，当〈a,b 〉=π时， a ·b =-|a |·|b |≠|a |·|b |,由此知应选A. 6、若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值一定是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定 7、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD. 0=+++OC OB OA OM 8、 a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］C.(0，π)D.［0，π］9、已知|a |＝22，|b|＝22，a . b ＝-2，则a 、b 所夹的角为（ ）A. 0B. 4πC. 2πD. 34π10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________． 2．已知平行六面体ABCD －A ′B ′CD ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→； ④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确式子的序号是________．3．已知空间向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．4．若AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →与CE →的位置关系为5．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________.6．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.小组： 组号： 姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、__________2、___________3、_____________4、_____________5、_____________6、_____________ 三、解答题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥平面ACB 1.2、如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．答案：一、选择：1---5 CDDCA 6-----10 BCBDB10．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形二、填空：1、解析：①中(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②中(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③中(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以①②正确．答案：①②2、解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③正确；(AB →＋BB ′→)＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC ′→＋C ′C →＝AC →，故④错误．答案：①②③ 3、解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.答案：－134、解析：AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →·(BE →－BC →)＝AB →·CE →＝0.∴AB →⊥CE →.5、解析： 设A B →＝b ，A C →＝c ，A D →＝d ，则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝0. 6、解析： m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32三、解答题：1、.证明：先证明BD 1⊥AC∵1BD = BC + CD +1DD ，AC = AB +BC ∴1BD ·AC =（BC + CD +1DD ）·（AB +BC ）=BC ·BC + CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=0∴BD 1⊥AC ，同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1 2、解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴24162322cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3225-． 附加解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)．DCBA备选：2、棱长为a 的正四面体ABCD 中，AB BC •+AC BD •的值等于（ B ） A ．0B.232aC. 22aD.23a7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( C )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++DC BD AB ，4||||||||=⋅+⋅DC BD BD AB ，0=⋅=⋅DC BD BD AB ， 则AC DC AB ⋅+)(的值为（ C ） A 、2 B 、22 C 、4D 、241．如图1，a 、b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．1、答案：相等 相反1、A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD =4，试求MN 的长.解析：1、连结AM 并延长与BC 相交于E ，又连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在MN =AE AF AM AN 3232-=- =EF AE AF 32)(32=- =)(32CE CF - =CB CD CB CD -=-(31)2121(32) =BD 31∴MN =|MN |=31|BD |=31BD =34。
课件 1.1.3空间向量的数量积运算-高中数学选择性必修1(新教材同步课件) 共10张PPT
应用探究
【例】BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，
□ABB1A1、□ BB1C1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，
求异面直线BA1与AC所成的角.
【例】已知长方体ABCD — A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为 侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
（1）BC ED1； （2）BF AB1 ； （3）EF FC1 .
解：如图，设―A→B ＝a，―A→D ＝b， ―A→A 1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. （1）―B→C ·―E→D 1＝b·[12(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16. （2）―B→F ·―A→B 1＝c－a＋12b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
∴B―→A1·―A→C ＝－a2. ∴cos〈B―→A1，―A→C 〉＝
2－a·a22a＝－12.
又∵〈B―→A1，―A→C 〉∈[0，π]，∴〈B―→A1，―A→C 〉＝120°，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC成60°角.
应用探究
拓广探索
【例】如图所示，平行六面体ABCD — A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2， AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
解：因为―A→C 1＝―A→B ＋―A→D ＋―A→A 1，
所以―A→C 21＝(―A→B ＋―A→D ＋―A→A 1)2 ＝―A→B 2＋―A→D 2＋A―→A12＋2(―A→B ·―A→D ＋―A→B ·―A→A 1＋―A→D ·―A→A 1).
高中数学空间向量的数量积运算
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
例2. 如图，m, n 是平面 内的两条相交直线， 如果l m, l n，求证：l ．
分析：根据直线和平面垂直的定义可知， 要证明l ，只需证明l 垂直平面
的任意一条直线．
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
已知：PO, PA分别是平面 的垂线 和斜线,AO是PA在平面 内 的射影，l , 且 l OA ， 求证：l PA .
分析：设直线l 的方向向量为a，
只需证明 a PA=0，
PA=PO OA,
解：由题设可得AC AB，
D b b a D'
CA , BD 120，
CD CA AB BD，
A
B
| CD |2 | CA |2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2 AB BD
b2 a2 b2 2b2 cos120 a2 b2
性质3)是求向量的长度(模)的依据.
空间向量的数量积满足如下运算律
1) ( a) b (a b)
2) a b b a (交换律）
3） a (b c) a b a c (分配律）
思考题：课本第90页 注意：
数量积不满足结合律
（a b) c a (b c)
②零向量与任意向量的数量积等于零.
2
空间向量的数量积性质 对非零向量a , b 有：
1) a e a cos a, e (e为单位向量)
2) a b a b 0
空间向量的数量积
空间向量的数量积空间向量的数量积，又称为内积或点积，是向量分析中的重要概念。
它表示了两个向量之间的相似程度，并且在许多领域中都有广泛的应用。
本文将探讨空间向量的数量积的性质、计算方法以及其在几何和物理中的应用。
一、定义和性质在三维空间中，设有两个向量A和B，它们的数量积定义为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示它们之间的夹角。
可以看出，数量积是一个标量，没有方向，只有大小。
数量积具有以下性质：1. A·B=B·A，即数量积的顺序不影响结果；2. A·A=|A|^2，即向量A与自身的数量积等于它的模长的平方；3. 若A·B=0，则A与B垂直。
二、计算方法根据定义，我们可以通过向量的坐标或分量来计算数量积。
设A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，则有A·B=x1x2+y1y2+z1z2。
三、几何意义空间向量的数量积在几何中有重要的意义。
首先，两个非零向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积。
通过计算数量积，我们可以判断两个向量之间的夹角大小，进而判断它们的相似程度。
此外，数量积还可以用来计算向量的投影。
设A为原点O到点P的向量，B为另一向量，其数量积A·B表示向量A在B方向上的投影长度。
这个概念在物理学中有广泛的应用，例如计算物体沿斜面下滑时的加速度分量等。
四、物理应用数量积在物理学中的应用非常广泛。
以力学为例，根据牛顿第二定律，物体受到的力可以表示为F=mA，其中F为力，m为物体的质量，A为物体的加速度。
如果我们知道物体的初速度v0和终速度v，可以计算出加速度A=(v-v0)/t，其中t为时间。
然而，如果我们只知道物体在运动过程中所受到的力F以及物体的速度v，我们也可以通过数量积计算出它们之间的夹角θ，进而得到加速度A=|F|cosθ/m。
此外，在电磁学中，数量积也有重要的应用。
11.4空间向量的数量积
注意： 注意： 两个向量的数量积是数量，而不是向量。 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量。 零向量与任意向量的数量积等于零。 ②零向量与任意向量的数量积等于零。 与平面向量中定义的比较。 ③与平面向量中定义的比较。
5、已知A（3，1，3）， （1，5，0），求 、已知 （ ， ， ）， ），B（ ， ， ）， ），求 （1）线段 的中点坐标及 的长度； 的中点坐标及AB的长度 ）线段AB的中点坐标及 的长度； 两点距离相等的点P（ ， ， ） （2）到A，B两点距离相等的点 （x，y，z）的坐 ） ， 两点距离相等的点 满足的条件。 标x，y，z满足的条件。 ， ， 满足的条件
D A B
C
已知E， 分别 例2、在正方体 、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知 ，F分别 的中点，求证： 是BB1，D1B1的中点，求证： ；（2） （1）EF//BD1；（ ）BD1⊥A1D。 ） 。 D1 解1、利用向量的线性运算 、 A1 解2、利用向量的坐标运算 、 D A B
F B1 E
3) a = a ⋅ a
2
①性质2）是证明两向量垂直的依据； 性质2 是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据； 性质3 是求向量的长度（ 的依据；
空间两个向量垂直的充要条件： 空间两个向量垂直的充要条件： a⊥b ⊥ a·b=x1y1+x2y2+x3y3=0
（5)空间向量的数量积满足的运算律 5)空间向量的数量积满足的运算律
3.1.3 空间向量的数量积运算(一)
a、 b a b cos a , b 叫做 a 、 b 的数量积,记作 a b 即 a的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量
, 则 .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
课堂练习
1. 已 知 a 2 2 , b 2 2 ,a b
2
,
则a 与b
135 的夹角大小为_____.
0, b 0
2.判断真假: 1)若 a b 0 , 则 a
2) (a b ) c a (b c ) 2 2 2 3) p q ( p q) 2 2 4) p q p q p q
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴、⑵是显然成立的 思考：你能证明分配律成立吗？
另外 a b a 及a b 0 ¿ c ¿ b c a 0或 b 0
练习运算
数量积不满足结合律即 （a b ) c a ( b c ) 注意：
A'
B'
D C
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 )
2 2 2
A B
85 | A C |
85
空间向量的数量积运算(一)
引 入 数量积运 算定义 课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
空间向量数量积
A F
B E
D C
A
D
A
B
C
图一
D
C B 图二
二、垂直问题
例1、在平面内一条直线与这个平面旳一条斜线旳射影 垂直，那么它也与这条斜线垂直。
已知，如图，PO、PA分别是平面 内旳垂线、斜线， AO是PA在平面 内旳射影， l 且l⊥OA， 求证：l ⊥PA.
P
O
l
A
例2、如图，m, n是平面内的两条相交直线， 如果l m, l n,求证：l .
① (a) • b (a • b);数乘结合律 ② a • b b • a;交换律 ③ a • (b c) a • b a • c.分配律
不能 不能
不一定
例1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等 于a， 点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，
求：(1)AB AC;(2)AD DB;(3)GF AC. A
l
m
g
n
例3、已知空间四边形 OABC中，AOB BOC AOC, 且OA OB OC, M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的 中点，求证：OG BC .
O
M
A
G
C
N
B
变式：正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点， O是底面ABCD的中心，求证： B1O 平面PAC .
（一）数量积旳定义
（1）空间向量旳夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间中任取一点O，作 OA a,OB b, 则AOB叫做向量a与b的夹角， 记作 a,b ,
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（2）、数量积旳定义
①：零向量与任历来量旳数量积为0 ②： a • a a a cos a, a a 2
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（一）数量积的定义
（1）空间向量的夹角 已知两个非零向量 a, b ，在空间中任取一点O，作
O A a, O B b, 则AO B 叫做向量a与b的夹角， 记作 a, b ,
(1)0 a, b ; (2) a, b b, a ; (3)若 a, b ＝ , 则称a, b互相垂直，记作 a b。 2
（2）、数量积的定义
已知两个非零向量a， b, 则 a b cos a， b 叫做a， b的数量积，记作a b， 即a b ＝a b cos a， b，
①：零向量与任一向量的数量积为0
②： a a a a cos a, a a
2
(3)数量积的运算律
① ( a) b (a b );数乘结合律 ② a b b a; 交换律 ③ a (b c) a b a c.分配律
评注：（1）由a b a c, 能不能得到b＝c？ ( 2)若a b k，能不能写成 a k b
不能 不能
, 即向量能不能进行除法运算？
(3)对向量a, b, c, ( a b)c a (b c)是不是一定成立？ 不一定
例1、已知空间四边形ABC D 的每条边和对角线都等 于a， 点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点， 求： (1)AB AC; ( 2)AD DB; ( 3)GF AC. A
A
M B N C D
例2 ：已知空间四边形ABC D 各边及对角线长都相等 ， E、F分别是BC、AD的中点，求AE与C F所成角的余弦。
A
F
B
E
D
C
例2、如图，在平行四边形 ABC D 中，AB AC 1, AC D 90。 ， 将它沿对角线AC折起，使AB与C D成60。 ，求B、D的距离。
l
m
g
n
例3、 已 知 空 间 四 边 形 OABC中 ，AOB BOC AOC , 且OA OB OC , M、N分 别 是 OA、BC的 中 点 ， G是MN的 中点，求证： OG BC .
O M A G N B C
变式：正方体 ABCD A1 B1C1 D1中，P是DD1的中点， O是底面 ABCD的中心，求证： B1O 平面PAC.
3、设A、B、C、D是空间不共面四点且满足 AB AC 0, AC AD 0, AB AD 0, 则BC D 是（） A、直角三角形，B、锐角三角形 C、钝角三角形，D、不确定
一、夹角与距离
(1)由数量积的定义a b a b cos a b , 则空间中 两个向量的夹角的余弦 ： cos a b ＝ ab ab ；
D1 A1
C1 B1
P
D O
C B
A
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这精湛的球技惊呆了，毕竟球门是那么的小，能传过去真的很神奇。这使她想起了很久之前的那个梗——天朝在发明蹴鞠时，没有想到今天， 腐国在发明乒乓球时，也没有想到今天。虽然蹴鞠和足球区别不小，但以这些人的技术，就算扔到二十一世纪，也绝对是数一数二的。啊，苍 天！我仿佛看到了国足辉煌的未来哦不，是过去。一场比赛还没有踢完，天上就飘飘洒洒下起了小雨。皇帝一挥手，那些踢蹴鞠的人便排成两 排下去了。“各位卿家，古人云‘清明时节雨纷纷’，这场春雨来的正是时候，不如在座诸位就以雨中景物为题作诗，作不出者便罚酒一杯。 张爱卿，不如就从你开始吧。”“禀皇上，臣不才，作七律一首，恭请皇上教诲„„”被叫起的是礼部尚书张岷，是张贵妃的另一位兄弟，也 是张祁渊的伯父。这位张尚书让慕容凌娢想起了一些不好的回忆——当年她初来醉影楼，就是因为白蝶提起了他，慕容凌娢帮腔，韩皓泽才会 莫名的炸毛，搞得慕容凌娢很不爽。这样想来，韩辰耀背后最大的势力就是张家，而韩皓泽和韩辰耀的关系最开始应该并不算好，但是现在他 们居然能联手。这到底是人性的扭曲还是道德的沦丧？是他们两人不计前嫌还是太子韩辉延实力不容小觑？这些，慕容凌娢都无从知晓。她只 知道，自己现在必须赶快想起一首念得出口的诗。（古风一言）倾尽泠水接天月，镜花如幻空意遥。第122章 流水线这位张尚书让慕容凌娢想 起了一些不好的回忆——当年她初来醉影楼，就是因为白蝶提起了他，慕容凌娢帮腔，韩皓泽才会莫名的炸毛，搞得慕容凌娢很不爽。这样想 来，韩辰耀背后最大的势力就是张家，而韩皓泽和韩辰耀的关系最开始应该并不算好，但他们居然能联手。这到底是人性的扭曲还是道德的沦 丧？是他们两人不计前嫌还是太子韩辉延太强？这些，慕容凌娢都无从知晓。她只知道，自己现在必须赶快想起一首念得出口的诗。“万叠云 容变态奇，斜风吹下雨依稀。谁鞭点电火循环转，直驾雷车次第施。悬溜如飞连臂弩，长虹敢曳竟天旗。分明节制堂堂阵，驱驭蛟龙演六师。” 张尚书作完之后，在他旁边的大臣一个接一个作诗，所作的居然都是七言律诗。这样看来，第一个作诗的人倒是占了便宜，随意说一种体裁， 下面的人都要跟着用同一种体裁。慕容凌娢原本并没有怎么仔细思考，作不出来顶多是喝杯水罢了。她是新人，轮座次，估计还没排到她，皇 帝就乏了。就算真的排到她了，一个新人作不出诗，也会特别引人注意。可是以目前的形式来看，皇帝还真是有毅力，硬生生是要把这一排人 都考过来完啊！慕容凌娢有点方了„„轮到徐念之了，他起身行礼，然后胸有成竹的诵道，“山头盖影望童童，好雨飘随淡荡风。洗出云环真 妩媚，露来石骨
( 2) a
aa
a ;
(a b ) 2 a 2 2a b b ; 2
2
一般常用的： ab abc a 2 b 2
(a b c ) 2 c 2 2a b 2b c 2a c .
例3、 如 图 ， 空 间 四 边 形 ABCD的 每 条 边 和 对 角 线 的长都等于 a， 点M , N分 别 是 AB、CD的 中 点 （1） 求 证 ： MN AB , MN CD （2） 求MN的 长 （3） 求 异 面 直 线 AN与CM所 成 角 的 余 弦 值
D A
D
A C B
例1、在平面内一条直线与这个平面的一条斜线的射影 垂直，那么它也与这条斜线垂直。 已知，如图，PO、PA分别是平面 内的垂线、斜线， AO是PA在平面 内的射影， l 且l⊥OA， 求证：l ⊥PA.
P O A
l
例2、 如 图 ， m, n是 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 ， 如 果l m, l n,求 证 ： l .
E
F D
B G C
练习： 1、空间四边形ABC D 各边及对角线长均为 1， E是BC的中点，那么（） A、 AE BC AE C D, B、 AE BC ＝AE C D C、 AE BC AE C D ，D、大小不能确定
2、已知空间四边形 ABCD ，则AB CD BC AD CA BD __;