空间向量的数量积(人教A版)(含答案)
人教A版选择性必修第一册高中数学1.1.2空间向量的数量积运算精品课件
2×4×cos 135°＋16λ
例题解析
例 9．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，有下列说法：
→1＋AD
→ ＋AB
→ )2＝3|AB
→ |2；②A→
→
→
→
→
①(AA
1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为 60°.
其中说法正确的有( B )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
知识梳理
三、数量积的运算规律：
注意：等式 (a b)c a (b c ) 是否成立？
不成立
练习：判断下列说法的真假.
（1）若a b 0, 则a 0或b 0;
（ × ）
（2）若a b b c(b 0),则a c;
（ × ）
2
2
（3） p q ( p q ) ;
A
知识梳理
投影向量
(1)投影向量
在空间，向量 a 向向量 b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，
进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，
b
c＝|a|cos〈a，b〉|b|，则向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量，
a
同理向量 b 在向量 a 上的投影向量是|b|cos〈a，b〉
A．0
B.－2
C．2
D.－3
1
1
→
→
→
→
如图所示．在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，因为 E，F 分别是棱 BC，AD 的中点，所以AE·CF＝ (AB＋AC)·
2
2
1
1
→
→
→
→
1.1.2 空间向量的数量积运算课件(人教版)
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
2.两个非零向量a,b的夹角〈a,b〉的范围是③ [0,π] ;若〈a,b〉=0,则向量a,b方向④相同;若 〈a,b〉=π,则向量a,b方向⑤ 相反 ;若〈a,b〉=π ,则向量a,b⑥ 互相垂直 .
2
空间向量的数量积
1.定义 已知两个非零向量a,b,则⑦ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积,记作⑧ a·b . 即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定:零向量与任意向量的数量积为⑨ 0 . 2.运算律 (1)(λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R; (2)交换律:a·b= b·a ; (3)分配律:a·(b+c)= a·b+a·c .
3.由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为
0,
π 2
,因此利用向
量的数量积求异面直线所成的角时,要注意角度之间的关系,当〈a,b〉∈
0,
π 2
时,它们相等;
当〈a,b〉∈
π 2
,π
时,它们互补.
利用空间向量的数量积求距离(或线段长)
1.用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量的模表示此距离; (2)用已知模和夹角的向量表示此向量; (3)用公式a·a=|a|2求|a|; (4)|a|即为所求距离. 2.求模公式的推广 由公式|a|= a a 可以推广为|a±b|= （a b）= a2 2abb2.
(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则 AE
·AF =
;
(2)在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则OG ·
空间向量的数量积运算【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件
空 间 向 量 的 数量积 运算【 新教材 】人教 A版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
【解析】 由底面 ABCD 为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD 知， DA⊥BD，则B→D·D→A＝0.
答案：A
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.
解析：因为|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3， 所以 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3－×32＝－21， 又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝23π. 答案：23π
知识点四、投影
思考 ：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量
a·b θ为 a，b 的夹角，则 cos θ＝____|a_|_|b_|_____________
对点练习：
2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b| ＝1，a·b＝－1 ，则两直线的夹角为( )
2
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：设向量 a，b 的夹角为 θ，则 cosθ＝|aa|·|bb|＝－12，所以 θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为 180°－120°＝60°.
(1)B→C·E→D1＝B→C·(E→A1＋A→1D1)＝b·12(c－a)
＋b＝|b|2＝42＝16.
(2)B→F·A→B1＝(B→A1＋A→1F)·(A→B＋A→A1)＝(c－
a
＋21b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)E→F·F→C1＝(E→A1＋A→1F)·(F→D1＋D→1C1)＝12(c－a)＋12b·21b＋a＝12(－a＋
2021年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析人教A版选修2_1
3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b∈[0，π]，其中，(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b＝|a ||b |cosa ，b ．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b？ 提示：不能，向量没有除法，k b无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cosa ，b )c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一 空间向量的数量积运算【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)． 解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二 利用数量积求夹角【例2】 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA→2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC→|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 类型三 利用数量积求距离【例3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】 转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解． 【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD→2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°， 2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2. 类型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .【分析】 本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】 不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：PA →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵PA →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2， PC →·B 1O →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴PA →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴PA →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →. ∴PA ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵PA ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面PAC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， ∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a . ∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0， 即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0， 即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2. 2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5.解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2. BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面ADC .。
人教A版高中数学选修2-1课件【23】空间向量的数量积运算
m2. 5 → → 又∵|A1C1|＝ 2m，|DE|＝ 2 m， 1 2 → → m 2 A1C1· DE 10 → → ∴cos〈A1C1，DE〉＝ ＝ ＝ 10 . → 5 |A1C1||DE| 2 m· 2m
12． 如图所示， 在平行四边形 ABCD 中， AB＝AC＝1， ∠ACD ＝90° ，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60° 角，求 B、D 间的距离．
→ → → 当〈BA，CD〉＝60° 时，BD2＝4； → → →2 当〈BA，CD〉＝120° 时BD ＝2. → ∴|BD|＝2 或 2，即 B、D 间的距离为 2 或 2.
→ → → 解：设正方体的棱长为 m，AB＝a，AD＝b，AA1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝m， a· b＝b· c＝a· c＝0. → → → → → → → → 又∵A1C1＝A1B1＋A1D1＝AB＋AD＝a＋b，DE＝DD1＋D1E＝ 1 → 1 → DD1＋2D1C1＝c＋2a.
1 1 2 1 1 2 1 → → ∴ A1C1 · DE ＝ (a ＋ b)·c＋2a ＝ a· c ＋ b· c ＋ a ＋ a· b＝ a ＝ 2 2 2 2
答案：D
5．已知 a，b 是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b， BD⊥b，且 AB＝2，CD＝1，则 a 与 b 所成的夹角是( A．30° B．45° C．60° D．90° )
→ → → → → → → → → 解析： ∵ AB · CD ＝ ( AC ＋ CD ＋ DB )· CD ＝ AC · CD ＋ | CD |2 ＋ → → → DB· CD＝|CD|2＝1， → → AB· CD 1 → → ∴cos〈AB，CD〉＝ ＝ ，∴a 与 b 的夹角为 60° . → → 2 |AB||CD|
1.1.2空间向量的数量积运算课件高二上学期数学人教A版选择性(1)
.
析 : 设BB1 1,
AB1
BC1
11 cos120
1
1 2
,
cos AB1, BC1
AB1 BC1 1 2 2 4
应用③求异面直线所成角：即求两向量的夹角或其补角(先求数量积,再除以模之积)
应用④证线线垂直：证明两向量的数量积为0
典例解析
例3 如图示, 已知直线m, n是平面α内的两条相交直线, 如果直线l⊥m, l⊥n，
设 a, b 是非零向量，它们的夹角是 ，e是与 b方向相同的单位向量，则
(1) a e e a = |a|cos ；
(2)a b _a__b___0____ 证明两向量垂直的依据；
(3)当a与b同向， a b __|_a_||b_|____
当a与b反向， a b __-|a_|_|b_| _____
新知探究 问题4.1 对于三个均不为 0 的数a, b, c, 若ab ac,则b c. 对于向量a, b, c,
由a b a c,你能得到 b c 吗？如果不能, 请举出反例.
a
a bab 0
c
a c ac 0
b
a b a c 0，但b c
问题4.2 对于三个均不为 0 的数a, b, c, 若ab c, 则a c . 对于向量a, b, c,
(4)a
a
__a_2____或
|
a
|
2
___a_____
求向量的长度(模)的依据.
(5) a b |a||b| ； ab
(6)cos a b |a||b| ； 求两向量夹角的依据.
新知探究
问题2 在平面向量的学习中,我们学习了向量的投影. 类似地,向量 a 在向量 b 上的投影
第02讲 空间向量的数量积运算(4种类型)(答案与解析)
2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅= ；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅ ；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=⋅。
要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
空间向量的数量积运算 高中数学新教材人教A版
若 ∙ =k，能不能写成 =
(或
解析：由 ∙ =k，不能写成 =
有除法运算
= )的形式?
(或 = )的形式，即向量没
知识点一 空间向量的投影
思考5
对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab )c =a(bc)．
对于向量，，，( − )=( − ）成立吗?为什么?
(3)因为AA’ · AD=5×3×cos
2
15
60°= ，AD
2
· AB=3×4×cos 90°=0
所以 =(++’)
= 2 + 2 + ’ 2 +2(·+·’+’·)
15
2
=42 ＋32 +52 +2(0+10+ )=85，所以 = 85.
= + .
将上式两边分别与向量作数量积运算，得
⋅ = ⋅ + ⋅ ,
因为 ⋅ =0， ⋅ =0(为什么?)，所以 ⋅ =0.所以 ⊥ .
这就证明了直线垂直于平面α内的任意一条直线，所以 ⊥平面α.
课堂检测
1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与
在平面β上的投影向量．这时，向量，A′B′的夹角就是向量α所在直线
与平面β所成的角.
β
’
图
(3)
’
空间向量的数量积满足如下的运算律:
()·=(·)，∈R
·=·(交换律)
·(＋)=·+·(分配律)
知识点一 空间向量的投影
思考3
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空间向量的数量积（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( )
A.(1，1，1)
B.(-2，-1，1)
C.(1，-3，1)
D.(1，-1，1)
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( )
A.或2
B.或2
C.2
D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
4.向量，若，且，则的值为( )
A.-2
B.2
C.-1
D.1
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
5.已知空间向量，若与垂直，则( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( )
A.4
B.−4
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( )
A.1
B.2
C.3
D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积
8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积
9.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积10.(上接第9题)( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积。