高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积练习

【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积练习基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.一个简单几何体的正视图、侧视图分别为如图所示的矩形、正方形，则其俯视图不可能为( )A.矩形B.直角三角形C.椭圆D.等腰三角形解析 依题意，题中的几何体的俯视图的长为3、宽为2，因此结合题中选项知，其俯视图不可能是等腰三角形，故选D.答案 D2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2πB.13π6C.7π3D.5π2解析 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.所以该几何体的体积为12×13×π×12×1＋π×12×2＝13π6，故 选B.答案 B3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A.3B.32C.1D.32 解析 如图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝32AB ＝3， 又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高.∴VA －B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝13×12×2×3×3＝1，故选C. 答案 C4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π解析 如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C.答案 C5.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ≈3209(立方尺).所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛). 答案 B二、填空题6.如图所示，E ，F 分别为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号).解析 由正投影的定义，四边形BFD 1E 在面AA 1D 1D 与面BB 1C 1C 上的正投影是图③；其在面ABB 1A 1与面DCC 1D 1上的正投影是图②；其在面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1上的正投影也是②，故①④错误.答案 ②③7.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)如图，半球内有一内接正四棱锥S －ABCD ，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为________. 解析 设所给半球的半径为R ，则棱锥的高h ＝R ，底面正方形中有AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2R ，∴其体积为23R 3＝423，则R 3＝22，于是所求半球的体积为V ＝23πR 3＝423π. 答案 423π 8.(2016·舟山高三检测)在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析 如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，△PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E －ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14. 答案 14三、解答题9.如图是一个几何体的正视图和俯视图.(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积.解 (1)正六棱锥.(2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ， ∴该平面图形的面积S ＝12 3a ·3a ＝32a 2. (3)V ＝13×6×34a 2×3a ＝32a 3. 10.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·杭州模拟)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A.8πB.16πC.32πD.64π解析 由三视图可知此几何体为一横放的四棱锥，其底为边长为4的正方形，高为2，其中平面SAB ⊥平面ABCD ，易知SA ＝SB ＝22，故可补全为以DA 、SA 、SB 为棱的长方体，故2R ＝DA 2＋SA 2＋SB 2＝32＝42，∴R ＝22，∴S 表＝4πR 2＝32π.答案 C12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A.6 2B.4 2C.6D.4解析 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A －BCD ，最长的棱为AD ＝（42）2＋22＝6，选C.答案 C13.已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为________.解析 由题意知，如图所示，在棱锥S －ABC 中，△SAC ，△SBC 都是有一个角为30°的直角三角形，其中SC ＝4，所以SA ＝SB ＝23，AC ＝BC ＝2，作BD ⊥SC 于D 点，连接AD ，易证SC ⊥平面ABD ，又易得AD ＝BD ＝3，由已知AB ＝3，因此V S －ABC ＝13×34×(3)2×4＝ 3. 答案 314.如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A －MBC 的体积.法一 (1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .(2)解 由AB ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，得AB ⊥BD ，∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12. ∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14. 由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C －ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝ V C －ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.法二 (1)证明 同法一.(2)解 由AB ⊥平面BCD 且AB ⊂平面ABD 知，平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ， 且MN ＝12AB ＝12，又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V A －BCD －V M －BCD＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112.。