6.5 含绝对值的不等式
大纲版高二数学下§6.5含绝对值的不等式(修改稿51-58页)
∴ Δ = a -4b<4±a 2 2 由此得-4<-a - a -4b≤-a+ a -4b<4 ∴-2<α ≤β <2,即|α |<2,|β |<2. 2 证明二:设 f(x)=x +ax+b,则它的图象是开口向上的抛物线. ⑴ 由|α |<2,|β |<2 可得|b|=|α β |<4 f(-2)>0,f(2)>0 即 4+2a+b>0 且 4-2a+b>0 故 -(4+b)<2a<4+b. ∴2|a|<4+b ⑵ 由 2|a|<4+b 可得-(4+b)<2a<4+b 故 4+2a+b>0,4-2a+b>0 即 f(-2)=4-2a+b>0 且 f(2)=4+2a+b>0 由此可知,f(x)=0 的两根都在区间(-2,2)内 或α <β <-2 或 2<α <β 若α <β <-2 或 2<α <β ,则|α β |>4,这与|α β |=|b|<4 矛盾, 所以|α |<2,|β |<2. 方法规律: 由题目提示信息,发现并沟通题设条件和特征结论之间的联 系,要使系数与根发生联系需利用韦达定理或利用三个二次型之 间的关系,是不等式性质逆用也是解题的常用技巧.
|a+b| |a|+|b| ∵f(|a+b|)= , f(|a|+|b|)= 1+|a+b| 1+|a|+|b| 又∵|a|+|b|≥|a+b| ∴f(|a|+|b|)≥ f(|a+b|) ∴ |a|+|b| |a+b| ≥ 成立 1+|a|+|b| 1+|a+b|
含有绝对值的不等式数学教案
含有绝对值的不等式数学教案（1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法；（2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法；（3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法；（4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。
教学建议一、知识结构二、重点、难点分析①本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神．②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点．三、教学建议（1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例．（2）课前复习应充分．建议复习：当时；；以及绝对值的性质：，为证明例1做准备．（3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？大小关系如何？是否等于？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论．（4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨．（5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论．（6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神．教学设计示例含有绝对值的不等式教学目标理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。
6.5含绝对值的不等式
4．不等式|2x2－1|≤1 的解集为( A ) A．{x|－1≤x≤1} C．{x|0≤x≤2} B．{x|－2≤x≤2} D．{x|－2≤x≤0}
解析 |2x2－1|≤1，即－1≤2x2－1≤1. 2x2≤2 ∴ 2 ⇒－1≤x≤1. 2x ≥0
5．已知 a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是 ( C ) A．|a＋b|≥a－b C．|a＋b|<|a|＋|b|
(1)画出函数 y＝f(x)的图象； (2)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空， a 的取值范围． 求
解
(1)由于
－2x＋5，x<2， f(x)＝ 2x－3，x≥2，
则函数 y＝f(x)的
图象如图所示．
(2)由函数 y＝f(x)与函数 y＝ax 的图象可知，当且仅当 1 a≥2或 a<－2 时， 函数 y＝f(x)与函数 y＝ax 的图象有交 点，故不等式 f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为 1 (－∞，－2)∪2，＋∞.
2．两数和、差的绝对值的性质 |a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b|. 提醒：特别注意此式，它是两数和、差的绝对值与 绝对值的和、差性质，应用此式求某些函数的最值 时一定要注意等号成立的条件． |a＋b|＝|a|＋|b|⇔ ab≥0 ； |a－b|＝|a|＋|b|⇔ ab≤0 ； |a|－|b|＝|a＋b|⇔(a＋b)b≤0 ； |a|－|b|＝|a－b|⇔ (a－b)b≥0 .
解析 ∵ab>0，∴a，b 同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，
∴①和④正确．
(－4，－2)∪(0,2) 3．不等式 1<|x＋1|<3 的解集为__________________．
解析 由 1<|x＋1|<3，得 1<x＋1<3 或－3<x＋1<－1， ∴0<x<2 或－4<x<－2， ∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．
6.5含有绝对值的不等式
由a 1 b 1 可知 a 2 )(1 b2 ) 0成立，所以 ， , (1
ab 1 1 ab
补充练习
证明：因为f x x x 1， a ＜1， x
2
所以 f x f a x x a a
2 2
x a x a 1 ＜ x a 1 ， | x a 2a 1| x a | 2a 1| ＜1 | 2a 1 2( a | 1)．
a 解析：∵ab＞0，∴ 与 bx 同号． x a a a ∴| ＋bx|＝ | |＋|bx|≥2 | |· |bx| x x x ＝2 ab， 故选 B.
二.含有绝对值不等式的证明
例1.已知 x , y , z , 求证 x 2 y 3z 3 6 9
证明: x 2 y 3z x 2 y 3z
2. 求证：⑴ | x a | | x b | | a b | ； ⑵| x a|| x b||a b|.
三.含有绝对值的函数最值问题
求形如y＝|x＋m|＋|x＋n|的函数的最值常用以下三种方法
(1)借助定理|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|的推论 |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|可得 |x＋m|＋|x＋n|≥|(x＋m)－(x＋n)|＝|m－n|.
（2）分段（零点分段法）画出函数y＝|x＋m|＋|x＋n| 的图象亦可求得
(x－4)(x－3)≤0即3≤x≤4时等号成立，要使 |x－4|＋|x－3|＜a有解，则必有a＞1.
练习
1. 若不等式 | 2 x＋ － | 4. 1|
x－4 | m恒成立，
【解析】设f x | 2 x 1| | x 4 | ， 1 x 5 (x 2) 1 则f x 3x 3 ( x 4) , 2 ( x 4) x5
含绝对值不等式的解法及应用 ppt
题型分类·深度剖析
题型二 与函数有关的绝对值不等式 思维启 迪 解 析 探究提 高
【例 2】 设函数 f(x)＝|x－1|＋|x－a|， (1)若 a＝－1，解不等式 f(x)≥3； (2)如果任意 x∈R，f(x)≥2， 求实数 a 的取值范围．
题型分类·深度剖析
题型二 与函数有关的绝对值不等式 思维启 迪 解 析 探究提 高
4．如果关于 x 的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1 的解集是全体实数，则实 数 a 的取值范围是 A．(－∞，3]∪[5，＋∞) C．[3,5] B．[－5，－3] D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
• 。
(
)
2．若关于 x 的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1 在 R 上的解集为∅， 则实数 a 的取值范围是 A．a<－1 或 a>3 C．－1<a<2 B．－1<a<3 D．1<a<3 ( )
作业：写不等式强化练习：P293—294
再
见
谢 谢 大 家
f x g x f x g x 或f x g x
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
请讲出下列不等式 的解法
1 2 3x 2 3x
2 2 3x 5
由－2x＋12＝2 得 x＝5.由函数 f(x)图象可知，原不等式的解集为{x|x<5}．
学到这里，你能归纳出什么结论吗？
• .
x a x b的最值是？ 最小值是 b a ，无最大值
x a x b的最值是？ 最小值是 b a , 最大值是 b a
练习：P291——292 A组4， B组2、4、5
6.5 含绝对值的不等式(理)
第五节 含绝对值的不等式知识要点梳理一、基础知识1、绝对值的基本性质：⎩⎨⎧<-≥=∈0,0,a a a a a R a 则设 ()()""001==≥取当且仅当a a ； ()a a±≥2；()a a a ≤≤-3 ()a b b a a a -=-=-,4；()225a a =2、绝对值的运算法则（性质） ()b a b a b a +≤+≤-1（注意不等式成立的条件） ()b a b a b a +≤-≤-2（注意不等式成立的条件） 以上二式中，左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号()b a ba ⋅=⋅3 ()b a b a =43、解绝对值不等式的思路 ()则设R x a ∈>,01a x a a x a x <<-⇔<⇔<22；a x a x a x a x >-<⇔>⇔>或22若a R ∈，则需对a 进行分类讨论： |x|<a ⇔,0,0,a x a a a -<<>⎧⎨∅≤⎩；|x|>a⇔⎪⎩⎪⎨⎧<∈=≠>-<>.0,,0,0,0,a R x a x a a x a x 或()()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔<2()()()()()()x g x f x g x f x g x f -<>⇔>或()()()()()()()()()()()0322>-+⇔>⇔>x g x f x g x f x g x f x g x f（4）含有多个绝对值符号的不等式，例如：形如|x －a |+|x －b |≥c 、|x-a|+|x+a|<c 或|x-a|--|x-b|>c 的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”求解。
6.5 含绝对值的不等式
|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤7. ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ － － ＋ － ＋ 此与f(2)＞ ＞ 此与 矛盾． 矛盾．
变式3.已知 ＝ 定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2， 变式 已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间 已知 ＋ 定义在区间 上 ， 证明： 证明：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|； ＝ ； － ； (3)|f(x2)－f(x1)|< － ；(4)|f(x2)－f(x1)|≤ － .
上恒成立， 故|f(x)－g(x)|≤1在x∈[2,3]上恒成立，从而两函数是接近的． － 在 ∈ 上恒成立 从而两函数是接近的． 答案： 答案：B
2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为 ．不等式 ＜ ＋ ＜ 的解集为 的解集为( A．(0,2) ． C．(－4,0) ．－
)
B．(－2,0)∪(2,4) ．－ ∪ D．(－4，－2)∪(0,2) ．－ ， ∪ 或 0＜x＜2或－4＜x＜－ ，故选 项． ＜－2，故选D项 ＜ ＜ 或 ＜ ＜－
(3)不妨设 2>x1，由(2)知|f(x2)－f(x1)|<x2－x1.① 不妨设x 不妨设 知 － ① 而由(1)知 ＝ 而由 知f(0)＝f(1)，从而 2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)| ，从而|f(x － ＝ － ＋ － ≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|<|1－x2|＋|x1|＝1－x2＋x1② － ＋ － － ＋ ＝ － ①＋②得2|f(x2)－f(x1)|<1，即|f(x2)－f(x1)|< . － ， － (4)|f(x2)－f(x1)|≤f(x)最大－f(x)最小＝f(0)－f( )＝ － － ＝ .
含绝对值不等式
典型例题
例３、解不等法： （１）零点分段法；（通性通法） （２）几何意义法； （３）函数图象法．
典型例题
xa 例４、已知不等式 x 3 的解集为Ａ． 2 （１）若Ａ＝ 求实数a 的取值范围；
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
f ( x ) g( x ) f 2 ( x ) g 2 ( x )
3、零点分段法：如 ax b cx d k
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
二、含绝对值不等式的解法： 1、等价转化法： 2、平方法：
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
【思维点拨】 １、需分别证明充分性和心要性； ２、通过分类讨论利用结论：
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
典型例题
例２、解不等式：
1 x 2x 2
2
【思维点拨】 本题有多种解法： （１）定义法； （２）等价转化法； （３）函数图象法. 注意： f ( x) g( x) g( x) f ( x) g( x);
高中数学第六章《不等式》 第 5 课
含绝对值不等式
问题:
a>b是a2>b2的什么条件？ 答案：既非充分又非必要条件.
知识梳理:
一、含绝对值不等式的证明：
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6.5含绝对值的不等式
作者：王勇|来源：东北育才学校高中部浏览次数：776次
东北育才网校| 2008-1-7 11:25:58
不等式的解集为
、不等式
的定义域是（－∞，－
2=log3
((
(
)=|log
已知，若的充分条件是，，则
．．．
由，得
的充分条件是A
∴
若函数满足, 且时则函数的图象与函数
，，求证：；
的取值范围，使不等式对满足的一切实数恒成立
∴
∴对于任意满足
成立
)［
)
()+
)
1
+－
的全体；对于定义域
有.
时，
∞）时，求证举例说明存在一个时，若
，任取
属于
，则
若，则只需有
事实上，令，而，故
时，任取时，都有
∴
，
）∴
时，
时，符合
上的任意，
．．．
a,b|=R)
的不等式＋|5≥上恒成立，求实数
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即
上且满足如下条件的函数组成的集合：
①对任意，都有
②存在常数，使得对任意的，都有
，证明：
如果存在,是唯一的
任取证明
解：对任意,,
所以，对任意的，
，
，所以
0<,
令，
所以
设存在两个使得则由
得，所以
，所以。