等式的性质,方程的解和解方程
【基础知识精讲】等式和它的性质
【基础知识精讲】等式和它的性质等式是数学中的重要研究对象，它是从客观世界中存在的相等关系中抽象出来的.所以等式的实质是用含有等号的式子来表示相等关系.运用等式的性质可以对等式进行变形.本章的学习重点————解一元一次方程，实际上就是等式变形.1．关于等式的概念 首先看下面这样的式子： 2+3=3+2，3+x=5,a(b+c)=ab+ac,S=21ah,m+2m=3m.它们都是用等号连接两个代数式而成.像这种用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律，运算法则等.所以等式可以表示不同的意义. 我们看上面的几个等式，在等式m+2m=3m 里,不论m 等于任何数值，左边和右边的值总是相等.在等式a(b+c)=ab+ac 中，不论a ，b ，c 各等于任何数值，左边和右边也总是相等的.一个等式，不论用何数值代替其中的字母，它的左、右两边的值总是相等，这样的等式叫恒等式.由数字组成的等式，都是恒等式.一个等式，只取某些数值代替等式中的字母时，等式才成立，而取另外一些数值代替等式中的字母时，等式不成立，这样的等式叫做条件等式.如x+3=5,S=21ah 等.综上所述，等式可以分成两类：即恒等式和条件等式.我们接下来要学习的方程就是条件等式.为方便起见，在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边.一般说，等式的左边和右边都是代数式，但等式不是代数式.等式含有等号，代数式不含等号.2．关于等式的性质等式性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. 等式性质2 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式. 例如：3x-2=8是一个等式.3x-2+2=8+2 (等式两边都加上2) 得3x=10 (所得结果仍是等式) 又如：3x+5=7, (等式两边都减去5) 得3x=2 (所得结果仍是等式)再如，31x=-9,根据等式性质2，得31x ×3=-9×3 （等式两边都乘以3）得x=-27 （所得结果仍是等式） 再如，-5x=15,等式两边同除以-5， -5x ÷(-5)=15÷(-5), 得x=-3.由此可见，运用等式的性质可以使方程变形为所需形式.所以等式的性质是解方程的理论依据.等式还有两条性质，在解一元一次方程时也会用到，它们是：（1） 对称性：如是a=b ，那么b=a..即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式； （2） 传递性：如果a=b ，且b=c ，那么a=c.这一性质也叫做等量代换 【重点难点解析】1． 本节的重点是等式的两条性质的变形应用；难点是找出等式变形的根据.2． 运用等式性质1时，必须注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式、才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系.如2+3=5，如果左边加上5，左边加上6，那么2+3+5≠5+6.运用等式性质2时，要注意等式两边都乘以（或除以）同一个数（不是同一个整式），才能保证所得结果仍是等式，还要注意0不能作除数.3． 利用等式性质把等式变形，如填空并说明：若5x=4x-7,那么5x- =-7，是怎样变形的？解答这类题的关键是看第二个等式中不需要填空的一边是怎样由第一个等式的相应一边变化而来的.如该例中第二个等式中的右边-7是由第一个等式的右边4x-7减4x 得到的，所以第二个等式的左边也应是5x-4x ，因此填空为4x.例1 判断下列各式中哪些是等式？哪些是代数式？①3x-4 ②a-b-c=a-(b+c) ③5x+6=10 ④6-10=-4 ⑤ a(m+n)=am+an ⑥ x 2-2x+1 分析：根据等式，代数式的意义来进行判断. 解：② 、 ③、 ④、 ⑤是等式，① 、⑥是代数式.注：等式和代数式既有区别，又有联系.首先等号是关系符号，而代数式中只有运算符号，所以代数式不是等式，但等式的左、右两边可以是代数式.例2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质以及怎样变形的？ （1）若4x=7x-5,则4x+ =7x; （2）若8a=3a+4,则8a- =4;（3）若2x=8，则5x=.分析：题（1）等式的右边由7x-5变成了7x,说明右边加上了5，根据等式性质1，左边4x 也要加上5.题（2）等式的右边由3a+4变成了4，说明减去了3a,根据等式性质1，左边8a 也要减去3a.题（3）等式的左边由2x 变成了5x ，说明乘以25，根据等式性质2，右边的8也要乘以25.解：（1）4x+5=7x,根据等式性质1，等式两边都加上5. （2）8a-3a=4,根据等式性质1，等式两边都减去3a.（3）5x=20根据等式性质2，等式两边都乘以25.注：解这类题时，先从不需填空的一边入手，看这一边是怎样变形的，再根据等式的性质1或性质2，对另一边进行变形. 例3 回答下列问题：（1）从2a+3=2b-3,能不能得到a=b,为什么？ （2）从5ab=6b,能不能得到5a=6，为什么？解：（1）从等式2a+3=2b-3,不能得到a=b.根据等式性质1，等式两边都减去3，得2a=2b-6;再根据等式性质2，等式两边都除以2，得a=b-3.而b 不可能等于b-3，∴a ≠b.（2）当b=0 时，从5ab=6b ，不能得到5a=6.这是因为等式两边不能都除以0. 当b ≠0时，根据等式性质2，能得到5a=6.这是在等式两边可以同除以b (b ≠0).【难题巧解点拨】例1 解方程：4x=7分析：若去掉绝对值，则应确定4x的符号，故要讨论x 的范围，即：x>0,x<0,或x=0.解：当x>0时，4x=7，∴x=28当x=0时，0=7.这是不可能的. ∴x =0不是此方程的解.当x<0时，-4x=7，∴x=-28.综上所述，此方程的解是：x=28或x=-28. 例2 解方程：321=++-x x解：（1）当x ≤-2时：-（x-1）-(x+2)=3 ∴x=-2 （2）当-2<x ≤1时：-（x-1）-(x+2)=3 3=3 x 为在-2<x ≤1内的任何有理数.（3）当x>1不在x>1的范围内，故在x>1范围内此方程无解. ∴ 综合（1）、（2）、（3）得出此方程的解为-2≤x ≤1注：此为绝对值中含有未知数的方程，通过对未知数的范围进行分段考虑，可把原方程转化为一元一次方程来解.具体分段方法是：首先令各绝对值内的整体为0，以求出未知数的各分点.如本题中：令x-1=0和x+2=0,得到分点x=1和x=-2，从而将未知数x 的范围按从小到大（或从大到小）的顺序分为：x ≤2,-2<x ≤1,x>1三段.其次分别在未知数各段内对原方程进行转化. 另外，应注意检查各方程的解是否在未知数的对应各段范围内，只有在内，此解方是方程在这个范围内的解；若解不在该范围内则此方程在这个范围内无解. 【课本难题解答】1．已知x 、y 都是数，利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形，然后填空： （1）如果x+y=0,那么x=.这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数.（2）如果xy=1,那么x=.这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数.解：（1）-y,互为相反数.（2）y 1，互为倒数.注：（1）题运用了等式的基本性质1，两边都加上-y;(2)题运用于等式的基本性质2.两边都乘以y 1；这两题从等式变形的角度来讲相反数与倒数，从而将“互为相反数”和“互为倒数”以等式的形式反映出来.2．用适当的数填空： （1）如果-1=x,那么x=;（2）如果x=y,y=0.6,那么x= ； （3）如果x=0,y=0,那么x=y=.分析：（1）由于等式具有对称性，所以等式的左右两边的代数式可以互换位置，交换等式-1=x 的左右两边即可得x=-1;（2）由于等式具有传递性，所以从x=y,y=0.6可知x=0.6,（3）由等式的对称性和传递性可得x=y=0. 【典型热点考题】例1 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的. （1）如果3a=5a-4,那么3a+ =5a;（2）如果3a=6,那么5a= ;（3）如果5=x,那么x=;（4）如果a=b,b=c,c=d,那么a=.解：（1）3a+4=5a.根据等性质1，等式两边都加上4.（2）5a=10.根据等性质2，等式两边都乘以35.（3）x=5,根据等式性质3，左右两边互换. （4）a=c 或 a=d ，根据等式性质4.等量代换.例2 判断下列各式中，哪些是代数式？哪些是等式？哪些是恒等式？哪些是条件等式？哪些是不等式？ ①3a+4; ②5a+6=7; ③x+2y=8; ④am+bm=(a+b)m; ⑤5-3=2;⑥ x-1>y; ⑦2a 2-3a 2; ⑧3a<-2a. 解：① ⑦是代数式；② ③ ④ ⑤是等式；④ ⑤是恒等式；② ③是条件等式；⑥⑧是不等式. 注：应掌握代数式、等式、不等式的意义，它们之间的区别与联系. 例3 选择题：（1）由等式3a-5=2a+6得到a=11的变形是（ ）. A ．等式两边都除以3；B ．等式两边都加上6；C ．等式两边都加上（2a-5）;D ．等式两边都减去(2a-5).（2）下列说法中正确的是（ ）. A ．在等式ab=ac 两边都除以a,可得b=c; B ．在等式3a=9b 两边都除以3，可得a=3b;C ．在等式a ca b =两边都除以a,可得b=c ； D ．在等式ax=bx 两边都乘以x,可得a=b ； （3）下列推理错误的是（ ）.A ．若x=y,则ax=ay;B ．若-21x=6,则x=-12;C ．若,3232a c a b =则b=c;D ．若3x 2=3y 2,则x=y解：（1）D ；（2）B ；（3）D例4 已知a 、b 都是数，利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形，再填空： （1）若a+b=0,则a=. 这就是说，如果两个数之和为0，那么这两个数.（2）若a=-b,则 a+ =0.这就是说，如果两个数互为相反数，则这两个数的和 .（3）若ab=1，则a=，这就是说，如果两个数的积为1，则这两个数.（4）若a=b 1，则=1，这就是说，如果两个数互为倒数，则这两个数的积 .解：（1）-b,互为相反数. （2）b,0 （3）b 1,互为倒数. （4）ab,1.说明：本例从等式变形角度刻画相反数、倒数 【同步达纲练习】（时间45分钟，满分100分）1．填空题：（5′×6=30′） （1）在等式7m-6=3m 的两边同时 ，得到4m=6,这是根据 . （2）在等式5a-7=8-9a 的两边同时，得到14a=15, 这是根据.（3）在等式43x=-5的两边都或，得到x=-320.（4）a+b=0，可得a= ；由a-b=0,可得a= ;由ab=1,可得a= .（5）由a=-2,b=-2,可得ab ；由a=-b ，可得b=，-b=.（6）比x 的一半少3的数是y 的32，用等式可以表示为.2．选择题：（6′×5=30′） （1）下列结论正确的是（ ） A ．若x+3=y-7,则x+7=y-11; B ．若7y-6=5-2y,则7y+6=17-2y; C ．若0.25x=-4,则x=-1;D ．若7x=-7x,则7=-7.（2）下列说法错误的是（ ）.A ．若a y a x =,则x=y; B ．若x 2=y 2,则-4x 2=-4y 2;C ．若-41x=6,则x=-23;D ．若6=-x,则x=-6.（3）已知等式ax=ay,下列变形正确的是（ ）. A ．x=yB ．ax+1=ay+1C ．ay=-axD ．3-ax=3-ay（4）下列说法正确的是（ ）A ．等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C ．等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；D ．一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；（5）将等式2-31-x =1变形，应得（ ）A ．6-x+1=3B ．6-x-1=3C ．2-x+1=3D ．2-x-1=33.(1)怎样从等式2x 2-3=0，得到x 2=23；(10′) (2) 怎样从等式032=-b a ，得到a=32b ；(10′)(3) 怎样从等式31m-3=m ，得到m=-4.5；(10′) (4) 怎样从等式S=21ah ，得到a=h 25.(10′)【素质优化训练】1．判断题：（1）3(a+b)=3a+b 不是恒等式；（ ） （2）由5a-3=2a+3变形，得到7a=6; （ ） （3）由5x-2=x+2变形可得x=1; （ ）（4）无论x 取何数值时，等式3x=5x 都不成立；（ ）（5）由2312yy x -=+两边都乘以2，可得x+y=1-3y. （ ） 2．选择题：（1）下列各式中，等式共有（ ）个.a+b+c=d;5a-3a –2a;(a-1)(a-2)=0;a-1<a-2;-a(a-b)=b-a;a 2>a;a(a-1) A ．2B ．3C ．4D ．5（2）若等式(a-1)(a-2)=0成立，那么a 等于（ ）. A ．1B ．2C ．1或2D ．任意有理数（3）下列说法中：①若mx=my,则x=y;②若mx=my,则mx+my=2my; ③若my=my,则mx-my=0; ④若mx=my,则mx 2=my 2,其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．解答题：（1）将等式3a-2b=2a-2b 变形；两边都加上2b,得3a=2a,两边同除以a,得3=2，错在什么地方？（2）将公式S=21（a+b ）h 怎样变形，才能得到a=bh S-2(其中字母都不等于0).【生活实际运用】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长为粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时.有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？ 参考答案： 【同步达纲练习】1.(1)减去3m-6,等式性质1; (2)加上9a+7,等式性质1; (3)乘以34,都除以43; (4)-b,b,b 1.(5)=,-a,a; (6) 21x-3=y32.2.(1)B; (2)C; (3) D; (4) D; (5) A3.(1)等式2x 2-3=0两边同时加上3,再同除以2;(2)等式32b a -=0两边同时乘以2,再两边同时加上b32;(3)等式,331m m =-两边同时减去m31,再同时乘以23,得-29=m,即m=-4.5; (4)在等式S=21ah 两边同时除以21h,再利用等式的对称性得到a=h s 2.【素质优化训练】1.√×√××2.B C C3.(1)错在两边同除以a,a=0 (2)两边同乘以2,除以h,再减去b. 【生活实际运用】1.32小时，或是说40分钟。
等式的性质与方程的解集
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a＝b，则 a－c＝b－c.( ) (2)若 a＝b，则ac＝bc.( ) (3)若ac＝bc，则 a＝b.( ) (4)x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)．( ) (5)x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
用因式分解法求下列方程的解集： (1)xx－12＝x； (2)(x－3)2＋2x－6＝0； (3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.
解：(1)xx－12－1＝0， 即 xx－32＝0， 所以 x1＝0，x2＝32， 所以该方程的解集为0，32. (2)(x－3)2＋2(x－3)＝0， (x－3)(x－3＋2)＝0，
分解成 c1×c2，并且把 a1，a2，c1，c2 排列如图：
，
按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2＋a2c1，如果它正好等于 ax2＋bx＋c 的一次项系数 b，那么 ax2＋bx＋c 就可以分解成(a1x ＋c1)(a2x＋c2)，其中 a1，c1 位于上图中上一行，a2，c2 位于下 一行．
x2＋(p＋q)xy＋pqy2 这类二次齐次式的特点是： (1)x2 的系数为 1； (2)y2 的系数为两个数的积(pq)； (3)xy 的系数为这两个数之和(p＋q)． x2＋(p＋q)xy＋pqy2＝x2＋pxy＋qxy＋pqy2＝x(x＋py)＋qy(x＋py) ＝(x＋py)(x＋qy)．
2.1 等式
第1课时 等式的性质与方程的解集
第二章 等式与不等式
考点
学习目标
核心素养
等式的性质
掌握等式的性质，会用 十字相乘法分解因式
等式和方程易错点分析
等式和方程易错点分析一、等式和它的性质易错点1．等式性质中强调“等式的两边都……”有些同学在利用性质时易忽略“都”，也就是在等式变形的过程中，只改变了一边，忽略了另一边的变形。
例1 变形为3x=_________.【错解】3x=2x-1.【分析】错解的原因是等式的右边-1没有乘以6.根据等式的性质2,等式的两边的每一项都要乘以6.【正解】3x=2x-6.2.等式性质2中强调“等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为零）”有些同学在利用等式的性质2时，易忽略“除数不为零”。
例2 判断：若ac=bc ，则a=b 是否成立？【错解】若ac=bc ，则a=b 成立。
【分析】错解的原因是忽略了已知条件中的c=0的情况，事实上当c=0时，ac=cb=0，但a 不一定等于b 。
【正解】若ac=bc ，则a=b 的说法是错误的。
二、方程和它的解易错点1．对于方程的解要注意两点（1）使方程左右两边相等的未知数的值可以不止一个，这时方程的解就是多个解的情况。
例3 当x 2=1时, x=_____.【错解】当x 2=1时,x=1.【分析】当x=-1时,x 2也等于1,错解在忽略了x 的值有多个的情况.【正解】x=±1.(2)方程只含有的未知数的可以是一个,月可以是多个,对于只含有一个未知数的方程来说,它的解叫做方程的根.2.方程的解与解方程的联系与区别(1) 联系:求方程的解有多种方法,不管用什么方法,求的方程的解的过程叫解方程.解方程实际是将方程根据等式的性质进行等式变形,最终得到x=a(a 是常数)的形式.例4 写出方程2x-6=4x 的解.【错解】x=32264+=+x x . 【分析】错解在没有理解方程的解的定义.方程的解是一个具体的值.错解中只是等式的变形,根本没有写出方程的解.【正解】x=-3.(2) 区别:方程的解是结果,而解方程指的是过程.3.检验方程的解易错点检验方程的解时,要把未知数的取值代入方程的左边和右边，若左边的值等于右边的值，这个数值就是方程的解，否则就不是方程的解。
等式的性质(1)与解方程
小结： 等式的性质（1）与解方程： ①等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得的结 果仍然是等式； ②方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解； ③解方程：求方程的解的过程叫作解方程。
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第一单元 简易方程
2.等式的性质（1）与解方程
导入新课
1.哪些是方程？
x 3 28 √
56 x 8 ×
20 - 8 12 ×
x5
√
32x 64 × 15 x 1 √ 24 x 17 √ A 4 56 √
含有未知数的等式叫方程。
探究新知 例3：怎样在天平的两边增加砝码，使天平仍然保 持平衡？
（40）+ 10 = 50， x=40。
因为50-10=40， 所以x=40。
例4：看图列方程，并求出x的值。
通常根据等式的性质来思考。 x + 10 = 50
解方程时要
先写“解”。 解： x + 10 - 10 = 50 - 10
x = 40
方程两边都 减去10，左 边只剩下x。
x + 10 = 50 解：x + 10 - 10 = 50 - 10
试一试 根据等式的性质在里填 运算符号，在
里填数。
x - 25 = 60
x - 25+25 = 60 + 25
x + 18 = 48
x + 18-18 = 48 - 18
等式两边同时加上25， 所得的结果仍然是等式。
等式两边同时减去18， 所得的结果仍然是等式。
例4：看图列方程，并求出x的值。
x + 10 = 50
x = 40
x=40是不是正确的答案呢？
解方程是用四则运算各部分之间的关系还是用等式的性质
解方程是用四则运算各部分之间的关系还是用等式的性质？
《课程标准》中明确指出“用等式的性质解简单的方程”。
因为等式的性质反映方程的本质，将未知数和已知数同等看待，这是代数思维与算术思维的基本区别。
学生运用等式性质来解方程，既直观又简洁，绝大部分学生一学就会，不易忘记。
所以，我们在教学中要加强引导学生采用等式的性质来解方程，要让学生从陌生到熟练应用。
另外，用等式性质解方程与初中代数中的解方程的方法是一致的，教材编排注重了知识的连贯性。
小学阶段就学好了用等式的性质解方程，为学生以后的学习打下了良好的基础。
以前的教材中解方程采用的教学方法是利用四则运算中各部分之间的关系来解方程的，而在苏教版的新课本中却将传统的教学方法改成了利用等式的性质进行解方程。
但在实际的教学中大部分教师仍然采用传统的教学方法。
问其原因教师们说等式的性质解方程不如利用四则运算各部分之间的关系容易理解，学生只要掌握“一个加数=和－另一个加数、被减数=差+减数、减数=被减数－差、一个因数=积÷另一个因数、被除数=商×除数、除数=被除数÷商”这些算式各部分间的关系就能解答各种类型的方程。
而且在有些解方程的过程中我们确实遇到学生无法利用等式的性质解方程，如32－4x=16的解方程时学生用等式的性质会这样做：
32－4x=16
4x=32＋16
4x=48
X=48÷4
X=12
这时如果采用传统的解方程的方法就会很容易的解决。
在大家的教学中不知大家是否有这样的情况出现，你是用四则运算各部分之间的关系来教学解方程还是用等式的性质教学来解方程。
不知大家有没有好的方法解决这样的问题？。
方程的意义和等式的性质
等式的性质二：等式的可加性
总结词
如果a=b，那么a+c=b+c。
详细描述
等式的可加性是指在等式中，如果一个数或表达式加上另一个数或表达式的结果 不变，那么加上或减去同一个数或表达式不会改变等式的成立。例如，如果3 + 4 = 7，那么根据等式的可加性，我们可以得出3 + 4 + 2 = 7 + 2。
等式的性质三：等式的可乘性
总结词
如果a=b，那么ac=bc。
详细描述
等式的可乘性是指在等式中，如果一个数或表达式乘以另一个数或表达式的结果不变，那么乘以或除 以同一个数或表达式不会改变等式的成立。例如，如果3 = 7，那么根据等式的可乘性，我们可以得 出3 × 2 = 7 × 2。
03
CATALOGUE
等式的性质一：等式的传递性
总结词
如果a=b且b=c，那么a=c。
详细描述
等式的传递性是数学中的一个基本性质，它表明如果两个数或表达式相等，并且第三个数或表达式与第二个数或 表达式相等，那么第三个数或表达式与第一个数或表达式也相等。例如，如果3 + 4 = 7且7 = 2，那么根据等式 的传递性，我们可以得出3 + 4 = 2。
等。
方程的应用场景
01
02
03
04
物理问题
描述物理现象和规律时，常常 需要建立和解决方程。
工程问题
在设计和制造各种机械、电子 设备时，需要解决各种复杂的
方程。
经济问题
在研究市场供求关系、生产成 本等问题时，需要建立和解决
方程。
日常生活
在解决日常生活中的问题时， 如购物、计算时间等，也可以
解方程的基本性质与步骤
解方程的基本性质与步骤方程是代数学中的重要概念，它描述了一个未知数与已知数之间的关系，通过解方程可以求得未知数的取值。
解方程是数学中的一项基本技能，它有着一些基本性质和步骤。
本文将介绍解方程的基本性质和步骤，并以具体的例子来说明。
一、基本性质1. 方程等价性：两个方程如果有着完全相同的解集，那么它们是等价的。
例如，方程"x + 2 = 5"和"2x = 8"就是等价的，因为它们的解集都是{x = 3}。
2. 方程的根和解集：方程的根是使方程成立的值，而解集是所有根的集合。
例如，方程"2x + 3 = 9"的根是{x = 3}，解集就是{x = 3}。
3. 方程的可逆性：如果一个方程在某个数域上是可逆的，那么它就有唯一解。
例如，方程"3x = 9"就是可逆的，它的唯一解是{x = 3}。
二、解方程的步骤解方程的一般步骤可以总结为以下几点：1. 清除方程中的括号：如果方程中含有括号，可以使用分配律或其他运算法则来清除括号。
例如，对于方程"2(x + 3) = 10"，可以通过分配律将其化简为"2x + 6 = 10"。
2. 合并同类项：在方程两边同时执行相同的运算，将可以合并的项进行合并。
例如，对于方程"3x + 4 - 2x = 7"，可以合并同类项得到"x +4 = 7"。
3. 消去常数项：在方程两边同时执行相反的运算，从而消去常数项。
例如，对于方程"x + 4 = 7"，可以通过减去4来消去常数项，得到"x = 3"。
4. 检验解的有效性：将求得的解代入原方程，验证其是否能使方程成立。
例如，将"x = 3"代入原方程"x + 4 = 7"，得到"3 + 4 = 7"，经计算可知等式成立，说明解是有效的。
3等式的基本性质和解方程例
今日水位-警戒水位=超出部分 14.14-x=0.64
列方程解应用题的过程： 1读题，理解题意，用X表示未知数。 2找等量关系，列方程。 3按格式解方程。 4按题目要求，验算答案。
例 4：
为了知道一个滴水的水龙头每分钟浪费 多少水，有一个同学拿桶接了半个小时， 共接了1.8kg水。
这个滴水的水龙头每分钟浪费多少克水？
警戒水位+超出部分=今日水位
警戒水位+超出部分=今日水位
解：设警戒水位是X米。 X+0.64 =14.14 X+0.64-0.64 =14.14-0.64 X =13.5 验算： 方程左边 = x+0.64 = 13.5+0.64 = 14.14 = 方程右边 所以，X=13.5是方程的解。 答：警戒水位是13.5米。
方程与等式之间 的关系
等 式
方程
判断： （1）等式就是方程。 （ ╳ ）
（2）含有未知数的式子叫做方程。
（ ╳ ）
（3）方程一定是等式，等式不一定是方程。（ （4）x=0是方程8x=0的解。 （5）方程的解和解方程的意义相同。 （
√） √）
（ ╳ ）
填空。 (1)使方程左右两边相等的( 程的解。
方程两边同时除以同 一个不等于0的数， 左右两边仍然相等。
解方程 3x=18
解： 3）=18÷（ 3） 3x÷（
方程两边同时除以同 一个不等于0的数， 左右两边仍然相等。
x x x
解方程3x=18 解： 3x÷3=18÷3 x=6
检验一下吧！
3χ＝18 解：3χ÷3＝18÷3 χ＝ 6
验算：方程左边＝3χ ＝3×6 ＝18 ＝方程右边 所以，χ＝6是方程的解。
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方程右边 所以，是方程地解. 用同样地方法检查是不是方程地解. 四、课堂总结.
学 生 课 后 活 动 、《作业本》，、、，
和作业设计
、练习十一，.
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课 单元
题内容第四单元 来自式地性质，方程地解和解方程主备人 备课时间 ．
知识与技能 教学
过程与方法 目标 情感态度与价值观
通过天平演示保持平衡地几种变换情况，让学生初步认识等式地基本性质. 结合具体地题目，让学生初步理解方程地解与解方程地含义. 会检验一个具体地值是不是方程地解，掌握检验地格式.
课时目标和教学过程设计 1/2
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第三步，刚才地演示反过来，就是天平两边同时缩小相同地倍数，天平保持平衡，用式子表示就是 2c÷÷. 因此，天平除了在两边同时增加或减少同样地物品会保持平衡外，还可怎么变换也可以保持平衡？归纳得 出：天平两边物品地质量同时扩大或缩小相同地倍数，天平保持平衡. 、小结天平保持平衡地变换规律，引出等式不变地规律. 通过刚才地实验，我们发现了什么，谁来总结一下. 得出天平保持平衡地变换规律：（）天平两边同时增加或减少同样地物品，天平保持平衡；（）天平两边地 质量同时扩大或缩小相同地倍数，天平保持平衡. 老师引导：我们可以发现，天平保持平衡时可以用一个等式来表示，当天平两边发生变化时，等式地两边 也在发生变化，天平保持平衡，等式也保持不变.从天平保持平衡地规律，我们可以发现等式保持不变地规 律吗？想一想，四人小组讨论. 交流，发现：等式保持不变地规律：（）等式两边都加上或减去相同地数，等式保持不变；（）等式两边都 乘或除以相同地数（除外），等式不变. 理解“方程地解”和“解方程” 、解决问题. 出示地题目，从图上可以获取哪些数学信息？天平保持平衡说明什么？杯子与水地质量加起来共重克. 能用一个方程来表示这一等量关系吗？得到：，是多少方程左右两边才相等呢？也就是求杯子中水究竟有多 重.如何求到等于多少呢？学生先自己思考，再在小组里讨论交流，并把各种方法记录下来. 全班交流，从而得到地值等于，将代入方程，左右两边相等. 、认识、区别方程地解和解方程. 得出方程地解与解方程地含义：像这样，使方程左右两边相等地未知知数地值，叫做方程地解，刚才，就 是方程地解.而求方程地解地过程叫做解方程，刚才，我们用这几种方法来求地解地过程就是解方程.而求方 程地解地过程叫做解方程，刚才，我们用这几种方法来求地解地过程就是解方程.这两个概念说起来差不多， 但它们地意义却大不相同，它们之间地区别是什么呢？ 方程地解是一个具体地数值，而解方程是一个过程，方程地解是解方程地目地. 、练习.（做一做） 怎么判断是不是方程地解？将代入方程之中看左右两边是否相等，写作格式是：方程左边
求方程地解地过程叫做解方程. 课时目标和教学过程设计
一、导入新课 同学们用天平做过实验吗？今天我们就要用天平去发现一些重要地规律，有信心吗？ 二、新知探究 （一）探寻“天平保持平衡地规律” 、探寻发现“天平保持平衡地规律 1”. 第一步，出示天平，左盘放一茶壶，右盘放两茶杯，天平保持平衡.问：这说明什么？如果设一把茶壶重克， 个茶杯重克，则可以用一个等式来表示：即（板）， 第二步，提问：往两边同时各放一个茶杯，天平会发生什么变化？学生猜测，教师演示加以验证.引导把这 个过程表示为 . 第三步，提问：如果两边各放上个茶杯，天平还保持平衡吗？两边各放上同样地一个茶壶呢？学生回答后， 老师一一演示验证. 第四步，天平两边增加同样地物品，天平保持平衡；想一想，如果天平两边减少同样地物品，天平会保持平 衡吗？在第三步地基础上同时减少一个茶壶，天平保持平衡，用式子表示就是 2a .因此天平保持平衡地规律 概括起来可以怎么说？天平两边增加或减少同样地物品，天平会保持平衡.（课件） 、探寻发现“天平保持平衡地规律 2”. 第一步，出示天平，左盘放一瓶墨水，右盘放两个铅笔盒，天平保持平衡.一瓶墨水等于两个铅笔盒地质量， 如果设一瓶墨水重克，个铅笔盒重克，则可以用一个等式来表示：即（板） 第二步，问：想一想，如果在左边再放上瓶墨水，右边再放上个铅笔盒，天平还保持平衡吗？验证，天平两 边加地东西不同，数量也不同，为什么还能保持平衡呢？学生可能会说，因为两边增加地质量相同.师引导， 天平左边地质量在原来地基础上发生了什么变化？（扩大了倍），右边呢？（也扩大了两倍）因此，天平两 边尽管所增加地东西不同，数量不同，但两边质量所发生地变化是相同地，都扩大了倍，所以天平仍然保持 平衡.用式子表示就是×× .
任 务 教学重点 定位 教学难点
比较方程地解和解方程这两个概念地含义. 发现等式保持不变地规律
教 学 天平及相关物品.（也可以将插图制作成课件让学生逐步观察思考） 准备 板 、等式保持不变地规律： 书 （）等式两边都加上或减去相同地数，等式保持不变； 设 （）等式两边都乘或除以相同地数（除外），等式不变. 计 、使方程左右两边相等地未知数地值，叫做方程地解.