高中数学人教必修4：1.1 任意角和弧度制 教案1
高中数学 第一课 任意角和弧度制教学设计 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案
任意角和弧度制
三维目标1.知识与技能：
（1）了解正、负角与零角的相关定义；
（2）根据图形写出角及根据终边写出角的集合；
（3）了解弧度制；
2.过程与方法：
（1）培养学生数型转化的思想；
（2）训练学生思维活跃性，能够举一反三；
（3）培养学生思维的抽
3.情感、态度与价值观：
（1）增强学生观察生活中事物的规律能力；
（2）在老师的引导下建立数学模型，把数学运用到生活中去。
明确目标了解任意角的概念
重点难点重点：将0
0360
~
0范围内的角推广到任意角
难点：判断象限角
课型□讲授□习题□复习□讨论□其它
教学内容与教师活动设计学生活
动设计一．知识点：
1、任意角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成
的图形．如右图，角 可以看作一条射线绕着端点O从起始位置OA按逆时针方向旋转
到终止位置OB所形成的,点O为角的顶点，射线OA是角的始边，射线OB是角的终边．
注意：(1)掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边．
(2)角可以是任意大小的．
2、角的分类
（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角。
（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角。
人教版高中数学必修4-1.1《_弧度制》教学设计
《弧度制》教学设计一、教学目标：（一）核心素养通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系.（二）教学目标1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题（三）学习重点1．理解弧度“是什么”；2．熟练弧度和角度之间“如何化”；3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；（四）学习难点1．理解弧度“是什么”；2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？2．预习自测=____________（1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB【答案】1rad．（2）2π rad =（）A．180°B．200°C．270°D．360°【答案】D．（3）把50°化为弧度制（）A．50B．5 18πC．18 5πD．9000π【答案】B．（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π(二)课堂设计1．知识回顾（1）角的概念的推广；（2）终边相同的角的表示2．问题探究探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；●活动结合实例，引入弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.。
人教版高中必修41.1任意角和弧度制教学设计
人教版高中必修4-1.1 任意角和弧度制教学设计一、教学目标1.知识目标：理解弧长、辐角和弧度的概念，掌握弧度制与角度制的相互转换方法。
2.技能目标：能够准确地表示任意角的大小，计算圆的周长和面积。
3.情感目标：通过实际操作，培养学生良好的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重点难点1.重点：弧长、辐角和弧度的概念，弧度制与角度制的相互转换。
2.难点：如何正确理解并计算任意角的大小，如何正确应用弧度制与角度制。
三、教学方法1.讲授与示范相结合的方法。
通过讲解和演示弧长、辐角和弧度的概念，引导学生理解概念。
2.反思式探究的方法。
通过完成一些练习题和实际操作，引导学生独立思考、合作探究和反思总结。
3.讨论交流的方法。
引导学生在小组内相互探讨、交流解题经验，加深对概念的理解和掌握技能。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过实际操作，向学生呈现“用刀割一个披萨”的活动，引导学生认识切割的式样以及分数的概念。
2. 概念讲解（25分钟）1.弧和弧长的概念：引导学生理解弧的概念，了解计算弧长的公式及其证明过程。
2.辐角和角的概念：引导学生掌握辐角和角的概念，了解任意角的大小的概念及其计算方法。
3.弧度制：介绍弧度制的概念及其优缺点，讲解弧度制与角度制的相互转换方法及应用。
3. 讲解示范（15分钟）示范如何计算各种角的大小及弧长的计算、圆的周长和面积的计算，并且提供实例进行实操。
4. 练习与应用（25分钟）1.对学生提供练习题及实际问题，引导学生计算弧长、辐角、面积和周长。
2.在小组内讨论交流、合作解题，加深对概念及计算方法的理解。
5. 总结反思（5分钟）互相交流解题经验，讲述探究过程，反思总结此次学习内容。
五、教学评价方法1.作业评价：检查学生的学习状况，对正确掌握本节课内容的学生进行表扬和奖励，帮助没有学好的学生弥补差漏。
2.学生综合评价：通过学生自我评价、小组评价、教师评价的方式，将本节课的学习成果进行综合评价。
高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计
高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计一第一课时 1.1.1 任意角教学目标：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法.教学难点：理解角的任意大小.教学过程：一、复习准备：1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？→说明研究推广角概念的必要性（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）二、讲授新课：1.教学角的概念：①定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.②讨论：推广后角的大小情况怎样？（包括任意大小的正角、负角和零角）③示意几个旋转例子，写出角的度数.④如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. ）⑤练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？⑥讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.⑦讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同的角如何表示？⑧结论：与α角终边相同的角，都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合呢？⑨讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍2.教学例题：①出示例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°.（讨论计算方法：除以360求正余数→试练→订正）②出示例2：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角.120°、－270°、1020°（讨论计算方法：直接写，分析k的取值→试练→订正）③讨论：上面如何求k的值？（解不等式法）④ 练习：写出终边在x 轴上的角的集合，y 轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？⑤ 出示例3：写出终边直线在y =x 上的角的集合S , 并把S 中适合不等式360720α︒-≤<︒的元素β写出来. （师生共练→小结）3. 小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1. 写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y =-x 呢？2. 作业：书P6 练习 3 ③④、4、5题.第二课时：1.1.2 弧度制（一）教学目标：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念.教学重点：掌握换算.教学难点：理解弧度意义.教学过程：一、复习准备：1. 写出终边在x 轴上角的集合 .2. 写出终边在y 轴上角的集合 .3. 写出终边在第三象限角的集合 .4. 写出终边在第一、三象限角的集合 .5. 什么叫1°的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？二、讲授新课：1. 教学弧度的意义：①如图：∠AOB所对弧长分别为L、L’，半径分别为r、r’，求证：lr ＝''lr.②讨论：lr 是否为定值？其值与什么有关系？→结论：lr＝180nπ=定值.③讨论：lr 在什么情况下为值为1？lr是否可以作为角的度量？④定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角. 用rad表示，读作弧度.⑤计算弧度：180°、360°→思考：－360°等于多少弧度？⑥探究：完成书P7 表1.1-1后，讨论：半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数=？⑦规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数的绝对值为|α|＝lr. 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制.⑧讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？⑨讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示与弧度表示有啥不同？－720°的圆心角、弧长、弧度如何看？2 .教学例题：①出示例1：角度与弧度互化：6730'；35rad π.分析：如何依据换算公式？（抓住：180︒=πrad）→如何设计算法？→ 计算器操作： 模式选择 MODE MODE 1(2)；输入数据；功能键SHIFT DRG 1(2)=② 练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；3π；2π；120°；135°；150°；54π ③ 讨论：引入弧度制的意义？（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系）④ 练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x 轴上； 终边在y 轴上.3. 小结：弧度数定义；换算公式（180︒=π rad ）；弧度制与角度制互化.三、巩固练习：1. 教材P10 练习1、2题.2. 用弧度制表示下列角的集合：终边在直线y =x ； 终边在第二象限； 终边在第一象限.3. 作业：教材P11 5、7、8题.第三课时：1.1.2 弧度制（二）教学目标：更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算. 掌握弧长公式，能用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角. 掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式.教学难点：理解弧度制表示.教学过程：一、复习准备：1. 提问：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？2. 弧度与角度互换：－43π、310π、－210°、75° 3. 口答下列特殊角的弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例：用弧度制推导：S 扇＝12LR ；212S R α=扇. 分析：先求1弧度扇形的面积（12ππR 2）→再求弧长为L 、半径为R 的扇形面积？ 方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换. ② 练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.③ 出示例：计算sin 3π、tan1.5、cos 4π （口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求）② 练习：求6π、4π、3π的正弦、余弦、正切. 2. 练习：①. 用弧度制写出与下列终边相同的角，并求0～2π间的角. 193π、－675° ② 用弧度制表示终边在x 轴上角的集合、终边在y 轴上角的集合？终边在第三象限角的集合？③ 讨论：α＝k ×360°＋3π与β＝2k π＋30°是否正确？的终边相同，且－2π<α<2π，则α＝ .④α与－94⑤已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.解法：设扇形的半径为r，弧长为l，列方程组而求.3. 小结：扇形弧长公式、面积公式；弧度制的运用；计算器使用.三、巩固练习：1. 时间经过2小时30分，时针和分针各转了多少弧度？2. 一扇形的中心角是54°，它的半径为20cm，求扇形的周长和面积.3. 已知角α和角β的差为10°，角α和角β的和是10弧度，则α、β的弧度数分别是 .4. 作业：教材P10 练习4、5、6题.高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计二第一课时 1.1.1 任意角教学目标1、知识与技能(1)推广角的概念、引入大于角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法;(5)树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念;(6)揭示知识背景，引发学生学习兴趣.(7)创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法通过创设情境:“转体，逆(顺)时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示;讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.教学重难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.教学工具投影仪等.教学过程【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准?当时间校准以后，分针转了多少度?[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】1.初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢?[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图 1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点o按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角a.旋转开始时的射线叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点o叫做叫a的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体” (即转体2周)，“转体”(即转体3周)等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).8.学习小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y 轴、直线上的角的集合.五、评价设计1.作业:习题1.1 A组第1,2,3题.2.多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点.课后小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y 轴、直线上的角的集合.课后习题作业:1、习题1.1 A组第1,2,3题.2.多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点.第二课时1.1.2 弧度制教学目标一、知识与技能(1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.二、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.三、情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.教学重难点重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用.难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.教学工具投影仪等教学过程一、创设情境，引入新课师:有人问:海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里) 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算:1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.二、讲解新课1.角度制规定:将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本，自行解决上述问题.2.弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(师生共同活动)探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.三、课堂小结度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行;在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如:3表示3rad sinp表示prad角的正弦应确立如下的概念:角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
人教版高中数学数学必修四1.1+弧度制+教案1
第二学期高一数学教案主备人：使用人：时间：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学第一章第一节任意角和弧度制教案新课标人教A版必修4
§1.1.1任意角〔新授课〕[教学目标]要求学生掌握用“旋转〞定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角〞“负角〞“象限角〞“终边相同的角〞的含义。
.[教学重点]理解“正角〞“负角〞“象限角〞“终边相同的角〞的含义[教学难点]“旋转〞定义角[教学过程]一、知识回顾1．回忆：初中是任何定义角的？二、预习自学1.角的概念的推广：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。
其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
2．正角、负角、零角概念师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？3.我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。
4.终边相同的角的表示法观察以下角你有什么发现? 390︒-330︒ 30︒ 1470︒-1770︒，能否再举三个与300角同终边的角？三.典型例题例1 设第一象限的角｝＝锐角｝，的角｝ 小于{G {F 90{o==E ，，那么有〔〕．A．B．C．〔〕D．例2用集合表示：〔1〕各象限的角组成的集合．〔2〕终边落在轴右侧的角的集合．〔2〕在～中，轴右侧的角可记为，同样把该X围“旋转〞后，得，，故轴右侧角的集合为．说明：一个角按顺、逆时针旋转〔〕后与原来角终边重合，同样一个“区间〞内的角，按顺逆时针旋转〔〕角后，所得“区间〞仍与原区间重叠．例3 〔1〕如图，终边落在位置时的角的集合是__；终边落在位置，且在内的角的集合是__；终边落在阴影部分〔含边界〕的角的集合是_．四、课堂练习练习：〔1〕请用集合表示以下各角．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．〔2〕分别写出：①终边落在轴负半轴上的角的集合；②终边落在轴上的角的集合；③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；④终边落在四象限角平分线上的角的集合．说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，～间的角，根据课本约定它包括，但不包含．例4在～间，找出与以下各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角〔1〕；〔2〕；〔3〕．解：〔1〕∵∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；〔2〕∵∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；〔3〕所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．3．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线是否共面？试证明。
新人教版高中数学必修四教案：1.1 任意角、弧度
1.1 任意角、弧度【知识应用】1. 与角相关的一些基本概念：a. 任意角：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
射线的端点即角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置即为角的始边和终边。
b. 正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如果射线没有任何旋转，那么我们把它叫零角。
c. 终边相同的角：相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360︒的整数倍。
2. 象限角、轴线角及其表示方法a. 象限角：如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。
b. 轴线角：如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上，叫做轴线角，这时这个角不属于任何象限。
c. 象限角的集合第一象限角集合为{}|36036090,x k x k k Z ∙︒<<∙︒+︒∈第二象限角集合为{}|36090360180,x k x k k Z ∙︒+︒<<∙︒+︒∈第三象限角集合为{}|360180360270,x k x k k Z ∙︒+︒<<∙︒+︒∈第四象限角集合为{}|360270360360,x k x k k Z ∙︒+︒<<∙︒+︒∈d. 轴线角的集合终边落在x 轴的正半轴上的集合为{}|360,x x k k Z =∙︒∈终边落在x 轴的负半轴上的集合为{}|360180,x x k k Z =∙︒+︒∈终边落在x 轴上的集合为{}|180,x x k k Z =∙︒∈终边落在y 轴的正半轴上的集合为{}|36090,x x k k Z =∙︒+︒∈终边落在y 轴的负半轴上的集合为{}|36090,x x k k Z =∙︒-︒∈终边落在y 轴上的集合为{}|18090,x x k k Z =∙︒+︒∈终边落在坐标轴上的集合为{}|90,x x k k Z =∙︒∈3. 弧度制的相关概念a. 弧度制的定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫做弧度制。
人教版高一数学必修四《1-1-1任意角》教案
1.1.1任意角一、整体建构、引入课题前面，我们在必修一已经学习了指数函数、对数函数、幂函数等，知道这些函数可以用来刻画现实问题中某些类型的变化规律。
下面我们将再学习一种类型函数------三角函数。
在初中，我们已经学习过锐角三角函数，现在我们要把锐角的三角函数推广到任意角的三角函数，任意角的三角函数到底是一种怎样的函数？具有哪些特有的性质？刻画客观世界中哪些类型问题的变化规律？为了揭开他们神秘的面纱，今天我们学习任意角。
（板书1.1.1任意角）二、复习回顾、奠基新知出示问题1. 在初中，我们已经学习过角，当时研究的角都是在那个范围内取值？角的定义是什么？生1答0º<α≤360º.生2、生3分别回答角的两种定义，师生共同完善生2和生3定义中的不足之处，投影出示角的图形以及角的定义，并说明在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”，可简记成“α”.三、观察联想、形成任意角的概念出示问题2. 观察以下图片，在日常生活中，这些角是怎样形成的？（1）.钟表的秒针旋转转过的角度.（2）. 在体操、跳水等运动中，“转体720º”、“转体1080º”等动作名称中的角度.（1）（2）师：这些角已超出0º<α≤360º的范围，并且在形成的过程中还有旋转方向的区别.显然0º<α≤360º的角已远远不能满足生活的需要，需要把角的范围进行推广.大家继续来看钟表的分针旋转问题.问题3. 你的钟表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的钟表快了1小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针各旋转了多少度？实物展示如何校准钟表，学生回答提出的问题，感受要准确刻画以上现象的角，需要知道旋转方向和旋转量.问题4. 要准确地描述以上现象中的角，要知道哪些量？学生通过刚才的观察和体会，回答需要知道两个量：旋转方向和旋转量.问题5. 为了满足生活中研究问题的需要，我们需要把角的概念进行推广，你如何把角的概念进行推广？学生思考回答.“按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转形成的角叫做负角；不作任何旋转所形成的角叫零角.”回答不完整的地方，师生一起补充完善，师指出，这里的正负仅仅代表旋转方向，和实数的正负是同样的道理.师板书：⎧⎪⎨⎪⎩正角任意角负角零角；同时投影出示以上内容和图形.四、自主建构，形成象限角和轴线角的概念师在黑板上画出几个正角和负角，始边画的位置不一，从而提出问题6.问题6. 要比较和讨论角，现在不好解决，这就需要一个统一的标准，如何统一标准呢？ 学生思考回答，把角放在平面直角坐标系中.师追问为什么放到平面直角坐标系中，师生一起思考研究函数时，都是先画图象，再研究性质，因此想到把角放到平面直角坐标系中.问题7. 为了研究问题的方便，我们常在平面直角坐标系中内讨论角，如何放置这个角讨论问题更方便？生答“角的顶点与坐标原点重合，角的始边和x 轴的非负半轴重合”.师根据学生的回答，动画演示角的终边落的位置，分别落在四个象限或坐标轴上，让学生分别给这些角起名字，引出角的第二种分类：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩象限角：角的终边在的位置轴线角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.角：. 师：你能正确认识象限角吗？然后出示练习：1、锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.2. 第二象限角一定比第一象限角大吗？学生代表回答，要求说出为什么，总结规律，“象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.”为下一步引出终边相同的角做铺垫.五、特殊到一般，揭示终边相同的角的规律刚才，同学回答练习中的问题时，指出390o 是第一象限角，与30o 角的终边相同，也就是以30o 角的终边OB 为终边的角不止一个，现在给你一个30o-角，你能画出这个角吗？学生画图，很快画出30o -角，师出示问题8.问题8. 在直角坐标系中，给定30o-角，它的终边唯一确定；反过来，给一条射线OB （30o -角的终边），以射线OB 为终边的角不唯一；以射线OB 为终边的角有哪些呢？请你写出，并观察他们之间有什么关系？学生写出与30o -角终边相同的角，并观察规律.投影展示学生解答，得出规律：与30o -角终边相同的角都可以写成30360,o o k k Z β=-+⋅∈.问题9.能否把得到的与30o-角终边相同的角的这一规律推广到任意角α？学生思考回答.问题10. 在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB ，以它为终边的角不唯一，那么终边相同的角有什么关系？学生回答：与角α终边相同的角都可以写成360,o k k Z βα=+⋅∈.问题11. 与角α终边相同的角能否组成集合？这个集合怎样表示？学生回答，S ={β|β=α+k ·360º,k ∈Z }.问题12. 这个集合中的元素表示的是什么角？与角α终边相同的角都是集合中的元素吗？学生思考回答.师生共同得出结论，师板书：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S ={β|β=α+k ·360º,k ∈Z }.师多媒体出示三种语言：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S ={β|β=α+k ·360º,k ∈Z }.也就是说，任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.师举几个简单的角，让学生说出与他们终边相同的角. 六.巩固练习，深化提高例1. 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 640º； (2) －940º32′.注： 0º~360º是指 . 学生自主思考并作答，师巡视并予以个别指导.师投影展示学生出现的的不同解法以及暴露出的各种问题，并投影展示规范的解题过程.解：（1）640º =280º +360º ，所以在0º~360º范围内,与640º角终边相同的角是280º，它是第三象限角．（2） －940º32′ =139º28′ － 3×360º ，所以在0º~360º范围内,与－940º32′角终边相同的角是139º28′ ，它是第二象限角．0360o o α≤<最后总结提升：在0º~360º范围内找与已知角α终边相同的角β的方法：方法1： α= β+k ·360º(k ∈Z ).方法2： β=α+n ·360º (n ∈Z ).只要取适当的k 、n 值即可（引导学生思考如何找k 、n 值）.其中方法1方便以后的三角运算.师：我们已经学会在0º~360º范围内找与已知角α终边相同的角，如果告诉你角的终边落在一条射线或直线上，你能写出这些角的集合吗？例2 （1）写出终边在x 轴非负半轴上的角的集合；（2）写出终边在x 轴上的角的集合.学生自主思考并作答，师巡视并予以个别指导.师投影展示学生的解法，解决暴露出的各种问题. 并投影展示规范的解题过程.（1） 解：在0º~360º范围内，终边在x 轴非负半轴上角是0º.因此，所有与0º角终边相同的角构成集合 （2）在0º~360º范围内，终边在x 轴上角有两个，即0º和180º.由（1）知，所有与 0º角终边相同的角构成集合 又所有与180º角终边相同的角构成集合 于是，终边在x 轴上的角的集合在讲解（2）题的过程中，在求12S S 时，引导学生适时观察思考，奇数集和偶数集的并集是整数集，此处学生不易想到，是本题的难点，应引导学生对原式进行适当变形；并强调指出：最后结果采用简约的形式.最后总结提升：写出终边在x 轴上的角的集合的方法：方法1：分别写出终边在x 轴的非负半轴和非正半轴上的角的集合，然后再取并集. 方法2：在其中一条终边上找出一个角，然后再加上180o 的整数倍.师：我们已经会熟练写出终边在x 轴上的角的集合，你能熟练写出终边落在其它直线上的角的集合吗？例3.写出终边在直线 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式 的元素β写出来.学生自主思考并作答，师巡视并予以个别指导.师投影展示学生的解法，解决暴露出的各种问题. 并投影展示规范的解题过程. 解：终边在直线 的角的集合 S 中适合 的元素是{}10360,.o o S k k Z ββ==+⋅∈{}10360,,o o S k k Z ββ==+⋅∈{}2180360,,o o S k k Z ββ==+⋅∈{}{}{}{}122(02180,1802180,02180,08,110)o o o o o o o o S S S k k Z k k Z k Z k Z k k ββββββββ===+⋅∈=+⋅∈==+⋅∈=⋅++∈{}180,o n n Z ββ==⋅∈y x =-360720o o β-≤<y x =-{}135180,o o S n n Zββ==+⋅∈360720o o β-≤<1352180225,o o o -⨯=-135118045,o o o -⨯=-强调指出：终边在一条直线上的角，在一周内有两个；而终边落在一条射线上的角，在一周内只有一个，不要多写和漏写.七、反思小结，提炼观点1、这节课你掌握了哪些知识？学到了哪些思想方法？2、你还有什么其它收获？学生思考回答，师生不断补充完善，最后师生投影出示知识结构.八、作业巩固、深化提高1、课本P 9 1、3；2、搜集三角函数发展史资料并进行交流.1350180135,o o o +⨯=1351180315,o o o +⨯=1352180495,o o o +⨯=1353180675.o o o +⨯=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．1任意角和弧度制
1.1.2弧度制 农垦中学 刘国海
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.
教学用具:计算器、投影机、三角板 四、教学设想
【创设情境】
有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
【探究新知】
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.
2.弧度制的定义
[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆
于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.
-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?
角α的弧度数的绝对值是：r
l
=
α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒
=填空:
1___rad ︒=,1___rad =度
显然,
我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解
例1.按照下列要求,把'
6730︒
化成弧度:
(1) 精确值；
(2) 精确到0.001的近似值.
例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒
=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.
7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
8.例题讲评
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1)l R α=; (2)212S R α=
; (3)1
2
S lR =. y x
A
αO
B
其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒
的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. 9.练习 教材10P .
9.学习小结
(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?
(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗? 五、评价设计
1．作业：习题1.1 A 组第7,8,9题． 2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。