应用数学漫谈
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
初中数学作为学生学习的重要科目之一，是培养学生逻辑思维能力和数学运算能力的重要途径。
在学习数学的过程中，分类讨论思想是一种非常重要的解题方法，在解决数学难题时起着至关重要的作用。
分类讨论思想是指将问题中的数据或条件进行分类，然后对不同情况分别讨论，找出共同规律，从而解决问题的方法。
下面我们就来谈一谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用。
分类讨论思想在解初中数学题中的应用非常广泛。
比如在解决组合问题时，常常要对数据进行分类讨论，找出共同规律。
有一道题目是这样的：在一家店里，有红、黄、蓝三种颜色的T恤衫，红色T恤衫有5件，黄色T恤衫有3件，蓝色T恤衫有4件。
现在要从中选出2件T恤衫，问有多少种颜色组合？这个问题中，我们可以先对三种颜色进行分类讨论，然后分别找出共同规律，最后得出解题结论。
这就是分类讨论思想在解初中数学题中的应用。
分类讨论思想可以帮助学生培养逻辑思维能力。
在解决数学问题时，学生需要根据题目中的条件进行分类讨论，这就需要他们良好的逻辑思维能力。
只有将问题中的数据或条件进行分类并找出共同规律，才能得出正确的解题方法和结论。
通过解决数学问题，尤其是通过分类讨论思想解决数学问题，可以帮助学生培养逻辑思维能力，提高他们的分析和归纳能力。
分类讨论思想可以提高学生的数学运算能力。
在解初中数学题时，需要根据分类讨论思想进行数学运算，这可以帮助学生提高他们的数学运算能力。
在解决组合问题时，需要进行排列组合、乘法运算等数学运算。
通过这些数学运算，不仅可以锻炼学生的数学运算能力，还可以帮助他们更好地掌握数学知识，提高数学成绩。
漫谈数学中的整数、整点问题
需配 １ 名工人 ， 运送一次可得利润 ３０元， ５ 该
公 司合理 计 划 当天 派 用 两类 卡 车 的 车辆 数 ，
可得最 大利 润为 （ ） ．
则点 （ｉ Ｘ — ２Ｙ —Ｙ ） 在 直 线 Ｙ ｋ ，ｌ ２ 也 ＝ ｘ上 ， 通过这种 方法 可 以得到 直线 Ｚ 经过 无 穷多个
ｆ ）选 取 ａ ｂ ｃ的 一 组 值 计 算 ，（） ∈ｚ ， ，， １ 和 ， 一 １ ， 得 出 的 正 确 结 果 一 定 不 可 能 是 （ ）所
（ ） ．
（ ４和 ６ Ａ）
（ ２和 ４ Ｃ）
（） Ｂ ３和 １
（ ｌ和 ２ Ｄ）
解 析 由函数 ， ｚ 一ａ ｉ ｚ ＋ｃ其 （ ） ｓ ＋６ ｎ （
，
例 ６ （ ０ １高 考 北 京 卷 ・理 科 ８ 设 ２ １ ）
Ａ （ Ｏ Ｂ（ ０ ， （ ＋ ４， ） Ｄ （ ， ） ｔ ０， ）， ４， ） Ｃ ｔ ４ ， ｔ ４ （ ∈
／ －以 ４ 为整数 ， 且 ≤ ４ 又 因为 ， ， ｚ 取 ∈Ｎ ，
一１２ ３ ４ 验 证 可知 一３ ４符合 题意 ； 之 ，，， ， ， 反 一３ ４时 ， ， 可推 出一元 二次 方程 一４ ｘ＋７ ｚ ＝０有整 数根． 故填 ： 或 ４ ３ ． 评注 直接 利 用 求根 公 式 进 行 计算 ， 然 后用完 全平 方数 、 整除 等进行 判断 计算． 例 ５ （ ０ １高考 安 徽 卷 ・ 科 １ ） ２１ 理 ５ 在 平 面直角 坐标 系 中 ， 果 Ｘ与 Ｙ 都 是 整 数 ， 如
①２ １ ∈［］ ０１ １；
② －３ ３ ； ∈［］
数学 中的整数 、 整点 问题 要 利 用 整 数 的 特殊
漫谈公因数的发展史教案
漫谈公因数的发展史一、知识目标1、通过本节课的学习，了解公因数的概念和作用；2、了解公因数的发展史和相关的数学知识；3、能够运用公因数的知识解决实际生活问题。
二、教学重点和难点重点：公因数的概念和作用。
难点：公因数的发展史和相关的数学知识。
三、教学过程Step 1 引入话题教师通过展示相关的数学模型和实例，引入本节课的话题，即公因数的概念和作用。
Step 2 讲解公因数的发展史1、欧几里得算法欧几里得算法是最早提出的求公因数的方法。
该算法最早出现在欧几里得的《几何原本》中，也被称为欧几里得算法。
欧几里得算法的基本思想是利用辗转相除的方法，将两个自然数循环相减直至差为零，此时的除数就是这两个自然数的最大公因数。
2、辗转相减法辗转相减法是通过不断用两个数的差来计算两个数的最大公因数。
这种方法在中国早期就有人使用，并且被称为"欧几里得"算法，其实本质上是一种"辗转相减"算法。
该方法效率较低，算法时间较长。
3、质因数分解法质因数分解法是将两个自然数分解成素数的积，并将其中相同的质因数相乘。
其实就是将两个自然数分别作质因数分解，将两者都出现的质因子相乘即可。
这种方法速度较快，但是分解质因数需要花费一些时间。
4、更相减损术更相减损术是唐代数学家刘徽提出的求最大公因数的方法。
它的基本思想是利用两数差的绝对值来取代余数，也就是不断用差来代替原来的两个数，从而取得求最大公因数的目的。
Step 3 运用公因数解决实际问题将公因数的应用带入到实际问题中，如 341、561 和 835 分别含有哪些公因数，可以用这些公因数来化简这些数。
341 = 11 × 31561 = 3 × 11 × 17835 = 5 × 167以上三个自然数包含了公因数11。
这些数可以被11整除。
Step 4 探究公因数和最大公因数之间的关系公因数是两个或多个数的公共因子，而最大公因数是最大的能够整除这些数的数。
漫谈数学教学
程 ， 么 新 课 程 理 念 下 应 该 怎样 教好 数 学 呢 ？ 那
一
的意识 ” 笔者认 为 ， ． 在教学 中我 们应从 以下几个 方 面着
手， 培养 学生应 用数学的能力 ：． 现知识形 成 的过 程 ， １重 培养 学生用数学 的意识． 数学概 念和数 学规律 大多是 由 实 际问题 抽象出来 的， 因而在进 行数学 概念 和数学规律
活、 产和其 他科 学 中的广 泛应用 ， 生 激发 学生 学 习数学 的动机． 通过设计情景 ， 出问题 引导学 生去探 索 ， 提 去发
现 ， 学生从 中体 验成 功 的喜悦 和快乐． 让 运用 适 当的教 学方法和手段 引导他们 的求 知欲 和好奇 心 ， 从而 培养他
们 浓 厚 的学 习兴 趣 ． 二 、 重 数 学 思 想 和 方 法 教 学 注
系及其在数学 教学 中所 起 的作用 ． 学是 思维 的体 操 ， 数
从这个角度 讲 ， 学学 习本 身 就是 一 种 锻 炼 思维 的手 数
在新课程理 念 下 ， 施 素质教 育 ， 实 是一 项 迫切 而艰 巨的任务 ， 大教 育 工作 者 ， 积极 探 索 ， 力实 践 ， 广 要 努 切 实把新课程理念 落实到教学工 作 中去 ， 为培养 高素质人
为 了促进学生思维能力 的发展 ， 我们必 须高度 关注 学生在数学学 习过程 中的思 维活动 ， 必须研究 思维 活动 的发展规律 ， 研究思维 的有关 类 型和功 能、 结构 、 内在联
中训练 ， 独立思 考精神的培养． 使学生形 成不 怕困难 ， 坚
韧不跋 ， 刻苦钻研 ， 强拼搏的优秀 品质． 顽
数学漫谈-宇宙的语言
数学漫谈-宇宙的语言纵观历史，人类一直在努力寻找探索物质世界的的基本原理。
数千年以来，在世界各大文明中都已发现解释世界各个物质规律的原理中基础科学中都用到了一门基础学科，这门学科就是数学。
数学是全球文明的瑰宝，数学创造了描述宇宙的语言，追溯数学发展的历程，从它简单的从1,2,3开始到如今成为一门极其复杂的科学。
用数学的眼观读懂世界，从计量时间到确定自己在宇宙中的位置，从绘制地图到航海探险，从人类早期的发明到如今的先进科技数学已成为人类文明的支点。
本文以走马观花的形式，大致介绍了数学在人类文明的产生与发展历程，分别介绍了早期的四大文明古国数学，以及后来居上的欧美数学。
埃及在人类数学路上的第一步是古老的埃及文明。
在古老的埃及，记录季节的变化规律十分重要，尼罗河两岸的居民在每年洪灾过后都需要重新的测量他们的土地，因此寻求测量的方法就变得十分重要，简而言之，人们需要测量和计数，古埃及人用他们的身体来测量。
为了从辛勤劳动的臣民身上榨取每一分税款，古埃及统治者也把全埃及的土地作了测量。
后人由此发现，古埃及人之所以能够完成这项艰巨的工作，是因为他们当时已经掌握了丰富的应用数学知识。
他们用十进制来计数，灵感来源于他们的手指。
埃及人早就熟悉了二进制，比哲学家兼数学家的莱布尼茨还要早三千多年。
今天整个技术世界依赖于古埃及使用的相同原理。
还有埃及的象征，令人震撼的世界七大奇迹之一的埃及金字塔，它们实在激动人心，在当时更加令人刮目相看，整个形状组成了完美的对称八面体。
这种内对称令数学家印象深刻。
黄金比例也隐藏在伟大的金字塔中，微积分的理论也应用到了它的体积之中，当你把金字塔沿着底层切成薄片，这些长方体薄片的体积总和即金字塔的体积，而且切得越薄，这个体积越准确。
埃及人是惊人的创造者，他们创造数学的能力令人难以相信。
他们揭示了几何和数字的威力，并实现了令人兴奋的数学发现的第一步。
希腊希腊是连接古老亚洲和新兴欧洲的纽带，古希腊人的求知欲是最旺盛的，他们曾就地理问题撰了无数的论著，但对他们的地图后人却是一无所知，这或许是这个文明衰落的重要原因吧。
_数学漫谈_袁亚湘 2020.03.14.15
欧几里得 Euclid (约330BC–275BC)
-- 李天岩 (1945-)
Smale（1930-） Maculan(1943-)
数学真：逻辑严谨
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
爱因斯坦 Albert Einstein (1879.3.14-1955)
数学趣：数
有趣的数列: 数阵
等差、等比、斐波那契
倍数与约数： 3的倍数各位数之和也是3的倍数 9的倍数各位数之和也是9的倍数
素数： 2，3，5，7，11，13，17，23，29，31，37，41，43，… 完全数： 等于除它本身之外的所有约数之和
其他完全数： 496，8126，33550336，…
笑话二： 杀恐龙的故事
古代中国数学： 计算
善数，不用筹策 ---老子《道德经》
数学：指导作用
数学为其他学科的新发现提供指导和表达形式
Every new body of discovery is mathematical in form, because there is no other guidance we can have.
数学：名字的由来
在古代中国： 算术、算学、数学
英文： Mathematics 希腊文： μαθηματικά
（直译： 干什么就要学什么）
数学节： 3.14
圆周率 πห้องสมุดไป่ตู้≈ 3.14
联合国教科文组织2019年11月在巴黎召开的 全体大会上通过将3月14日定为国际数学节
割圆术－阿基米德
内接多边形周长 < 圆周长 < 外切多边形周长
二. 数学的特点
探究学习法在数学教学中的应用漫谈
三 、 教 学 中要 重 视 学生 的合 作
合作是人类社会赖以生存 与发展 的重要动力 ，让学生 共同学 习生活是探究性学习的重要～环。探究离不开合作 ，因为学生问 的合 作必然使学生了解 到问题的不同侧面，懂得倾 听他人的意 见 ，懂得吸纳别人意见 ，修补 自己的想法、留意他人的情感。不 同问题要使用不同的合作 ，我在教学中起初 只使用小组合作 ，而 且提 出问题立即合作 ，通过实践使我 了解到这样的弊端 ，这样使 得某些学生不去思考 ，因此我让学生 先独立探究而后再小 组合 作 ，有时教师与 学生合作 ，因为师生合作会更融洽师生问的关 系 ，与学生在同一平台 。 合作的同时会有异议 ，对于不 同学生的不同意见可拿来讨 论 ，正确的予以肯定 ，其 目的无不在于保护学生主动学习、思考 探究的积极性 ，只有在 平等讨论的氛围中 ，在没有 唯一答案的约 束中课堂 内容才会丰富。 合作 时教师要精心把握合作时机 ，使学生愿意合作。
探 究 学 习 法 在 数 学 教 学 中 的 应 用 漫 谈
天 津 市大 港 区栖 风 中学 孙 晶
时代的发展要求学生形成 新的学 习方式。基 础教育课程改革 纲要 （ ）中指出 ，要 “ 变课程实施过于强调接 受学习，死 试行 改 记硬背、机械训练的现状 ， 倡导 学生主动参与、乐于探 究、勤于 动手 ， 养学生搜集和处理信息 的能力、获取新知识的能力、分 培 析和解决问题的能力以及交流 、合作的能力”。 随着新课程 的实施 ，在中学数学教学中如何注重学生的知识 与技能、过程与方法、情感态度与价值观等培养 目标的达成 ，把 培养学生的创新意识与实践能力的要求 ，落实到课堂教学 ，已成 为我们教师迫切 解决的 问题。而探究教学是解决其的一条很好 的 途径。 探究教学指学生在教师指导下，根据教材提供 的学 习材料 ， 伴 随知识的发生 、形成、发展的全 过程 ，达到掌握知识 ，发展探 究能力的一种学 习方式。探究教 学也 为主动学习模式之～ ，探究 学习方式是相对于传统接受性 学习方式而提出的一种新 的学 习方 式，它强调学生的学习是一种主动思考 ，发觋和解决问题的过 程 。中学数学教学中的探究 式学 习方式主要是教 师不把问题结论 告诉学生 ，而是学生在教 师指导下 ，用类似研 究方式 自主发现问 题 ，探究问题 ，获取 知识 。应用知识解决问题的一种学 习方式。 我校也深人地对探究教 学实施 了探究与实践，以下谈谈 自己的浅
以目标定教学,还主体于学生——初中数学教学漫谈
客 观存 在 体 ．学 习活 动 的有 效 开 展 需 要 建 立 在 良好 学 习 情 感 基础 之 上 。 这就 要 求 教 师 在 教 学 活 动 中 ， 创 设具 有 生 活 气 息 的 问题 情 境 ，促 使 学 生 主 动 参 与 教 学 活 动 。例 如 ：一 次 函 数 是 “ 数” 与“ 形” 有效结合的重要章节 ， 学 生 在初 步 接 触 时 ． 往 往 会
一Байду номын сангаас
边分别为 ｌ 和２ ， 那么斜边是多 少？” “ 、 ／５” ， 我立刻 回答出来。
又有 学 生 问 ： “ 如果 斜 边 是５ ，一 直 角 边 是 ４ ，那 么 另 一 直 角 边 是 ？” “ 是３ ” ， 还没等他说完 ， 我 已脱 口而 出 。“ 如 果 两 直 角 边 分 别 为２ 和３ 。 那么斜边是？” … …学 生 热 情 高 涨 ， 兴趣盎 然 ， 此 时 引入 课 题 ， 教 学 效 果 不 言 而 喻 。学 习完 勾 股 定 理 后 ， 再 让 学 生 验 证 刚才 老 师 回答 的正 确 性 ， 进一步引发他们的学习兴趣。 二、 鼓 励 大 胆质 疑 。 激 活 数 学 思 维 思源 于疑 ， 质疑是创新 意识的开 始 ， 是创新思维 的开始 。 解 决 一 个 问题 可 能 只 需 有 某 项 技 能 ．而提 出 问 题却 需 要 去 发 现， 发 挥 想象 力 。 通过质疑 ， 教 师 可 以了 解 学 生 学 习 的 难 点 。 学 生 的学 习过 程 是 一 个 矛 盾 转 化 的 过 程 ，只 有 在 质 疑 与 解 疑 的 过 程 中才 能 形 成 良好 的师 生 互 动 ．才 能有 效 发 挥 学 生 的 主 体 作用 。 例如 ： 在学习“ 判断三角形相似” 时， 就其中的“ 两边成 比 例且夹角相等的两三角形相似” 这个判断方法 。 我们 不 妨 让 学 生思考 能否把“ 夹角” 改为“ 角” ． 这 就 复 习 了三 角 形 相 似 的 有 关知识。 教 师激 发 学 生 质 疑 的 途 径 很 多 ， 有 经 验 的 教 师 总 是 在 课 堂 上 回答 学 生 的 提 问 ， 其 目 的就 是 激 励 其 他 同 学 。 并 经 常 对 课 堂 或 课 外 提 问 的 学 生 给 予 表 扬 ．如 赞 扬 学 生 此 问 题 提 得 巧 妙、 提得有价值 ， 或 是 赠 书 作 为 鼓 励 。这 些 策 略 能极 大 地 鼓 舞 全班同学 ， 激 发 他 们 的好 胜 心 。这 样 的 活 动 ， 一 定 会 激 活 学 生 的思维 ， 从 而 培 养 他 们 大 胆 地 发 现 问题 、 分 析 问题 与 解 决 问 题 的能力。 三、 开展探究活动 。 提 高数 学 应 用 能力 数 学 是 自然学 科 ， 具 有 很 强 的 逻 辑性 与抽 象 性 。 数 学 学 习 注 重 的是 过 程 ， 并不只是结果。 新 一 轮 课 程 改 革 的 核 心 之 一 就 是要 培养 学生 的探 究 能 力 ， 因此 ， 要 调 动 发 学 生 积 极 地 参 与 到 各种 数 学 活动 中 。例 如 ： 在 学 习 了轴 对 称 知 识 后 ． 让 学 生 动手 剪 一 些 美 观 的轴 对 称 图形 ， 并把它们贴在黑板报 中 ． 或 在 宣 传 栏 中 展示 他们 的作 品 ， 让 学 生 从 中体 会 学 习数 学 带来 的 乐 趣 。
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lim ( )
*
1
can we somehow characterise the properties of ? * what makes different from the other (infinitely many, if P is reducible) limit distributions of P?
Paolo Boldi Massimo Santini Sebastiano Vigna DSI, Universitàdegli Studi di Milano 3 General Behaviour 3.1 Choosing the damping factor 3.2 Getting close to 1
Page Rank, the ranking system used by the
Google search engine.
Query independent content independent. using only the web graph structure
The example of web graph structure*源自Conjecture 1 :
is the limit distribution of P when the starting
*
distribution is uniform, that is,
1 n lim ( ) lim P . n N 1
数学是很有用的，今天我们该讨论的是 数学如何使用，而不是数学有没有用 的问题，数学需要的是近一步的发展 和推进。
Page Rank, the ranking system used by the Google search engine.
pij p( X t 1 j X t i)
这恰好可以看成一个网络点击浏览过程
WWW 2005 paper
PageRank as a Function of the Damping Factor
A main task of Internet (Web) Information Retrieval = Design and Analysis of Search Engine (SE) Algorithm
involving plenty of mathematics
HITS 1998 Jon Kleinberg Cornell University PageRank 1998 Sergey Brin and Larry Page
应用数学漫谈
E mc 核工业 F ( x) C-T扫描仪 人造地球卫星等等
2
f ( x ) d x
数学建模的经典案例
Google搜索与 Inter网的信息检索
约有307,000 项符合南阳师范 学院的查询结果，以下是第120项。 (搜索用时 0.10秒）
How can google make a ranking of 307,000 pages in 0.10 seconds?
欢迎各位参加到全国大学生数学建模竞赛中来
Stanford University
Nevanlinna Prize（2006)
Jon Kleinberg
One of Kleinberg‟s most important research achievements focuses on the internetwork structure of the World Wide Web. Prior to Kleinberg„s work, search engines focused only on the content of web pages，not on the link structure. Kleinberg introduced the idea of “authorities” and “hubs”: An authority is a web page that contains information on a particular topic, and a hub is a page that contains links to many authorities.