2015年高中数学新课标一轮复习3

三 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．下列命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，lg x >0 B ．∀x ∈N *，(x －2)2>0 C ．∃x ∈R,2x >1 D ．∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0[答案] C[解析] 当x >0时，有2x >1成立，所以∃x ∈R,2x >1是真命题， 故应选C.2．命题p ：若ac 2>bc 2，则a >b .命题q ：在△ABC 中，若A ≠B ，则sin A ≠sin B ．则( )A ．p 假、q 真B ．p 真、q 假C ．“p 或q ”为假D ．“p 且q ”为真 [答案] D[解析] 因为p 真、q 真，所以p 且q 为真． 3．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,2x 0>0 B ．存在x 0∈R,2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R,2x ≤0 D ．对任意的x ∈R,2x >0 [答案] D[解析] 根据命题的否定的定义易知D 正确． 故应选D.4．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；②命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”； ③“若∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤1”；④要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位．其中不正确的命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由于“p 且q ”为假命题，则p 与q 中必有一个为假命题，故①错；“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1<1”，故③错．故不正确的命题的个数为2. 故应选B.5．给出下列四个命题：①命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题为假命题； ②命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则綈p ：∃x 0∈R ，使sin x 0>1； ③“φ＝π2＋k π(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件； ④命题p ：“∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝32”；命题q ：“若sin α>sin β，则α>β”，那么(綈p )∧q 为真命题．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①中的原命题为真，所以逆否命题也为真，所以①错误；②根据全称命题的否定是特称命题知，②正确；③当函数为偶函数时，有φ＝π2＋k π，所以为充要条件，所以③正确；④因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2<32，所以命题p 为假命题，綈p 为真，三角函数在定义域上不单调，所以q 为假命题，所以(綈p )∧q 为假命题，所以④错误．所以正确的个数为2.故应选B.6．已知命题p ：“直线l ⊥平面α内的无数条直线”的充要条件是“l ⊥α”；命题q ：若平面α⊥平面β，直线 a ⊄β，则“a ⊥α”是“a ∥β”的充分不必要条件．则下列正确的命题是( )A ．p ∧qB ．p ∨綈qC ．綈p ∧綈qD ．綈p ∧q[答案] D[解析] 由题意可知，p 为假命题，q 为真命题，因此綈p ∧q 为真命题． 故应选D.7．命题p ：若a ，b ∈R ，则|a |＋|b |>1是|a ＋b |>1的充分不必要条件；命题q ：不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x －1>x x －1的解集为{x |0<x <1}，则( )A ．“p 或q ”为假命题B ．“p 且q ”为真命题C ．“綈p 或q ”为假命题D ．“綈p 且q ”为真命题[答案] D[解析] 命题p ：因为|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以由|a ＋b |>1，可得|a |＋|b |≥|a ＋b |>1，即|a |＋|b |>1是|a ＋b |>1的必要条件；反之不成立，如a ＝12，b ＝－1，此时|a |＋|b |＝32>1，而|a ＋b |＝12，显然|a ＋b |>1不成立，所以|a |＋|b |>1是|a ＋b |>1的不充分条件．综合上述，|a |＋|b |>1是|a ＋b |>1的必要不充分条件，故命题p 为假．命题q ：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x －1>xx －1得x x －1<0，解得0<x <1，故该不等式的解集为{x |0<x <1}．故该命题为真．综上可知，p 假q 真，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，綈p 为真命题，“綈p 或q ”为真命题，“綈p 且q ”为真命题．故应选D.8．下列命题中正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否定为：“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”D ．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1≥0 [答案] B[解析] 若p ∨q 为真命题，则p ，q 有可能一真一假，此时p ∧q 为假命题，故A 错；易知由“x ＝5”可以得到“x 2－4x －5＝0”，但反之不成立，故B 正确；选项C 错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D 错．故应选B.9．已知命题p 1：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在R 为减函数，p 2：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x在R 为增函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4[答案] C[解析] 本题考查含有逻辑联结词的命题的真假，难度中等．先判断命题p 1，p 2的真假，再判断复合命题的真假．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2x是R 上的减函数，所以命题p 1是真命题； 因为x ＝1和x ＝－1时，都有y ＝12＋2＝52，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x 不是R 上的增函数，故p 2是假命题，所以p 1∨p 2是真命题，p 1∧p 2是假命题，(綈p 1)∨p 2是假命题，p 1∧(綈p 2)是真命题，所以真命题是q 1，q 4，故应选C. 10．已知命题： p 1：函数f (x )＝x ＋1x －1(x >1)的最小值为3； p 2：不等式1x >1的解集是{x |x <1}；p 3：∃α，β∈R ，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立； p 4：∀α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β成立．其中的真命题是( ) A ．p 1 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3，p 4[答案] B[解析] 本题考查基本不等式、不等式的解法与三角函数基本公式，难度中等．对于p 1，当x >1时，x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3(当且仅当x －1＝1x －1>0时，即x ＝2时取等号)，因此f (x )的最小值是3，命题p 1是真命题；对于p 2，由1x >1得x －1x <0，x (x －1)<0，0<x <1，即不等式1x >1的解集是{x |0<x <1}，因此命题p 2是假命题；对于p 3，注意到当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立，因此命题p 3是真命题；对于p 4，注意到当α＝β＝π2时，公式不成立，因此命题p 4是假命题．综上所述，故应选B.11．(2014·威海模拟)设命题p ：曲线y ＝e －x 在点(－1，e)处的切线方程是：y ＝－e x ；命题q ：a ，b 是任意实数，若a >b ，则1a ＋1<1b ＋1，则( ) A ．“p 或q ”为真 B ．“p 且q ”为真 C ．p 假q 真 D ．p ，q 均为假命题[答案] A[解析] y ′＝(e －x )′＝－e －x ，所以在点(－1，e)处的切线斜率为－e ，切线方程为y －e ＝－e(x ＋1)，即y ＝－e x ，所以p 为真．当a ＝0，b ＝－2时，1a ＋1＝1，1b ＋1＝1－2＋1＝－1，此时1a ＋1>1b ＋1，所以命题q 为假．所以“p 或q ”为真． 故应选A.12．(2014·铁岭模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)[答案] C[解析] 命题p 为真等价于Δ＝a 2－16≥0，解得a ≤－4或a ≥4；命题q 为真等价于－a4≤3，a ≥－12.p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假．当p真q假时a<－12；当q真p假时－4<a<4.故所求a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．故应选C.13．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]的图象如下图所示，给出下列四个命题：(1)方程f(g(x))＝0有且仅有6个根(2)方程g(f(x))＝0有且仅有3个根(3)方程f(f(x))＝0有且仅有5个根(4)方程g(g(x))＝0有且仅有4个根其中正确的命题个数是()A．4 B．3C．2 D．1[答案] B[解析]读懂图象，用数形结合的方法解决．由函数y＝f(x)在[－2,2]的图象可知，方程f(u)＝0有三个根，分别是u1＝0，u2∈(－2，－1)，u3∈(1,2)．由函数y＝g(x)的图象可知g(x)＝u i，i＝1,2,3均有两个根，所以(1)正确；同理方程g(f(x))＝0有且仅有4个根，所以(2)错误；方程f(f(x))＝0有且仅有5个根，所以(3)正确；方程g (g (x ))＝0有且仅有4个根，所以(4)正确， 故应选B. 14．已知p ：1x 2－x －2>0，则綈p 对应的x 的集合为________．[答案] {x |－1≤x ≤2}[解析] p ：1x 2－x －2>0⇔x >2或x <－1，∴綈p ：－1≤x ≤2.15．(2014·潍坊模拟)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] [e,4][解析] 因为∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，所以a ≥e.由“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，可得判别式Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4. 若命题“p ∧q ”是真命题，所以p ，q 同时为真，所以e ≤a ≤4，即[e,4]． 16．(能力挑战题)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．[解析] 由2x 2＋ax －a 2＝0， 得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0， ∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a>2或a<－2.即a的取值范围为a>2或a<－2.。