八校2012届第二次联考理数试题1

湖北省 八校2012届高三第二次联考 数学试题（理科）考试时间：2012年3月29日下午3：00—5：00本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

★ 祝考试顺利 ★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。

答在试题卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U ＝R ，集合{}22,A x y x x ==-集合{}2,x B y y x R ==∈，则()R C A B = （ ）A.{}2x x > B.{}01x x <≤ C. {}12x x ≤＜ D ．{}0x x <2.曲线sin ,cos 2y x y x π==和直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为（ ）()20.s i n c o s A x x d x π-⎰ ()4.2s i n c o s B x x d x π-⎰ ()20.c o s s i n C x x d x π-⎰ ()40.2c o s s i n D x x d xπ-⎰3.对于平面α和共面,m n 的直线，下列命题是真命题的是：（ ）m n m A 所成的角相等，则与若α,.∥n m B 若.∥α,n ∥α，则：m ∥nn m m C ⊥⊥,.α若，则n ∥α ⊂m D 若.α,n ∥α，则：m ∥n4.下列4个命题:（1）命题“若a b <，则22am bm <”；（2）“2a ≤”是“对任意的实数x ，11x x a ++-≥成立”的充要条件； （3）设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），若1(1),(10)2P p P p ξξ>=-<<=-则； 鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中（4）命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02<-x x ”其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名学生的视力情况，得到频率分布直方图如下左图，由于不慎将部分数据丢失，只知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.1之间的学生人数为b,则a 和b 的值分别为（ ）A.0.27 78B.0.27 85C.2.7 78D.2.7 856.如上右图所示的是根据输入的x 值计算y 的值的程序框图，若x 依次取数列216{}()n n N n*+∈中的项，则所得y 值的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．已知函数x x f x21log 2)(-=，且实数a >b >c >0满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f ，若实数0x 是函数y =)(x f 的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．成立的是 （ ） A ．a x <0 B ．a x >0 C ．b x <0 D．c x <08．三角形的内角平分线定理是这样叙述的：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

已知在△ABC 中，∠A =60o ，∠A 的平分线AD 交边BC于点D ，设AB ＝3，且1()3AD AC AB λλ=+∈R，则AD 的长为（ ）A ．23B ．3C ．1D ．39.已知集合A={x R ∈|2121≤-+x x },集合B={a R ∈|已知函数x xax f ln 1)(+-=，∃x 0>0，使0)(0≤x f 成立}，则B A =（ ）开始 输入x x<8? 否y=2x 是 2y x =输出y 结束 0. 3 视力O 4.3 4.4 0. 1 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 频率组距5.2A ．{x|21<x } B ．{x|121=≤x x 或}C ．{x|121=<x x 或} D ．{x|121≥<x x 或}10.记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是 （ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上。

11.()()44320123421,,,0,1,2,3,4i z i x z a x a x a x a x a a C i a =++=++++∈==若且则 。

12.若函数()sin 3cos f x x x ωω=+(,0)x R ω∈>满足()()2,0,f f αβ=-=且αβ-的最小值为2π，则函数()f x 的单调增区间为 . 13.设实数,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数)0,0(>>+=b a b y a x z 的最大值为9，则d=b a +4的最小值为__ ___。

14．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，已知在直角三角形ABC 中， BC ＝1，AC ＝2，AB＝5．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）A l ∈，（2）C α∈．则B 、O 两点间的最大距离为 ．15．（考生注意：本题为选做题，请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第（1）题计分）（1）(《坐标系与参数方程选讲》选做题). 已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，则曲线α AO CB CEAB O D FC 上的点到直线t ty tx (21⎩⎨⎧=+-=为参数）距离的最大值为 .（2）（《几何证明选讲》选做题）.已知点C 在圆O 的直径BE 的延长线上，直线CA 与圆O 相切于点A，ACB AB AE D F ADF ∠∠=的平分线分别交、于点、，则 .三．解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x x m n =-= ，设函数()f x m n =∙ ＋1（1）若[0,]2x π∈， 11()10f x =,求cos x 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 23b A c a ≤-，求()f x 的取值范围．17. (本题满分12分)中国∙黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

湖北理工学院湖北师范学院 9 9 6 5 0 7 2 115 16 17 18 198 91 2 5 8 9 3 4 6 0 118. (本题满分12分)已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．19. (本题满分12分)各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：().4121412*∈++=N n a a S n n n （1）求n a ；（2）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛=为偶数，为奇数，n n f n a n f n ,2,()(),42*∈+=N n f C n n 求数列{}.n n C n T 的前项和20. (本题满分13分)设平面内两定点()()0,50,521F F 、-，直线PF 1 和PF 2相交于点P ,且它们的斜率之积为定值45-； （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 1的方程； （Ⅱ）设M （0，15），N 为抛物线C 2：2x y =上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交曲线C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．21. (本题满分14分) （1）证明不等式：ln(1)(0)1xx x x+<>+ （2）已知函数()ln(1)axf x x a x =+-+在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围。

（3）若关于x 的不等式111x x bx e+≥+在[0,)+∞上恒成立，求实数b 的最大值。

湖北省 八校2012届高三第二次联考 数学试题（理科）参考答案一、选择题：题号12345678910答案A D DB BCD A C D二、填空题:11、12i ； 12、5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈； 13、34； 14、12+；15、（1）4515+ （2）045三、解答题:231cos 161()3sin cos cos 1sin 1222223111sin cos sin()22262x x x xf x x x x x π+=-+=-+=-+=-+、解：（）……………………………………3分∵11()10f x =,∴3sin()65x π-=；又∵[0,]2x π∈，∴[,]663x πππ-∈-，即4c o s ()65x π-= 433cos cos[()]cos()cos sin()sin 6666661010x x x x ππππππ∴=-+=---=-…………………………………………………6分22bcosA 2c 2sin cos 2sin 3sin 2sin cos 2sin()3sin 2sin cos 2[sin cos cos sin ]3sin 32sin cos 3sin cos (0,]26B A c A B A A B AB A A B A B A A B A B B π≤≤-⇒≤+-⇒≤+-⇒≥⇒≥⇒∈（）由－得：……………………………………10分鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中∴1sin()(,0]62B π-∈-，即11()sin()()(0,]622f B B f B π=-+⇒∈………………………………………………………12分17、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：5.1682169168=+. ……………………………………2分（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人，“非高个子”为125320⨯=人； 则至少有1人为高个子的概率P ＝1－2325710C C =……………………………………6分（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0,1，2,3；故353810(0)56C P C ξ===，21533830(1)56C C P C ξ===，12533815(2)56C C P C ξ===，33381(3)56C P C ξ===，即ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P1056 30561556 156E ζ＝01056⨯＋13056⨯＋21556⨯＋3156⨯＝98。