2014年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年江西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）（2014•江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=
﹣=2
）=
=2
2
3．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则
4．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a ﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）
B
5．（5分）（2014•江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）
B
6．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）
=
7．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）
S=0+lg+lg+lg++lg
+lg+lg++lg
S=lg+lg+lg=lg+lg++lg=lg
8．（5分）（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）
f
（（﹣
，则：，
=x（﹣（）﹣
，则：，
=x（+）=x
）+
9．（5分）（2014•江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB
π
B
π
2
π
=，
）．
10．（5分）（2014•江西）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=11，AD=7，AA 1=12．一质点从顶点A 射向点E （4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i ﹣1次到第i 次反射点之间的线段记为l i （i=2，3，4），
l 1=AE ，将线段l 1，l 2，l 3，l 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
．
B ．
．
=|EF|=
于是：向量与向量共线；
=λ
=；
，
，
＞
=
，
，
=
，
二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题
]
坐标系与参数方程选做题
12．（2014•江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则=≤θ≤，≤θ≤
≤θ≤≤θ≤
．
]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）（2014•江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1
件次品的概率是．
3
=
故答案为：
14．（5分）（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．
15．（5分）（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2
与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．
单位向量与=不妨，=
=32（，﹣=）
=
故答案为：
16．（5分）（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b
＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．
的中点，斜率为﹣
，则①②
，
（
（
）作斜率为﹣：+=1
两式相减可得，即
b
=
故答案为：
五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，
）
（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；
（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．
）
（﹣，
，=
））sinx+cosx sinx=﹣sinx+cosx （﹣
∈，
），
）
．
，）
，由=﹣﹣
，可得﹣﹣=1×，
，．
﹣
18．（12分）（2014•江西）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．
（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；
（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．
，可得数列
，
，
19．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）
（1）当b=4时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．
，得到，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．
）=x ．
时，）上为减函数．
）
）上单调递增，
）恒成立．
，
对任意）恒成立．
．
．
的取值范围是
20．（12分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
，，设，故当
PB=
，=BM=
PO=，
××=
，（﹣（﹣，，
，
的法向量为
=||=||=
21．（13分）（2014•江西）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，
B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
，，﹣a=，﹣
相交于点，（，
是化简=可得其值为
，﹣）
•=，
t=，，
的方程为﹣
的方程为：
：x=
）（，
∴=
=
22．（14分）（2014•江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．
（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．
）的大小关系，即判断）和
=，
=
=
=
××××=
×
×=（）＜
）＜
×，此时）＞；）＞。