初三数学第九章四边形知识精讲
平行四边形及重心 初三数学
平行四边形及重心 初三数学一、知识梳理1.平行四边形的性质：1.边：2.角:3.对角线: 面积: 对称性: 2.平行四边形的判定:1.边： 2.角: 3.对角线:3.三角形的中位线定理:4.重心:线段的重心就是:平行四边形的重心就是: 三角形的重心就是:二、例题设计例1.在□ABCD 中，AC 为对角线，M 、N 是AC 上的点，且AM=CN ，求证：四边形BMDN 是平行四边形例2.如图，AC ，BD 相交于点O ，AB ∥DC ，AD ∥BC ，E 、F 分别是OB 、OD 的中点，求证：四边形AFCE 是平行四边形。
例3.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 到E ，延长DC 到F ，使BE=DF ，AF 交BC 于H ，CE 交AD 于G ，求证：三、练习题目1、在ABCD 中，∠A:∠B:∠C:∠D 的值可以是（ ）A.1:2:3:4B.1:2:2:1C.1:1:2:2D.2:1:2:12、如图，在四边形ABCD 中，∠B=65°，∠A=115°，要使四边形ABCD 是平行四边形，则∠D 的度数是（ ）A.115°B.120°C.65°D.60°3、如图：在ABCD 中，如果EF ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交与点O ，那么图中的平行四边形一共有（ ）．（A ）4个 （B ）5个 （C ）8个 （D ）9个4、杨伯家小院子的四棵小树E 、F 、G 、H 刚好在其四边形院子ABCD 各边的中点上，若在四边形EFGH 中种上小草，则这块草地的形状是(_)A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形5、已知四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，如果只给出条件“AB‖CD”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形。
初三数学特殊的平行四边形图形的相似知识点
初三数学特殊的平行四边形图形的相似知识点平行四边形是一个有特殊性质的四边形，其边界任意两边两边互相平行并且长度相等。
在研究平行四边形的时候，我们可以遇到以下几种相似的图形：1. 直角共边平行四边形：这是一种特殊的平行四边形，其中两条边是相互垂直的，我们可以通过相似性来研究它们。
由于这是一个直角平行四边形，角度大小为90度，因此我们可以利用相似三角形的概念来研究其它相似性质。
2. 斜边相等平行四边形：这是另一种特殊的平行四边形，其中两条斜边的长度相等。
根据这个特点，我们可以得出这两个平行四边形的其它边长也相等。
利用这种相似性，我们可以得到它们的一些共同特征，例如周长、面积等。
3. 高度等比例平行四边形：对于两个平行四边形，如果它们的高度相等，并且这两个平行四边形是相似的，那么它们的边长之比也是相等的。
这个性质可以通过相似三角形的概念进行证明。
4. 底边等比例平行四边形：对于两个平行四边形，如果它们的底边之比等于它们的相似比，那么这两个平行四边形是相似的。
同样地，这个性质也可以通过相似三角形进行证明。
在研究平行四边形的相似性质时，我们可以利用各种几何定理和性质来进行证明。
相似性质不仅可以帮助我们推导出平行四边形的其他性质，还能扩展我们对几何形状的理解，为后续的学习奠定坚实的基础。
平行四边形是在我们初中数学中经常会遇到的一个图形，它有着独特的性质和特点。
而在研究平行四边形的过程中，我们经常会遇到一些特殊情况，这些特殊的平行四边形图形包含着一些相似的知识点。
首先，我们来讨论直角共边平行四边形。
直角共边平行四边形是一个有趣且特殊的平行四边形，其中两条边是互相垂直的。
这使得我们可以运用相似三角形的概念来研究它们。
在这种情况下，平行四边形的两对对角线相交于一点，并且形成四个直角三角形。
我们可以利用直角三角形的性质，如勾股定理和三角函数，来探讨直角共边平行四边形的周长、面积和各边之间的关系。
其次，我们来考虑斜边相等平行四边形。
九年级数学第九章 四边形人教版知识精讲
九年级数学第九章四边形人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第九章四边形［复习目标］1. 掌握多边形的有关概念，多边形的内角和、外角和定理；2. 掌握四边形的内角和、外角和性质并会应用；3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，及它们的判定定理，性质定理及它们之间的区别与联系；4. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，及它们的判定定理，性质定理及应用。
5. 掌握平行线等分线段定理及三角形、梯形中位线定理。
6. 掌握中心对称和中心对称图形概念，并会作中心对称图形。
［知识回顾］（一）知识归纳：四边形—平行四边形—矩形菱形—正方形—中心对称梯形—等腰梯形直角梯形—平行线等分线段—中位线⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪（二）几种特殊四边形的判定：1. 平行四边形：（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。
2. 矩形：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角是直角的四边形。
3. 菱形：（1）四条边都相等的四边形；（2）一组邻边相等的平行四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形。
4. 正方形：（1）一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形；（2）对角线互相垂直且相等的平行四边形。
5. 等腰梯形：（1）两腰相等的梯形；（2）在同一底上的两个角相等的梯形。
（四）与四边形有关的其它重要定理： （1）多边形内角和：（n －2）×180° 外角和：360°()四边形内角和：°，有条对角线。
360n n -32（2）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
（3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
初中数学竞赛专题-第九章完全四边形的性质及应用1
第九章完全四边形的性质及应用【基础知识】我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形．六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线．如图91-,直线ABC 、BDE 、CDF 、AFE 两两相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点,即为完全四边形ABCDEF ．线段AD 、BF 、CE 为其三条对角线．完全四边形中既有凸四边形、凹四边形,还有折四边形以及四个三角形．如图91-中有凸四形ABDF ,凹四边形ACDE ,折四边形BCFE ,四个三角形ACF △、BCD △、DEF △、ABE △．在完全四边形ABCDEF 中,对四个三角可以写出梅涅劳斯定理的4个式子（见图11-后说明）；若直线AD 交BF 于H ,交CE 于G ,则可以写出塞瓦定理的7个式子（见图23-）；利用空全四边形及其对角线的相交可以讨论梅涅劳斯定理与塞瓦定理的互推（图22-）；完全四边形的四个三角形的外接圆共点（即完全四边形的密克尔点及西姆松线（见图67-））等．这是我们已介绍的完全四边形的性质,完全四边形还有一系列有趣的性质,下面我们介绍其中的几条： 性质1设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点．（1）若B 、C 、E 、F 四点共圆于O ,则M 点在对角线AD 所在直线上,且OM AD ⊥； （2）若A 、B 、D 、F 四点共圆于O ,则M 点在对角线CE 上,且OM CE ⊥． 注此性质还可参见例10（9）,例11（3）、（5）．O B KC(a)MD FEOBMC F 图9-2(b)D证明（1）如图92- （a ）．设过B 、C 、D 三点的圆交直线于点M ',则AD AM AB AC AE AF '⋅=⋅=⋅,即知点M '在DEF △的外接圆上,亦即知点M '就是完全四边形ABCDEF 的密克尔点M ．设K 为AM 延长线上一点,由2CME CMK KME CBE CFE CFE COE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠,知C 、E 、O 、M 四点共圆．于是1902OMK OME EMK OCE COE ∠=∠+∠=∠+∠=︒,即证．（2）如图92- （b ）．同（1）可证过B 、C 、D 三点的圆与CE 的交点即为完全四边形ABCDEF 的密克尔点M ．由圆幂定理（即点对O 的幂）有 222CO CD CF R CM CE R =⋅+=⋅+,222ED ED ED R EM EC R =⋅+=⋅+（其中R 为O 半径）．上述两式相减,有()2222CO EO CE CM ME CM ME -=-=-．由定差幂线定理,知OM CE ⊥．推论1在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF 内接于O ,AD 与BF 交于点G ,则CDB 、CFA 、EFD 、EAB 、OAD 、OBF 六圆共点；CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD 、 OFA 六圆共点；EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点．事实上,可设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,则由性质1（2）,知M 在CE 上,且OM CE ⊥．于是,知C 、M 、D 、B 及M 、E 、F 、D 分别四点共圆,有9090BMO BMC BDC ∠=︒-∠=︒-∠()9018090BDF BDF =︒-︒-∠=∠-︒=11(180)909022BOF BOF BFO ︒-∠-︒=︒-∠=∠．从而知,点M 在OBF 上．同理,知点M 在OAD 上．由密克尔点的性质知,CDB 、CFA 、EFD 、EAB 四圆共点于M ．故以上六圆共点M ．同理,设N 为完全四边形CDFGAB 的密克尔点,则CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD ,OFA 六圆共点于N ．设L 为完全四边形EFAGBD 的密克尔点,则EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点于L ．图9-3l 6l 5l 4l 1BDCGMFE N L推论2如图93-,在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF 内接于O ,AD 与BF 交于点G ．CDB 与CFA 、CDA 与CFB 、OBD 与OFA 、ODA 与OBF 、EAB 与EFD 、EAD 与EFB 、OAB 与ODF 、GAB 与GDF 、GBD 与GFA 共九对圆的连心线分别记为1l ,2l ,3l ,⋯,9l ,则1l 、2l 、3l 、4l 、OC 五线共点于OC 的中点；4l 、5l 、6l 、7l 、OE 五线共点于OE 的中点；3l 、7l 、 8l 、9l 、OG 五线共点于OG 的中点．事实上,可设M 、L 、N 分别为完全四边形ABCDEF 、EFAGBD 、CDFGAB 的密克尔点,则OM CE ⊥于M ,OL EG ⊥于L ,ON CG ⊥于N ．注意到OM 是ODA 与OBF 的公共弦,则4l 是OM 的中垂线,从而知4l 过OC 的中点,4l 也过OE 的中点．因CN 是CDA 与CFB 的公共弦,则2l 是CN 的中垂线,而ON CN ⊥,从而2l 过OC 的中点；又注意到CM 是CDB 与CFA 的公共弦,则1l 是CM 的中垂线,又OM CM ⊥,则1l 过OC 的中点,ON 是OBD与OFA 的公共弦,则3l 是ON 的中垂线．而ON CN ⊥,3l 过OC 的中点．故1l 、2l ,3l 、4l 、OC 五线共点于OC 的中点．同理,注意到LE 、ME 、OL 分别是EAD 与EFB ．EFD 与EAB 、OAB 与ODF 的公共弦,推知4l 、5l 、6l 、7l 、OE 五线共点于OE 的中点．注意到GN 、LG 、OL 、ON 分别是GAB 与GDF 、GBD 与GFA 、OAB 与ODF 、OBD 与OFA 的公共弦,推知,3l 、7l 、8l 、9l 、OG 五线共点于OG 的中点．注 由上述推论,即知下列竞赛题即为其特殊情形： （1）（1990年全国高中联赛题）四边形ABCD 内接于圆,对角线AC 与BD 交于点P ,PAB △、PBC △、PCD △、PDA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：13O O 、24O O 与OP 三线共点．（2）（2006年国家集训队测试题）四边形ABCD 内接于O ,且圆心O 不在四边形的边上,对角线AC 与BD 交于点P ,OAB △、DBC △、OCD △、ODA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：13O O 、24O O 与OP 三线共点．性质2完全四边形ABCDEF 的三条对角线AD 、BF 、CE 的中点M 、N 、P 共线（即牛顿线）．图9-4证明如图94-,分别取CD 、BD 、BC 的中点Q 、R 、S ,于是,在ACD △中,M 、R 、Q 三点共线；在BCF △中,S 、R 、N 三点共线；在BCE △中,S 、Q 、P 三点共线．由平行线性质,有MQ AC MR AB =,HR FD NS FC =,PS EBPQ ED =． 对BCD △及截线AFE 应用梅涅劳斯定理,有1CA BE DEAB ED EC⋅⋅=,即有1QM RN SP MR NS PQ ⋅⋅=． 再对QRS △应用梅涅劳斯定理的逆定理,知M 、N 、P 三点共线．注此性质中的线称为牛顿线,其证明还有10多种．性质3完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割（两点内分与外分同一线段成同一比值,称这两点调和分割这一线段）． 证明如图95- （a ）、（b ）,在完全四边形ABCDEF 中,对角线AD 所在直线交BF 于M ,交CE 于N ,需证AM MDAN ND=（此式表明点M 、N 调和分割AD ）． NPBDCFAEBDCFANE (b)(a)图9-5MM若BF CE ∥,如图95- （a ）,则由AM BF MDAN CE ND==,即证． 若BF CE ≠,可设直线BF 与CE 交于点P ． 对ADF △及点B 应用塞瓦定理,有1AM DC FEMD CF EA⋅⋅=． 对ADF △及截线CNE 应用梅涅劳斯定理,有1AN DC FEND CF EA⋅⋅=． 上述两式相除,即得AM MDAN ND=． 对于图95- （b ）,类似地可证明有BM MF BP NF =（M 、P 调和分割BF ）,CN NECP PE=（N 、P 调和分割CE ）；对于图95- （a ）,也可看作直线BF 、CE 相交于无穷远点,也有这两式．性质4完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴,且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上．C图9-6证明如图96-,在完全四边形ABCDEF 中,分别以对角线AD 、BF 、CE 为直径作圆,这三个圆 的圆心就是三条对角线的中点M 、N 、P ．设1H 、2H 、3H 、4H 分别为DEF △、ACF △、ABE △、BCD △的垂心,注意到三角形垂心的性质：三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心（见根轴的性质3及垂心的性质4）． 在完全四边形ABCDEF 中,显然1H 、2H 、3H 、4H 不重合,由于DEF △的垂心1H 是三个圆两 两根轴的根心,而对于DEF △,在它的边所在直线上的高C 、B 、A ,点1H 关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等,即点1H 在这三个圆两两的根轴上．同样,对于ACF △,在它的边所在直线上的点B 、D 、E ,其垂心2H 关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等,以及点3H 、4H 均关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等．故1H 、2H 、3H 、4H 均在这三个圆的两两的根轴上,即这三个圆两两的根轴重合,亦即共轴,且四个三角形的垂心在这条根轴上．注 证明1H 、2H 、3H 、4H 四点共线,也可以这样证：由于完全四边形ABCDEF 的四个DEF △、ACF △、ABE △、BCD △的外接圆交于一点M ,且点M 关于这四个三角形的西姆松线为同一条直线l ,根据西姆松线的性质：点P 的西姆松线平分点P 与三角形垂心的连线（西姆松定理及应用中例5）,则知l 过1MH 、2MH 、3MH 、4MH 的中点,从而点1H 、2H 、3H 、4H 共线．推论3完全四边形的垂足线与牛顿线垂直（两圆连心线垂直于公共弦）．性质5完全四边形的四个三角形的外接圆圆心共圆,这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分别在构成完全四边形的四条直线上,且这四个垂心为顶点构成的四边形与四个圆心为顶点构成的四边形全等． 上述性质即指在完全四边形ABCDEF 中,1O 、2O 、3O 、4O 分别为ACF △、BCD △、DEF △、ABE △的外心,1H 、2H 、3H 、4H 分别为423O O O △、413O O O △、241O O O △、123O O O △的垂心,则 （1）1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆（斯坦纳圆）；（2）423O O O ACF △∽△,123O O O ABE △∽△,241O O O DEF △∽△,413O O O BCD △∽△；（3）1H 、2H 、3H 、4H 分别在BE 、AE 、AC 、CF 上,且四边形1234H H H H ≌四边形2143O O O O ． 证明设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,连接BM 、2CO 、2O M 、3MO 、DM ,则（l ）12211801802O O M CO M CDM ∠=︒-∠=︒-∠．同理,13180O O M FDM ∠=︒-∠．从而()1213360180O O M O O M CDM FDM ∠+∠=︒-∠+∠=︒．因此,1O 、2O 、3O 、M 四点共圆．同理,3O 、4O 、2O 、M 四点共圆．故1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆．图9-7(a)（2）由BM 为2O 与4O 的公共弦,则知24O O BM ⊥．同理23O O DM ⊥． 于是423O O O BMD BCD ACF ∠=∠=∠=∠．同理,24323180O O O O MO BAF CAF ∠=︒-∠=∠=∠,故423O O O ACF △∽△． 同理,123O O O ABE △△∽． 于是241O O O BEA DEF ∠=∠=∠．又214213314213324O O O O O O O O O O O O O O O ∠=∠+∠=∠+∠ CAF ACF DFE =∠+∠=∠．从而241O O O DEF △∽△． 同理,413O O O BCD △∽△．（3）自2O 作34O O 的垂线交BE 于1H '点,连4BO 、2BO 、41O H ',由4O 为ABE △的外心,有1490H BO BAE '=︒-∠及1242439090H O O O O O BAE '∠=︒-∠=︒-∠,知14124H BO H O O ''∠=∠,从而1H '、2O 、B 、4O 四点共圆,于是14212H O O H BO ''∠=∠．又2O 为BCD △的外心,知12290H BO O BE BCD '∠=∠=︒-∠． 于是1424239090H O O BCD O O O '∠=︒-∠=︒-∠,即14242390H O O O O O '∠+∠=︒．这表明41O H '也垂直于23O O ,即知1H '为423O O O △的垂心,故1H '与1H 重合．过3O 过14O O 的垂线交AE 于2H ',连4O E 、3O E 、42O H ',则4290O EF ABE '∠=︒-∠,()4321431439018090=18090=90O O H OO O OO O CBD ABE ABE '∠=︒-︒-∠=∠-︒=∠-90︒︒-∠-︒︒-∠,从而2H '、4O 、3O 、E 四点共圆,则有42343O H O O EO '∠=∠．又132134432429090OO H OO O O O H BDC O EH BDC ABE ACF '''∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠, ()()42343334290O H O O FO DEO DEO DEF DEF O EH ''∠=∠=∠+∠=∠-︒+∠-∠()()9090180180DEF DEF ABE ABE EDF ACF =∠-︒+∠-︒-∠=∠+︒-∠-︒=∠,即13242390OO H O H O ''∠+∠=︒,这说明2H '为134O O O △的垂心,故2H '与2H 重合． 过点2O 作14O O 的垂线交AC 与点3H ',连1CO 、2CO 、31H O ',则()32121432132118018090H O O O OO H O O DEF H O O AFC '''∠+︒-∠=∠+︒-∠=∠+∠=︒,3190H CO AFC '∠=︒-∠．于是32131H O O H CO ''∠=∠,即知3H '、C 、2O 、1O 四点共圆,有23121O H O O CO '∠=∠．又3243211243112490H O O H O O OO O H CO OO O AFC FDE '''∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠-∠ ()9090FDE FED FDE FED=︒-∠++∠=︒-∠,()231121290O H O OCO ACF ACO FCO ACF AFC '∠=∠=∠-∠+∠=∠-︒-∠()90180180CBD CAF CBD CAF FED CAF FED +∠-︒=︒-∠+∠-︒=∠+∠-∠=∠．即32423190H O O O H O ''∠+∠=︒,由此知3H '为124O O O △的垂心,故3H '与3H 重合．OMH 1H 2H 3H 4O 4O 1O 3O 2图9-8过点3O 作12O O 的垂线交CF 于点4H ',连1O F 、14O H '、3O F ,由1O 为ACF △的外心,有490H FQ FAC '∠=︒-∠及4312139090H O O O OO FAC '∠=︒-∠=︒-∠,知41431H FO H O O ''∠=∠,从而4H '、3O 、F 、1O 四点共圆,于是41343H O O H FO ''∠=∠．又3O 为DEF △的外心,知43390H FO DFO FED '∠=∠=︒-∠ 于是4131329090H OO FED OO O '∠=︒-∠=︒-∠,即41313290H O O O O O '∠+∠=︒．这表明14O H '也垂直于23O O ,即知4H '为123O O O △的垂心,故4H '与4H 重合． 综上可知,1H 、2H 、3H 、4H 分别在BE 、AE 、AC 、CF 上． 下面,我们证明四边形1234H H H H ≌四边形2143O O O O ．由于1O 、2O ．3O ．4O 共圆,设该圆圆心为O ,设M 为23O O 的中点．由垂心的性质（即Servois 定理）：三角形任一顶点至该三角形垂心的距离,等于外心至其对边的距离的两倍．于是412O H OM =且41O H OM ∥,142O H OM =且14O H OM ∥,故1441O H O H ∥,即1414O H H O 为平行四边形,从而有4114H H O O ∥．同理1221H H O O ∥,2332H H O O ∥,3443H H O O ∥． 从而四边形12342143H H H H O O O O ≌．推论4在完全四边形ABCDEF 中,A 、B 、D 、F 四点共圆于O ,1O 、2O ．3O ．4O 分别为BCD △、DEF △、ABE △、ACF △的外心,1H 、2H 、3H 、4H 分别为234O O O △、134O O O △、124O O O △、123O O O △的垂心,M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,1K ,2K ,3K ,4K ,5K ,6K 分别34AO O △、13BO O △、14CO O △、12DO O △、23EO O △、24FO O △的外心,24O O 与13O O 所在直线交于点1P ,直线21O O 与43O O 交于点2P ,1J 、2J 分别为14O O 、23O O 的中点,直线12I H 与34H H 交于点1Q ,直线13H H 与24H H 交于点2Q ,直线12O O 与34H H 交于点L ,直线43O O 与12H H 交于点N ,124O O O △的外心为X ,123H H H △的外心为Y ,X 与Y 交于点S 、T 则（1）O 在X ,且12ACE OO O △∽△；（2）14231423O O O O OM ST H H H H ∥∥∥∥∥； （3）14231423H O H O O H O H XY CE ∥∥∥∥∥；（4）1243OO O MO O △△≌；（5）点1J 、2J 、1P 、2P 、1Q 、2Q 在直线XY 上,N 、L 在直线ST 上；（6）点1K 、2K 、4K 、6K 在直线ST 上,3K 、5K 在直线XY 上且它们关于直线XY 对称； （7）1J 、2J 分别OMC △、OME △的外心； （8）1P 、2P 分别BOF △、AOD △的外心．证明如图99-,（1）联结1OO 、2OO 、1O M 、2O M 、AD 、MD 、DO 、OB 、OF 、1O D 、2O D ,则()1111180902O MD O DM DO M DCM ∠=∠=︒-∠=︒-∠． P 2K 5L J 2J 1Q 2Q 1P 1XY K K 1K 2K 3K 4N H 1H 2H 3H 4S OO 4O 1O 3O 2B D M F AT图9-9同理,290O MD DEM ∠=︒-∠．从而()12180180180O MO DCM DEM BDC BAF ∠=︒-∠+∠=︒-∠=︒-∠．① 又1O 为BDC △的外心,知1OO 为BD 的中垂线,于是,112O OD BOD BAD ∠=∠=∠,212O OD FOD FAD ∠=∠=∠,则1212O OO O OD O OD BAD FAD BAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠．② 由①、②知,点O 在X 上,注意到12121OO O OO D O O D BCD MCD BCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．③ 由②、③知,12OO O ACE △∽△．（2）注意到14O O 是公共弦CM 的中垂线,23O O 是EK 的中垂线,以及OM CE ⊥,则知1423O O O O OM ∥∥．设此三线段的中垂线为l ,则知点X 在l 上．由性质5（3）知,1414H H O O ∥,2323H H O O ∥,故1423H H H H OM ∥∥．又注意到四边形1414H H O O 为平行四边形,则由1H 为234O O O △的垂心,知四边形1414H H O O 为矩形,即知14H H 与14O O 的中垂线共线,即知点Y 也在直线l 上,亦即知l 为ST 的中垂线,故为ST OM ∥．（3）由性知5（3）知,X 与Y 为等圆,知ST 垂直平分XY ,且41XO YH =,即知四边形14XYH O 为等腰梯形,亦知ST 为14H O 的中垂线,同理ST 为23O H 的中垂线．于是14231423H O H O O H O H XY CE ∥∥∥∥∥,且其前五条线段的中垂线为ST ．（4）由上即知1243OO O MO O △≌．（5）由（2）、（3）即知,1J ．2J 、1P 、2P 、1Q 、2Q 均在直线XY 上,N 、L 在直线ST 上．（6）由性质5（3）知,12H H 在1K 上,即知1K 在14H O 的中垂线ST 上,同理,2K 、4K 、6K 亦在ST 所在的直线上．又3K 在14O O 的中垂线上,则3K 在XY 所在的直线上． 同理,5K 也在直线XY 上．注意到1K X 垂直平分34O O ,4K Y 垂直平分34H H ,则有14K X K Y ∥． 同理41K X K Y ∥由此知1K 与4K 关于XY 对称． 同理5K 与3K 、2K 与6K 也关于XY 对称．（7）注意到四边形14O O OM 为等腰梯形,1J 为14O O 的中点,14O O 为CM 的中垂线,则111OJ J M J C ==,即1J ,为OMC △的外心,由此知1J 在OC 上,且1J 为OC 的中点．同理,2J 在OE 上,且2J 为OE 的中点．（8）注意到1802180BMF BAF BOF ∠=︒-∠=︒-∠,知M 在OBF △的外接圆上,又1O 、3O 分别是四边形BCMD 、ABM E 的外接圆圆心,知13O O 为公共弦BM 的中垂线,同理,42O O 为FM 的中垂线．于是13O O 与42O O 的交点1P 为BOF △的外心． 同理,43O O 与12O O 的交点2P 为AOD △的外心 注以上推论由山东济南刘世军给出．性质6在完全四边形ABCDEF 中,点G 是对角线AD 所在直线上异于点A 的任意一点,则cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠证明如图910-,点G 可以在对角线AD 上或其延长线上,连CE 与直线AD 相交于点K ．在ACE △及点D 应用塞瓦定理,有1AB CK EF BC KE FA⋅⋅=．① AED KBCGAFE D KBCGBDCFAK GE图9-10(c)(b)(a)注意到sin sin GAB GBC S AB AG AGBBC S CG BGC⋅∠==⋅∠△△, sin sin GCK GKE S CK CG AGCKE S EG AGE ⋅∠==⋅∠△△, sin sin GEF GFA S EF EG EGAFA S AG AGF⋅∠==⋅∠△△ 将上述三式代入①式,得sin sin sin sin sin sin BGC EGFAGC AGB AEG AGF∠∠=∠⋅∠∠⋅∠．② 而()sin sin ?sin cos cos sin BGC AGC AGB AGC AGB AGC AGB ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠, ()sin sin cos EGF AGE AGF ∠=∠-∠=sin cos cos sin AGE AGF AGE AGF ∠⋅∠-∠⋅∠．将上述两式代入②式,得cot cot cot cot AGB AGC AGF AGE ∠-∠=∠-∠．故cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠．性质7在完全四边形ABCDEF 中,过B 、F 作与对角线AD 平行的直线分别交对角线CE 于G 、H ,连结BH 、FG 相交于点P ,则点P 在直线AD 上．GQHBDCFAPE图9-11证明延长AD 交CE 于点Q ．对ACE △及点D 应用塞瓦定理,有1CQ EF ABQE FA BC⋅⋅=．()* 由BG AD FH ∥∥,有AB GQ BC CG =,AQCQ CG BG=⋅,FH EF EA AQ =⋅． 将上述三式代入()*式得1GQ EA EHQE AF BG⋅⋅= 又由BG FH ∥,有FH FPBG PG=．于是上式变为1GQ EA EP QE AF PG ⋅⋅=． 对EFG △应用梅涅劳斯定理的逆定理,知A 、P 、Q 共线,故点P 在直线AD 上．性质8在完全四边形ABCDEF 中,四边形ABDF 有内切圆的充分必要条件是下述三条件之一：（1）BC BE FC FE +=+；（2）AC DE AE CD +=+: （3）AB DF BD AF +=+．证明（1）充分性：如图912-,在CF 上截取CG CB =,在EA 上截取EH EB =,连BG 、GH 、BH ,则FH EH EF EB EF =-==．又BC BE FC FE +=+,则BE FE FC BC -=-． 故FH FC BC FC CG GF =-=-=．分别作BCG ∠、BEH ∠、GFH ∠的平分线．由CB CG =、EB EH =、FG FH =,知上述三个角的平分线所在直线是BGH △三边的垂直平分线,从而这三个角平分线交于一点．设该点为I ,由角平分线的性质,知I 到CB 与CF 、到EB 与EF ,到FC 与EA 的距离均相等,即I 到四边形ABDF 四边的距离相等,所以,四边形ABDF 有内切圆．必要性：设内切圆分别交AB 、BD 、DF 、FA 于点P 、Q 、R 、S ,则CP CR =、BP BQ =, EQ ES =,RF FS =．于是()()BC BE CP BP BQ QE +=-++=CP QE CR ES CR +=+=+()()RF FS ES CR RF ES FS FC FE -+=++-=+．（2）充分性：在AC 上截取CM CD =,在AE 上截取EN ED =,则AM AC CM AC CD AE D E =-=-=- （已知条件）AE EN AN =-=,则DCM ∠、DEN ∠、MAN ∠的平分线就是MDN △的三边的中垂线,由此即知四边形ABDF 有内切圆． 必要性：同（1）可证（略）． （3）由切线长定理即证．性质9在完全四边形ABCDEF 中,四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆（或折四边形BCFE 有下切圆）的充分必要条件是下述三条件之一：图9-13A（1）AB BD AF FD +=+；（2）AC CD AE ED +=+；（3）BC CF BE EF +=+．证明（1）充分性：在射线AB 上取点K ,使BK BD =,在射线AF 上取点L ,使得FL FD =,连DK 、DL 、KL ．由AB BK AB BD AF FD AF FL AL +=+=+=+=,知BDK △、FDL △、DLK △均为等腰三角形,设点A I 为DKL △的外心,易知A I B 、A I F 、A I A 分别为DKL △的三边DK 、DL 、KL 的中垂线,即它们分别是DBC ∠、DFE ∠、EAC ∠的平分线,则点A I 到四边形ABDF 各边的距离相等,即知四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆,圆心即为A I ．必要性：（略）．（2）必要性：设旁切圆与四边形分别相切于点M 、P 、Q 、N ,则AM AN =、CP CM =、EQ EN =、DP DQ =,从而AC CD AC CP PD AM PD AN DQ AE EN +=++=+=+=++ DQ AE EQ QD AE ED =++=+．充分性：（略）．（3）类似（2）而证．【典型例题与基本方法】例1在凸四边形ABCD 中,对角线AC 平分BAD ∠,E 是CD 边上一点,BE 交AC 于G ,DG 交BC 于F ．求证FAC EAC ∠=∠．（1999年全国高中联赛题）证明如图914-,在完全四边形CFBGDE 中,点A 为对角线CG 所在直线上一点,由题设知BAC CAD ∠=∠．由性质6,即知FAC EAC ∠=∠．例2已知圆1S 与圆2S 交于P 、Q 两点,1A 、1B 为圆1S 上不同于P 、Q 的两个点,直线1A P 、1B P 分别交圆2S 于2A 、2B ,直线11A B 和22A B 交于点C ．证明：当点1A 和1B 变化时,12A A C △的外心总在一个定圆上．（IMO 43-预选题,2003年国家队集训测试题）B S 2S 1QO 1O 2PA 2B 1CA 1O 图9-15证明如图915-,当点1A 和1B 变化时,点C 、1B 、1A 、P 、2B 、2A 组成完全四边形的六个顶点．由性质5知点Q 恰为全四边形的密克尔点,由此即知12A A C △的外心O 在完全四边形四个三角形的外接圆圆心所在的圆（即斯坦纳圆）上,例3如图916-,四边形ABCD 的两条对角线交于点O ,两组对边的延长线分别相交于E 、F ,过O 作EF 的平行线交BC 、AD 于I 、J ．求证：OI OJ =．（《数学教学》2006年第10期问题681号）IOB DMCFANGEJ 图9-16证明延长AC 交EF 于点G ,在完全四边形ABECFD 中,由性质3,有AO OCAG GC=． 又IJ EF ∥,则OI OC AO OJAG GC AG GF===． 故OI OJ =．注类似地,在完全四边形ABECFD 中,直线IJ 交AE 于M ,交直线ED 于N ,则有ON OC AO OMEG GC AG EG ===,故OM ON =． 由此,我们可推证得：过完全四边形对角线的交点作另一条对角线的平行线,所作直线与平行对角线的同一端点所在边（或延长线）相交,所得线段被对角线交点平分． 【解题思维策略分析】1．灵活应用完全四边形的优美性质解题例4以ABC △的边BC 为直径作半圆,与AB 、AC 分别交于点D 、E ．过D 、E 作BC 的垂线,垂足分别是F 、G ．线段DE 、EF 交于点M ．求证：AM BC ⊥．（1996年第37届IMO 中国国家队选拔赛试题）A 图9-17证明如图917-,连结BE 与CD ,设它们相交于点O ,因BE AC ⊥,CD AB ⊥, 则O 为ABC △的垂心,于是AO BC ⊥．又DF BC ⊥,EG BC ⊥,则DF AO EG ∥∥． 由性质7,得点M 在AO 上,于是AM BC ⊥．例5如图918-,在ABC △中,90BAC ∠=︒,G 为AB 上给定的一点(G 不是线段AB 的中点),设D 为直线CG 上与C 、G 都不相同的任意一点,并且直线AD 、BC 交于E ,直线BD 、AC 交于F ,直线EF 、AB 交于H ．试证明交点H 与D 在直线CG 上的位置无关．（1990年苏州市高中竞赛题）GP N BDMCFAHE图9-18证明作BM CG AN ∥∥,点M 、N 均在直线EF 上．连结AM 、BN ．对CEF △,由性质7,知AM 与BN的交点P 在CG 上．则HB BM PB GBHA AN PN GA===． 这说明点H 由G 唯一确定．即点H 与D 在直线CG 上的位置无关． 注 例5中条件90BAC ∠=︒是多余的．例6如图919-,任意五角星形12345A A A A A 12345C C C C C 的五个小三角形的外接圆分别交于星形外的五个点1B 、2B 、3B 、4B 、5B ．求证：1B 、2B 、3B 、4B 、5B 五点共圆．DA 5A 1A 2A 3A 4B 5B 1B 2B 3B 4C 5C 1C 2C 3C 4图9-19证明由于五角星可看做是由五个完全四边形所组成,由密克尔性质知每一个完全四边形有一个密克尔点,此题即证五个密克尔点1B 、2B 、3B 、4B 、5B 共圆． 设22B A 的延长线与14C B 的延长线交于点D ,令141B B D ∠=∠,1432B C A ∠=∠,1253B B A ∠=∠,4D ∠=∠,2335B B A ∠=∠,3346A B B ∠=∠,523 7A A A ∠=∠,314 8A C B ∠=∠．注意到对完全四边形124135C A C AC A 及完全四边形452413C A C A C A 分别应用密克尔点性质知514A C C △的外接圆要过1B 及4B ,因此1B 、4B 、1C 、4C 四点共圆．又2A 、2B 、4C 、1B 共圆,则123∠=∠=∠,从而1B 、2B 、4B 、D 共圆．再由2A 、2B 、3A 、3B 共圆,知57∠=∠．又由3A 、3B 、1C 、4B 共圆,知68∠=∠．因此3456478180D B ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒,故2B 、3B 、4B 、D 共圆,即1B 、2B 、3B 、4B 、D 五点共圆．同样可证2B 、3B 、4B 、5B 共圆,故五个密克尔点共圆．例7如图920-,设H 是锐角ABC △的高线CP 上的任一点,直线AH 、BH 分别交BC 、AC 于点M 、N ,MN 与CP 交点O ,过O 的直线交CM 于D ,交NH 于点E ．求证：EPC DPC ∠=∠．(2003年保加利亚奥林匹克试题)EHG O BD CLAM NPQ 图9-20证明如图917-,连结PM 、PN ,则由完全四边形的性质5,知MPC NPC ∠=,并令其大小为ϕ,再令EPC x ∠=,DPC y ∠=．欲证x y =,只须证明cot cot cos sin sin cos sin cos sin sin sin cos x y x y x y x y x y ϕϕ=⇔=⇔=⇔ ()()sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin x y x y x y x y x y xyϕϕϕϕϕϕ---=-⇔=．由()sin sin NEP EHP NP x S NE EH S PH x ϕ+==△△, 有()sin sin x NE PHxEH NPϕ-=⋅． 同理()sin sin y DM CPyCD PMϕ-=⋅． 注意到PM MO PN NO =,只须证1NE CD PH MOEH DM CP NO⋅⋅⋅=．设MOD δ∠=,EOP ϕ∠=,又因sin sin NEO EHO S NE HO EH S OH δϕ==△,sin sin CDO DMO S CD CO DM S OM ϕδ==△△． 于是,又只须证1OC PHOH PC⋅=, 即OC PCOH PH=． 而此式,由完全四边形CNAHBM 应用其对角线调和分割性质即证,故EPC DPC ∠=∠． 2．发掘有约束条件的完全四边形问题制作竞赛题的背景 例8如图921-,在完全四边形ABCDEF 中,AB AE =．图9-21(1)若BC EF =,则CD DF =,反之若CD DF =,则BC EF =．(2)若BC EF = (或CD DF =),M 为完全四边形的密克尔点,则MD CF ⊥或ACF △的外心1O ,在直线MD 上．(3)若BC EF = (或CD DF =),点A 在CF 上的射影为H ,ABE △的外心为2O ,则2O 为AM 的中点,且22O D O H =．(4)若BC EF =（或CD DF =）,M 为完全四边形的密克尔点,则MB ME =,且MB AC ⊥,ME AE ⊥． 证明(1)可由完全四边形中含有的比例乘积式（或对ACF △及截线BDE 应用梅涅劳斯定理）有1AB CD FE BC DF EA⋅⋅= 因AB AE =,则由上式,知CD DF BC EF =⇔=．(2)由(1)知,BCD △和DEF △的外接圆是等圆（或由正弦定理计算推证得）．又由A 、B 、M 、E 四点共圆,有CBM AEM FEM ∠=∠=∠,从而CM MF =,于是DCM DFM △△≌,有CDM FDM ∠=∠．故MD CF ⊥．由于DM 是CF 的中垂线,而1O 在CF 的中垂线上,故ACF △的外心1O 在直线MD 上．(3)由(2)知,BCD △和DEF △外接圆是等圆,从而BCM EFM △△≌,即有BM EM =,即知点M 在BAE ∠的平分线上,亦即A 、2O 、M 共线,从而知2O 为AM 的中点． 或者直接计算得2O 为AM 的中点,在ABE △中,由正弦定理,知 22211sin 2cos 2sin 9022ABAB AC AEAO AEBAA +⋅===∠⎛⎫︒- ⎪⎝⎭． 设圆1O 的半径为1R ,流意到1O 、D 、M 共线,则 11112cos 2sin 2sin 2A AM R O MA R MCA R C ⎛⎫=∠=∠=+ ⎪⎝⎭．于是122cos 2sin cos2222sin sin 2cos2A A A R C C AM AC AE AO AFC CA ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+⋅∠+ 而22sin cos 2sin cos cos sin cos sin 2cos 222222A A A A A A C C C C ⎛⎫⎛⎫+=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos sin sin 1cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin C A C A C A C C A C A C AFC =++=++=+∠．故22AM AO =,即2O 为AM 的中点．注意到MD CF ⊥,AH CF ⊥,所以2O 在线段DH 的中垂线上,故22O D O H =．(4)由(3)知,BE EM =．又2O 为AM 的中点,而2O 为圆心即AM 为直径,则MB AC ⊥,ME AE ⊥．或注意到AB AE =,从而MB ME =．以例8为背景,则可得到如下竞赛题．试题1已知锐角ABC △,CD 是过点C 的高线,M 是边AB 的中点,过M 的直线分别交射线CA 、CB 于点K 、L ,且CK CL =．若CKL △的外心为S ．证明：SD SM =．（2003年第54届波兰奥林匹克题）证明事实上,如图922-,此题即为在完全四边形CKAMLB 中,C ∠为锐角,顶点在边AB 上的射影为D ,且CK CL =,AM M B =,S 为CKL △的外心,此即为例8中的(3),过M 与AB 垂直的线与CS 延长线交为M ．图9-22BDMCAGEKS试题2设AM 、AN 分别是ABC △的中线和内角平分线,过点N 作AN 的垂线分别交AM 、AB 于点Q 、P ,过P 作AB 的垂线交AN 于O ．求证：QO BC ⊥．（2000年亚太地区奥林匹克题）O 'P'N 'BO CMAQ N EP图9-23证明事实上,如图923-,过M 作PQ 的平行线交AB 于P ',交AN 于N ',过P '与AB 垂直的直线交直线AN 于O ',则由Rt P O N '''△与Rt PON △是以A 为位似中心的位似形,知MO QO '∥．设P N ''的延长线与AC 的延长线交于点E ,则为完全四边形AP BMEC '的密克尔点,于是由例8中的(2),知O M BC '⊥．从而OQ BC ⊥．以具有相等的边（含边上的线段）的完全四边形为背景的竞赛题还有如下的2003年日本奥林匹克题． 试题3 P 是ABC △内的一点,直线AC 、BP 相交于Q ,直线AB 、CP 相交于R ,已知 AR RB CP ==,CQ PQ =．求BRC ∠．事实上,可在CR 上取点S ,使RS CP =,则由ACS QPC BPR ∠=∠=∠,可推证得SC RP =．由完全四边形中的比例乘积式（即对ABQ △及截线RPC 应用梅涅劳斯定理）知AC BP =． 又由ACS BRP △△≌,得AD BR =．由此推得AS AR RS ==,即60ARS ∠=︒,从而120BRC ∠=︒． 例9如图924-,完全四边形ABCDEF 中,AC BE ⊥,AE CF ⊥．图9-24A(1)若顶点C 、E 在对角线BF 所在直线上的射影分别为G 、H ,则GB FH =．(2)若对角线AD 的延长线交对角线CE 于P ,BPF △的外接圆交AD 于1A ,交CD 于1C ,交DE 于1E ,则111=2ACE A BC PE F S S △,且4ACE BPF S S △△≥．证明(1)由题设知C 、E 、F 、B 、四点共圆,且CE 的中点为其圆心,过O 作OM BF ⊥于M ,则由弦心距性质知BM M F =．又CG OM EH ∥∥,CO OE =,从而GM MH =．故 GB GM BM MH MF FH =-=-=．(2)在ACE △中,由题设知BPF △的外接圆为ACE △的九点圆,从而知1A 、1C 、1E 分别为AD 、CD 、ED 的中点．于是1112BCC PCC BCPD S S S +=△△1112PEE FEE DPEF S S s +=△△1112BAA FAA ABDF S S S +=△△从而1112ACE A BC PE F S S =．由完全四边形的性质,即知4ACE BPE S S △△≥．以例9为背景,则可得到如下竞赛题．试题4锐角ABC △中,BD 和CE 是其相应边上的高．分别过顶点B 和C 引直线ED 的垂线BF 和CG ,垂足为F 、G ．求证：EF DG =． （1998年第22届独联体奥林匹克题） 试题5锐角ABC △中,A ∠的平分线与三角形外接圆交于另一点1A ．点1B 、1C 与此类似．直线1AA 与B ∠、C ∠两角的外角平分线相交于点0A ,点0B 、0C 与此类似,求证：(1)000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的两倍．(2) 000A B C △的面积至少是ABC △面积的四倍．（1989年第30届IMO 试题）试题6已知圆1O 与圆2O 交于A 、B 两点,过点A 作12O O 的平行线,分别与圆1O 、圆2O 交于C 、D 两点,以CD 为直径的圆3O 分别与圆1O 、圆2O 交于P 、Q 两点．证明：CP 、DQ 、AB 三线共点．（2004年第54届白俄罗斯奥林匹克题）事实上,由12CD O O ∥,且12AB O O ⊥,知CD AB ⊥．又可推得CP 、DQ 、AB 是BCD △的三条高线,故共点．例10在完全四边形ABCDEF 中,顶点A 、B 、D 、F 四点共圆O ,其对角线AD 与BF 交于点G ．A图9-25(1)若顶点角C ∠、E ∠的平分线相交于点K ,则CK EK ⊥．(2)BGD ∠的角平分线与CK 平行,DGF ∠的角平分线与EK 平行．(3)从C 、E 分别引圆O 的切线,若记切点分别为P 、Q ．则222CE CP EQ =+；此题设条件下的完全四边形ABCDEF 的密克尔点在对角线CE 上；若分别以C 、E 为圆心,以CP 、EQ 为半径作圆弧交于点T ,则CT ET ⊥．(4)若从C (或E )引圆O 的两条切线,切点为R 、Q ,则E (或C )、R 、G 、Q 四点共圆． (5)过C 、E 、G 三点中任意两点的直线,分别是另一点关于圆O 的极线． (6)点O 是GCE △的垂心．(7)过对角线BF (或BF ∥CE 时的AD )两端点处的圆O 的切线的交点在对角线CE 所在直线上． (8)设1O 、2O 分别是ACF △、ABE △的外心,则12OO O DCE △△∽．(9)设点M 是完全四边形ABCDEF 的密克尔点,则OM CE ⊥,且O 、G 、M 共线,OM 平分AMD ∠,OM 平分BMF ∠．(10)过点E (或C )的圆的割线交圆O 于R 、P ,直线PC (或PE )交圆O 于点S ,则R 、G , S 三点共线． (ii)设对角线AD 的延长线交对角线CE 于W ,则WC WE =的充要条件是2WA WD WC ⋅=．(12)设对角线CF 的中点为Z ,连结AZ 交圆O 于N ,则C 、D 、N 、E 四点共圆． 证明(1)如图925-,连结CE ,令1DEC ∠=∠,2DCE ∠=∠,则 ()1221)180BCD DEF ABD AFD ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒（, 即知1()12902BCD DEF ∠+∠+∠+∠=︒,从而()1180[12]902CKE BCD DEF ∠=︒-∠+∠+∠+∠=︒, 故CK EK ⊥．(2)设DGF ∠的平分线交DE 于X ,KE 交GF 于l ,则()1122FGX DGF GFA GAF ∠=∠=∠+∠,()111()222FIE GFA AED GFA ADB GAF GFA GAF ∠=∠-∠=∠-∠-∠=∠+∠．故CX KE∥．同理,BGD ∠的平分线与CK 平行．(3)设过点B 、C 、D 的圆交CE 于点M ,连结DM ,则AFD CBD DME ∠=∠=∠,从而D 、M 、E 、F 四点共圆,于是CM CE CD CF ⋅=⋅,EM EC ED EB ⋅=⋅． 此两式相加,得2CE CD CF ED EB =⋅+⋅．又CP 、EQ 分别是圆O 的切线,有2CD CF CP ⋅=,2ED EB EQ ⋅=． 放223CE CP EQ =+．显然,M 是圆BCD 与圆DEF 的另一个交点,此即为密克尔点,即题设条件下的完全四边形的密克尔点在CE 上．由于CT CP =,ET EQ =,故222CT ET CE +=,即CT ET ⊥． (4)如图926-,连结CQ 交圆O 于R ',过E 作EH CQ ⊥于H ,X DR'R YZ H C MEAP QO B FG图9-26过点C 作圆的切线CP ,切点为P ,则()222CE EQ CP CR CQ CH HR CQ ''-===-． 又()()222222CE EQ CH HE HE HQ -=+-+()()22CH HQ CH HQ CH QH =-=-+ ()CH Ho CO =-．从而HR HQ '=,由此即可证 Rt Rt EHR EHQ '△△≌．于是EQ ER '=,而EQ ER =,则ER ER '=．又R '、R 均在圆O 上,故R '与R 重合,即C 、R 、Q 三点共线． 或者,设CE 上的点M 是密克尔点,则2EQ ED EB EM EC =⋅=⋅． 从而222CE EQ CE EM EC CE CM CD CF -=-⋅=⋅=⋅()()22CO OQ CO OQ CO OQ =-+=-由此,知CQ OE ⊥．而RQ OE ⊥,故C 、R 、Q 三点共线．为证R 、G 、Q 共线,连结AR 交BF 于点X ,连结RF 交AD 于点Y ,设RQ 与AF 交于点Z ,连结AQ 、QF ．于是sin sin QAZ QZF S AZ QA AQZZF S QF ZQF∠==∠△△． 同理sin sin FY DF FDY YR DR YDR ∠=∠,sin sin RX BR RBXXA BA XBA∠=∠． 由EAQ EQF △△≌,有RX EBQF ER =． 同理,有DF DE DR DB =,RX EBXA ER=． 而AQZ YDR ∠=∠,ZQF RBX ∠=∠,FDY XBA ∠=∠,EQ ER =． 于是1AZ FY RX ZF YE XA⋅⋅=对ARF △应用塞瓦定理的逆定理,知AY 、FX 、RZ 共点于G ,故R 、G 、Q 共线． 综上可知,C 、R 、G 、Q 四点共线．(5)由(4)即证．(6)由于OE RQ ⊥,即OE CG ⊥．同样OC EG ⊥．由此即知,O 为GCE △的垂心,亦可知OG CE ⊥． (7)由(5)知,直线CE 是点G 关于圆O 的极线,从而过点G 的弦的两端点处的切线的交点在直线CE 上． (8)若点O 在AD 上,则1O 、2O 分别为AC 、AE 的中点,此时,显然12OO O DCE △∽△． 若点O 不在AD 上,如图927-所示,则1O 、2O 不在AC 、AE 上．O O 1O 2BDCFAE图9-27连结1AO 、1CO 、AD 、AO 、OD 、2AO 、2O E 、BF ． 由22(180)2AO E ABE AFD AOD ∠=︒-∠=∠=∠, 及22O A O E =．OA OD =, 知2AO E AOD △△∽． 即有2AO AEAO AD=． 又2O AE OAD ∠=∠, 则2AOO ADE △△≌．同理1AO C AOD △∽△,1AOO ACD △△≌． 于是12O O OO AO CD AD DE==． 由12AO C AO E △∽△,知12O O AC AOCE AE AD==, 从而12OO O DCE △∽△．(9)如图928-,过点D 和M 作圆O 的割线MD 交圆O 于点T ,连结AM 、AO 、TO ．由A 、B 、D 、F及A 、B 、M 、E 分别共圆,知EFD ABE AM E ∠=∠=∠．TOBD C FAME图9-28又由D 、F 、A 、T 共圆,知EFD ATD ATM ∠=∠=∠,因AE 、TM 是过两相交圆交点F 、D 的割线,从而EM AT ∥．于是TAM AM E ATM ∠=∠=∠,即知MA MT =．又OA OT =,从而MO AT ⊥,故OM ME ⊥．而M 在CE 上,故OM CE ⊥,又由(6)知,OG CM ⊥,故O 、G 、M 三点共线． (此题为2002年中国国家队选拔赛题的特殊情形,故OM 平分AMD ∠,OM 平分BMF ∠) (10)如图929-,连结PA 、PB 、SD 、DR 、RF 、PF ．S BDCFARG EP 图9-29由EFR FPA △∽△,CPA CSB △∽△,有FR FE PA PE =,AP CPSB CB=． 从而FR FE CPSB PE CB=⋅． 由ERD EBP △∽△,CBP CSA △∽△,亦有 RD ED CPAS EP CA=⋅． 由上述两式相除,得 ER AS FE CASB RD ED CB ⋅=⋅． 用BDAF乘上式两边,应用完全四边形性质1中式①（即对ABE △及截线CDF 应用梅涅劳斯定理）．知 1EF AC BDFA CB DE ⋅⋅= 从而1FR DB SARD BS AF⋅⋅=．。
中考数学总复习-四边形专题模块-矩形的性质及判定讲义教师版
知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求矩形 会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题 会运用矩形的知识解决有关问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．一、矩形的判定【例1】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【考点】矩形的性质和判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】2BC AB =例题精讲重、难点中考要求中考要求矩形的性质 及判定【例2】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB ∥CD在Rt ABC ∆和Rt DCB ∆中BC CBAC BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABC ∆≌Rt DCB ∆ (HL )∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形 ∵AC BD =，∴四边形ABCD 是矩形【巩固】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【考点】矩形的性质和判定 【题型】选择 【难度】1星 【关键词】 【解析】省略 【答案】A【例3】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵E 、F 、G 、H 分别是四边的中点∴EF 、GH 为中位线∴EF GH BD ∥∥且12EF GH BD ==∴四边形EFGH 为平行四边形∴四边形EFGH 是矩形．【巩固】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =， 180A D ∠+∠=︒∵M 是AD 的中点，∴AM MD =在ABM ∆和CDM ∆中AM DM MB MC AB CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABM ∆≌CDM ∆ (SSS )，∴A D ∠=∠ ∴90A ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴90QPN ∠=︒同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒ ∴四边形PQMN 是矩形．【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，安顺市中考 【解析】省略【答案】⑴ ∵AF BC ∥，AFE DCE ∠=∠E 是AD 的中点，∴AE DE = ∵AFE DCE AE DE AEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEF DEC ∆∆≌ ∴AF DC =，∵AF BD = ∴BD CD =（2）四边形AFBD 是矩形∵AB AC =，D 是BC 的中点（利用全等） ∴AD BC ⊥ ∴90ADB ∠=︒∵AF BD =，AF BC ∥∴四边形AFBD 是平行四边形 又90ADB ∠=︒∴四边形AFBD 是矩形．【巩固】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】⑴证明：ED DC DF DC ==，⑵当D 为AC 的中点时，四边形AECF 为矩形【例6】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ．⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【考点】矩形的性质和判定，菱形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，襄樊市中考 【解析】省略【答案】⑴ Rt DEC ∆是由Rt ABC ∆绕C 点旋转60︒得到∴AC DC =，60ACB ACD ∠=∠=︒ ∴ACD ∆是等边三角形 ∴AD DC AC ==又∵Rt ABF ∆是由Rt ABC ∆沿AB 所在 直线翻转180︒得到∴AC AF =，90ABF ABC ∠=∠=︒ ∴180FBC ∠=︒∴点F 、B 、C 三点共线 ∴AFC ∆是等边三角形 ∴AF FC AC ==∴AD DC FC AF === ∴四边形AFCD 是菱形． ⑵ 四边形ABCG 是矩形．由⑴可知：ACD ∆是等边三角形，DE AC ⊥于E ∴AE EC =，又∵AG BC ∥∴EAG ECB ∠=∠，AGE EBC ∠=∠ ∴AEG CEB ∆∆≌，∴AG BC =∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC ∠=︒ ∴四边形ABCG 是矩形．【巩固】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BAGMF E DC BA【考点】平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，三角形的三线五心 【题型】解答 【难度】6星 【关键词】【解析】过C 作CG AD ⊥于G ，连接EG 、FG ．∵AE BC ⊥，FM AE ⊥，∴FM ∥EC∴四边形EMFC 为平行四边形，∴MF EC = 又∵AE BC ⊥，CG AD ⊥且BC ∥AD ∴90EAG AGC GCE AEC ∠=∠=∠=∠=︒ ∴四边形AGCE 为矩形∴EC AG =，EG AC =，∴MF AG = 又∵MF ∥AG∴四边形AGFM 为平行四边形，∴GF AM = ∵AM EF ⊥，∴GF EF ⊥，即90GFE ∠=︒∴GF =∴12AM =【答案】12【例7】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FDBCM【考点】矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】延长BF 交AD 于M ，连结DB ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC AD BC AC BD ==∥，， ∴M EBF ∠=∠，∵F 是AE 中点，∴AF EF =，在AFM △和EFB △中， ∵M EBF MFA BFE AF EF ∠=∠∠=∠=，，∴AFM EFG ∆∆≌．∴AM BE =，MF BF =，∴AD AM BC BE CE DM +=+== ∵CE AC AC BD ==，，∴DM DB = ∵MF BF =，∴BF DF ⊥【答案】见解析板块二、矩形的性质及应用【例8】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
初三中考数学几何知识点归纳
初三中考数学几何知识点归纳目录初三中考数学几何知识点归纳学好数学的几条建议数学八种思维方法初三中考数学几何知识点归纳1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9.同位角相等，两直线平行10.内错角相等，两直线平行11.同旁内角互补，两直线平行12.两直线平行，同位角相等13.两直线平行，内错角相等14.两直线平行，同旁内角互补15.定理三角形两边的和大于第三边16.推论三角形两边的差小于第三边17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18.推论1直角三角形的两个锐角互余19.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21.全等三角形的对应边、对应角相等22.边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23.角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24.推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28.定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31.推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33.推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形36.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42.定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形43.定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44.定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即ab=c47.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a b=c，那么这个三角形是直角三角形48.定理四边形的内角和等于360°49.四边形的外角和等于360°50.多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51.推论任意多边的外角和等于360°52.平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53.平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等55.平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56.平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57.平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58.平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59.平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60.矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61.矩形性质定理2矩形的对角线相等62.矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63.矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64.菱形性质定理1菱形的四条边都相等65.菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷267.菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形68.菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形69.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等70.正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71.定理1关于中心对称的两个图形是全等的72.定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75.等腰梯形的两条对角线相等76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77.对角线相等的梯形是等腰梯形78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(ab)÷2S=L×h83.(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc，如果ad=bc,那么a:b=c:d84.(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85.(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b d … n≠0),那么(a c … m)/(b d … n)=a/b86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88.定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91.相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(ASA)92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)94.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似(SSS)95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96.性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97.性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比98.性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101.圆是定点的距离等于定长的点的集合102.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104.同圆或等圆的半径相等105.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。
初三数学九年级上册特殊的平行四边形(含中考真题解析)
特殊的平行四边形☞解读考点☞2年中考【题组】1．（崇左）下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点：菱形的性质．4．（柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A B ． C ． D【答案】B ．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（南充）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为3cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：2D ．1：3【答案】D ．【解析】试题分析：如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为3cm ，∴=1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴=3（cm ），∴BD=2OB=，∴AC ：BD=1：3．故选D ．考点：菱形的性质．7．（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．． C．5 D．6【答案】C．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．3，且∠ECF=45°，8．（十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=5则CF的长为（）A ．102B ．53 C【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形ABCD 的边长是（ ）A ．201421）（B ．201521）（ C ．201533）（ D ．201433）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．10．（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为 cm2．【答案】．【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：=BD=EH=12BD ，EF=12AC ，∴EH=EF=3，∴矩形EFGH 的面积=EF •FG=．故答案为：．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．11．（凉山州）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．【答案】（3-，2）．的交点，∴点P的坐标为方程组(11y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+-⎩的解，解方程组得：32x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P 的坐标为（3-，2），故答案为：（3，2-）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（潜江）菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0），动点P 从点A 出发，沿A →B →C →D →A →B →…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第秒时，点P 的坐标为 ．【答案】（0.5，．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（北海）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】9 2．【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE ′A ′，∴'''BP BE AA AE =，即164BP =，BP=32，CP=BC ﹣BP=332-=32，S 四边形AEPQ=S 正方形ABCD ﹣S △ADQ ﹣S △PCQ ﹣SBEP=9﹣12AD •DQ ﹣12CQ •CP ﹣12BE •BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…n S ，则n S 的值为 （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．故答案为：232n ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．17．（齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l 于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l 于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则AA= ．【答案】2014．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．20．（武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-， S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．21．（荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．【题组】1．（·宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（14）n﹣1 D．14n【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．2．（·山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）A． 1 BCD． 2【答案】C．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．3．（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD ．若四边形BEDF 是菱形，且EF=AE+FC ，则边BC 的长为（ ）A ．B ．C ．D【答案】B ． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，即BA ⊥BF ，∵四边形BEDF 是菱形，∴EF ⊥BD ，∠EBO=∠DBF ，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=cos30BO=︒，∴BF=BE=EF=AE+FC ，AE=CF ，EO=FO∴B ． 考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．4．（·广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） A ． 等腰梯形 B ． 矩形C ． 菱形D ． 正方形【答案】B ．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．5．（·贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，，则MF的长是（）ABC．1 D．【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（·襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（·宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（·山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（·梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳 1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳 2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳 3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙 B．甲丙乙C．乙丙甲 D．丙甲乙【答案】B．考点：正方形的性质．☞1年模拟1．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．2．（广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 【答案】B ．考点：矩形的性质．3．（山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B=45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB1E ，则△AB1E 与四边形AECD 重叠部分的面积为（ ）A ．0.7B ．0.9C ．−2 D【答案】C ． 【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE ⊥BC ，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE ，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：，由题意得：△ABE ≌△AB1E ，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，，∴，-2，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F ，∵CF ∥AB ，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B CCF AB BB =，解得：，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：112=，21(232⨯=-，∴△AB1E 与四边形AECD 重叠部分的面积=1(32--=-．故选C ．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．4．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（） B．，） C．（2，-2） D．）【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】B．考点：正方形的判定．7．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是．4π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．8．（河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，⊙O 与边BC ，CD 相切，现有一条过点B 的直线与⊙O 相切于点E ，连接BE ，△ABE 恰为等边三角形，则⊙O 的半径为 ．【答案】． 【解析】试题分析：过O 点作GH ⊥BC 于G ，交BE 于H ，连接OB 、OE ，∴G 是BC 的切点，OE ⊥BH ，∴BG=BE ，∵△ABE 为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴，，设OG=OE=x ，则-3，，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（-3）2+x2=-x）2，解得，∴⊙O的半径为．故答案为：．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．9．（山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．【答案】1 4．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．12．（北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（2．【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12BC．同理，AF=CF=12AD．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．13．（山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin ∠ABC 的值；（2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A 、E 代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA ＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt △AOB 中，由勾股定理有5=，∴sin ∠ABC=54OA AB =；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF=AC=5，所以点F 与B 重合，即F （-3，0）；②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ，点F （3，8）；③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y=-43x+4，直线L 过（32，2），且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为-1），L 解析式为y=34x+78，联立直线L 与直线AB 求交点，∴F （4751-，722-）；④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N ，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A 关于N 的对称点即为F ，AF=145，过F 做y 轴垂线，垂足为G ，FG=145×35=4225，∴F （-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型．14．（河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF=EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE=2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC ，则图中阴影部分的面积为．【答案】342π+．【解析】试题分析：连接CD ′和BC ′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C ′AB ′=30°，∴A 、D ′、C 及A 、B 、C ′分别共线∴ACC4π=．∵AC=AC ′，AD ′=AB ，∴在△OCD ′和△OC'B 中，CD BC ACO AC D COD C OB ''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD ′≌△OC ′B （AAS ），∴OB=OD ′，CO=C ′O ．∵∠CBC ′=60°，∠BC ′O=30°，∴∠COD ′=90°．∵CD ′=AC-AD ′-1，OB+C ′O=1，∴在Rt △BOC ′中，BO2+（1-BO ）2=-1）2，解得12-，32C O '=，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。
初中数学知识点总结归纳（完整版）
初中数学知识点总结归纳（完整版）初中数学知识点总结归纳(完整版)总结是指社会团体、企业单位和个人对某一阶段的学习、工作或其完成情况加以回顾和分析，得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以提升我们发现问题的能力，让我们一起认真地写一份总结吧。
你所见过的总结应该是什么样的？以下是小编为大家整理的初中数学知识点总结归纳(完整版)，欢迎阅读与收藏。
初中数学知识点总结归纳(完整版) 篇11、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质：⑴矩形具有平行四边形的一切性质;⑵菱形的四条边都相等;⑶菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
3、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
4、因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)5、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
6、公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。
②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
7、提取公因式步骤：①确定公因式。
②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
8、平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。
a叫被开方数。
9、中被开方数的取值范围：被开方数a≥010、平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
②0的平方根是它本身0。
③负数没有平方根开平方;求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
11、平方根与算术平方根区别：定义不同、表示方法不同、个数不同、取值范围不同。
12、联系：二者之间存在着从属关系;存在条件相同;0的算术平方根与平方根都是013、含根号式子的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。
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初三数学第九章四边形知识精讲一. 本周教学内容：第九章四边形［复习目标］1. 掌握多边形的有关概念，多边形的内角和、外角和定理；2. 掌握四边形的内角和、外角和性质并会应用；3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，及它们的判定定理，性质定理及它们之间的区别与联系；4. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，及它们的判定定理，性质定理及应用。
5. 掌握平行线等分线段定理及三角形、梯形中位线定理。
6. 掌握中心对称和中心对称图形概念，并会作中心对称图形。
［知识回顾］（一）知识归纳：四边形—平行四边形—矩形菱形—正方形—中心对称梯形—等腰梯形直角梯形—平行线等分线段—中位线⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪（二）几种特殊四边形的判定：1. 平行四边形：（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。
2. 矩形：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角是直角的四边形。
3. 菱形：（1）四条边都相等的四边形；（2）一组邻边相等的平行四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形。
4. 正方形：（1）一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形；（2）对角线互相垂直且相等的平行四边形。
5. 等腰梯形：（1）两腰相等的梯形；（2）在同一底上的两个角相等的梯形。
（三）几种特殊四边形的性质：（四）与四边形有关的其它重要定理： （1）多边形内角和：（n －2）×180° 外角和：360°()四边形内角和：°，有条对角线。
360n n -32（2）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
（3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
（4）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（5）中心对称及中心对称图形的判定和性质。
【典型例题】例1. 凸多边形的n 个内角与某一个外角的和为1450°，则n 等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 分析：这是道选择题，我们可以用计算的方法找到正确答案： 因为1450°较大，故从n ＝10开始，1450－180°×（10－2）＝10° 从n ＝8开始，1450－180°×（8－2）＝370° 故应选择D 。
若是道计算题，则可列出不等式：()()n n -⨯︒<︒<-⨯︒+︒218014502180180推出：，91181011810<<∴=n n例2. （03，河北）如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BD ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BEA B ..2212分析：由已知可知：∠CBE 等于腰上的高利用矩形的性质和全等三角形的性质证明＋＝，而的长为。
PQ PR EF EF 2例 AFBE 为平行四相等的四边形”来证明。
证明：∵AB 、CD 相交于O ∴∠AOC ＝∠BOD∵AC ∥BD ，∴∠OAC ＝∠OBD 又∵OA ＝OB ，∴△OAC ≌△OBD ∴OC ＝OD∵E 、F 分别为OC 、OD 的中点 ∴==OE OC OF OD 1212， ∴OE ＝OF ，又OA ＝OB∴四边形AFBE 为平行四边形另一种方法只须证△AEC ≌△BFD 即可。
例4. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ＝CB ，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，且∠DEA ＝∠ACB ＝45°，BG ⊥AC 于G 。
另外，由于已知∠DEA ＝∠ACB ＝45°，我们又可以利用全等形及计算的方法，运用“四条边都相等的四边形是菱形”来证明。
证明：（法一）连结EF ，DF 交AC 于H （1）∵∠ADC 为直角，DE 为斜边上中线 ∴=DE AC 12∵EF 为△ABC 中位线∴=EF BC ∥12∵AC ＝BC ，∴DE ＝EF∵∠AEF ＝∠ACB ＝45°，∠DEA ＝45° ∴∠DEF ＝90°△DEF 为等腰直角三角形，EF 为顶角的平分线 ∴DF ⊥EA ，DH ＝HF ∵BG ⊥AG ，∴FH ∥BGF 为AB 中点，∴H 为AG 中点，即AH ＝HG ∵AG 、DF 互相垂直平分 ∴四边形AFGD 为菱形（2）在Rt △BGC 中，∠BCG ＝45°，BG ⊥GC ，BC ＝10cm ∴==BG cm CG 52 EH BG DF EH cm =∴==12252， ()AC cm AG cm =∴=-101052，()()∴=⋅=⨯⨯-=-S DF AG cm AFGD 菱形1212521052252252 证明：（法二）连结EF在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，E 为AC 中点 ∴==DE EC AC 12∠°，∴∠DEA DAG ==︒-︒=︒45180452675. ∵，∠AC BC ACB ==︒45 ∴=︒-︒=︒∠FAG 180452675. ∵BG ⊥AG ，F 为AB 中点 ∴FG ＝FA∴∠AGF ＝67.5°又为∠中位线，∥EF ABC EF BC =12∴===EF DE AEF ACB ，∠∠°45 ∴∠∠AEF AED = 又EG ＝EG∴∆∆DEG FEG SAS ≅() ∴DG ＝GF∴==-∠∠DGE FGE o o 180675. ∴=-=∠∠DGA DGE o o 180675. ∴=DG DA∴===DA AF FG DG AFGD ，四边形为菱形分析：一般地，证线段和差倍分可通过“截长补短”将问题转化成证线段之间的相等关系，因此可以考虑延长PB 到E 使BE ＝DQ ，再证明PE ＝PQ 即可。
而第二问可看出△PCQ 的周长若为正方形周长一半，也就是PQ ＝PB ＋DQ ，因此仍可用（1）问的想法去解决。
证明：（1）延长PB 至E 使BE ＝PQ ，连结AE ∠∠，ABE D AB AD o ===90 ∴≅Rt ADQ Rt ABE SAS ∆∆() ∴==∠∠，DAQ BAE AE AQ ∠，∠PAQ BAD o o ==4590∴+=+=-=∠∠∠∠EAB BAP DAQ BAP o o o 904545 又∵AP ＝AP ∴≅∆∆PAE PAQ∴PE ＝PQ ∴PB ＋DQ ＝PQ（2）辅助线作法与（1）同。
∵周长正方形周长∆PCQ =12ABCD 即PQ PC CQ PB DQ PC CQ ++=+++ ∴=+PQ PB DQ由BE ＝DQ 得：PQ ＝PE再由BE ＝DQ 可证Rt △ABE ≌Rt △ADQ ∴AE ＝AQ∴∠EAQ ＝90°∴≅∆∆APE APQ SSS () ∴==⨯︒=︒∠∠PAQ PAE 129045相等”来证明菱形，在证的过程中我们要完成MB ＝MC 的证明。
故可证MN 就是梯形的高，在条件（2）下∠BMC 为直角，故MN 与BC 的关系就出来了。
证明：∵等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ∴AB ＝DC ，∠A ＝∠D 又∵M 为AD 中点 AM ＝MD∴≅∆∆AMB DMC SAS () ∴BM ＝CM∵E 、N 、F 分别为BM 、BC 、CM 中点 ∴====EN CM MF FN BM EM 1212， ∴===EF FN M F EN四边形MENF 为菱形（2）若MENF 为正方形，∠EMF ＝90° ∵BM ＝CM ，N 为BC 中点 ∴⊥且MN BC MN BC =12最小。
分析：看到“要使PB ＋PC 最小”联想到轴对称和轴对称图形那一节，P 91. 例3就是在河边修水泵站的问题，利用的就是轴对称的性质，我们以AD 为对称轴，作出C 点的对称点C'，连结BC'与AD 交于P 点，这时PC'＝PC ，故PB ＋PC ＝PB ＋PC'＝BC'，为什么这时PB ＋PC 最小呢？我们只要在AD 上再取一点P'，连P'C ，P'B ，P'C'，这时P'C'＝PC'，而P'C ＋P'B ＝P'C'＋P'B'。
在△P'BC'中，P'B ＋P'C ＞BC'，即P'B ＋P'C ＞PB ＋PC ，∴PB ＋PC 最小。
通过分析可知：∠APB ＝∠C'PD ＝∠DPC ，故应选择D 。
例8. 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN 如图（1）；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点B'，得Rt △AB'E 如图（2）； 第三步：沿EB'线折叠得折痕EF ，如图（3）。
利用展开图（4）探究。
解：（1）△AEF 是等边三角形由翻折可得：△ABE ≌△AB'E ，BE ＝B'E ，∠AB'E ＝90°，∠BAE ＝∠B'AE M 、N 为ABCD 对折的折痕 ∴B'为EF 中点∴AB'为EF 的中垂线可证AE ＝AF ，∠B'AE ＝∠B'AF∵BA ⊥AD ，∴∠BAE ＝∠B'AE ＝∠B'AF ＝30° ∴∠EAF ＝60°∴△AEF 为等边三角形（2）从上一问中可看出当F 恰好与D 点重合时能够得到等边三角形AEF ，这时， AD AE AB ==233因此当时能够叠出这样的等边三角形。
AD AB ≥233反之，时，则无法折出这样的等边三角形。
AB AD AB <<233例9.如图：已知梯形中，，＝，，梯平行四边形ABCD AD /BC AD AB S ABFD/S ABC∆=138形的高，且AE AD BC =+=532112980（1）求∠B 的度数。
（2）设点N 是梯形对角线AC 上一点，DN 的延长线与BC 相交于点K 。
当上已知的等量关系可求出AD 、BC 长，从而可得出∠B 的度数。
解：（）平行四边形1122138S S AD AE BC AE AD BC ABFDABC∆=⋅⋅==∴=<>AD BC 13161 又1129802AD BC +=<> 解由<1>、<2>组成的关于AD 、BC 的方程组得：AD BC ==⎧⎨⎪⎩⎪58013∴=AB 5 又∵AE =532在中，Rt AEB B AE AB ∆sin ===532532∴∠B ＝60°（2）过N 点作梯形的高GH ∵，AD S AD NG ADN ==⨯⋅=512125332∆ ∴=NG 25316∴=-=N H NG 53215316AD BC AND CNK //~，∆∆ ∴==∴=CK AD NH NG CK 353， DA CK ==53，2列方程，求出x ，问题就解决了。