2016届中考数学2.5一元二次方程的应用(2)学案1
【数学课件】2016年初三数学2.5一元二次方程的应用(二)
五、小结 列一元二次方程解应用题，步骤与以前列一元一 次方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础， 找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影 响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答 案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的 检验．
六、布置作业 推荐课后完成《课时夺冠》相关作业．
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
北师大九年级上册2.5一元二次方程的应用2精品学案
1.某超市将进价为30元的商品按定价40元出售时，能卖600件已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得10000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？2.新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。
市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。
商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？3.、随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2018年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2020年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．求2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率4.某公司今年10月的营业额为2500万，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11,12两个月营业额的月均增长率。
1.郑州某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．（1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出台，当天共盈利元．（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．2.在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．3.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．4.一个农村合作社以64000元的成本收获了某种农产品80t，目前可以以1200元/t的价格售出。
2.6 一元二次方程的应用(2)学案
九年级数学上册第二章《一元二次方程》导学案2.6 一元二次方程的应用（2）一、学习目标：1、通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，总结运用方程解决实际问题的一般过程。
2、经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义。
二、学习重点：能够利用一元二次方程解决有关问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
三、学习难点：通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
四、学习过程： （一）自主学习：1、列方程解应用题的步骤是什么？2、列方程的关键是 。
3、每件销售利润= － 总利润= × （二）合作探究：阅读课本54页例2回答下列问题：1、本题的主要等量关系是：2、如果设每台冰箱降价为x 元，那么每台冰箱的定价就是 元，每台冰箱的销售利润为 元。
平均每天销售冰箱的数量为 台。
根据等量关系列方程 3、 若设每台冰箱定价y 元，根据题意，得：根据等量关系列方程 （三）点拨提高：例 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。
调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。
为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？（四）练习反馈：1、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元。
若每件降低1元，则每天可多售5件。
如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
如果商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？3、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0．3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0．1元，那么商场平均每天可多售出300张．商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元?。
2.5 一元二次方程的应用 学案
5、为什么是0.618（1）【学习目标】1、知识与技能：能分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并能解决现实情景中的实际问题。
2、能力培养：提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感与态度：认识方程是刻画现实世界的有效数学模型，增强数学应用意识。
【学习重点】寻找等量关系，将实际问题转化成一元二次方程的数学模型，并根据实际问题检验解的合理性。
【学习过程】一、前置准备：1、什么叫黄金分割？黄金比是多少？2、解方程：x 2+x －1=03、列一元一次方程解应用题的步骤是什么？二、自学探究：掌握黄金分割中黄金比的来历。
自学教材P.63的内容，解答下列问题：如图，如果AC AB =CB AC，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点。
由AC AB =CB AC，得AC 2=AB·CB 。
设AB=1， AC=x ，则CB=1－x 可列方程：____________________，即______ ______________解这个方程得_______________，________________（不合题意，舍去）所以：黄金比AC AB=________≈________ 注意：黄金比的准确数为 ，近似数为__________。
三、合作交流：1、思考：列一元二次方程解应用题的步骤是什么？与同学交流一下。
2、列一元二次方程解应用题应注意什么？ B C A四、归纳总结：通过本节课的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。
五、例题解析：例1 如图（1），某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C 。
小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向上。
一首军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一首补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
（1）小岛D 和小岛F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里（结果精确到0.1海里）分析：（1）提示：利用相似三角形的性质（2）勾股定理→一元二次方程六、当堂训练：1、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm 3，求原铁皮的边长。
2015-2016学年湘教版九年级数学上册教案2.5《一元二次方程的应用》(1)
2.5 一元二次方程的应用第1课时一元二次方程的应用（1）教学目标【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解应用题.【过程与方法】让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值.【情感态度】在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力.【教学重点】建立一元二次方程模型解决一些代数问题.【教学难点】把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题.教学过程一、情景导入，初步认知列方程解应用问题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.二、思考探究，获取新知1.某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40％，计划后年的使用率达到90％，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假设该省每年产生的秸秆总量不变）分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：今年的使用率×（1+年平均增长率）2=后年的使用率解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：40％（1+x）2=90％解得：x1=50％,x2=-2.5根据题意可知：x=50％答：这两年秸秆使用率的年增长率为50％.2.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率.分析：问题中涉及的等量关系是：原价×（1-平均每次降价的百分率）2=现在的售价解：设平均每次降价的百分率x，则根据等量关系，可列出方程：100（1-x)2=81解得：x1=10％,x2=1.9根据题意可知：x=10％答：平均每次降价的百分率为10％.3.“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解.【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.三、运用新知，深化理解1.见教材P50例2.2.一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元．如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得.【答案】121（1-x）2=1003.某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）故答案为：20%．4.某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为a.列方程，600÷40%×(1+a)2=2160解方程，a1=0.2a2=-2.2，(不符合题意，舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2则2013年预计经营总收入为：600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800答：2013年预计经营总收入为1800万元.5.将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润.（1）写出x与y之间的关系式；（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？解∶（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是500-10x个，则依题意得y=［（50+x）-40］（500-10x），即y=-10x2+400x+5000.（2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000.整理，得x2-40x+300=0.解得x1=10,x2=30.所以商品的单价应定为50+10=60（元）或50+30=80（元）.当商品的单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）.6.“国运兴衰，系于教育”图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况．(1)由图可见，1998─2002年的五年内，我国教育经费投入呈现出趋势；(2)如果我国的教育经费从2002年的5500亿元，增加到2004年7920亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？解：（1）上升或增长．（2）设平均每年增长率为x．依题意，5500（1+x）2=7920解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：这两年的教育经费平均年增长率为20%．【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题.教学反思《一元二次方程的应用——增长率及利润问题》与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容.本节课中，同学们能积极投入到课堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果.。
湘教版-数学-九年级上册-2.5一元二次方程的应用 学案
课题：一元二次方程应用（一）教学目标： 1、使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法．并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．2、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。
3、在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
教学重点: 弄清有关增长率的数量关系．教学难点: 利用数量关系列方程的方法．教学过程：复习提问1．问题：(1)某厂生产某种产品，产品总数为1600个，合格品数为1563个，合格率是多少？(2)某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米，问出米率是多少？(3)某商店二月份的营业额为3.5万元，三月份的营业额为5万元，三月份与二月份相比，营业额的增长率是多少？新课例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？分析：用译式法讨论列式一月份产量为5000吨，若月增长率为x，则二月份比一月份增产5000x吨．二月份产量为(5000+5000x)＝5000(1+x)吨；三月份比二月份增产5000(1+x)x吨，三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)2吨．再根据题意，即可列出方程．解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得5000(1+x)2＝7200，即(1+x)2＝1.44，∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合题意，舍去)．答：平均每月增长率为20％．例2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少？解：设每月增长率为x，依题意得50+50(1+x)+50(1+x)2＝182，答：二、三月份平均月增长率为20％．3、为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，求平均每次降价的百分率。
归纳总结布置作业：练习 1题习题2.5 1题课外作业：（1）某城市现有人口100万，2年后为102.01万，求这个城市的人口的平均年增长率．（2）某商店1月份的利润是2000元，3月份的利润达到2645元，这两个月的利润平均增长的百分数是多少？（3）某城市按该市的“十五“经济发展规划要求，2014年的社会总产值要比2012年增长21%，求平均每年增长的百分率。
九年级数学上人教版《 一元二次方程的应用》教案
《一元二次方程的应用》教案一、教学目标1.理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用；2.学会分析和解决与一元二次方程相关的实际问题；3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容与重点难点1.教学内容：一元二次方程在实际问题中的应用，包括增长率问题、最大最小值问题等；2.教学重点：理解并掌握一元二次方程的应用场景，掌握解决问题的方法和步骤；3.教学难点：将实际问题抽象为一元二次方程，并选择合适的解法进行求解。
三、教学方法与手段1.教学方法：讲解、讨论、练习；2.教学手段：多媒体课件、黑板、实物模型等。
四、教学过程设计1.导入新课：通过实际问题引入一元二次方程的应用，激发学生的学习兴趣；2.讲解新课：通过实例展示一元二次方程在实际问题中的应用，包括增长率问题、最大最小值问题等，并介绍解决问题的方法和步骤；3.练习巩固：布置相关练习题，让学生自主解决问题，并适时点拨和归纳；4.归纳小结：总结一元二次方程在实际问题中的应用场景和特点，以及解决问题的思路和方法；5.布置作业：布置相关实际问题，让学生运用所学知识进行解答。
五、评价与反馈1.通过课堂练习和作业，检验学生对一元二次方程的应用掌握情况；2.通过学生自我评价和互评，培养学生的自我认知和团队协作能力；3.通过教师评价和总结，反思教学过程和效果，及时调整教学策略和方法。
六、教学反思与改进方向1.在教学过程中，应注重学生的主体性和参与度，激发学生的学习兴趣和积极性；2.应注重问题的实际应用性，让学生更好地理解并掌握一元二次方程的应用场景；3.应注重培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力，加强实际问题的练习和应用；4.在评价过程中，应注重评价的客观性和公正性，避免主观臆断和偏见。
同时应及时给予学生反馈和鼓励，激发学生的学习动力。
5.不断改进教学方法和手段，提高教学效果。
例如，可以采用小组合作、项目式学习等多样化的教学方式让学生在实践中学习和掌握知识。
一元二次方程的应用(2)教育教案及到导学案 (新版新人教版)
一元二次方程的应用（2）导学案（新版新人教版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第9课时一元二次方程的应用（2）一、学习目标．会利用一元二次方程解答数字问题2．会利用一元二次方程解答营销问题；3．会利用一元二次方程解答动态几何问题.二、知识回顾.用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤：（1）审题找等量关系；（2）设元列方程；（3）求解并检验；（4）写出答案．2.数字问题中常用的数量关系有：两位数表示为：十位数字×10+个位数字；三位数表示为：百位数字×100+十位数字×10+个位数字；三个连续整数可表示为：x-1,x,x+1;三个连续奇数可表示为：2x-1,2x+1,2x+3;三个连续偶数可表示为：2x-2,2x,2x+2.三、新知讲解一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解．四、典例探究．一元二次方程的应用——数字问题【例1】（XX秋•冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数．总结：对于数字问题，首先要明确数的表示方法：（1）如果是两位数，个位数字设为a，十位数字设为b，那么这个两位数可表示为10b+a；（2）如果是三位数，个位数字设为a，十位数字设为b，百位数字设为c，那么这个三位数可表示为100c+10b+a；（3）设x为整数，三个连续整数可表示为x-1,x,x+1，三个连续奇数可表示为2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2．练1有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.练2（XX•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）A．3B．﹣1c．﹣3或1D．3或﹣12．一元二次方程的应用——营销问题【例2】（XX•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？总结：用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润.用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”.每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润×销售量=总利润.每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.练3（XX•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？3．一元二次方程的应用——动态几何问题【例3】（XX春•寿县校级月考）如图△ABc，∠B=90°，AB=6，Bc=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边Bc向点c以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点c时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．总结：动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题.解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动.动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解.练4（XX春•慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙Ac上，这时B到墙c的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1c=x+0.7，A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2而A1B1=2.5，在Rt△A1B1c中，由B1c2+A1c2=A1B12得方程，解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米．（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下问题：梯子的顶端从A处沿墙Ac下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这个问题．五、课后小测一、选择题．已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）A．5和9B．﹣9和﹣5c．5和﹣5或﹣9和9D．5和9或﹣9和﹣52．（XX•鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价o.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2o0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．A．0.2或0.3B．0.4c．0.3D．0.23.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（）A．44B．45c．46D．47．二、填空题4．（XX秋•娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是______．5．（XX•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价_____元时，商场日盈利可达到2100元．三、解答题6．（XX•谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？能围成一个面积为102cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．7．（XX春•江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？8．（XX•江西模拟）等腰△ABc的直角边AB=Bc=10cm，点P、Q分别从A、c两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边Bc的延长线运动，PQ与直线Ac相交于点D．设P点运动时间为t，△PcQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PcQ=S△ABc？（3）作PE⊥Ac于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．9.（XX春•汕头校级期中）如图，长方形ABcD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、c同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BcQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t=以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）典例探究答案：【例1】【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解．解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x ﹣3），根据题意得10（x﹣3）+x=x2原方程可化为：x2﹣11x+30=0，∴x1=5，x2=6，当x=5时，x﹣3=2，两位数为25；当x=6时，x﹣3=3，两位数为36.答：这个两位数是25或36．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．练1．【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），原方程可化为：3x2-17x+20=0,因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，解得x1=，x2=4.因为x为整数，所以x=不符合题意，x=4.0（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.练2．【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为2，列式求值即可．解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0，（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1．故选：D．点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．【例2】【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56（元），答：应将销售单价定为56元．点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．练3．【解析】（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．【解析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先【例3】用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．∵AP=1•x=x，BQ=2x，∴BP=AB﹣AP=6﹣x，∴S△PBQ=×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，∴x2﹣6x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2.（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，则S△PBQ=×（6﹣y）×2y=10，即y2﹣6y+10=0，因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，所以△PBQ的面积不会等于10cm2．点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断．练4．【解析】（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1c=x+0.7，根据勾股定理求出A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2．在Rt△A1B1c中，由勾股定理得到B1c2+A1c2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x 米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1c=x+0.7，A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2．而A1B1=2.5，在Rt△A1B1c中，由B1c2+A1c2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合题意舍去），∴点B 将向外移动0.8m．故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合题意舍去），0.8；（2）有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）．故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙Ac下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．课后小测答案：一、选择题．【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程．解：设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则x（x+4）=45，整理，得（x+2）2=49，x+2=±7，解得x1=5，x2=﹣9．则x+4=9或x+4=﹣5．故这两个数是5、9或﹣9、﹣5．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．2．【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价o.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200．解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．∵200+＞200+，∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．故选：c．点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识．注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果．3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，第2个黑色“”形由3+4=7个正方形组成，第3个黑色“”形由3+2×4=11个正方形组成，…，那么组成第n个黑色“”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．故组成第12个“”的正方形个数是：4×12﹣1=47．故选：D．点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题4．【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224解之得x=14或x=﹣16则x+2=16或x+2=﹣14即这两个数为14，16或﹣14，﹣16所以这两个数的和是30或﹣30．点评：找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．【解析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．三、解答题6．【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．解：设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20﹣x）cm，（1）依题意，得x（20﹣x）=96，化简，得x2﹣20x+96=0．解，得x1=8，x2=12．当x=8时，20﹣x=12；当x=12时，20﹣x=8．所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2．（2）依题意，得x（20﹣x）=102化简，得x2﹣20x+102=0．∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，∴方程无实数根．所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．7．【解析】（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可．解：（1）第一周获利：300×（35﹣20）=4500（元）；第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；（2）根据题意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，即：x2﹣14x+40=0，解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．8．【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿Bc向上运动，且速度都为1cm/s，S=Qc×PB，所以求出Qc、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时cQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时cQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABc=（5分）∴当t＜10秒时，S△PcQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PcQ=（7分）整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）∴当点P运动秒时，S△PcQ=S△ABc（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作Qm⊥Ac，交直线Ac于点m易证△APE≌△Qcm，∴AE=PE=cm=Qm=t，∴四边形PEQm是平行四边形，且DE是对角线Em的一半．又∵Em=Ac=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．9.【解析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出cQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BcQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥cD于E，在Rt △PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ 时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．解：（1）如图1，∵四边形ABcD是矩形，∴AB=cD=6，AD=Bc=2，∠A=∠B=∠c=∠D=90°．∵cQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BcQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴QE=Bc=2cm，BE=cQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥cD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴PE=Bc=2cm，BP=cE=6﹣2t．∵cQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴QE=Bc=2cm，BE=cQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴PE=Bc=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，cQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．。
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一元二次方程的应用（2）
【学习目标】
会列一元二次方程解决有关动态几何的问题.
【前置学习】
1、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；
若不存在，请说明理由．
【典型例题】 例1、如图，在矩形ABCD 中，BC=24cm,P,Q,M,N 分别从点A,B,C,D 同时出发沿AD ，BC ，CB ，DA 移动，且当有一个点先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动．
已知移动一段时间后，若(0),BQ xcm x =≠则22,3,.AP xcm CM xcm DN x cm ===
（1）当x 为何值时，以P 、N 两点重合？
（2）问Q 、M 两点能重合吗？若Q 、M 两点能重合，则求出相应的x 的值；若Q 、M 两点不能重合，
请说明理由。
（3）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？
【课堂评研】《全效》P38例题2，当堂测评2
【课后作业】《全效》P41
《一元二次方程》全章小结（2课时）
第____周 __月___日第____课时课型：熟悉课主备人：王玲
【学习目标】
1.自主构建本章知识结构
2.通过复习与小结，熟练掌握解一元二次方程的解法，并会根据具体方程的特点，选择适当的方法。
3.进一步提高运用二次方程模型解决实际问题的能力。
【前置学习】
1.回顾与思考：
（1）什么样的方程是一元二次方程？它的一般形式是什么？
（2）分别举例说明如何运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.
（3）如何根据一元二次方程根的判别式来判断方程是否有实根？
（4）一元二次方程的根与系数之间有什么关系？
（5）利用一元二次方程模型解决实际问题有哪些步骤？
2.构建本章知识结构图
【典型例题】
1. 方程22(1)(1)10m x m x -++-=，当m 时，方程为一元二次方程；
当m 时，方程是一元一次方程。
2. 用适当的方法解方程：
① 22(31) 4.5x -= ② 22630x x -+=
③ 3(1)2(1)x x x -=- ④ 222(2)(2)1x x x +--=+
3. （1）判断方程2440kx x -+=的根的情况；
（2） ①m 为何值时，关于x 的方程2(1)(23)30m x m x m +-+++=有两个实数根？
②若关于x 的一元二次方程22(1)30kx k x k --++=有两个不相等的实数根，求k 的最大整数值。
4. 已知方程24710x x -+=的两根是12,x x ，则12
22x x += ，2212x x += ，12x x -= 。
5. 已知关于x 的一元二次方程2221(3)(2)02
x m x m -+++=， （1）试证明：无论m 取任何实数，方程有两个正实数根；
（2）设12,x x 为方程的两根，且满足221212172
x x x x +-=
，求m 的值。
6．在一幅长80cm 宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条等宽金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，求金边的宽为多少？
7. 为执行“两免一补”政策，株洲地区2009年投入教育经费2500万元，预计到2011年投入3600
万元
求两年投入教育经费的年平均增长百分率。
8. 新闻旅行社在株洲组织旅游团到北京看奥运，每人的旅费、参观门票等费用共需3200元，如果把每人收费标准定为4600元，那么只有20人参加旅游团；高于4600元时，没有人参加；从4600元每降低100元，参加人数就增加10人。
（1）每人收费标准定为多少时，该旅行社可获利64000元？
（2）有没有可能获利大于64000元？。