2018届全国高三原创试卷(六)数学(文)试卷

2018届全国高三原创试卷（六）数学（文科）试卷本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合8}64{2，，，=A ，7}x 2|{x ≤<=B ，则=B A （ ） A ．}4,2{ B ．}6,4{ C ．}8,6{ D ．}8,2{ 2.已知i 是虚数单位，复数i-12的虚部为（ ） A ． 1 B ．i C ． -1 D ．i -3.若1||=，2||=，且⊥+)(，则与的夹角为（ ） A ．3π B ．3π- C ．32π D ． 32π或3π-4. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知6=a ，3=c ，32cos =A ，则=b （ ）A ． 3B ． 1 C.1或3 D ．无解 5.如图为几何体的三视图，则其体积为（ ）A ．432+π B ．342+π C. 43+π D ．34+π 6.函数)(x f 在),0(+∞单调递增，且)2(+x f 关于2-=x 对称，若1)2(=-f ，则1)2(≤-x f 的x 的取值范围是（ ）A ． ]2,2[-B ． ),2[]2,(+∞--∞ C. ),4[]0,(+∞-∞ D ．]4,0[7. F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，N M ,为双曲线上的点，四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ． 22 C. 2 D ．38.已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≥+-022042y x x y x ，则21++x y 的取值范围是（ ）A ．]23,1[ B ．]23,41[ C. ]1,41[ D ．),23[]41,(+∞-∞9. 世界数学名题“13+x 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的3=N ，则输出=i （ ）A ．5B ． 7 C. 8 D ．910.函数xex x f 1)(2-=的图像大致为（ ） A ． B ．C. D ．11.将函数)62sin(2)(π+=x x f 的图像向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，得到)(x g 的图像，若9)()(21=x g x g ，且]2,2[,21ππ-∈x x ，则212x x -的最大值为（ ）A ．1255π B ．1253π C. 625π D ．417π12. 已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ．425πB ．π4 C. π8 D ．π16 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知3)4tan(-=+πα，则=αtan ．14.从圆422=+y x 内任意一点P ，则P 到直线1=+y x 的距离小于22的概率为 ．15.已知函数)(x f )(R x ∈满足1)1(=f 且)(x f 的导数21)('<x f ，则不等式212)(22+<x x f 的解集为 ．16.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，点)22,(0x M )2(0px >是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =截得的弦长为3||MA ，若2||||=AF MA ，则=||AF ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知}{n a 是首项为1的等比数列，数列}{n b 满足21=b ，52=b ，且11+++=n n n n n a b a b a . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}{n b 的前n 项和.18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，得到如图的频率分布直方图（图1）.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到图2中数据，根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？19. 在如图所示的多面体ABCDE 中，已知DE AB //，AD AB ⊥，ACD ∆是正三角形，22===AB DE AD ，5=BC ，F 是CD 的中点.（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面⊥BCE 平面CDE ； （3）求D 到平面BCE 的距离.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过)23,1(E ，且离心率为21=e .（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆交于B A ,两点，D 点坐标为)3,4(，求直线DB DA ,的斜率之和.21. 已知函数)1(ln )(--=x a x x x f . （1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）若0)(≥x f 恒成立，求a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数），曲线13:222=+y x C .（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求21,C C 的极坐标方程； （2）射线)0(3≥=ρπθ与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数|1|)(-=x x f ，m x x g ++-=|2|)(.（1）若关于x 的不等式0)(≥x g 的解集为}04|{≤≤-x x ，求实数m 的值； （2）若)()(x g x f >对于任意的R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、 1-5 BACCD 6-10 DBBCA 11-12 AD4.【解析】由余弦定理得cos a b c bc A =+-2222，即b b -+=2430，所以b =1或3.选C5.【解析】几何体形状如图所示：是由半个圆柱和一个四棱锥的组合体，所以选D6.【解析】.由()f x 为偶函数，所以(||)(||)f x f -≤-22，又()f x 在(,)+∞0单调递增，所以||x -≤22，即x ≤≤04.选D7.【解析】设()00 M x y ，，x 0>0,y 0>0.∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02cx =，∵四边形OFMN 的面积为bc ，∴0y c bc =，即0y b =，∴ 2c M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入双曲线方程得2114e -=， ∵1e >，∴e = B.10.【解析】函数21()x x f x e -=不是偶函数，可以排除C,D ，又令221'()0xx x f x e-++==得极值点为1211x x ==B ，选A 11. 【解析】由题意得()2sin[2()]1126g x x ππ=++-，故max ()1g x =，min ()3g x =-，由12()()9g x g x =，得12()3()3g x g x =-⎧⎨=-⎩，由()2sin(2)133g x x π=+-=-得22,32x k k Z πππ+=-∈即5,12x k k Z ππ=-∈,由12,[2,2]x x ππ∈-，得12175719,,,,12121212x x ππππ=-- 故当121917,1212x x ππ==-时122x x -最大，即1255212x x π-=，故选A. 12. 【解析】如图所示，设AC 的中点为M ，由已知AB ⊥BC 所以底面三角形ABC 外接圆的圆心为M ，所以OM ⊥平面ABC ,又OM //DC,所以DC ⊥平面ABC ，由四面体的体积为233，得DC =23所以DA=4，球的半径为2,由球的表面积公式得球的表面积为16π.选Ｄ二、选择题13. 214.ππ+2 4【解析】如图所示满足条件的点P构成阴影部分区域，由一个直角边为2的等腰直角三角形和两个圆心角为45°的扇形组成．这是一个几何概型，不难求得P到直线x+y=1的距离小于22的概率为ππ+24.15.{x|x>1或x<－1}【解析】令g(x)=f(x)－x2－12，则()(),()g x f x g''=-<=10102，所以g(x)在R上为减函数，不等式等价于g(x2)<0, 则x2>1,得x>1或x<－1．16.1三．解答题17.解：（Ⅰ）把n =1代入已知等式得a b a b a =+12112， 所以a a b a b a =-=2121113 所以{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， 即n n a -=13（Ⅱ）由已知得n n n na b b a ++-==113， 所以{}n b 是首项为2公差为3的等差数列，其通项公式为n b n =-31()()n n n b b n n n nS ++-+===21231322218．解（Ⅰ）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 设后四组的频数构成的等差数列的公差为d, 则（27-d ）+(27-2d )+(27-3d )=63，解得d =3 所以后四组频数依次为27,24,21,18所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×82100＝820(人)（Ⅱ）22100(4118329)3004.110 3.8415050732773k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. 19. 解：（Ⅰ）取CE 的中点M ，连接,BM MF ，因F 为CD 的中点， 所以1//2MF ED ，又AB //ED 21,所以//MF AB ，四边形ABMF 为平行四边形， 所以MB//AF , 因为BM ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，所以//AF 平面.BCE （Ⅱ）因为ACD ∆是正三角形，所以2AC AD CD ===,在ABC ∆中，1,2,AB AC BC ==所以222AB AC BC +=，故AB AC ⊥， ∴DE ⊥AC ，又DE ⊥AD ,AC∩AD=A ∴DE ⊥平面ACD∴DE ⊥AF,又AF ⊥CD ，由（Ⅰ）得BM ∥AF ∴DE ⊥BM, BM ⊥CD ，DE ∩CD=D ∴BM ⊥平面CDE ，BM ⊂平面BCE∴平面BCE ⊥平面CDE （Ⅲ）连接DM ，由于DE =DC ∴DM ⊥CE由（Ⅱ）知，平面BCE ⊥平面CDE ，∴DM ⊥平面BCE 所以DM 为D 到平面BCE 的距离，DM =2所以D 到平面BCE 的距离为220.（Ⅰ）解：由已知得222221911,,24c a b c a a b+===+ 解之得，a =2，b =3，c =1所以椭圆方程为 22143x y += （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由(1)得(1,0)F ，设直线l 的方程为(1)y k x =-与椭圆联立得22143x y y kx k⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 消去x 得22222(34)84120k x k x k +-+-=， 所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++ 所以1212121233334444DA DB y y kx k kx k k k x x x x ------+=+=+----1212122222222(33)(8)33332244(4)(4)3(1)(83224)3(1)(2424)224124816(43)36362k x x k k k k x x x x k k k k k k k k k k k -+---=++=+----------=+=+--⨯+++=当直线l 斜率不存在时，A (1, －32)，B (1, 32)，2DA DB k k += 所以,DA DB 的斜率之和为221.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,)+∞0'()ln f x x a =+-1由'()f x =0得，e a x -=1当(,e )a x -∈10时，'()f x <0；当(e ,)a x -∈+∞1时，'()f x >0. 所以()f x 在(,e )a -10单调递减，()f x 在(e ,)a -+∞1单调递增 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x 在e a x -=1时有极小值，也就是最小值. 所以(e )a f -≥10即()e (e )a a a a -----≥11110也就是e a a -≥1设()e x g x x -=-1，'()e x g x -=-11由'()g x =0得，x =1.当(,)x ∈01时，'()g x >0；当(,)x ∈+∞1时，'()g x <0.所以()g x 在(,)01单调递增，()g x 在(,)+∞1单调递减. 所以()g x 的最大值为max ()()g x g ==10.所以e a a -≤1又e a a -≥1，所以e a a -=1即a =122.解：（Ⅰ）曲线C 1:cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩1（α为参数）化为普通方程为x y x +=222，所以曲线C 1的极坐标方程为cos ρθ=2，曲线C 2的极坐标方程为(sin )ρθ+=22123. （Ⅱ）射线()πθρ=≥03与曲线C 1的交点的极径为cos πρ==1213， 射线()πθρ=≥03与曲线C 2的交点的极径满足(sin )πρ+=2221233，解得ρ=2，所以||||AB ρρ=-=12123.解：（Ⅰ）由()||g x x m =-++≥20，可得||x m +≤2， 所以m x m --≤≤-22，由题意得m m --=-⎧⎨-=⎩2420，所以m =2.（Ⅱ）若()()f x g x >恒成立，则有||||x x m -++>12恒成立， 因为||||||x x x x -++≥---=12123，当且仅当()()x x -+≤120时取等号，所以m <3。