求导数的一般方法与高阶导数精品资料
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
求导数的一般方法与高阶导数
求导数的一般方法与高阶导数一、求导数的一般方法求导数是微积分中的基本操作，它表示函数在其中一点处的变化率。
求导数的一般方法包括以下几个步骤：1.确定函数表达式：首先确定需要求导的函数表达式，例如y=f(x)，其中f(x)表示关于x的函数。
2.应用导数的定义：根据导数的定义，求导数可以通过求极限来实现。
假设要求导的点为a，那么导数f'(a)定义为：f'(a) = lim (x->a) (f(x) - f(a)) / (x - a)3.使用基本导数公式：根据基本函数的导数公式，对于常见的几个基本函数，我们可以直接得出它们的导数公式，例如：- 对于幂函数y=x^n，导数为dy/dx = n*x^(n-1)；- 对于指数函数y=a^x，导数为dy/dx = ln(a)*a^x，其中ln(a)表示以自然对数e为底的对数；- 对于三角函数（如sin、cos、tan）和反三角函数（如arcsin、arccos、arctan），都有相应的导数公式。
4.使用导数的性质：导数具有一些性质，例如加法、减法、乘法和除法法则。
根据这些性质，我们可以将复杂的函数分解成基本函数的组合，从而更容易求导。
5.进行化简和计算：根据前面得到的导数公式和导数的性质，将函数化简为基本函数的形式，并进行具体的计算。
6.检查结果和正确性：求导过程中注意细节，例如确认定义域和凸凹性等。
求导的结果应与数学常识相一致，并与问题的背景相符。
二、高阶导数在求导的基础上，我们还可以进一步求高阶导数。
高阶导数表示对函数进行多次求导的结果，也可以看作导数的导数。
高阶导数的求法与一阶导数类似，可以通过多次应用导数的定义和基本导数公式来求解。
设函数f(x)有n阶导数，则f(x)的n+1阶导数可以通过对f(x)的n阶导数再求导得到，表示为f^(n+1)(x)。
在实际计算中，可以使用递归的方法，计算第n阶导数时，先计算第n-1阶导数，然后再求导得到。
求导公式知识点归纳总结
求导公式知识点归纳总结一、基本导数公式1. 基本导数：函数y = k，y' = 0 (常数函数导数为0)函数y = x^n，y' = nx^(n-1) (幂函数的导数是指数减1乘以原指数)函数y = sinx，y' = cosx (正弦函数的导数是余弦函数)函数y = cosx，y' = -sinx (余弦函数的导数是负的正弦函数)函数y = e^x，y' = e^x (指数函数自身的导数是自身)2. 基本导数的性质：（1）常数法则：若f(x) = k，f'(x) = 0（2）幂法则：若f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)（3）和差法则：若f(x) = g(x) ± h(x)，f'(x) = g'(x) ± h'(x)（4）积法则：若f(x) = g(x) * h(x)，f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)（5）商法则：若f(x) = g(x) / h(x)，f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2 （6）复合函数法则：若f(x) = g(h(x))，f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)3. 根据基本导数公式，我们可以求出一些特殊函数的导数，比如：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数 f(x) = e^x，导数为 f'(x) = e^x（4）对数函数 f(x) = ln(x)，导数为 f'(x) = 1/x（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)二、常见函数的导数1. 常见初等函数的导数：（1）幂函数：y = x^n，y' = nx^(n-1)（2）指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，y' = a^x * ln(a)（3）对数函数：y = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，y' = 1 / (x * ln(a))（4）三角函数：y = sinx，y' = cosx（5）双曲函数：y = sinhx，y' = coshx（6）反三角函数：y = arcsinx，y' = 1 / √(1 - x^2)2. 常用初等函数的导数：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = a^x * ln(a)（4）对数函数f(x) = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）双曲函数 f(x) = sinhx，导数为 f'(x) = coshx（7）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)3. 常见非初等函数的导数：（1）绝对值函数 f(x) = |x|，导数为 f'(x) = x / |x|（2）分段函数f(x) = {x^2, x > 0; 2x, x ≤ 0}，导数为f'(x) = {2x, x > 0; 2, x ≤ 0}三、高阶导数1. 高阶导数的定义：高阶导数是指一个函数的导数再次求导后所得到的导数。
3.7高阶导数的常见求导方法
高阶导数的常见求导方法如何求高阶导数？(()()).f x f x '''''对于较低阶的高阶导数如，可采用逐次向上求导方法(),()1.例设求xf x xe f x '''=解()(1),xxxf x e xe x e '=+=+()(1)(2),x x xf x e x e x e ''=++=+()(2)(3).xxxf x e x e x e '''=++=+()(())对于较高阶的高阶导数包括可采用等式恒等变形，并运用n fx .求导性质和求导基本公式等方法求导性质：()()()();n n Cu Cu C =⑴为常数()()()()n n n u v uv ±=±⑵；()()()(0)(0)(),莱布尼兹公式⑶，其中=v ．:nn kk n k nk uv C u vuu v −===∑求导基本公式：()(1)(1),,()0,;m nm n m m m n x n m x n m −⎧−−+≤=⎨>⎩⑴()11(1)!()()nn n n x C x C +−++⑵=；()()x n n xe e λλλ=⑶；()()(sin )sin()(cos )cos()22⑷，；n nn nx x n x x n ππωωωωωω=+⋅=+⋅1()()(1)(1)!(1)![ln(1)],[ln(1)](1)(1)n n n n nn n x x x x −−−−+=−=−+−⑸．()2()().12n x f x n f x x =−求的阶导数例2111()(),1(1)(1)211x x f x x x x x x ===+−−+−+解()()()111()[()()]211n n n fx x x =+−+111(1)!(1)![].2(1)(1)n nn n n n x x ++−−=+−+等式恒等变形本例表明非常关键.2(100)3.x y x e y−=例设，求由莱布尼兹公式，解(100)2(100)=()x yx e −02(100)1(99)2(98)100100100=()2()2()x x x Cx e Cx e Ce −−−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅22009900xxxx exe e−−−=−+2(2009900).xx x e −=−+总结本讲主要介绍了高阶导数的常见求导方法.。
偏导数与高阶偏导数详细解法
第二节偏导数 教学目的： 使学生了解偏导数的概念；熟练掌握阶及二阶偏导数的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。
教学重点： 一阶及二阶偏导数的计算教学过程:一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z 二f(xy)如果只有自变量x 变化 而自变量y 固定 这时它就是x 的一元函 数这函数对x 的导数 就称为二元函数z 二f(xy)对于x 的偏导数定义设函数z=f(xy)在点(x o y o )的某一邻域内有定义 当y 固定在y o 而x 在X o 处有增量 x 时相应地函数有增量f(x o x y o) —f(x o y o ).如果极限f (X o X, y o ) - f (X o , y o )A x存在则称此极限为函数z=f(xy)在点(x o y o )处对x 的偏导数 记作例如f (X o ：x, y o ) - f(x o , y o )A x 类似地函数z 斗(xy)在点(x o y o )处对y 的偏导数定义为Hm f(x °,y o ：y)-f (x °,y o ) .y —.o y偏导函数如果函数zh(xy)在区域D 内每一点(xy)处对x 的偏导数都存在 那么这个偏 导数就是x 、y 的函数它就称为函数z=f(xy)对自变量x 的偏导函数 记作——zx 或 f x (x, y) ■ X x偏导函数的定义式：fx(x,y 円m f(x 2)7("cf — y —y o C X=X o -z x y=y o :z .x x=x ° 或 f x (x o , y o ) y mof x (x o ，yo ^.'r.o 记作各X’ * 0 x=X o ■z yy=y ° y To 或 f y (x o y o ). X =<o y =y °类似地可定义函数z=f(xy)对y的偏导函数记为Z/或f y(x，y) ‘-■y :y偏导函数的定义式:f y(x,y) = limf(x,y：y)-f(x,y)求兰时只要把y暂时看作常量而对x求导数求埜时只要把x暂时看作常量而对y ；x ；y 求导数，讨论下列求偏导数的方法是否正确？f x(><0，y o) = f x(x,y)x^ f y(x o，y o) = f y(X,y) xs .y=y°d df x(X o，y o) =【dxf (x,y o)〕xK fygy o)珂石fd o’y)]© ■偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数u=f(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为f (x ：x,y,z) —f(x,y,z)Ax其中(xyz)是函数u=f(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题，例1求z=x2+3xy+y2在点(1 . 2)处的偏导数，解—=2x 3y z =3x 2y . z & cyXT =21 3 2=8 ]z例2求z=x2sin 2y的偏导数解—=2xsin2y — -2x2cos2y . & cy例 3 设z=x y(x Qx^)求证――1—■ =2zy ex In x 內证—=yx y A— =x y I nx,x ：y——1 -yx y^ —x y I nx 二x y x y=2z .y :x In x : y y In x例4求x^y^z2的偏导数解』- ______X 仝 [.一__________ y ____ & +'x2+ y2+z2r by Jx2+y2+z2=_yx”31 22 = 7 .例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)•求证空乂 .兀_1证因为p = R L P 一马. "vw V 2V=RL 卫卫p ：:T pT pV 汀 VT = R 亍 R 所以8汎汀=_RT RV-RT-I討贡④ V 2 p R pV ^例5说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商 二元函数z=f(xy)在点(x o y o )的偏导数的几何意义：f x (x o y o )=[f(x y o )]x 是截线z=f(x y o )在点M o 处切线T x 对x 轴的斜率 f y (x o y o ) =[f(x o y)]y 是截线z=f(x o y)在点M o 处切线T y 对y 轴的斜率偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在 该点连续例如 xyf(x,y) = x 2 y 2I 0 在点(0 0)有f x (0. 0)=0 f y (o. 0)=0但函数在点(0 0)并不连续“提示：f(x,O) =0 f (0, y^of x (O,O)=f [f(x,0)]=0 f y (0, 0^-d [f(0, y)H0 . dx dy当点P(x y)沿x 轴趋于点(0 0)时有lim f(x, y)=lim f (x, 0) = lim 0 =0 (x,y) >(0,0) X r 0 x >0当点P(x y)沿直线y=kx 趋于点(0 0)时有因此.lim f (x,y)不存在 故函数f(xy)在(0 0)处不连续(x,y)T(0,0) 类似地可定义函数z=f(xy)对y 的偏导函数 记为 冷 f zy 或 f y (x,y) • x 2 y 2" x 2 y 2 =0 lim 2 ' 2(x,y)—?(o,o )x 2 y 2y=kx=lim 2 x >0 x 2 kx 2_ k 2x 2 k 2偏导函数的定义式恥心肩“™高阶偏导数 设函数Z 二f(xy)在区域D 内具有偏导数^ = f x (x, y)迸二 f y (x,y).那么在D 内f x (xy)、f y (xy)都是xy 的函数如果这两个函数的偏导数也存在 贝U 称它们 是函数x 二f(xy)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z 二f(xy)在区域D 内的偏导数f x (xy)、f y (xy)也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数z=f(xy)的二阶偏导数按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数2手(孑•手(勺=2 2 其中ry (：xU x y (x ，y) 称为混合偏导数；：(；：Z )_ ；：2Z 1 ( ：：Z) _ r 2Z ( :：Z) _ ：：2z ；：( ；：z )_ ；：2z :x ；:x ；:x 2 : y . x .x :y ；x ； y y ； x ；:y ；y ；:y 2同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数‘ 例 6 设 z=x 3y 2-3xy 3-xy V 求 f 、-f 、 - x 和 L x 2 ：x 3 :yx : xy解/ =3x 2y 2 -3y 3 -y Z =2x f y-9xy 2 -x :x :y C 2Z 62 ^z 6 2， 2 =6x y 3=6 .x:x -2-2 6^丫-9丫2-1x 6x 2y-9y 2 -1 x x .y y x -2 “2由例6观察到的问题 x xoycx cxcy 定理如果函数z=f(xy)的两个二阶混合偏导数 昙及三在区域D 内连续•那么在该 tycx cxcy区域内这两个二阶混合偏导数必相等.x : x ； x 2 :y x :x y:Z = f xy (x, y).2 补評話mx’y)弓許■2Z”yy (x " -3 ：2类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数z = ln . x2—y2满足方程寻•岂=0 . ex cy 证因为z=ln ... x2- y2=2"n" ' y2)所以:z x :z y___________.:x _________ x2y2；:y x2 y2匕(x2y2)-x2x y2-x2戸一(x2y2)2—(x2y2)2悬(x2y2)-y 2y x2-y2旷 (x2y2)2 _(x2y2)2'-2-2 2 2 2 2因此驚+吟=x —y 2+ y 2 -o ■ $2 cy2(x2+y2)2(x2+y2)2例8•证明函数u二1满足方程总•总•岂=0 .r ex2內2ezr其中r = J x2y2z2.证:u _ _丄工—_丄x _ __x_ dx r2ex r2r r3E2u _ 1 +3x 宜=1 +3x2_x2r3r4；x r3r5-2 / -2因此T U Uex2cy2cz2r3-x ' (r3)r6r3-x3r21LExr6同理专：：2u _ —丄.3^:z2r3r5_ _ 3 3(x2y2- z2)r53 3r2—3-0r3 r5r r(。
第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数, f 1( y)
在y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f (x)
1
[ f 1( y)]
或
d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y
f
(x
x)
f
( x)
2, 2x,
0 1
x x
1 2
1 2
,
x2
由此可见：导函数的定义域不超过函数定义域.
课本128页 例28 已知函数 f (u)可导，求
[ f (ln x)], { f [( x a)n ]}, {[ f (x a)]n},
其中a为常数. 解：[ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x) x { f [( x a)n ]} f [( x a)n ][( x a)n ] n(x a)n1 f [( x a)n ]
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
h 0
u(
x
h) h
u
(
x)
v(
x
h)
u(
x)
v(
x
h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x), 故结论成立.
(1 1 (x2 a2 ))
(x x2 a2 ) ln 10 2 x2 a2
一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
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(csc x) csc x cot x (arc cot x) 1/(1 x2 )
高等数学
二、函数的四则运算的求导法则
定理 如果函数 f ( x), g( x) 在点x处可导，则它
们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处可 导，并且
(1) [ f ( x) g( x)] f ( x) g( x);
h0
v( x h)v( x)h
u( x h) u( x) v( x) u( x) v( x h) v( x)
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)
u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
f ( x)在x处可导.
推论
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
yx yu u vvx 即 y f (u) (v) (x)
高等数学
(e x ) e x
例6 求函数 y ln sin x 的导数.
解 (lnsin x) 1 (sin x) cos x cot x
sin x
sin x
(ln x) 1 x
例7 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解
( x10 ) 10x9
高等数学
dy 10( x2 1)9 ( x2 1)
dx 10( x2 1)9 2x
20x( x2 1)9 .
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心， 由外及里、逐层求导。
复合函数的求导法则可推广到有限次复合的高情等数形学 。
如设 y f (u),u (v),v (x), 那么对于复合函 数 y f {[ (x)]}，我们有如下求导法则：
i 1
i 1
高等数学
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[
fi ( x)]
f1( x) f2( x) fn( x)
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)
nn
fi( x) fk ( x); i1k 1 ki
高等数学
(u v) u v
(uv) uv uv
( u ) v
uv v2
uv
推论 (Cu) Cu
高等数学
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 . 解 y 3x 2 4x cos x.
例2 求函数 y 3cos x lg x 的导数.
解 y 3( sin x) lg x 3cos x 1 x ln10
3sin x lg x 3cos x x ln10
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
(loga x) 1/ x ln a (ln x) 1/ x
(tan x) sec2 x (cot x) csc2 x (sec x) sec x tan x
(arcsin x) 1/ 1 x2 (arccos x) 1/ 1 x2 (arctan x) 1/(1 x2 )
(2) [ f ( x) g( x)] f ( x)g( x) f ( x)g( x);
(3) [ f ( x)] g( x)
f ( x)g( x) f ( x)g( x) g2(x)
( g( x) 0).
高等数学
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x)
高等数学
第二章 导数与微分
第二节 求导数的一般方法
主要内容
一、基本初等函数的导数 二、函数四则运算求导法则 三、复合函数求导法则 四、隐函数求导法则
高等数学
一、常数和基本初等函数的导数
(C ) 0
(a x ) ax ln a
( x ) x1
(e x ) e x
(sin x) cos x (cos x) sin x
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例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
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三、复合函数的求导法则
定理3 如果函数u g( x)在点 x可导 , 而y f (u) 在点u g( x)可导 , 则复合函数 y f [g( x)]在点 x可导, 且其导数为
f ( x) lim f ( x h) f ( x) Nhomakorabeah0
h
u( x h) u( x)
lim v( x h) v( x)
h0
h
lim u( x h)v( x) u( x)v( x h)
h0
v( x h)v( x)h
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lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]
dx du dx u
sin x
例7 求函数 y ( x2 1)10 的导数 . 解 y u10, u x2 1
dy dy du dx du dx
10u9 2x 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
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例5 求函数 y e x3 的导数.
解 (e x3 ) e x3 ( x3 ) e x3 3 x2 .
dy f (u) g( x). dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
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推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
例5 求函数 y e x3 的导数.
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解 y eu,u x3,
dy dy du dx du dx
eu 3x2 ex3 3x2.
例6 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dy du 1 cos x cos x cot x