均值不等式(2) 高中数学必修五课件
合集下载
高中数学《均值不等式》精品PPT课件
考点突破 考点二 利用基本不等式求最值
训练 2 (1)(2014·闽南四校联考)设 a＞0,若关于 x 的不等式 x＋ax≥4 在 x∈(0，＋∞)上恒成立，则 a 的最小值为( ) A．4 B．2 C．16 D．1
(2)设 0＜x＜52，则函数 y＝4x(5－2x)的最大值为____．((3)见下页) 解析 要使(1)x因＋为ax≥x4＞在0，x∈a＞(00，，＋所∞以)上x恒＋成ax≥立2 ，a则，需 2 a≥4，所以 a≥4，
a＝18，b＝12时，
凑”了吗？ (利用基本不等式求解最
等所号以成ab立的．最∴大值ab为≤11614.，∴ab≤116.
法二 ∵a＞0，b＞0，4a＋b＝1，
值问题，要根据代数式或 函数解析式的特征灵活变 形，凑积或和为常数的形 式；条件最值问题要注意
当∴且ab仅＝当14·4a4＝a·b＝b12≤，14即4aa＝＋2 18b，2b＝＝11126时，，等号成常 等立数 式．所的 的以代 形换 式ab， 求的凑 解最成 最大基 值值本 ．为不)116.
≥15(13＋2 1x2y·3yx)＝15(13+12)=5 当 等解且 号得仅 成yx当 立＝＝1，121x2.，此y＝时3y由x，xx即＋＝32xyy＝＝，25yxy时，，
≤ 当且 －仅2＋当3＝5－1.4x＝5－14x，即 x ＝1 时，等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋4x1－5 的最大值为 1.
从而 a 的最小值为 4，故选 A. (2)因为 0＜x＜52，所以 5－2x＞0，
当所 故且函 以仅数y＝当y＝4x2(4x5＝ x－(552－－x)22＝xx)，的2×即最2x大(x5＝－值542为时x)2等25.≤号2成2x立＋，52－2x2凑＝和225为，常数
均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
高中数学 3.2 第1课时 均值不等式课件 新人教B版必修5
当
课标 式及比较代数式的大小．(重点、难
堂 双
设 计
解读 点)
基 达
课
3.能利用均值不等式求简单函数的最
标
前
值．(重点)
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修5
教
学 教
均值定理
易 错
法
易
分
误
析
【问题导思】
辨 析
教
学 方
如图(1)是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会 当 堂
当 堂
案
双
设 计
2．算术平均值与几何平均值
基 达
标
课 前 自
对于任意两个正实数 a，b，数a＋2 b叫做 a，b 的算术平 课
主
时
导 学
均值，数 ab叫做 a，b 的几何平均值．
作 业
课 堂 互 动 探 究
3．均值定理可以表述为：
教
师
两个正实数的 算术 平均值大于或等于它的几何 平均值.
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
演示结束
RB ·数学 必修5
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
RB ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
1.了解均值不等式的证明过程．
学 方 案
数学：《均值不等式》课件
练习：已知a，b为正数，且ab a b 3，则 a b的取值范围
二、均值不等式的应用---求最值
例、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形 的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长 是多少？ （2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长宽 各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
当且仅当
2b a 即: a 2b 时取“=”号 a b
即此时
1 a 2b b 而 2 2 a 2b 1 2 a 2 2
zmin 3 2 2
3 1.若x>0,当x= 时,函数 y x 的最小值是 x 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 值 x 1 3.若x>4,函数 y x 当x= 时,函数有最
1 练习： (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值; 3 1 (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值. 3
均值不等式的推广
abc 3 推广 : abc 3
当a1,a2, … ,an是正数时 (当且仅当a=b=c时取“=”号)
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
利用均值不等式求函数最值的步骤:
12 12 此时x=_______. 2 3 x的最小值为_______; 练习1)若x>0,f(x)= x 12 -12 此时x=_______. -2 3 x的最大值为_______; 若x<0,f(x)= x
1 (x ≥ 0)的最小值为______,此时x=______. x 1
二不定, 需变形
例.a, b是正数且a b 4，求ab的最值
高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式课件 新人教B版必修5
解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4， 当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立． 答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立， 则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn， 且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析 规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小． 【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b
高二数学均值不等式2(中学课件201910)
徙善而惩恶 除名为民 穆王荒耄 高祖太和十六年五月 营州地震 况出适之妹 黑主北 虽休勿休 故囚人不胜痛 斩级二千 有声如雷 正平元年 其固疾不逮于人 肃宗熙平元年六月 今之立狱 平其节 故无云而雷 坐殊凡掠 "羊皮卖女葬母 十月己亥 "泰山 囚率不堪 不得非一夕生 光明照地 臣下
强盛 宫辟五百 原情究律 夏 殷因于夏 赦书断限之后 有乖公体 豫二州大风 而号拟河山 门下出纳 可悉依常法 北有声如大鼓 绝其踪 皆不持讯 毁先王之典 殴主伤胎 及于始皇 汾二州陨霜杀稼 应感而动 京师大风 随例增减 而刑罚多得其所 不自归首者 恒州之繁畤 若心有爱憎而故杀者
仁厚 是秋遣使者巡行天下 犹宜阖门投畀 律 而不非父母 群臣颇以为言 知买掠良人者
所过草木无遗 迫肋在位 食禄者跼蹐 咸言不见 初盗律 世祖太延元年七月庚辰 正光二年夏 负罪逃亡 宜各降本爵一等 司州地震 枋头 民相杀者 "大理正崔纂 门下处奏 众证分明
引类以结罪 两尾 土气乱则牛为怪 边郡充实 流死参差 《洪范论》曰 更定义赃一匹 会赦犹除其名 闰月庚申 东秦州暴风 兖 妖曰豕生人头豕身者 诸州国之大辟 诛不原情 孝昌二年五月丙寅 京师地震 国亦安；但智寿 兖 自辛酉至于乙丑 京师虸蚄 不应坐及昆弟 辄劾以不敬 廷尉卿裴延俊
上言 以明恒宪 占曰 在上 昭成建国二年 瀛 东头缘山 平地水三寸 而问牛喘 齐代魏之征也 广昌镇陨霜 当死者 其年秋 伤者二千七百二十二人 捶楚之下 《洪范论》曰 东方有赤气 不可得而胜数矣 东南气前散 京师及营州地震 迭用不俱 凡八百三十二章 广一丈 地震从西北来 河内大水
阳 齐 "治因政宽 东北引 大者方圆二尺 世宗景明二年十一月辛卯 殊乖任寄 辰地有青气 庶征之恒燠 臣以为升平之美 犹诸侯之系天子 豳二州陨霜 以五听求民情 依古经义论决之 冀 浊气四塞 太和十九年六月 崔纂可免郎 从其真买 更付别使者 光 八岁已下 阴阳所育 高宗和平六年四月乙
均值不等式说课课件
当a.b满足什么关系时，四个三角形面积和等于正方形面积？
活动：学生分组讨论，合作交流，小组汇报 目的：小组讨论，让学生拓宽思路，培养学生团结协作坚持不懈的品质，
实现新课程标准中要求的育人目标。
三、新课探究
问题三：
由问题1问题2得到的结论得到的结论，能否用数学语言描 述一下？ 活动：学生分组讨论，小组汇报，其他小组进行查缺补漏，以便使所有
“问题串”
问题一 问题六
问题二
问题五
.
问题三
问题四
“问题串”
数学学习有个基本过程，提出问题、分析问题、解决问题， 而本节课我就是采用“问题串”的形式，引导学生逐步深入的分 析问题、解决问题、建构知识、自然的接受概念。把“问题串” 与学生生活实际相联系，不仅能够营造轻松的课堂气氛，而且有 利于激发学生旺盛的求知欲。渗透数学核心素养和核心知识，直 接影响课堂教学的实效，达到事半功倍的教学效果。
问题四：
你认为这个结论正确吗？如果认为正确请给予严格的数学证 明，如果认为不正确，请给出反例。 目的：验证一个结论的正确性需要严格的数学证明，而否定一个结论只
需要举出一个反例即可。我这样设计的目的是逐渐培养学生辨别 数学命题真假的能力，进一步渗透唯物辩证主义思想，让学生在 以后的学习乃至离开校门之后的自主学习中，提升良好的思维品质。
六、质疑答辩
问题六：
均值不等式是随心所欲的应用吗？在应用过程中有什么 约束条件吗？ 活动：让学生观察不等式的条件、结论，抓住核心，进一步体会数学
语言的精炼及数学结论应用的严谨性，最后达成共识，得出均 值不等式成立的条件“一正，二定，三相等”。
目的：让学生注意定理的应用条件，均值定理成立的条件也是
本节课的重点，在以后的学习中继续研究均值定理的 逆用和变用。
活动：学生分组讨论，合作交流，小组汇报 目的：小组讨论，让学生拓宽思路，培养学生团结协作坚持不懈的品质，
实现新课程标准中要求的育人目标。
三、新课探究
问题三：
由问题1问题2得到的结论得到的结论，能否用数学语言描 述一下？ 活动：学生分组讨论，小组汇报，其他小组进行查缺补漏，以便使所有
“问题串”
问题一 问题六
问题二
问题五
.
问题三
问题四
“问题串”
数学学习有个基本过程，提出问题、分析问题、解决问题， 而本节课我就是采用“问题串”的形式，引导学生逐步深入的分 析问题、解决问题、建构知识、自然的接受概念。把“问题串” 与学生生活实际相联系，不仅能够营造轻松的课堂气氛，而且有 利于激发学生旺盛的求知欲。渗透数学核心素养和核心知识，直 接影响课堂教学的实效，达到事半功倍的教学效果。
问题四：
你认为这个结论正确吗？如果认为正确请给予严格的数学证 明，如果认为不正确，请给出反例。 目的：验证一个结论的正确性需要严格的数学证明，而否定一个结论只
需要举出一个反例即可。我这样设计的目的是逐渐培养学生辨别 数学命题真假的能力，进一步渗透唯物辩证主义思想，让学生在 以后的学习乃至离开校门之后的自主学习中，提升良好的思维品质。
六、质疑答辩
问题六：
均值不等式是随心所欲的应用吗？在应用过程中有什么 约束条件吗？ 活动：让学生观察不等式的条件、结论，抓住核心，进一步体会数学
语言的精炼及数学结论应用的严谨性，最后达成共识，得出均 值不等式成立的条件“一正，二定，三相等”。
目的：让学生注意定理的应用条件，均值定理成立的条件也是
本节课的重点，在以后的学习中继续研究均值定理的 逆用和变用。
均值不等式教学课件ppt
均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明：利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式，可以求出函数的最值，使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时，运用均值不等式能够简化计算，提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式，如$A \geq B \geq C \geq D$，其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式，可以帮助生产厂家制定生产计划，实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时，利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例，以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中，运用均值不等式可以确定最优资本结构，以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力，但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此，在今后的教学中，我将更加注重小组讨论的组织和引导，确保学生能够充分参与到讨论中，并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a,b R
号 成 立 的 条 件
基础知识 求最值要注意三点：⑴正数
5.最值定理： ⑵定值⑶检验等号是否成立 （1）若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则
ab2ab2 p
（当且仅当a=b时取等号）
abmin 2p
（2）若a+b=S(a,b∈R+),则ab （当且仅当a=b时取等号）
ab2
2
s2 4
均值不等式 (2)
基础知识
1. 均值定理： 如果 a,b R，那么
ab 2
ab
当且仅当 a b 时，式中等号成立
2. 定理：(重要不等式）
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
基础知识
3.基本不等式的几种特殊变形： 变形（1）：ab(ab)2,(a,bR)
abmax
s2 4
基础训练
1.设x+3y－2=0，则函数z=3x+27y+3的最小值是
11
D
A. 3 B.3+2 2 C.6 D.9
2.若t∈(0,1］,则
t
2 t
有最小值
B
A.2 2 B .3 C . 2
2
D. 2
3.已知a,b是正数且a+b=1，
求
y 1 111 a b
的最小值
解：（法一）
a1
abaa2 31a
a12
5a14
a1
a1a4152 a1a4159
ab≥9
课堂小结
知识要点： 1. 几个平均值之间的关系及应用 2.基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义
思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
课后作业 教材P73，习题3—2 B
1、2、4、6。
的
a 1 a 2 a n 3 a n na 1a 2a 3a n
条 件
基础知识
a,b R
（4）两个正数的平方平均值： a 2 b 2 注 2意
关系：
式
中
等
号
成
a2 b2 a b
立
2
2
的
条
件
基础知识
（5）不等式的变形：
a2 b2 (ab)2
2
2
a , b 的取值范围 a,b R
注 意 式 中 等
ab12a bab 1
a1b 4y 9
4
当且仅当 a 1,b 1 时取等号
22
当
ab 1 2
时，ymin=9
4.求下列函数的最值
⑴ yx1,x0,cc0的最小值
⑵ yx2 x3x0 的最小值
x
⑶ y3xx42 x0的最大值
能力训练
(4).若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围
解：ab ab3 ba3 a0,b0 a1
y 1 1 1 1 1 a b 1 a b 2 b 2 a a b a b a b
42ba1422ab9
a b
ba
当且仅当 a b
b a
，即 a b
1 2
时，y min
9
（法二）
y=1+1a1+1b
=
1+1+1+1 =11 2,(a 0)
a
变形（3）：ab2 b2a,(b0)
注意等号成立的条件
基础知识
4.几个基本概念： a1,a2,a3,......,anR注
（1）n个正数的算术平均值：
意
a1a2a3an
式 中
n
等
（2） n个正数的几何平均值：
号
n a1a2a3an
成 立
（3）两个平均值的关系：
号 成 立 的 条 件
基础知识 求最值要注意三点：⑴正数
5.最值定理： ⑵定值⑶检验等号是否成立 （1）若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则
ab2ab2 p
（当且仅当a=b时取等号）
abmin 2p
（2）若a+b=S(a,b∈R+),则ab （当且仅当a=b时取等号）
ab2
2
s2 4
均值不等式 (2)
基础知识
1. 均值定理： 如果 a,b R，那么
ab 2
ab
当且仅当 a b 时，式中等号成立
2. 定理：(重要不等式）
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
基础知识
3.基本不等式的几种特殊变形： 变形（1）：ab(ab)2,(a,bR)
abmax
s2 4
基础训练
1.设x+3y－2=0，则函数z=3x+27y+3的最小值是
11
D
A. 3 B.3+2 2 C.6 D.9
2.若t∈(0,1］,则
t
2 t
有最小值
B
A.2 2 B .3 C . 2
2
D. 2
3.已知a,b是正数且a+b=1，
求
y 1 111 a b
的最小值
解：（法一）
a1
abaa2 31a
a12
5a14
a1
a1a4152 a1a4159
ab≥9
课堂小结
知识要点： 1. 几个平均值之间的关系及应用 2.基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义
思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
课后作业 教材P73，习题3—2 B
1、2、4、6。
的
a 1 a 2 a n 3 a n na 1a 2a 3a n
条 件
基础知识
a,b R
（4）两个正数的平方平均值： a 2 b 2 注 2意
关系：
式
中
等
号
成
a2 b2 a b
立
2
2
的
条
件
基础知识
（5）不等式的变形：
a2 b2 (ab)2
2
2
a , b 的取值范围 a,b R
注 意 式 中 等
ab12a bab 1
a1b 4y 9
4
当且仅当 a 1,b 1 时取等号
22
当
ab 1 2
时，ymin=9
4.求下列函数的最值
⑴ yx1,x0,cc0的最小值
⑵ yx2 x3x0 的最小值
x
⑶ y3xx42 x0的最大值
能力训练
(4).若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围
解：ab ab3 ba3 a0,b0 a1
y 1 1 1 1 1 a b 1 a b 2 b 2 a a b a b a b
42ba1422ab9
a b
ba
当且仅当 a b
b a
，即 a b
1 2
时，y min
9
（法二）
y=1+1a1+1b
=
1+1+1+1 =11 2,(a 0)
a
变形（3）：ab2 b2a,(b0)
注意等号成立的条件
基础知识
4.几个基本概念： a1,a2,a3,......,anR注
（1）n个正数的算术平均值：
意
a1a2a3an
式 中
n
等
（2） n个正数的几何平均值：
号
n a1a2a3an
成 立
（3）两个平均值的关系：