DSP第三章3.2 DFT定义
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数字信号处理
2《Digital Signal Processing—A Computer Approach Third Edition》 Mitra
3《Digital Signal Processing》A.V.Oppenheim 4…….
4
第一章 数字信号处理概述
1.1 数字信号处理技术 1.2 数字信号与连续时间信号的关系 1.3 数字信号处理的分析方法 1.4 A/D、D/A原理 1.5 模拟信号的数字滤波
12
1.4 A/D、D/A原理
1.4.1 A/D原理与抽样定理
模拟信号的抽样 抽样信号的频谱 无失真抽样条件 前置预滤波器的作用 A/D变换的指标
.4.2 D/A原理和重构定理
重构定理 一种D/A变换器原理
13
1.4.1 A/D原理与抽样定理
A/D 将模拟信号转变为数字信号
s
Ya (
j)
FT
ya (t) X a ( j)G(
ya (t) xa (t)
j)
Xa(
j) (*)
X a ( j)
19
讨论
1、（*）式成立的条件：
s 2m
s
1
T
k
Xa(
j
jks )
Xˆ a ( j) s
当m s / 2
Xˆ a ( j)
18
m s / 2
时信号的提取
xˆa (t)
G( j)
Xˆ a ( j)
ya (t)
G(
j)
T , 0,
1 2
s
1 2
s
3《Digital Signal Processing》A.V.Oppenheim 4…….
4
第一章 数字信号处理概述
1.1 数字信号处理技术 1.2 数字信号与连续时间信号的关系 1.3 数字信号处理的分析方法 1.4 A/D、D/A原理 1.5 模拟信号的数字滤波
12
1.4 A/D、D/A原理
1.4.1 A/D原理与抽样定理
模拟信号的抽样 抽样信号的频谱 无失真抽样条件 前置预滤波器的作用 A/D变换的指标
.4.2 D/A原理和重构定理
重构定理 一种D/A变换器原理
13
1.4.1 A/D原理与抽样定理
A/D 将模拟信号转变为数字信号
s
Ya (
j)
FT
ya (t) X a ( j)G(
ya (t) xa (t)
j)
Xa(
j) (*)
X a ( j)
19
讨论
1、（*）式成立的条件：
s 2m
s
1
T
k
Xa(
j
jks )
Xˆ a ( j) s
当m s / 2
Xˆ a ( j)
18
m s / 2
时信号的提取
xˆa (t)
G( j)
Xˆ a ( j)
ya (t)
G(
j)
T , 0,
1 2
s
1 2
s
DSP-chapter3
(n)]
X
p
(k
)
DFS[xp
(n)]
X
p
(k)
（2）序列实部和虚部的对称性
DFS{Re[ x p (n)]} X pe (k ) DFS { j Im[ xp (n)]} X po (k )
若 x p (n) Re[ x p (n)]
X p (k) | X p (k) | e j(k)
即 令 则：
N 1
j 2 kn
X p (k) x p (n)e N
n0
WN e j2 / N
xp (n)
1 N
N 1
X p (k )WNkn
k 0 N 1
IDFS[ X p (k )]
X P (K ) xp (n)WNkn DFS[xp (n)]
一、周期序列的傅立叶级数表示
设 x p n 是周期为N的周期序列，可用一系列正弦或
复指数序列来表示
j 2 kn
xp n X p k e N
k
由于：
j 2 (k 2rN )n
j 2 kn
eN
e N
基频：
ej2 Nn故：序列的离散傅立叶级数的谐波成分只有N个是独立的成 分（k=0,1,2,…,N-1)，所以，序列可展成离散傅立叶级数：
则 DFS [x p (n)] X p (k ) X pe (k )
| X p (k) || X p (k) |
(k) (k)
（3）周期序列的共轭对称部分的傅立叶级数和共轭反对称部 分的傅立叶级数：
DFS [ X pe (n)] Re[ X p (k )] DFS [ X po (n)] j Im[ X p (k )]
DSP工作原理
DSP工作原理DSP（Digital Signal Processing，数字信号处理）是一种通过数学算法和计算机技术对信号进行处理的技术。
它在现代通信、音频处理、图像处理等领域得到了广泛应用。
本文将深入探讨DSP的工作原理。
引言概述DSP是一种数字信号处理技术，通过数学算法和计算机技术对信号进行处理。
它可以对信号进行滤波、变换、编码、解码等操作，广泛应用于通信、音频处理、图像处理等领域。
下面将从信号采样、数学算法、计算机实现、信号重构和应用领域五个方面详细介绍DSP的工作原理。
一、信号采样1.1 采样定理：根据奈奎斯特采样定理，信号的采样频率必须是信号最高频率的两倍以上，才能够准确还原原始信号。
1.2 采样过程：采样过程将连续时间域信号转换为离散时间域信号，通过模数转换器将模拟信号转换为数字信号。
1.3 采样率选择：采样率的选择取决于信号的频率成分，通常选择高于信号最高频率两倍的采样率，以确保信号的还原质量。
二、数学算法2.1 离散傅里叶变换（DFT）：DFT是DSP中最基本的变换之一，将离散时间域信号转换为离散频率域信号，用于频谱分析和滤波等操作。
2.2 快速傅里叶变换（FFT）：FFT是DFT的一种高效算法，通过减少计算量和复杂度，实现了快速的频域分析和滤波操作。
2.3 滤波算法：滤波是DSP中常用的操作之一，包括低通滤波、高通滤波、带通滤波等，通过滤波算法可以去除噪声、改善信号质量。
三、计算机实现3.1 固定点数表示：计算机中常用的表示方式是固定点数表示，将实数转换为二进制表示，通过定点运算实现DSP算法。
3.2 浮点数表示：浮点数表示可以更精确地表示实数，但计算复杂度较高，对于精度要求较高的应用，可以使用浮点数表示。
3.3 指令集优化：为了提高DSP算法的执行效率，可以针对特定的DSP芯片进行指令集优化，利用硬件加速器提高计算速度。
四、信号重构4.1 逆变换：通过逆变换，将离散频率域信号转换为离散时间域信号，实现信号的重构和还原。
常用DSP算法
长度为NL，序列Lh(n)的K长度为1K。
为了利用DFT计算线性卷积，必须 选择满足上式的DFT长度N，并对 x(n)至少补K-1个零，对h(列卷积的DFT实现方法
• 在大多数实际情况中，长序列对应于系统输入，短序列对应于系统冲激响应。 • 将长序列分割成长度为N的序列块，计算每一块与短序列的卷积。 • 每一个序列块的卷积必须适当地合并，以得到长序列和短序列卷积的最后结果。 • 有两种合并的方法，分别是重叠相加法和重叠保留法。
DFT的一些重要结论
• N越大，则它的DFT与傅里叶变换越近似，因为在区间[0，2π）的取样数增加了。 • N的取值通常需要根据实际应用中允许的运算复杂度决定，因为补零个数越多，则DFT计算所需要的运
算和存储器件越多。
DFT实现数字滤波器
• 线性和圆周卷积 • 重叠相加法 • 重叠保留法
线性和圆周（循环）卷积
• 时不变系统可以实现输入信号与系统冲激响应之间的线性卷积。 • 两个序列卷积的傅里叶变换等于它们的傅里叶变换相乘，即可在频域计算卷积。 • 频域取样导致信号时域周期重复，理论上利用DFT只能计算圆周（循环）卷积，而不能实现线性卷积。
圆周卷积等价于线性卷积的条件
其中，N为DFT的长度，序列x(n)的
取x(k)的共轭，得x*(k)； 求x*(k)的FFT； 再求共轭，乘以1/N，即得。
基-2算法：序列长度N为2的整数幂，即N=2L，
其精确复乘次数为（考虑省去非乘法的次数）：
N
3
2 log2 N 2 N 不 2同 基 的 F F T 算 法
83其N基精l-o4确g算2复N法乘：次N序数列1为长（度考N虑为省4的去整非数乘幂法，的即次N数=）22L：， 基-4算法比基-2算法更高效。
为了利用DFT计算线性卷积，必须 选择满足上式的DFT长度N，并对 x(n)至少补K-1个零，对h(列卷积的DFT实现方法
• 在大多数实际情况中，长序列对应于系统输入，短序列对应于系统冲激响应。 • 将长序列分割成长度为N的序列块，计算每一块与短序列的卷积。 • 每一个序列块的卷积必须适当地合并，以得到长序列和短序列卷积的最后结果。 • 有两种合并的方法，分别是重叠相加法和重叠保留法。
DFT的一些重要结论
• N越大，则它的DFT与傅里叶变换越近似，因为在区间[0，2π）的取样数增加了。 • N的取值通常需要根据实际应用中允许的运算复杂度决定，因为补零个数越多，则DFT计算所需要的运
算和存储器件越多。
DFT实现数字滤波器
• 线性和圆周卷积 • 重叠相加法 • 重叠保留法
线性和圆周（循环）卷积
• 时不变系统可以实现输入信号与系统冲激响应之间的线性卷积。 • 两个序列卷积的傅里叶变换等于它们的傅里叶变换相乘，即可在频域计算卷积。 • 频域取样导致信号时域周期重复，理论上利用DFT只能计算圆周（循环）卷积，而不能实现线性卷积。
圆周卷积等价于线性卷积的条件
其中，N为DFT的长度，序列x(n)的
取x(k)的共轭，得x*(k)； 求x*(k)的FFT； 再求共轭，乘以1/N，即得。
基-2算法：序列长度N为2的整数幂，即N=2L，
其精确复乘次数为（考虑省去非乘法的次数）：
N
3
2 log2 N 2 N 不 2同 基 的 F F T 算 法
83其N基精l-o4确g算2复N法乘：次N序数列1为长（度考N虑为省4的去整非数乘幂法，的即次N数=）22L：， 基-4算法比基-2算法更高效。
数字信号处理DSP第三章3.2 DFT定义
⎛ 2π j⎜ ⎝ N ⎞ ⎟k ⎠
易知，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ejω)在区 间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT 的变换结果也不同。
jIm(z)
−2 WN −1 WN 0 WN k ＝0 − ( N −2 ) WN
X (ejω)
X (k )
o
Re[z] o π
W
− ( N −3) N
ω
DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。 解
nk 0 X (k ) = ∑ δ (n)WN = WN =1 n=0 N −1
k=0, 1, …, N-1
对序列δ(n)，不论对它进行多少点的DFT，所得结果 都是一个离散矩形序列。
本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周 期序列的离散傅里叶级数表示，给出有限长序列的离散 频域表示，即离散傅里叶变换（DFT）。
一、预备知识 1、余数运算表达式 如果n=n1+mN， m为整数；则有
((n))N=n1, 0≤n1≤N-1
运算符(( ))N表示n被N除，商为m，余数为n1。 n1是((n))N的解, 或称作取余数，或说n对N取模值，简 称取模值，n模N，(n mod N) 。
周期延拓
长度为M的有限长序列x(n)的N点DFT，是有限长序
~
x(n)
N
~ x (n)
DFS
DFS[ ~ x (n) ]
~ X (k )
% (k ) R (k ) 取主值 X N
DFT[x(n)]N
注：以上定义中N长度没有限制！
有限长序列x(n)的N点DFT—即DFT正变换公式
X (k ) = DFT[ x(n)]N = ∑ xN (n)W ， 0 ≤ k ≤ N − 1
易知，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ejω)在区 间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT 的变换结果也不同。
jIm(z)
−2 WN −1 WN 0 WN k ＝0 − ( N −2 ) WN
X (ejω)
X (k )
o
Re[z] o π
W
− ( N −3) N
ω
DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。 解
nk 0 X (k ) = ∑ δ (n)WN = WN =1 n=0 N −1
k=0, 1, …, N-1
对序列δ(n)，不论对它进行多少点的DFT，所得结果 都是一个离散矩形序列。
本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周 期序列的离散傅里叶级数表示，给出有限长序列的离散 频域表示，即离散傅里叶变换（DFT）。
一、预备知识 1、余数运算表达式 如果n=n1+mN， m为整数；则有
((n))N=n1, 0≤n1≤N-1
运算符(( ))N表示n被N除，商为m，余数为n1。 n1是((n))N的解, 或称作取余数，或说n对N取模值，简 称取模值，n模N，(n mod N) 。
周期延拓
长度为M的有限长序列x(n)的N点DFT，是有限长序
~
x(n)
N
~ x (n)
DFS
DFS[ ~ x (n) ]
~ X (k )
% (k ) R (k ) 取主值 X N
DFT[x(n)]N
注：以上定义中N长度没有限制！
有限长序列x(n)的N点DFT—即DFT正变换公式
X (k ) = DFT[ x(n)]N = ∑ xN (n)W ， 0 ≤ k ≤ N − 1
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
华北电力大学自动化系
3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
华北电力大学自动化系
15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
华北电力大学自动化系
6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
华北电力大学自动化系
8
数字信号处理DSP第三章3.3 DFT性质
y ( n ) = x (( n + m )) N R N ( n )
① 若 (( m )) N = n0 ② 先求出
⎧ 左移 n0 则⎨ ⎩ 右移 n0
m>0 m<0
y (0) = x((m)) N
再依次相继循环写出其他的y(n)。 例: 已知x(n)(0≤n≤2), y(n)=x((n+m))5R5(n)，当m=-16时，求y(3)=？。 y(3)=x(2)。
y(n) = x1 (n)* x2 (n) =
=
m=−∞
∞
∑ x (m) x (n − m)
1 2
2 1
∞
m=−∞
∑ x (m) x (n − m)
线性卷积结果非零区间? 线性卷积结果长度？
循环卷积计算过程： 1）根据卷积长度补零,使得作卷积的两序列长度相同； 2）循环翻转(求其中一个序列的循环翻转序列)； 3）将循环翻转序列右循环移位(n=0,1,2, …，N-1)； 4）相乘相加。 5）对下一个n，重复上述4步。
R7 (m )
0
x2
m
((3 −
m
) )7
R7 (m )
0
m
y(0) = [∑x1 (m)x2 ((0 − m))7 ]R7 (m) = 1×1+1×1+1× 0 + 0 × 0 + 0 × 0 + 0 ×1+ 0 ×1 = 2
m=0 6
6
y(1) = [∑x1 (m)x2 ((1− m))7 ]R7 (m) = 1×1+1×1+1×1+ 0× 0 + 0× 0 + 0× 0 + 0 ×1 = 3
DFT的定义和性质
4 DFT 总结DFT 的定义是针对任意的离散序列)(nTs x 中的有限个离散抽样)0(N n <≤的，它并不要求该序列具有周期性。
由DFT 求出的离散谱)()(Z k NT k H H k H S k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∆是离散的周期函数，周期为s s s f T NT N T N Nf ====1/00、离散间隔为0011f T N f NT s s ===。
离散谱关于变元k 的周期为N 。
如果称离散谱经过IDFT 所得到的序列为重建信号，))(('Z n nTs x ∈，则重建信号是离散的周期函数，周期为001f T NT s ==(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为001/Nf N T N NT T s s ===(对应离散谱周期的倒数)。
经IDFT 重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为S NT T f 1100==。
实序列的离散谱关于原点和2N (如果N 是偶数)是共轭对称和幅度对称的。
因此，真正有用的频谱信息可以从0~12-N 范围获得，从低频到高频。
在时域和频域N ~0范围内的N 点分别是各自的主值区间或主值周期。
5 DFT 性质线性性：对任意常数m a (M m ≤≤1)，有[]∑∑==⇔⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡M m m m M m m m n x DFT a n x a DFT 11)()( 奇偶虚实性：DFT 的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。
DFT 有如下的奇偶虚实特性：奇⇔奇；偶⇔偶；实偶⇔实偶；实奇⇔虚奇；实 ⇔(实偶) + j(实奇)；实 ⇔(实偶)·EXP(实奇)。
反褶和共轭性：对偶性：)()(k Nx n X -⇔把离散谱序列当成时域序列进行DFT ，结果是原时域序列反褶的N 倍；如果原序列具有偶对称性，则DFT 结果是原时域序列的N 倍。
时移性：km N W k X m n x )()(⇔-。
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X(3) x(n )e
n 0
3
jn 2 2
1 1 2 ( 1) 3 (1) 4 ( 1) 2
n 0 3
jn 3 2
1 1 2 j 3 ( 1) 4 ( j ) 2 2 j
24
由Matlab计算序列的DFT
本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周期序列的 离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离
散傅里叶变换（DFT）。
1
一、预备知识
1、余数运算表达式 如果n=n1+m N， m为整数；则有：
n
N
n1
0 n1 N 1
运算符(( ))N表示n被N除，商为m，余数为n1。 n1是((n))N的解, 或称作取余数, 或说n对N取模值，简 称取模值，n模N，（n mod N） 。
主值序列: 主Байду номын сангаас区间上的序列。
有限长序列
周期延拓
周期序列
取主值
主值序列
假设有限长序列长度为M，延拓周期为N，则： N≥M时，
% x(n) x(n) RN (n)
思考：如果以小于序列长度为周期进行周期延拓会如何？
9
~ 与有限长序列X(k)的关系 4、频域周期序列 X ( k )
~ X (k ) X (( k )) N ~ X (k ) X (k ) RN (k )
函数形式： Xk= fft (xn,N) xn: 序列 N： DFT变换区间长度。当N大于xn的长度时，fft函 数自动在xn后面补零 IDFT：xn=ifft (Xk, N)
25
k=0
k=1, 2, 3, 4
21
x(n)
(a)
0 ~ ( n) x
4
n
… (b) 0
… n
N=5
~ X (k )
5 (c) －1 0 1 O X(k) 5 2 3 4 5 2 6 7 8 9 10 4 11 k |X(ej )|
(d)
0
1
2
3
4
k
22
x(n) 1
(a)
0 ~ ( n) x 1
20
例 3 有限长序列x(n)为 1 x (n ) 0
51
0≤n≤4
其余n
2 nk 5
求其N=5，10点离散傅里叶变换X(k)。
X ( k ) x ( n )e
n 0
j
k=0, 1, 2, 3, 4
1 e 1 e
j 2k 2 k 5
j
5 0
~ 是有限长序X(k)的周期延拓 周期序列 X ( k ) ~ 的主值序列。 有限长序列X(k)是周期序列 X ( k )
10
5、从DFS到DFT
N 1 j 2 kn N
DFS 变换对
% % % X (k ) DFS[x(n)]= x(n)e n 0 2 N 1 j kn % % x(n) IDFS[X (k )]= 1 X (k )e N % N k 0
% 而 x ( n) 拓序列，即
x((n)) N
表示将x(n)以N为周期的周期延
% x ( n)
r
x(n rN ) x((n))
N
4
例如，~ ( n ) 是周期为N=9的序列，则有： x
~(8) x ((8)) x (8) x 9 ~(13) x ((13)) x ( 4) x 9 ~( 22) x (( 22)) x ( 4) x 9 ~( 1) x (( 1)) x (8) x 9
5
3、有限长序列和周期序列的关系
任何周期为N的周期序列 序列 x(n)的周期延拓。
% x(n)可看作长度为N的有限长
N
% x ( n)
r
x(n rN ) x((n))
% 而x(n)是 x ( n) 的一个周期
% x(n) x(n) RN (n)
6
x(n)
0
N－1
n
~ ( n) x
2
例：N=9
259
n 25, N 9 n 25 2 9 7 2 N n1 7
n 4, N 9 n 4 9 5 N 5 49 5
3
2、x((n))N的含义
若x((n))N x(n mod N )= x(n1)，表示先取模值，后进 行函数运算;
从上式可知，DFS, IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,
k=0到N-1的主值区间进行,完全适用于主值序列x(n),X(k) 由此得到限长序列离散傅里叶变换(DFT)的定义。
11
二、 离散傅里叶变换(DFT)定义
长度为M的有限长序列x(n)的N（N≥M）点DFT定义： 正变换
X (k ) DFT[ x(n)] x(n)W
2 j N
k
14
易知，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ejω)在区
间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT 的变换结果也不同。
jIm(z)
WN 2
o
W W k＝0
WN ( N 2 ) WN ( N 3)
1 N 0 N
X(ej )
X(k)
13
与DTFT及z变换的关系？ 显然
X (k ) X (e ) = 2 k X ( z ) z =e
N
j
j
2 k N
0≤k≤N-1
x(n)的N点DFT是其傅里叶变换在[0，2π]上的N点等间 隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N。或是其z变换在单位
圆上的N点等间隔采样，采样点为 zk WN k e
x ( n )e
n 0
3
X(0) x(n)e
n 0
3
3
jn 0 2
1 2 3 4 10
1 1 2 ( j ) 3 ( 1) 4 j 2 2 j
X(1) x(n)e
n 0
jn1 2
X ( 2) x ( n ) e
n 0
N 1
nk N
0≤k≤N-1
反变换
1 N 1 x(n) IDFT[ X (k )] X (k )WN nk 0≤n≤N-1 N k 0
式中
WN e
j
2 N
12
定义说明： x(n)与X(k)中，已知其中的一个序列，就能惟一地确定 另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列， 都有N个独立值（可以是复数），所以信息等量。 在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长 序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，即离散 傅里叶变换隐含着周期性。 有限长序列x(n)的N点DFT正好是x(n)的周期延拓序列 x((n))N的离散傅里叶级数系数X((k))N的主值序列。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
周期序列（离散、周期） DFS（周期、离散）
2 N 1 j kn % % % X (k ) DFS[x(n)]= x(n)e N n 0 DFS变换对 2 j kn 1 N 1 % % x(n) IDFS[X (k )]= X (k )e N % N k 0
X (k ) x (n )W
n 0
15
kn 16
e
n 0
3
j
2 kn 16
e
j
3 k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
19
N=8
N=16
对于同一个序列 x(n)，DFT的变换区间长度N不同，在 区间［0, 2π］上对 X e j 的采样间隔和采样点数就不同， DFT的变换结果也不同。
Re[z] o
DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
15
16
例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。
解
X (k ) (n)W
n 0
N 1
nk N
W 1
0 N
k=0, 1, …, N-1
对序列δ(n)，不论对它进行多少点的DFT，所得结果 都是一个离散矩形序列。
17
例 2 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT。
解： 当N=8， 则
X (k ) x (n )W8kn e
n 0 n 0
7
3
j
2 kn 8
e
3 j k 8
sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8
18
当N=16， 则
% x(n) x(n mod N ) x((n)) N
－N
0 主值区间
N－1
n
以等于序列长度为周期进行周期延拓 图2-8
7
x(n) 1
9
0 ~(n) x 1 4 n
% x(n) x(n mod N ) x((n)) N
9
-10
0
4
10
n
以大于序列长度为周期进行周期延拓，后面为零
8
% 主值区间: 周期序列 x ( n)中从n=0 到n=N-1的第一个周期。
4
n
N=10
(b)
－10 5
0 |X(k)| 3.24 1.24
4
10
n
3.24 1 1.24 10 k
(c)
－10
0
23
例 4 有限长序列x(n)为 x(n) [1， 3，] 2，4 求其N=4点离散傅里叶变换X(k)。
n 0
3
jn 2 2
1 1 2 ( 1) 3 (1) 4 ( 1) 2
n 0 3
jn 3 2
1 1 2 j 3 ( 1) 4 ( j ) 2 2 j
24
由Matlab计算序列的DFT
本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周期序列的 离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离
散傅里叶变换（DFT）。
1
一、预备知识
1、余数运算表达式 如果n=n1+m N， m为整数；则有：
n
N
n1
0 n1 N 1
运算符(( ))N表示n被N除，商为m，余数为n1。 n1是((n))N的解, 或称作取余数, 或说n对N取模值，简 称取模值，n模N，（n mod N） 。
主值序列: 主Байду номын сангаас区间上的序列。
有限长序列
周期延拓
周期序列
取主值
主值序列
假设有限长序列长度为M，延拓周期为N，则： N≥M时，
% x(n) x(n) RN (n)
思考：如果以小于序列长度为周期进行周期延拓会如何？
9
~ 与有限长序列X(k)的关系 4、频域周期序列 X ( k )
~ X (k ) X (( k )) N ~ X (k ) X (k ) RN (k )
函数形式： Xk= fft (xn,N) xn: 序列 N： DFT变换区间长度。当N大于xn的长度时，fft函 数自动在xn后面补零 IDFT：xn=ifft (Xk, N)
25
k=0
k=1, 2, 3, 4
21
x(n)
(a)
0 ~ ( n) x
4
n
… (b) 0
… n
N=5
~ X (k )
5 (c) －1 0 1 O X(k) 5 2 3 4 5 2 6 7 8 9 10 4 11 k |X(ej )|
(d)
0
1
2
3
4
k
22
x(n) 1
(a)
0 ~ ( n) x 1
20
例 3 有限长序列x(n)为 1 x (n ) 0
51
0≤n≤4
其余n
2 nk 5
求其N=5，10点离散傅里叶变换X(k)。
X ( k ) x ( n )e
n 0
j
k=0, 1, 2, 3, 4
1 e 1 e
j 2k 2 k 5
j
5 0
~ 是有限长序X(k)的周期延拓 周期序列 X ( k ) ~ 的主值序列。 有限长序列X(k)是周期序列 X ( k )
10
5、从DFS到DFT
N 1 j 2 kn N
DFS 变换对
% % % X (k ) DFS[x(n)]= x(n)e n 0 2 N 1 j kn % % x(n) IDFS[X (k )]= 1 X (k )e N % N k 0
% 而 x ( n) 拓序列，即
x((n)) N
表示将x(n)以N为周期的周期延
% x ( n)
r
x(n rN ) x((n))
N
4
例如，~ ( n ) 是周期为N=9的序列，则有： x
~(8) x ((8)) x (8) x 9 ~(13) x ((13)) x ( 4) x 9 ~( 22) x (( 22)) x ( 4) x 9 ~( 1) x (( 1)) x (8) x 9
5
3、有限长序列和周期序列的关系
任何周期为N的周期序列 序列 x(n)的周期延拓。
% x(n)可看作长度为N的有限长
N
% x ( n)
r
x(n rN ) x((n))
% 而x(n)是 x ( n) 的一个周期
% x(n) x(n) RN (n)
6
x(n)
0
N－1
n
~ ( n) x
2
例：N=9
259
n 25, N 9 n 25 2 9 7 2 N n1 7
n 4, N 9 n 4 9 5 N 5 49 5
3
2、x((n))N的含义
若x((n))N x(n mod N )= x(n1)，表示先取模值，后进 行函数运算;
从上式可知，DFS, IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,
k=0到N-1的主值区间进行,完全适用于主值序列x(n),X(k) 由此得到限长序列离散傅里叶变换(DFT)的定义。
11
二、 离散傅里叶变换(DFT)定义
长度为M的有限长序列x(n)的N（N≥M）点DFT定义： 正变换
X (k ) DFT[ x(n)] x(n)W
2 j N
k
14
易知，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ejω)在区
间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT 的变换结果也不同。
jIm(z)
WN 2
o
W W k＝0
WN ( N 2 ) WN ( N 3)
1 N 0 N
X(ej )
X(k)
13
与DTFT及z变换的关系？ 显然
X (k ) X (e ) = 2 k X ( z ) z =e
N
j
j
2 k N
0≤k≤N-1
x(n)的N点DFT是其傅里叶变换在[0，2π]上的N点等间 隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N。或是其z变换在单位
圆上的N点等间隔采样，采样点为 zk WN k e
x ( n )e
n 0
3
X(0) x(n)e
n 0
3
3
jn 0 2
1 2 3 4 10
1 1 2 ( j ) 3 ( 1) 4 j 2 2 j
X(1) x(n)e
n 0
jn1 2
X ( 2) x ( n ) e
n 0
N 1
nk N
0≤k≤N-1
反变换
1 N 1 x(n) IDFT[ X (k )] X (k )WN nk 0≤n≤N-1 N k 0
式中
WN e
j
2 N
12
定义说明： x(n)与X(k)中，已知其中的一个序列，就能惟一地确定 另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列， 都有N个独立值（可以是复数），所以信息等量。 在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长 序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，即离散 傅里叶变换隐含着周期性。 有限长序列x(n)的N点DFT正好是x(n)的周期延拓序列 x((n))N的离散傅里叶级数系数X((k))N的主值序列。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
周期序列（离散、周期） DFS（周期、离散）
2 N 1 j kn % % % X (k ) DFS[x(n)]= x(n)e N n 0 DFS变换对 2 j kn 1 N 1 % % x(n) IDFS[X (k )]= X (k )e N % N k 0
X (k ) x (n )W
n 0
15
kn 16
e
n 0
3
j
2 kn 16
e
j
3 k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
19
N=8
N=16
对于同一个序列 x(n)，DFT的变换区间长度N不同，在 区间［0, 2π］上对 X e j 的采样间隔和采样点数就不同， DFT的变换结果也不同。
Re[z] o
DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
15
16
例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。
解
X (k ) (n)W
n 0
N 1
nk N
W 1
0 N
k=0, 1, …, N-1
对序列δ(n)，不论对它进行多少点的DFT，所得结果 都是一个离散矩形序列。
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例 2 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT。
解： 当N=8， 则
X (k ) x (n )W8kn e
n 0 n 0
7
3
j
2 kn 8
e
3 j k 8
sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8
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当N=16， 则
% x(n) x(n mod N ) x((n)) N
－N
0 主值区间
N－1
n
以等于序列长度为周期进行周期延拓 图2-8
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x(n) 1
9
0 ~(n) x 1 4 n
% x(n) x(n mod N ) x((n)) N
9
-10
0
4
10
n
以大于序列长度为周期进行周期延拓，后面为零
8
% 主值区间: 周期序列 x ( n)中从n=0 到n=N-1的第一个周期。
4
n
N=10
(b)
－10 5
0 |X(k)| 3.24 1.24
4
10
n
3.24 1 1.24 10 k
(c)
－10
0
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例 4 有限长序列x(n)为 x(n) [1， 3，] 2，4 求其N=4点离散傅里叶变换X(k)。