2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)质量检测6
2014届高考数学一轮复习第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》(第1课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》（第1课时）（新人教A版）一、选择题1.如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为( )A．15 B．16C．17 D．18解析：选B.只需A处给D处10件，B处给C处5件，C处给D处1件，共16件次．2．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A．56B．65C.5×6×5×4×3×22D．6×5×4×3×2解析：选A.由分步乘法计数原理得5×5×5×5×5×5＝56.3．(2013·大连调研)若三角形的三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b、c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有( )A．10个 B．14个C．15个 D．21个解析：选A.当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A．324 B．328C．360 D．648解析：选B.当0排在末位时，有9×8＝72(个)，当0不排在末位时，有4×8×8＝256(个)，由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328(个)．5．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A．33 B．34C．35 D．36解析：选A.从集合A、B、C中各取一个数有1×2×3＝6种取法．其中1,1,5三数可确定空间不同点的个数为3个，另5种每种可确定空间不同点的个数都是6.∴可确定空间不同点的个数为3＋5×6＝33.二、填空题6．(2013·绵阳质检)在数字1,2,3,4,5,6中取两个不同的数相加，其和为偶数的取法有________种．解析：将这6个数分成两类：{1,3,5}，{2,4,6}，和为偶数时两数必须都是奇数或都是偶数．所以要么都在{1,3,5}中选，要么都在{2,4,6}中选，故共有3＋3＝6(种)．答案：67．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个)．故共有4＋2＝6(个)．答案：68．山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数字作答)解析：第一类，若从A、B、C三门选一门有C13·C36＝60(种)，第二类，若从其他六门中选4门有C46＝15(种)，∴共有60＋15＝75种不同的方法．答案：75三、解答题9．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋里任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？解：(1)任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法．由分类加法计数原理得，共有5＋4＝9(种)．(2)各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成．由分步乘法计数原理得，共有5×4＝20(种)．(3)第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能．由分步乘法计数原理可知，共有49＝262144种不同的投法．10．(2013·洛阳调研)在100到999所有的三位数中，含有数字0的三位数有多少个？解：法一(分类法)：将含有数字0的三位数分成三类：(1)只在个位上是0的有9×9＝81(个)；(2)只在十位上是0的有9×9＝81(个)；(3)个位与十位上都是0的有9个．由分类加法计数原理得，共有81＋81＋9＝171(个)．法二(排除法)：从所有的三位数的个数中减去不符合条件的三位数的个数．从100到999的所有三位数共有900个，个位与十位均不为0的三位数的个数可由分步乘法计数原理确定：9×9×9＝729(个)，因此，含有数字0的三位数共有900－729＝171(个)．一、选择题1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( ) A．9 B．14C．15 D．21解析：选B.当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B.2．(2013·锦州质检)从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A．32个B．34个C．36个D．38个解析：选A.先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以这5个数必须各来自上面5组中的一个元素，故共可组成2×2×2×2×2＝32(个)．二、填空题3.(2013·沈阳质检)如图，在由若干个同样的小平行四边形组成的大平行四边形内有一个★，则含有★的平行四边形有________个．(用数字作答)解析：含有★的平行四边形的左上角顶点有4种可能，右下角顶点有12种可能，根据分步乘法计数原理一共有48个含有★的平行四边形．答案：484．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个．(用数字作答) 解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理，知共有二次函数3×3×2＝18(个)．若二次函数为偶函数，则b＝0.同上共有3×2＝6(个)．答案：18 6三、解答题5.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色．则不同的涂色方法共有多少种？解：先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(种)．。
2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)质量检测3
质量检测(三)测试内容：三角函数、解三角形平面向量(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012年孝感第一次统考)点A(sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐标平面上位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由于2 013°＝5×360°＋211°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin 2 013°<0，cos 2 013°<0，从而A点在第三象限，选C.答案：C2．(2011年高考课标卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝()A．－45B．－35C.35 D.45解析：由已知tanθ＝2，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＝1－tan2θtan2θ＋1＝－35.答案：B3．函数y＝2sin(2x－π)cos[2(x＋π)]是()A．周期为π4的奇函数B．周期为π4的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数解析：y＝2sin(2x－π)cos[2(x＋π)]＝2·(－sin 2x)·cos 2x＝－22sin 4x，因此周期T＝2π4＝π2，且f(－x)＝－f(x)，函数是奇函数，选C.答案：C4．(2012年浙江)设a，b是两个非零向量．() A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|解析：由|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，即a·b ＝－|a|·|b|，故a与b方向相反．又|a|≥|b|，则存在实数λ∈[－1,0)，使得b＝λa.故A，B命题不正确，C命题正确，而两向量共线，不一定有|a＋b|＝|a|－|b|，即D命题不正确，故选C.答案：C5．已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1, 3)，则|a＋b|的最大值为() A．1 B. 3C．3 D．9解析：|a＋b|＝(sin x＋1)2＋(cos x＋3)2＝5＋4sin(x＋π3)，所以|a＋b|的最大值为3. 答案：C6．(2012年洛阳统考)若sin(α－π4)cos 2α＝－24，则sin α＋cos α的值为()A．－72B．－12C.12 D.72解析：依题意，得22(sin α－cos α)cos2α－sin2α＝－22sin α＋cos α＝－24，所以sin α＋cosα＝12，选C.答案：C7．在△ABC 中，“AB →·BC →＝0”是“△ABC 为直角三角形”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由AB →·BC →＝0⇒AB →⊥BC →，故角B 为直角，即△ABC 为直角三角形；反之若三角形为直角三角形，不一定角B 为直角，故“AB →·BC →＝0”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．故选A.答案：A8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A ＝( )A.22 B ．－22 C.33D ．－33解析：∵m ∥n ，∴(3b －c )cos A ＝a cos C . ∴(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， 即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 易知sin B ≠0，∴cos A ＝33. 答案：C9．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为( )A. 3 B ．2 3 C. 6D.62解析：由AB →＝DC →＝(1,1)，知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|CD →|＝ 2. 又BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3BD →|BD →|， 知平行四边形ABCD 为菱形，且C ＝120°， ∴S 四边形ABCD ＝2×2×32＝ 3.故选A. 答案：A10．(2013届江西省百所重点高中阶段诊断)已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3等于( )A.5π3B.4π3C.3π4D.3π2解析：可据题意作出函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象，观察图象可知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，x 2，x 3关于直线x ＝23π对称，故x 1＋2x 2＋x 3＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝2×π6＋2×23π＝53π.答案：A11．如图，在平面斜坐标系中，∠xOy ＝120°，平面上任意一点P 的斜坐标是这样定义的：“若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是与x ，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )”．那么，在斜坐标系中，以O 为圆心，2为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2－xy ＝2D ．x 2＋y 2－xy ＝4解析：据题意可知在斜坐标系中圆上的点P (x ，y )满足|OP →|＝|x e 1＋y e 2|＝2，即|x e 1＋y e 2|2＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝x 2＋y 2＋2xy cos 120°＝4，整理可得x 2＋y 2－xy ＝4，即为所求圆的方程．故选D. 答案：D12．(2012～2013学年河北省高三教学质检)函数 f (x )＝2sin(2x ＋π4)，给出下列命题：①函数 f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；②直线x ＝π8是函数 f (x )的图象的一条对称轴；③函数 f (x )的图象可以由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确的是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵当π2≤x ≤5π8时，5π4≤2x ＋π4≤3π2， ∴ f (x )在[π2，5π8]上是减函数，故①正确． ②∵f (π8)＝2sin(π4＋π4)＝2，故②正确．③y ＝2sin 2x 向左平移π4个单位得y ＝2sin 2(x ＋π4) ＝2cos 2x ≠ f (x )，故③不正确．故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |＝________. 解析：∵|a ＋b |＝22，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝8. 又∵|a |＝1，a ·b ＝32，∴b 2＝4，|b |＝2. 答案：214．(2011年江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析：由图象知A ＝2，T ＝4(712π－π3)＝π，∴ω＝2， 则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由2×π12＋φ＝π2，得 φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3) ∴f (0)＝2sin π3＝62. 答案：6215．(2012年山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．解析：如图，由题意知BP ＝OB ＝2，∵圆半径为1， ∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2， ∴DA ＝AP cos(2－π2)＝sin 2，DP ＝AP sin(2－π2)＝－cos 2. ∴OC ＝2－sin 2，PC ＝1－cos 2. ∴OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2)16．(2012年衡阳六校联考)给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期为5π；④函数y ＝cos(2x 3＋7π2)是奇函数；⑤函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．解析：对于①，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，而32>2，因此不存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期是T ＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f (x )＝cos(2x 3＋7π2)，则f (－x )＝cos(－2x 3＋7π2)＝cos(2x 3－7π2)＝－cos(2x 3－7π2＋7π)＝－cos(2x 3＋7π2)＝－f (x )，因此④正确；对于⑤，函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin 2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年江苏)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．解：(1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ， 从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0，所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0<C <π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A1－3tan 2A＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A >0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.18．(2013年山东滨州联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c 已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14(1)求△ABC 的边长． (2)求cos(A －C )的值解：(1)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×14＝4 ∵c >0，∴c ＝2(2)sin 2C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516∵0<C <π ∴sin C ＝154 由正弦定理：a sin A ＝csin C ， 即：1sin A ＝2154，解得sin A ＝158，cos 2A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝4964 在三角形ABC 中，∵a <b ∴A <B ∴A 为锐角，∴cos A ＝78cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin B ＝78×14＋158×154＝111619．(2013届山西大学附属中学高三10月月考)已知A ，B ，C 为锐角△ABC 的三个内角，向量m ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，n ＝(1＋sin A ，cos A －sin A )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)求y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2B 取最大值时角B 的大小．解：(1)∵m ⊥n ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )＋(cos A ＋sin A )(cos A －sin A )＝0，∴2(1－sin 2 A )＝sin 2A －cos 2A∴2cos 2A ＝1－2cos 2A ∴cos 2A ＝14.∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A ＝12 ∴A ＝π3. (2)∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴π6<B <π2 ∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2B ＝1－cos2B －12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －32cos 2B ＋1＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＋1 当y 取最大值时，2B －π3＝π2即B ＝512π.20．(2012年山东)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6. 故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．21．(2012年辽宁锦州5月模拟)向量a ＝(2,2)，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且a ·b ＝－2.(1)求向量b ；(2)若t ＝(1,0)，且b ⊥t ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC 的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b ＋c |的取值范围．解：(1)设b ＝(x ，y )，则a ·b ＝2x ＋2y ＝－2，且|b |＝a ·b |a |cos 3π4＝1＝x 2＋y 2， ∴解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1. ∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)∵b ⊥t ，且t ＝(1,0)，∴b ＝(0，－1)． ∵A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝π3. ∴b ＋c ＝(cos A,2cos 2C2－1)＝(cos A ，cos C )． ∴|b ＋c |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2C ) ＝1＋12[cos 2A ＋cos(4π3－2A )]＝1＋12(cos 2A －12cos 2A －32sin 2A )＝1＋12cos(2A ＋π3)．∵2A ＋π3∈(π3，5π3)，∴－1≤cos(2A ＋π3)<12， ∴12≤|b ＋c |2<54， ∴22≤|b ＋c |<52.22．(2012年湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x≤3π5，有－π6≤53x－π6≤5π6，所以－12≤sin(53x－π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x－π6)－2≤2－2，故函数f(x)在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．。
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第1课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第1课时）（新人教A 版）一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝lne x 与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)解析：选D.由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断，知D 正确．2．(2011·高考江西卷)若f (x )＝1log 12x ＋，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析：选A.由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0log 12x ＋＞0得－12＜x ＜0.3．(2012·高考福建卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 解析：选B.∵g (π)＝0，f (0)＝0，故选B. 4.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为( ) A ．y ＝－|x |－1 B ．y ＝|x －1| C ．y ＝－|x |＋1 D ．y ＝|x ＋1|解析：选C.对照函数图象，分别把x ＝0代入解析式排除A ，把x ＝－1代入解析式排除B ，把x ＝1代入解析式排除D ，故选C.5．(2011·高考辽宁卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.当x ≤1时，由21－x≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．二、填空题6．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (3)＝________.解析：∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：117．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，则A 中元素2的象和B 中元素(32，54)的原象分别为________．解析：把x ＝2代入对应法则，得其象为(2＋1,3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象为(2＋1,3)，(32，54)的原象为12.答案：(2＋1,3)、128．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，则f (f (－4))＝________.解析：f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，所以f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.答案：4 三、解答题9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜2，x 22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去． ②当－1＜a ＜2时，f (a )＝2a ，由2a ＝3，得a ＝32，满足－1＜a ＜2.③当a ≥2时，f (a )＝a 22，由a 22＝3，得a ＝±6，又a ≥2，∴a ＝ 6. 综上可知，a 的值为32或 6.10．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1.(2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．一、选择题1．(2012·高考山东卷)函数f (x )＝1x ＋＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B.x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0x ＋1≠1，4－x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1x ≠0－2≤x ≤2，解得－1＜x ＜0或0＜x ≤2.2．(2012·高考江西卷)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x解析：选D.当函数以解析式形式给出时，求其定义域的实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．函数y ＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.二、填空题3．下列对应中，①A ＝{x |x 是矩形}，B ＝{x |x 是实数}，f 为“求矩形的面积”； ②A ＝{x |x 是平面α内的圆}，B ＝{x |x 是平面α内的矩形}；f ：“作圆的内接矩形”；③A ＝R ，B ＝{x ∈R |x ＞0}，f ：x →y ＝x 2＋1；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x；⑤A ＝{x ∈R |1≤x ≤2}，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ＋1. 是从集合A 到集合B 的映射的为________．解析：其中②，由于圆的内接矩形不唯一，因此f 不是从A 到B 的映射；其中④，A 中的元素0在B 中没有对应元素，因此f 不是A 到B 的映射．答案：①③⑤4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧23x －1x x 2 x ＜，若f (a )＜a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，由23a －1＜a 得a ＞－3取a ≥0.当a ＜0时，由a 2＜a 得，0＜a ＜1，与a ＜0矛盾， 综上可知a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 三、解答题5．下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)、f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16，解得x ＝2或x ＝－6(舍)；若x ＜1，则x 2＋2＝16，解得x ＝14(舍)或x ＝－14. 即x ＝2或x ＝－14.。
2014高考数学一轮复习精品试题附详解单元评估检测(六)(人教A版·理)
单元评估检测（六）（第六章） （120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012•衡阳模拟)全集U ＝R ，且A={x||x-1|>2},B={x|x 2-6x+8<0},则(U ðA)∩B=( )(A)[-1,4) (B)(2,3) (C)(2,3] (D)(-1,4) 2.下列推理是归纳推理的是( )(A)A ，B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P 点的轨迹为椭圆(B)由a 1=1,a n =3n-1,求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式(C)由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆2222x y a b+=1的面积S=πab(D)以上均不正确3．(2012·潮州模拟）已知f(x)=x+1x-2(x<0),则f(x)有( ) （A ）最大值为0 （B ）最小值为0 （C ）最大值为-4 （D ）最小值为-44.(2012•益阳模拟)设f(x)=x232e 1 (x 2)log (x 1) (x 2)⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩,则不等式f(x)>2的解集为( )(A)(1,2)∪(3,+∞) (B)(10,+∞)(C)(1,2)∪(10,+∞) (D)(1,2)5.设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则111a b c bca＋，＋，＋ ( ) (A)都不大于－2 (B)都不小于－2 (C)至少有一个不大于－2 (D)至少有一个不小于－26.(2012·西安模拟)设函数()2x 4x 6,x 0f x x 6,x 0⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式f(x)>f(1)的解集 是( )(A)(-3,1)∪(3,+∞) (B)(-3,1)∪(2,+∞) (C)(-1,1)∪(3,+∞) (D)(-∞,-3)∪(1,3)7.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )8．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足x 2y 0x y 00y k ≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩＋－，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5二、填空题 (本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9．已知约束条件x 3y 40x 2y 103x y 80≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－＋＋－，＋－若目标函数z ＝x ＋ay(a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 _________.10．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t ≤30)的关系大致满足f(t)＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为()f 10)10的月饼最少为_________. 11．如表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数为_________. 12. (2012•邵阳模拟)设A 1+＝∈N *),则A 与B 的大小关系是_________.13.不等式组x 20y 20x y 10≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩－＋－＋表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为_________，z 的最大值为_________． 14.已知a>0,b>0，则11ab++________.15．（预测题）方程f(x)＝x 的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝x a(x 2)＋有唯一不动点，且x 1＝1 000，*n 1n1x (n N )1f ()x ∈＋＝，则x 2 012＝__________.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0. 17.（12分）设不等式x 2-2ax+a+2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1,4］，求实数a 的取值范围.18.（12分）（2012·南京模拟）某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p 元(即税率为p%)，因此每年销售量将减少20p 3万件． (1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p%应怎样确定？(3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p 值？19．（13分）（2012·潍坊模拟）已知关于x 的不等式(kx-k 2-4)(x-4)>0，其中 k ∈R.（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z=B （其中Z 为整数集）. 试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由. 20.（13分）已知二次函数f(x)=x 2+bx+c(b 、c ∈R),不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0，f(2+cos β)≤0. (1)求证：b+c=-1; (2)求证：c ≥3;(3)若函数f(sin α)的最大值为8，求b 、c 的值. 21.(13分)(易错题)函数()()xf x x 01x=>+,数列{a n }和{b n }满足：a 1=12,a n+1=f(a n ),函数y=f(x)的图象在点(n,f(n))(n ∈N *)处的切线在y 轴上的截距为b n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列n 2n nb {}a a λ-的项中仅5255b a a λ-最小，求λ的取值范围； (3)若函数()xg x ,1x=-令函数h ()()()221x x f x g x ,0x 1,1x -=+<<⎡⎤⎣⎦+数列{x n }满足：x 1=12,0<x n <1且x n+1=h(x n )证明：()()()2221223n 1n 1223n n 1x x x x x x 1.x x x x x x 8++---++⋯+<答案解析1．【解析】选C.由题意可解得A ＝{x|x>3或x<-1},B={x|2<x<4}, ∴(U ðA)∩B=[-1,3]∩(2,4)=(2,3].2.【解析】选B.从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理． 3．【解析】选C.∵x<0,∴-x>0, ∴x+1x-2=-［(-x)+1(x)-］-2≤22-=-4, 等号成立的条件是1x ,x-=-即x=-1. 4.【解析】选C.当x<2时，2e x-1>2, ∴e x-1>1=e 0,∴x-1>0, ∴x>1,∴1<x<2.当x ≥2时，log 3(x 2-1)>2, ∴x2-1>9,∴x 2,∴或,∴.综合得x ∈(1,2)∪,+∞),所以选择C.5.【解析】选C.因为111a b c 6b c a≤＋＋＋＋＋－，所以三者不能都大于－2. 6.【解析】选A.由2x 0x 4x 63≥⎧⎨-+>⎩（1）得()()x 0x 1x 30≥⎧⎪⎨-->⎪⎩得0≤x<1或x>3， 由x 0x 63<⎧⎨+>⎩（2）得-3<x<0， 由（1）（2）可得-3<x<1或x>3. 7.【解析】选C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0 ⇔x 2y 10x 2y 10x y 30x y 30.≥≤⎧⎧⎨⎨≤≥⎩⎩－＋－＋，或＋－＋－ 结合图形可知选C.8．【解析】选B.如图，x ＋y ＝6过点A(k ，k)，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，B(－6,3)，∴z min ＝－6＋3＝－3.【方法技巧】解决线性规划问题的步骤： （1）画出可行域； （2）确定目标函数的斜率；（3）画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线； （4）平移直线，确定满足最优解的点； （5）求满足最优解的点的坐标.9．【解题指南】画出可行域，可知目标函数截距最大时z 最大，可解. 【解析】画出已知约束条件的可行域为△ABC 内部(包括边界)，如图，易知当a ＝0时，不符合题意；当a ＞0时，由目标函数z ＝x ＋ay 得1zy x a a-＝＋，则由题意得－3＝k AC ＜1a－＜0，故a ＞13.综上所述，a ＞13.答案：a ＞1310．【解析】平均销售量()2f t t 10t 1616y t 1018.t t t≥＋＋＝＝＝＋＋ 当且仅当16t t＝，即t ＝4∈［1,30］等号成立， 即平均销售量的最小值为18. 答案：1811．【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n ∈N *)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得80n 60n 100152n 1 20080n 100152n ≤⎧⎨≤⎩＋＋（－）（－）. 解得：55n 514≤≤，又n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5. ∴可以预订足球比赛门票5张． 答案：5 12.【解析】n 1A 1n n n≥++⋯+共＝B ==.答案：A ≥B13.【解析】图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为252，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y 得，x ＝2，y ＝3时，有z max ＝5. 答案：252514.【解析】因为11a b ++4=≥， 当且仅当11ab=，=即a=b=1时，取“=”. 所以最小值为4. 答案：4 15．【解析】由xx a(x 2)＝＋得ax 2＋(2a －1)x ＝0. 因为f(x)有唯一不动点，所以2a －1＝0，即a ＝12.所以()2xf x .x 2＝＋ 所以n n 1n n12x 11x x .122f x ＋＋＝＝＝＋（） 所以x 2 012＝x 1＋12×2 011＝1 000＋2 0112＝2 005.5. 答案：2 005.516．【证明】<，只需证b 2－ac<3a 2， ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a(a ＋b)<3a 2， 只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b)(2a ＋b)>0， 只需证(a －b)(a －c)>0.因为a>b>c ，所以a －b>0，a －c>0， 所以(a －b)(a －c)>0，显然成立． 故原不等式成立．17.【解题指南】此题需根据Δ<0,Δ>0,Δ=0分类讨论，求出解集M ，验证即可，不要忘记M=Ø的情况.【解析】(1)当Δ=4a 2-4(a+2)<0，即-1<a<2时，M=Ø,满足题意； (2)当Δ=0时，a=-1或a=2.a=-1时M={-1}，不合题意；a=2时M={2}，满足题意；(3)当Δ>0，即a>2或a<-1时，令f(x)=x 2-2ax+a+2，要使M ⊆［1,4］，只需()()1a 4f 13a 0f 4187a 0⎧<<⎪=-≥⎨⎪=-≥⎩得2<a ≤187；综上，-1<a ≤187. 【变式备选】若关于x 的方程4x +a ·2x +a+1=0有实数解，求实数a 的取值范围.【解析】方法一：令t=2x >0，则原方程有实数解⇔t 2+at+a+1=0在（0，+∞)上有实根得()2a 4a 10a 0⎧∆=-+≥⎪⎨-≥⎪⎩ 或()2a 4a 10a 0a 10⎧∆=-+≥⎪-<⎨⎪+<⎩得()2a 4a 10a 0⎧-+≥⎪⎨-≥⎪⎩，得a ≤2-方法二：令t=2x （t>0）,则原方程化为t 2+at+a+1=0,变形得()()()221t (t 1)222a t 1t 12221t t 1t 1t 1+-+=-=-=--+=-++-≤-=-++++［］［］∴a 的取值范围是（-∞,2-.18.【解析】(1)由题意，该商品年销售量为(80－203p)万件，年销售额为60(80－203p)万元，故所求函数为y ＝60(80－203p)·p%.由80－203p>0，且p>0得，定义域为(0,12)． (2)由y ≥128，得60(80－203p)·p%≥128，化简得p 2－12p ＋32≤0，(p －4)(p －8)≤0，解得4≤p ≤8.故当税率在［4%,8%］内时，政府收取税金不少于128万元．(3)当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售额为p)(4≤p≤8)．g(p)＝60(80－203∴g(p)为减函数，∴［g(p)］max＝g(4)＝3 200(万元)．19．【解析】（1）当k=0时，A=(-∞,4)；当k>0且k≠2时，A=(-∞,4)∪(k+4,+∞)；k当k=2时，A=(-∞,4)∪(4,+∞)；当k<0时，A=(k+4,4).k（2）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集.≤-4，当且仅当k=-2时取等号，所以当k=-2时，集合B的因为k+4k元素个数最少.此时A=(-4,4)，故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.20.【解题指南】本题考查的是不等式的综合应用问题.在解答时：（1）充分利用条件不论α、β为何实数，恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.注意分析sinα、2+cosβ的范围，利用夹逼的办法即可获得问题的解答；（2）首先利用（1）的结论对问题进行化简化为只有参数c的函数，再结合条件不论β为何实数，恒有f(2+cosβ)≤0，即可获得问题的解答; （3）首先对函数进行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答.【解析】(1)∵|sinα|≤1且f(sinα)≥0恒成立，可得f(1)≥0.又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立，可得f(1)≤0,∴f(1)=0,∴1+b+c=0,∴b+c=-1.(2)∵b+c=-1,∴b=-1-c,∴f(x)=x 2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c).又∵1≤2+cos β≤3且f(2+cos β）≤0恒成立， ∴x-c ≤0，即c ≥x 恒成立.∴c ≥3.（3）∵f(sin α)=sin 2α-(1+c)sin α+c=(sin α-1c 2+)2+c-(1c 2+)2, ∵1c 2+≥2 ∴当sin α=-1时，f(sin α)的最大值为1-b+c. 由1-b+c=8与b+c=-1联立，可得b=-4,c=3.即b=-4,c=3.21. 【解析】(1)∵a n+1=f(a n )=n n a 1a +,得n 1n 11111 2.a a a +-==， ∴{n1a }是以2为首项，1为公差的等差数列，故n 1a n 1=+. (2)()()()()2x 1f x x 0,f x ,1x 1x =>∴'=++ ∴y=f(x)在点(n,f(n))处的切线方程为()()2n 1y x n ,n 11n -=-++ 令x=0得()2n 2n b .1n =+()222n 2n n b n n 1(n ).a a 24λλλ∴-=-λ+=--λ- ∵仅当n=5时取得最小值，∴4.5<2λ<5.5.∴λ的取值范围为(9，11).(3)()()()221x h x f x g x 1x -=+⎡⎤⎣⎦+222x x 1x 2x ,0x 1,1x 1x 1x 1x -⎡⎤=+=<<⎢⎥+-++⎣⎦因为x n+1=h(x n ), 所以()n n 1n n n 2n1x x x x 1x ,x 1++-=-+又因0<x n <1,则x n+1>x n . 显然1>x n+1>x n >…x 2>12. ()n n 1n nn 2n 1x x x x 1x x 1++-=-+ n n 1111•,2448222x 12x 1≤<=-++-+ ()()2n 1n n 1n n 1n n n 1n n 1x x x x x x x x x x +++++--∴=- n 1n n n 1n n 111111(x x )()()x x 8x x +++=--<-, ()()()2221223n 1n 1223n n 1x x x x x x x x x x x x ++---∴++⋯+ 1223n n 11111111[()()()]8x x x x x x +<-+-+⋯+- 1n 1n 111111()(2).8x x 8x ++=-=- ∵12<x n+1<1, n 1n 11112,021,x x ++∴<<∴<-<2221223n 1n 1223n n 1(x x )(x x )(x x )x x x x x x ++---∴++⋯+n 1111(2).8x 8+<-<。
2014届高考数学一轮复习第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》(第6课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》（第6课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2013·淄博质检)已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18解析：选A.试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1min ，故P (A )＝110.2．(2013·东营质检)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78 解析：选C.设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1且0≤y ≤1.由题意知|x －y |＜12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.116C.127D.38解析：选C.一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝127.4．(2013·山西四校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2－2≤y ≤2表示的区域为W ，圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝4及其内部区域记为D .若向区域W 内投一点，则该点落在区域D 内的概率为( )A.π4B.π8C.π16 D.π32解析：选C.易知，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2－2≤y ≤2表示的平面区域的面积为42＝16，圆C 及其内部区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2－2≤y ≤2表示的平面区域的公共区域的面积为14π×22＝π，因此向区域W 内投一点，则该点落在区域D 内的概率为π16，选C.5．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D.1－π8解析：选B.长方形面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1的区域是以O为圆心，1为半径所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：1－12π2＝1－π4，故选B.二、填空题6．在长为18 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为________．解析：设AM ＝x ，则0≤x ≤18.由x 2∈[36,81]得x ∈[6,9]，故所求概率为318＝16.答案：167．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为________．解析：D 为直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝1围成的正方形区域，而由x 2＋y 2≤1，即x 2＋y 2≤1(x ≥0，y ≥0)知d 为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为14π×121×1＝π4. 答案：π48．(2013·大连质检)在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，AD ＝3，自点A 在∠BAC 内任作一条射线AM 交BC 于点M ，则“BM ＜1”的概率是________．解析：当BM ＝1时，点M 与点D 重合，即“事件BM ＜1”要发生，则射线AM 所在区域为∠BAD 内部任一位置，易得∠BAC ＝75°，∠BAD ＝30°，故所求概率为P ＝30°75°＝25.答案：25三、解答题9．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．解：记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F ，作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 的中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：P (A )＝12×22＝12.10．(2013·南京质检)甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹． (1)求空弹出现在第一枪的概率； (2)求空弹出现在前三枪的概率；(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个分别相距3、4、5的弹孔P 、Q 、R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击，第四个弹孔落在三角形PQR 内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小)．解：设四发子弹编号为0(空弹)，1,2,3，(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A ，第一枪有4个基本事件，则：P (A )＝14.(2)法一：前三枪出现“空弹”的事件为B ，则第四枪出现“空弹”的事件为B ，那么P (B )＝P (A )，P (B )＝1－P (B )＝1－P (A )＝1－14＝34.法二：前三枪共有4个基本事件{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，满足条件的有三个，则P (B )＝34.(3)Rt △PQR 的面积为6，分别以P ，Q ，R 为圆心、1为半径的三个扇形的面积和为π2，设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C ，P (C )＝6－12π6＝1－π12.一、选择题1．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B.25C.35D.3210解析：选B.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤ 2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25，故选B.2．(2013·石家庄质检)在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225 B.1625 C.1725 D.1825解析：选C.设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件是由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜1x ＋y ＜65确定的平面区域，如图所示阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以两个数之和小于65的概率是1725.二、填空题3．(2011·高考湖南卷)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析：(1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的劣弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.答案：(1)5 (2)164.(2013·西安质检)已知直线AB ：x ＋y －6＝0与抛物线y ＝x 2及x 轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt △AOB 区域内任取一点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．解析：因为直线x ＋y －6＝0与抛物线y ＝x 2在第一象限的交点为(2,4)，所以S 阴影＝⎠⎛02x 2d x ＋12×4×4＝323，且S △OAB ＝12×6×6＝18，故点M 取自阴影部分的概率是32318＝1627.答案：1627三、解答题5．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0x ＞0y ＞0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，即所求事件的概率为53×5＝515＝13.(2)由(1)，知当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 依条件，可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8≤0a ＞0b ＞0. 构成所求事件的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ≤1a ＞0b ＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫163，83，所以所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.。
2014届高考数学一轮复习 第8章《平面解析几何》(第3课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第8章《平面解析几何》（第3课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2012·高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 解析：选C.要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.2．(2013·日照质检)方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示圆方程，则t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，17B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1 D ．(1,2) 解析：选C.由D 2＋E 2－4F ＞0，得7t 2－6t －1＜0，即－17＜t ＜1.3．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点A 的坐标是(1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0 D ．2x －y ＝0解析：选B.结合圆的几何性质易知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴均相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B.设圆心为(a ，b )(a ＞0，b ＞0)，依题意有|4a －3b |42＋－2＝b ＝1，∴a ＝2，b ＝1， ∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B.5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：选B.由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，点(3,5)在圆内，且与圆心的距离为1，故最长弦长为直径10，最短弦长为252－12＝46，∴四边形ABC D 的面积S ＝12×10×46＝20 6. 二、填空题6．(2011·高考辽宁卷)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．解析：设圆心坐标为(a,0)，易知a －2＋－2＝a －2＋－2，解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝107．圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离是________．解析：因为圆心坐标为(－1,1)，所以圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离为|－3＋4＋14|32＋42＝3.答案：38．(2013·西安质检)经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程为________．解析：由题干易知：AB 的垂直平分线的方程为2x －y ＋1＝0， 令x ＝0得y ＝1，即所求圆的圆心为C (0,1)．半径为r ＝|AC |＝－1－2＋－2＝10.所以，所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝10 三、解答题9．根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．解：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 将P 、Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36， ④由①、②、④解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝－4F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2)设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，－x 02＋－2－y 02＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.一、选择题 1．(2012·高考湖北卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A.两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.2．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为( ) A. 5 B ．10 C ．9 D ．5＋2 5解析：选B.设x －2y ＝t ，即x －2y －t ＝0.因为直线与圆有交点，所以圆心(1，－2)到直线的距离为|1＋2×2－t |12＋－2≤5，解得0≤t ≤10，即x －2y 的最大值为10. 二、填空题3．(2013·济南质检)若两直线y ＝x ＋2a 和y ＝2x ＋a ＋1的交点为P ，P 在圆x 2＋y 2＝4的内部，则a 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2ay ＝2x ＋a ＋1，得P (a －1,3a －1)．∴(a －1)2＋(3a －1)2＜4. ∴－15＜a ＜1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)，即圆C 的圆心坐标为(－1,0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝ 2.∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝2 三、解答题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8， ∵直线y ＝x 与圆C 相切于坐标原点O . ∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8ba＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0.∴a ＝－2，b ＝2.∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y 2＝16，x ＋2＋y －2＝8. 解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．∴y ＝125.所以存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。
2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)7-2等差数列及其前n项和
课时作业(三十三)一、选择题1．(2012年山西大同市高三学情调研)设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35解析：由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.答案：C2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于 ( ) A ．18 B ．36 C ．54D ．72解析：由a 4＝18－a 5，得a 4＋a 5＝18. 所以S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 4＋a 5)＝4×18＝72.答案：D3．(2011年全国卷大纲版)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，由S k ＋2－S k ＝(k ＋2)2－k 2＝4k ＋4＝24，得k ＝5.答案：D4．(2012年浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A．若d<0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d<0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0D．若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列解析：若{S n}为递增数列，∴当n≥2时，S n－S n－1＝a n>0，即n≥2时，a n 均为正数，而a1是正数、负数或是零均有可能，故对任意n∈N*，不一定S n始终大于0.答案：C5．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S1＝1，S4S2＝4，则S6S4的值为A.94 B.32C.54D．4解析：设数列{a n}的公差为d.依题意得S4＝4×1＋4×32d＝4＋6d，S2＝2＋d，且S4＝4S2，即4＋6d＝4(2＋d)，d＝2，S6＝6×1＋6×52d＝36，S4＝16，S6S4＝3616＝94，选A.答案：A6．已知在等差数列{a n}中，对任意n∈N*，都有a n>a n＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋m＝0的两根，且前15项的和S15＝m，则数列{a n}的公差是() A．－2或－3 B．2或3C．－2 D．－3解析：2a5＝a2＋a8＝12，得a5＝6，由S15＝m得a8＝m15.又因为a8是方程x2－12x＋m＝0的根，解之得m＝0，或m＝－45，则a8＝0或－3. 由3d＝a8－a5得d＝－2或－3.答案：A二、填空题7．(2011年湖南)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.解析：∵a 1＝1，a 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5＋10×2＝25. 答案：258．(2012年福建泉州质检)定义运算|a c b d |＝ad －bc ，函数f (x )＝|x －1－x2x ＋3|图象的顶点是(m ，n )，且k ，m ，n ，r 成等差数列，则k ＋r ＝________.解析：f (x )＝(x －1)(x ＋3)＋2x ＝x 2＋4x －3，顶点是(－2，－7)，因为k ，m ，n ，r 成等差数列，所以k ＋r ＝m ＋n ＝－9.答案：－99．(2013届江西省百所重点高中阶段性诊断)已知分别以d 1和d 2为公差的等差数列{a n }和{b n }满足a 1＝18，b 14＝36，a k ＝b k ＝0，且数列a 1，a 2，…，a k ，b k＋1，b k ＋2，…，b 14，…(k <14)的前n 项和S n 满足S 14＝2S k ，则a n ＋b n ＝__________. 解析：由S 14＝2S k ，得S k ＝S 14－S k ， ∵a k ＝b k ＝0，S k ＝S 14－S k －1 ∴18＋02×k ＝36＋02×(14－k ＋1)，则9k ＝18×(15－k )，得k ＝10，d 1＝0－189＝－2，d 2＝36－014－10＝9，则a n ＝－2n ＋20，b n ＝9n －90，即有a n ＋b n ＝7n －70.答案：7n －70 三、解答题10．(2012年山东临沂二模节选)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项．解：(1)证明：因为3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)， 整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.11．(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：(1)由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53. ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13，∴a 13＝0， 又∵a 1>0，∴a 1、a 2、…、a 11、a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数． ∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列， 令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ② 由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n (n －1)2×(－4)(n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4(n ≥7)＝⎩⎨⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7).12．(2012年江苏泰州高三第一学期期末考试)已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数均值为C n －1.(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求C 1，C 2，C 3；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{C n ＋1－λC n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；(3)求出所有的满足条件的数列{a n }．解：(1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10， ∴在a 1与a 2之间插入－1,0，C 1＝－12. 在a 2与a 3之间插入2,3,4，C 2＝3. 在a 3与a 4之间插入6,7,8,9，C 3＝152.(2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差数列，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1， ∴C n －1＝n (a n －1＋a n )2n ＝a n －1＋a n 2＝n 2＋2n －92.假设存在λ使得{C n ＋1－λC n }是等差数列．∵(C n ＋1－λC n )－(C n －λC n －1)＝C n ＋1－C n －λ(C n －C n －1) ＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，∴λ＝1时，{C n ＋1－λC n }是等差数列．(3)由题意满足条件的数列{a n }应满足a n －a n －1n ＋1＝a n ＋1－a nn ＋2，∴a n ＋1－a n a n －a n －1＝n ＋2n ＋1， ∴a n ＋1－a n a n －a n －1·a n －a n －1a n －1－a n －2·…·a 4－a 3a 3－a 2·a 3－a 2a 2－a 1 ＝n ＋2n ＋1·n ＋1n ·…·54·43＝n ＋23. ∴a n ＋1－a n ＝13(a 2－a 1)·(n ＋2)，∴a n －a n －1＝13(a 2－a 1)·(n ＋1)， …a 3－a 2＝13(a 2－a 1)×4， a 2－a 1＝13(a 2－a 1)×3，∴a n －a 1＝13(a 2－a 1)·(n －1)(3＋n ＋1)2(n ≥2)，∴a n ＝16(a 2－a 1)(n －1)(n ＋4)＋a 1(n ≥2)，又∵n ＝1时也满足条件，∴形如a n ＝a (n －1)(n ＋4)＋b (a ，b ∈R)的数列均满足条件． [热点预测]13．(1)(2012年安徽江南十校第一次联考)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32(2)(2012年山东滨州一模)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 63＝18，若a ij ＝2 012，则i ＋j ＝( )A.75 C ．77D ．78解析：(1)若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π， 显然不成立，所以m <0， 则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32，故选D.(2)观察此三角形数表可得到以下信息：(1)奇数行中都是奇数，偶数行中都是偶数；(2)第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，依此类推，第2n 行有2n 个数；(3)单看偶数行，第2行、第4行共有6个数，而第4行最后一个数为12＝6×2，第2行、第4行、第6行共有12个数，而第6行最后一个数为24＝12×2，依此类推，前2n (n ∈N *)行(包括第2n 行)共有2＋4＋6＋…＋2n ＝(2＋2n )n 2＝n 2＋n 个偶数，第2n 行的最后一个数为2n 2＋2n ，当n ＝32时，2n 2＋2n ＝2 112，故2 012应在第64行，又2 112－2 0122＝50，所以2 012应在第64行从左往右数第64－50＝14个数，所以i ＋j ＝64＋14＝78.选D.答案：(1)D (2)D。
2014届高考数学一轮复习 第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》(第3课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》（第3课时）（新人教A 版）一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：选D.如图，AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝42＋0＝16.2．(2012·高考辽宁卷)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：选B.两边平方求解．由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方并化简得a ·b ＝0，又a ，b 都是非零向量，所以a ⊥b .3．(2011·高考重庆卷)已知向量a ＝()1，k ，b ＝()2，2，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.a ＋b ＝()1，k ＋()2，2＝()3，k ＋2. ∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1. ∴a ·b ＝()1，1·()2，2＝4.4．(2013·辽阳调研)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－5，－1)，若m a ＋n b (m ≠0)与a 垂直，则n m等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.∵(m a ＋n b )·a ＝0，∴(2m －5n,3m －n )·(2,3)＝4m －10n ＋9m －3n ＝0，∴nm＝1，故选C. 5．(2011·高考辽宁卷)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2解析：选 B.由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0，得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1.∴|a ＋b －c |≤1. 二、填空题6．已知向量a 、b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．解析：由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6.∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋1×2×cos〈a ，b 〉＝－6，∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.答案：π37．(2013·日照质检)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若(λa ＋b )⊥a ，则实数λ的值为________．解析：λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，由(λa ＋b )⊥a ⇒(－3λ－1)·(－3)＋2λ·2＝0，解得λ＝－313.答案：－3138．(2012·高考安徽卷)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.答案： 2 三、解答题9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a 的值； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ， 则向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋－22＋－2＝－222＝－22. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)， ∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得t ＝－115.一、选择题1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， ∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.故选C.2．(2012·高考湖南卷)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23解析：选A.设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB →·BC →＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC中，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即a ＝ 3.二、填空题3．(2011·高考湖南卷)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.解析：由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE→－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14. 答案：－144．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．解析：法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )， P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →，PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案：5 三、解答题5．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．解：(1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC 2→＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC 2→＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由|AC →|＝|BC →|，可得AC 2→＝BC 2→，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝－59.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
质量检测(六)测试内容：解析几何 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32 B.32 C ．3D ．－3解析：由两点式，得y －31－3＝x －0－1－0， 即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32， 即在x 轴上的截距为－32. 答案：A2．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3且与此直线平行的直线方程是 A ．3x －4y ＋4＝0B ．3x －4y ＋4＝0，或3x －4y －2＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0，或3x －4y －14＝0 解析：设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0. 由|m －1|5＝3，解得m ＝16，或m ＝－14.即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0，或3x －4y －14＝0 答案：D3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由题意a 2－b 2a ＝32，所以a 2＝4b 2. 故双曲线的方程可化为x 24b 2－y 2b 2＝1， 故其渐近线方程为y ＝±12x . 答案：A4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 ( )A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m ＝1则有：a 2＝1，b 2＝－1m ，∴2a ＝2,2b ＝2－1m ，∴2×2＝2 －1m ，∴m ＝－14.答案：A5．(2012年孝感统考)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0，(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，圆心(1，－3)，故选D.答案：D6．过点A (0,3)，被圆(x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线的方程是( )A ．y ＝－43x ＋3 B ．x ＝0，或y ＝－43x ＋3 C ．x ＝0，或y ＝43x ＋3D ．x ＝0解析：当过点A (0,3)且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为23，此时，弦所在直线方程为x ＝0；当弦所在的直线斜率存在时，设弦所在直线l 的方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0.因为弦长为23，圆的半径为2，所以弦心距为22－(3)2＝1，由点到直线距离公式得|k ＋3|k 2＋(－1)2＝1，解得k ＝－43. 综上，所求直线方程为x ＝0，或y ＝－43x ＋3. 答案：B7．如果实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么yx 的最大值 ( )A.12B.33C.22D. 3解析：设yx ＝k ，则得直线l ：kx －y ＝0， ∴圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2k －0|k 2＋1≤3解得－3≤k ≤3，∴k max ＝3，故选D.答案：D8．(2012年南昌模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →· FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP →·FP →取得最大值6.答案：C9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：由题意，得c ＝5＋4＝3. ∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)． ∴抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y . 答案：D10．已知点A (1，－1)，点B (3,5)，点P 是直线y ＝x 上动点，当|P A |＋|PB |的值最小时，点P 的坐标是( )A ．(2,2)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2，－2)解析：如图所示，连接AB 与直线y ＝x 交于点Q ，则当P 点移动到Q 点位置时，|P A |＋|PB |的值最小．直线AB 的方程为y －5＝5－(－1)3－1(x －3)， 即3x －y －4＝0.解方程组⎩⎨⎧ 3x －y －4＝0y ＝x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.于是当|P A |＋|PB |的值最小时，点P 的坐标为(2,2)，故选A. 答案：A11．(2011年福建)设圆锥曲线 Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32 B.23或2 C.12或2D.23或32解析：∵|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，∴|PF 1|＝43|F 1F 2|，|PF 2|＝23|F 1F 2|则若|PF 1|＋|PF 2|＝43|F 1F 2|＋23|F 1F 2|＝2|F 1F 2|>|F 1F 2|， 知P 点在椭圆上，2a ＝4c ，∴a ＝2c ，e ＝12. 若：|PF 1|－|PF 2|＝43|F 1F 2|－23|F 1F 2|＝23|F 1F 2|<|F 1F 2|， 知P 点在双曲线上，2a ＝43c ，∴c a ＝32， ∴e ＝32. 答案：A12．(2012年海淀模拟)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2，且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，25B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－25 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，35解析：如图，设椭圆的长半轴长，半焦距分别为a 1，c ，双曲线的半实轴长，半焦距分别为a 2，c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎨⎧m ＋n ＝2a 1m －n ＝2a2m ＝10n ＝2c⇒⎩⎨⎧a 1＝5＋c a 2＝5－c ，问题转化为 已知1<c 5－c <2，求c5＋c 的取值范围．由1<c 5－c <2知12<5－cc <1，即32<5c <2，因此52<5c ＋1<3，即52<5＋c c <3，∴13<c 5＋c <25，故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．“直线ax ＋2y ＋1＝0和直线3x ＋(a －1)y ＋1＝0平行”的充要条件是“a ＝________”．解析：由⎩⎨⎧a (a －1)－2×3＝0，(a －1)×1≠2×1，得a ＝－2，∴两直线平行的充要条件是“a ＝－2”． 答案：－214．(2012年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在x 轴上，且a 2＝m ，b 2＝m 2＋4，故c 2＝m 2＋m ＋4，于是e 2＝c 2a 2＝m 2＋m ＋4m＝(5)2，解得m ＝2，经检验符合题意．答案：215．(2013届安徽省示范高中高三摸底)设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________．解析：设A 、B 的坐标为A (a,0)，B (0，b )，(a ，b >0)，则AB 的直线方程为xa ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|－ab |a 2＋b2＝2，整理得2(a 2＋b 2)＝ab ，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ，即a ＝b ＝2，切线方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝016．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2| 易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋(6－3)2＋42＝15.答案：15三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．求经过7x ＋8y ＝38及3x －2y ＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．解：设所求直线为7x ＋8y －38＋λ(3x －2y )＝0， 即(7＋3λ)x ＋(8－2λ)y －38＝0， 令x ＝0，y ＝388－2λ，令y ＝0，x ＝387＋3λ， 由已知，388－2λ＝387＋3λ， ∴λ＝15，即所求直线方程为x ＋y －5＝0.又直线方程不含直线3x －2y ＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x －2y ＝0亦为所求．18．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上， ∴a ＋2b ＝0，① (2－a )2＋(3－b )2＝r 2②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22， ∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2③解由方程①、②、③组成的方程组得：⎩⎨⎧b ＝－3，a ＝6，r 2＝52.或⎩⎨⎧b ＝－7，a ＝14，r 2＝244，∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.19．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切，过点P (－4,0)作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足|P A |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线的方程； (2)求双曲线G 的方程；解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ， 则由渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切可得|5k |k 2＋1＝5， 所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为 y ＝±12x .(2)由(1)可设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ， 把直线l 的方程y ＝14(x ＋4)代入双曲线方程， 整理得3x 2－8x －16－4m ＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B ) 则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m 3.(*)∵|P A |·|PB |＝|PC |2，P 、A 、B 、C 共线且P 在线段AB 上，∴(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，∵x P ＝－4，x C ＝0，即(x B ＋4)(－4－x A )＝16， 整理得4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0. 将(*)代入上式得m ＝28， ∴双曲线的方程为x 228－y 27＝1.20．(2011年福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)从而圆的半径 r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2 ＝2 2.故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎨⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m . 由⎩⎨⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y 得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； ②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切，当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．21．(2012～2013学年度上学期辽宁省五校协作本高三期初联考)设椭圆C ： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→＋F 2Q →＝0.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．解：(1)设Q (x 0,0)，由F 2(c,0)，A (0，b ) 知F 2A →＝(－c ，b )，AQ →＝(x 0，－b ) ∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c ， 由于2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，即F 1为F 2Q 中点． 故－b 2c ＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2， 故椭圆的离心率e ＝12(2)由(1)知c a ＝12，得c ＝12a 于是F 2(12a,0)，Q (－32a,0)， △AQF 的外接圆圆心为(－12a,0)，半径r ＝12|FQ |＝a 所以|－12a －3|2＝a ，解得a ＝2，∴c ＝1，b ＝3，所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(3)由(2)知F 2(1,0) l ：y ＝k (x －1) ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1代入得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，y 2－y 1＝k (x 2－x 1).PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)由于菱形对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，∴(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝0，即(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0.故k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0则k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0k 2(8k 23＋4k 2－2)＋8k 23＋4k 2－2m ＝0 由已知条件知k ≠0且k ∈R∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4∴0<m <14. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是0<m <14.22．(2012年湖南)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．解：(1)法一：设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝(x －5)2＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2>0，所以(x －5)2＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二：由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0，于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3. 整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.① 设过P 所作的两条切线P A ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根． 故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.②由⎩⎨⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x得 k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝20(y 0＋4k 1)k 1.④ 同理可得 y 3y 4＝20(y 0＋4k 2)k 2⑤ 于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝400(y 0＋4k 1)(y 0＋4k 2)k 1k 2＝400[y 20＋4(k 1＋k 2)y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400(y 20－y 20＋16k 1k 2)k 1k 2＝6 400. 所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.。