10.7相似三角形的应用(2)
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
课件--相似三角形的应用
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高 大物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
测量不能到达顶部的物体的高度，通 常用“在同一时刻物高与影长成比例”的 原理解决。
A
C
B
D
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对 岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和 点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用 视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米， DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米）
A
C
B
D
利用相似测量物体的高度
0.5m时,长臂端点升高______m。
B
0.5m
16m
C ┛1m O A
？ ┏
D
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人 的影长为3米,则树高为______。
在同一时刻，物体的高度与它在阳光下
的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为 1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长 为60米，那么这幢高楼的高度是多少米？
（2） 测距（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达两点间的距离,常构造
相似三角形求解。
生活实践
1、如图，是一池塘的平面图， 请你利用相似三角形的知识， 设计出一种测量A、B两点间 距离的方案，并对这种方案 作出简要的说明。
• 解：如图在池塘外选一点P，连AP并延长，
连BP并延长使 PA PB 2（或其他值），
相似三角形的应用
相似三角形的应用在几何学中，相似三角形是一种非常重要的概念。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
本文将探讨相似三角形的应用，并介绍在现实生活中如何使用相似三角形进行测量和求解问题。
一、地图测量地图是我们在日常生活中常用的工具之一。
地图上的距离和大小都是通过测量获得的。
由于地球是一个球体，所以将其展示在平面地图上会引起形状的改变。
利用相似三角形的性质，我们可以通过测量地图上的两条边和它们对应的实际距离，来计算其他位置的距离。
例如，假设我们知道地图上两个城市之间的距离为10厘米，而实际距离为100公里。
如果我们需要计算其他两个城市之间的距离，可以利用相似三角形的比例关系，设这两个城市之间的距离为x公里，则可以得到以下比例关系：10厘米/100公里 = x厘米/x公里。
通过解这个比例关系，我们就可以计算出实际距离。
二、建筑测量在建筑领域，使用相似三角形可以帮助我们测量高处的物体或建筑物的高度。
如果我们无法直接测量高度，但可以测量到某个位置的斜边长度和水平距离，那么我们可以利用相似三角形的性质来计算物体的高度。
以测量一栋建筑物的高度为例，我们可以在地面上选取一个合适的位置，测量从这个位置到建筑物顶部的斜边长度为10米，而与地面垂直的水平距离为5米。
我们可以设建筑物的高度为h米，则可以得到相似三角形的比例关系：10米/5米= h米/x米。
通过解这个比例关系，我们就可以计算出建筑物的高度。
三、影视特效影视特效制作中，相似三角形也起到了关键的作用。
例如，在拍摄特技镜头时，为了保证画面的连贯性，摄影师和特效制作人员需要准确计算出角色与背景之间的相对位置。
通过利用相似三角形的性质，可以测量出摄影机与角色的距离和角度，进而确定背景的大小和位置。
这样，在特效制作时，就可以根据这些信息来合成或添加特效，使得特技镜头看起来更加真实和自然。
总结：相似三角形的应用非常广泛，不仅限于地图测量、建筑测量和影视特效等领域。
相似三角形的运用
相似三角形的运用
相似三角形是指两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形。
相似三角形的运用在几何学中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：
1. 三角形相似的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例。
即如果三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
2. 相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
这个性质可以用来证明三角形的相似性，也可以用来求解三角形中的各种量，如角度、边长、面积等。
3. 相似三角形的应用：相似三角形的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，相似三角形的性质可以用来确定建筑物的比例关系；在地图制图中，相似三角形的性质可以用来确定地图上不同地区的比例关系；在物理学中，相似三角形的性质可以用来解决力学问题，如斜面滑动、抛体运动等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，它不仅可以用来证明三角形的相似性，还可以用来解决各种实际问题，是几何学中的重要工具之一。
相似三角形的应用
相似三角形的应用一、知识要点：（一）相似三角形的应用主要有如下两个方面1．测高（不能直接使用皮尺或刻度尺度量的）；2．测距（不能直接测量的两点间的距离）。
（二）测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决。
（三）测距的方法测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如图甲所示，通常可先测量图中的“线段”BD、DC、DE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如图乙所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长。
二、例题解析：例1.如图，AB、CD相交于点O，且AC∥BD，则OA·OD＝OC·OB吗？为什么？解：∵AC∥BD∴∠B＝∠A，∠D＝∠C∴△OBD∽△OAC∴∴OA·OD＝OB·OC因此OA·OD＝OC·OB成立．例2.如图，物AB与其所成像A′B′平行，孔心O到蜡烛头A的距离是36cm，到蜡烛头的像A′的距离是12cm，你知道像长是物长的几分之几吗？你是怎样知道的？解：∵AB∥A′B′∴∠ABO=∠A′B′O又∵∠AOB=∠A′OB′∴△AOB∽△A′OB′∴∵AO=36cm，A′O=12cm∴则答：像长与物长之比为．例3.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m∴∴DE=16m答：古塔的高度为16m。
例4.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽。
相似三角形的数学原理与应用
相似三角形的数学原理与应用相似三角形是指具有相似形状的三角形，它们的相应角度相等，而对应边的比例也相等。
相似三角形在几何学和数学中具有重要的原理和广泛的应用。
本文将详细介绍相似三角形的数学原理以及其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的数学原理1. AAA相似原理AAA相似原理即两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形相似。
2. AA相似原理AA相似原理即两个三角形的一个角的对应边成比例，则这两个三角形相似。
3. SSS相似原理SSS相似原理即两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的应用1. 比例问题相似三角形的数学原理中，所涉及的比例关系在实际问题中具有广泛的应用。
比如，在测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影的长度来计算出实际高楼的高度。
2. 图形的放缩相似三角形可以用于图形的放缩。
比如，地图的缩放是一种常见的应用，当我们需要把一张地图缩小或者放大时，可以利用相似三角形的原理来进行比例计算。
3. 几何问题相似三角形在解决几何问题时也起到了重要的作用。
如计算海浪的高度、测量高塔的高度等。
利用相似三角形的原理，可以通过测量一段已知的长度和相应的角度，来计算未知长度的问题。
4. 分形图形分形图形是一种具有自相似性质的图形，相似三角形也常出现在分形图形的构造中。
例如，科赫曲线就是利用相似三角形逐步放大和迭代，构成一个无限细分的曲线。
5. 三角函数的应用相似三角形的概念对于三角函数和三角方程的求解也具有重要意义。
例如，在解决三角方程sin x = cos x时，可以利用相似三角形的原理，将其转化为简化形式进行求解。
三、总结相似三角形的数学原理是几何学中的重要概念，它描述了具有相似形状的三角形之间的比例关系。
通过应用相似三角形，我们可以解决各种实际问题，如测量、图形的放缩、几何问题、分形图形以及三角函数的应用等。
掌握相似三角形的数学原理，对于提高几何学和数学解题能力具有重要意义。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比叫做相似比。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边的长度之比等于相似比。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
这些性质是解决相似三角形应用问题的基础，我们需要熟练掌握并能够灵活运用。
二、相似三角形在测量中的应用1、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量一些物体的高度，如大树、高楼等。
当直接测量高度有困难时，可以利用相似三角形的原理来解决。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的地面上选择一点 A，然后在 A 点处直立一根标杆 CD，测量出标杆的长度 CD 以及标杆顶端 D 与树顶 E 的仰角∠DAE 和∠DBC。
由于标杆与地面垂直，大树也与地面垂直，所以三角形 ADE 和三角形 ABC 相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：AB ／ AD ＝ BC ／ DE已知 AB、AD、BC 的长度，就可以求出大树的高度 DE。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。
比如，要测量一条河的宽度。
可以在河的一侧选择一点 A，在对岸选择一点 B，然后在 A 点所在的岸边选择另一点 C，使得 AC 与河岸垂直。
再在 AC 上选择一点 D，使得∠ADB ＝∠ABC。
此时三角形ABD 和三角形 ABC 相似。
通过测量 AC、AD 的长度以及∠ADB 的度数，就可以根据相似三角形的性质求出河的宽度 AB。
三、相似三角形在几何证明中的应用在几何证明题中，常常会遇到需要证明两个三角形相似的情况。
这时，我们需要根据已知条件寻找三角形相似的条件。
常见的证明三角形相似的方法有：1、两角对应相等的两个三角形相似。
课件相似三角形的应用(多场景)
课件相似三角形的应用(多场景)课件：相似三角形的应用一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛应用于日常生活和工程实践。
相似三角形的应用不仅体现在数学领域，还涉及物理学、建筑学、地理学等多个领域。
本课件旨在介绍相似三角形的基本概念及其在不同领域的应用，帮助大家更好地理解相似三角形的实用价值。
二、相似三角形的基本概念1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形相似。
2.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都相等。
3.判定相似三角形的方法：AA（角角）相似定理、SAS（边角边）相似定理、SSS（边边边）相似定理。
三、相似三角形在数学领域的应用1.解直角三角形：利用相似三角形的性质，可以求解直角三角形中的未知边长和角度。
2.求解相似多边形：在解决多边形问题时，相似三角形的应用可以帮助我们求解多边形的边长、面积等几何量。
3.解析几何：在解析几何中，相似三角形的应用可以帮助我们求解直线、圆等几何图形的方程。
四、相似三角形在物理学领域的应用1.测量不规则物体的体积：利用相似三角形，可以求解不规则物体的体积，如测量岩石、木材等。
2.测量距离：在物理学实验中，相似三角形的应用可以帮助我们测量不易直接测量的距离，如测量地球到月球之间的距离。
3.解析力学：在解析力学中，相似三角形的应用可以帮助我们求解力的分解、力的合成等问题。
五、相似三角形在建筑学领域的应用1.设计建筑结构：相似三角形的应用可以帮助建筑师设计出稳定、美观的建筑结构。
2.测量建筑物的尺寸：在建筑物的施工过程中，相似三角形的应用可以帮助测量建筑物的尺寸，确保施工质量。
3.求解建筑物的高度：利用相似三角形，可以求解建筑物的高度，如测量塔的高度、建筑物之间的距离等。
六、相似三角形在地理学领域的应用1.测量地球表面距离：相似三角形的应用可以帮助测量地球表面两点之间的距离，如测量城市之间的距离。
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课题
10.7相似三角形的应用（2）[教案]
课型
新授
时间
第十章第13课时
教学目标
1、了解中心投影的意义，通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解．
2、通过操作、观察等数学活动，探究中心投影与平行投影的区别，并运用中心投影的相关知识解决一些实际问题．
五、课堂小结
（1）了解中心投影的意义；
(2)通过操作、观察等数学活动，探究中心投影与平行投影的区别，并运用中心投影的相关知识解决一些实际问题．
六、中考链接
为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB‘）,再把竹竿竖立在地面上,测得竹竿的影长（B‘C‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光
下的投影长为6m，请你计算DE的长.
二、新课
(一)、情境创设：
夜晚，当人们在路灯下行走时，你是否发现一个有趣的现象：P114如图10—31，影子越变越长了?你能说明理由吗?
（二）、探索活动
1、动手试一试：(1)取两根长度相等的小木棒，将它们直立摆放在不同位置，固定手电筒光源，测量木棒的影长。它们的影子长度相等吗？_________
七、布置作业
课本P118～119习题10.7第4、5题
课外作业《数学补充题》P71～72 10.7相似三角形的应用（2）
第1题；C
第2题；测量一棵松树AB的高度：可在同一时刻测量树的影长BC和测杆DE的影长EC（使A和D的影子重合，这样更简便），再测出DE的长就可以求出AB了。其道理是什么？
操作、实验、感悟。平行光线的照射不同，在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例．
重点
用中心投影的概念及判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题
难点
运用中心投影的相关知识解决一些实际问题．。
学习过程
旁注与纠错
一、课前预习与导学得分
1、当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了。这是因为（）
A.汽车开的很快B.盲区减小C.盲区增大D.无法确定
在本章之前，要说明线段或角
相等，往往是说明它们分别与
第三个量相等，通过“等量代换”
得到所需的结沦．在说明线段成
比例时，只要将“两线段的比”
看成是一个整体，同样可以通过
第三个比代换.如，在例1的解答中，
由“＝”，“＝”就是通过第三个比来证明结论的．
例2、如图，某同学身高AB＝1.60m，他从路灯杆底部
(2)改变手电筒光源的位置，木棒的影长发生了什么变化？____________
(3)在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？____________
由此我们可以得到：___________________________叫做中心投影。
组织操作、实验活动，引导学生观察．
2、设计操作、实验活动的目的是：通过操作、实验活动，引导学生通过观察，感悟到与平行光线的照射不同，在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例．
了解中心投影．说出解题Fra bibliotek思路，并写出解题的过程。
用彩笔标出过渡比。
教学后记：
的点D直行4m到点B，此时其影长PB＝2m,
求路灯杆CD的高度。
例3、如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，
在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上
的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，
AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为___________。
四、课堂练习：
课本P116练习题
2、数学是教人学聪明的学问，学数学最重要的是体会数学中蕴含的思想方法，并有意识地在生活中应用这些思想方法解决身边的问题。测量不能直接到达两端的物体的高度（或长度）时，经常运用相似三角形的知识。
3、已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
三、例题讲解
例1如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度。
在例1的解答中，“由AB∥CD，得△ABF∽△CDF”、“由AB∥EF，得△ABG∽△EFG”，实际上用到了判定三角形相似的条件：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．由于这一判定三角形相似的条件在实际的应用中用途较广，教学时应结合实例向学生说明．