相似三角形在生活中的应用
相似三角形的应用例析
相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛．举例说明如下．1、测量底部不能到达的建筑物的高例1 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1．7米，求路灯杆AB的高度(精确到0．1米)．2、测量池塘宽例2如图，有一池塘要测量两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D，使AC并延长至D，使15CD CA=，连接BC并延长至E，使15CE CB=，连接ED，如果量出25mDE=，那池塘宽多少A BCE D3、利用影长测量建筑物的高度例3高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．4、测量电线杆的高例4如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm，求电线杆的高．5、测量台阶例5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1. 75m．他量得客厅高 AB= 2. 8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF = 3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m，每个台阶宽要大于20c m，问汪老师应该将楼梯建儿个台阶为什么参考答案例1：【分析】根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD//AB，可证得：△ABE∽△CDE，∴BD DE DE AB CD += ①同理：BDGD HG HG AB FG ++= ② 又CD ＝FG ＝1．7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+ 即BDBD +=+10533，解之得：BD ＝7．5m ， 将BD ＝7．5代入①得：AB=5．95m≈6m．答：路灯杆AB 的高度约为6m ．【点评】 本题通过多次平行线，利用相似三角形解决．把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用．例2：【分析】这个问题的实质是△ECD∽△BCA，利用两个三角形相似求池塘宽DE AB CD AC AB DE ===155，.解： CD CA CE CB ==1515，∴==CD CA CE CB 15 又∵∠ECD＝∠BCA ∴△ECD∽△BCA∴==DE AB CD AC 15∴==⨯=AB DE m 5525125()．【点评】 通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．例3：【分析】 画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB //＝C B BC //， 于是得，BC =B A AB//×B /C /=16（m ）． 即该建筑物的高度是16m ．例4：【分析】 本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=，GF=12cm=，CE=30m ，求BC ．由于△ADF∽△AEC，AC AF EC DF =，又△AGF∽△ABC，∴ BC GF AC AF =，∴ BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解： ∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC．∴AC AF EC DF =．又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴BC GF AC AF =，∴BC GF EC DF =．又∵ DF=60cm=，GF=12cm=，EC=30m ，∴ BC=6m．即电线杆的高为6m ．【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段”．在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨．例5：【分析】 （1）根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90º， ∴△ABC∽△GFA．∴FGAB AF BC =得BC=(m)，CD=2+=(m)． (2)设楼梯应建n 个台阶，则＞，＜，解得14＜n ＜16，∴楼梯应建15个台阶．。
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
相似三角形的应用举例
相似三角形的应用举例相似三角形是指在形状相似的两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长成比例关系。
这一性质使得相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。
本文将举例介绍相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计等领域的具体应用。
一、地理测量中的相似三角形应用地理测量中常常使用相似三角形原理来测量高处物体的高度以及难以直接测量的距离。
以测量一座建筑物的高度为例，通过在平面上选择两个不同位置，测量出与地平线夹角相同的两个点，再利用三角形相似原理计算出建筑物的高度。
这样的测量方法可以避免测量过程中的误差和测量的困难，提高测量的准确性和效率。
二、影视制作中的相似三角形应用在影视制作中，相似三角形的应用尤为重要。
例如，在电影中要制作一个逼真的远景特写，如果直接拍摄远处的景象，可能会因为远离拍摄现场而导致细节无法清晰展现。
为了解决这个问题，可以利用相似三角形的原理，在近距离拍摄一个类似的模型或者画面，然后通过电脑生成与实景相似的远景效果。
这种利用相似三角形的方法可以在节约成本的同时，制作出逼真的远景特写效果。
三、建筑设计中的相似三角形应用相似三角形在建筑设计中有着广泛的应用，特别是在设计高层建筑时更是如此。
以设计一座摩天大楼为例，建筑师需要保证高楼的结构坚固稳定，同时也要满足美学上的要求。
在设计过程中，利用相似三角形的原理可以根据大楼的比例尺度，在小模型上进行实际尺寸的计算和预测。
这种预测方法不仅可以方便地展示设计方案，还可以在施工前发现和修正设计中的不足之处，提高整体设计质量。
通过上述几个具体例子，我们可以看到相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计中的重要应用。
相似三角形原理的运用，使得我们能够更加准确地进行测量、制作出逼真的特效和设计出稳固美观的建筑物。
这一应用不仅提高了工作效率，还为我们提供了更多实际问题的解决方案。
因此，相似三角形的学习与应用在我们的生活中具有重要的意义。
总结生活中相似三角形的应用
总结生活中相似三角形的应用在生活中，相似三角形是一种非常常见的几何形状。
它们在各个领域的应用非常广泛，包括建筑、工程、美术等等。
本文将总结生活中相似三角形的应用，并探讨它们在不同领域中的实际应用案例。
1. 建筑领域中的相似三角形应用在建筑设计中，相似三角形被广泛运用于建筑物的设计与构造。
以摩天大楼为例，工程师会使用相似三角形原理，根据比例关系来确定大楼的高度、宽度和两侧的倾斜度。
这不仅可以确保大楼的外观美观，还可以为建筑提供更好的结构稳定性。
此外，在房屋设计中，相似三角形也被用来计算尺寸比例。
比如，在设计家具时，设计师会考虑到房屋的整体比例，并运用相似三角形的原理来确定家具的大小和形状，以保证整体空间的和谐统一。
2. 工程领域中的相似三角形应用在工程领域，相似三角形被广泛应用于测量和勘探工作。
例如，在制作地图时，相似三角形原理可以用于测量地表的高度和坡度。
勘测人员可以利用利用光学仪器，通过测得的角度和距离，推导出不同地点的高度，并绘制出精确的地图。
此外，在电力工程中，相似三角形也被用来计算电线杆之间的高度和距离。
根据相似三角形的比例关系，工程师可以通过测量电线杆顶部到地面的高度和距离，推导出其他电线杆之间的高度和距离，以确保电线的牢固性和安全性。
3. 美术领域中的相似三角形应用相似三角形在美术领域中也有重要的应用。
艺术家们利用相似三角形的比例关系来捕捉和表达物体的形状和透视。
例如，在人物素描中，艺术家可以通过观察和绘制物体的相似三角形来准确地表达人物的体型和比例。
此外，在景观绘画中，艺术家也会利用相似三角形的原理来描绘山脉、树木和其他自然景观的远近和大小。
通过运用相似三角形的比例关系，艺术家可以在绘画中准确地再现现实中的景观。
总结：相似三角形作为一种常见的几何形状，在生活中有着广泛的应用。
在建筑中，相似三角形帮助保证建筑物的结构稳定和外观美观；在工程中，相似三角形用于测量和勘测工作，确保工程的精确性和安全性；在美术中，相似三角形被用来准确表达物体形状和透视。
相似三角形在实际生活中的应用
标准对数视力表 0.14.00.12 4.1 0.15 4.2相似三角形在实际生活中的应用【知识点击】1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过，那么这样的两个图形就称为位似图形。
此时的这个点叫做，相似比又称为．注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小．2、相似多边形的性质_____________________________________________________【重点演练】知识点一、位似图形例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA ′,求四边形AA ′C ′C 的周长.（结果保留根号）ABC例2、如图3，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A ′B ′C ′D ′E ′，已知OA =10cm ，OA ′=20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比值是．变式训练：1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E ”之间的变换是（ ）A ．平移B ．旋转C ．对称D ．位似2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是． 图3A BC D EB ′′E ′y C DA图2 B′A′-1 x1 O-11y BA C3、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（）A ．12a -B ．1(1)2a -+C ．1(1)2a --D ．1(3)2a -+4.如图，已知△OAB 与△''B OA 是相似比为1：2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 一点p （x ，y ）与△''B OA 一点'p 是一对对应点，则点'p 的坐标是．知识点二、测量物体高度方法一、利用光的反射定律求物体的高度 例3、（市）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图1所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.4米，观察者目高CD ＝1.6米，则树（AB ）的高度约为________米（精确到0.1米）.方法二、利用影子计算建筑物的高度例4（市）如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和1.5米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为米.例5（市）如图4，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（ ）图1 B E DA.4.5米B.6米C.7.2米D.8米跟踪练习1、如图６，小明在一次晚自修放学回家的路上，他从一盏路灯Ａ走向相邻的路灯Ｂ．当他走到点Ｐ时，发现自己身后的影子的顶部恰好接触到路灯Ａ的底部，再走１６米到达点Ｑ时，发现身前的影子的顶部恰好接触到路灯Ｂ的底部．已知路灯的高是９米，小明的身高为１.5米．（１）求相邻两盏路灯之间的距离； （２）如果学校大门口恰好有一盏路灯，小明家门口也恰好有一盏路灯，小明回家共经过了２６盏路灯，问：小明家距离学校多少米？（3）求小明走到两盏路灯Ａ、Ｂ的中点时，在Ａ、Ｂ两盏路灯下的影长及走到路灯Ｂ下时在路灯Ａ下的影长．方法三、利用相似三角形的性质测量物体的高度或宽度例6、如图1，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上的C 处直立3cm 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处，恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得3CE =m ，乙的眼睛到地面的距离1.5FE =m ，丙在1C 处也直立3m 高的竹竿11C D ，乙从E 处后退6m 到1E 处，恰好看到竹竿顶端1D 与旗杆顶端B 也重合，量得114C E m =，求旗杆AB 的高.跟踪练习如图2，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边点P 处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A 和B ，使得B ，A ，P 在一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C ，D ，使CA ⊥BP ，BD ⊥BP.由观测可以确定CP 与BD 的交点为D ，他们测得AB=45m ，BD=90m ，AC=60m ，从而确定河宽PA=90m ，你认为他们的结图６论对吗？图2例7、如图５是学校的旗杆，小明带着一条卷尺和一面镜子，他想借助这两样工具测量旗杆的高，请你为他设计测量的方法．练习：给你一条可以用来测量长度的皮尺和一根高２米的标杆，在没有太的时候你能测量出操场上旗杆的高度吗？说说你的做法．知识点三、相似多边形性质的应用 例8、 一块直角三角形余料，直角边ＢＣ＝８０ｃｍ，ＡＣ＝６０ｃｍ，现要最大限度地利用这个余料把它加工为一个正方形，求这个正方形的边长．跟踪练习1、已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝６，ＣＡ＝７，ＡＢ＝８，其三个接正方形（四个顶点都在三角形三边上）中，记两个顶点在ＢＣ上的正方形面积为ａ，两个顶点在ＣＡ上的正方形的面积记为ｂ，两个顶点在ＡＢ上的正方形的面积记为ｃ，试探索ａ、ｂ、ｃ的大小关系．Ａ 图５ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ ＢＥ Ｄ 图(1)2、有一块直角三角形木板，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm，根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．例9、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC面积，并提出一个与计算结果．有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？课外作业(满分50分)1、（15分）（1）选择：如图1，点O 是等边三角形PQR 的中心，P ′、Q ′、R ′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ′Q ′R ′是位似三角形，此时△P ′Q ′R ′与△PQR 的位似比和位似中心分别是（ ）．A 、2，点P,B 、21,点P C 、2,点O D 、21，点O （2）、如图2， 用下面的方法可以画△AOB 的接等腰三角形，阅读后证明相应的问题．画法：①在△AOB 画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上,点D 在OB 上；②连结OE 并延长，交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′,作E ′D ′∥ED ，交OB 于点 D ′；③连结C ′D ′,则△C ′D ′E ′是△AOB 的接三角形 求证：△C ′D ′E ′是等边三角形．2、（15分）请在如图所示的方格纸中，将ΔABC 向上平移3格，再向右平移6个，得ΔA 1B 1C 1，再将ΔA 1B 1C 1绕点B 1按顺时针方向旋转90°，得ΔA 2B 1C 2，最后将ΔA 2B 1C 2以点C 2为位似中心放大到2倍，得ΔA 3B 3C 2；（1） 请在方格纸的适当位置画上坐标轴（一个小正方形的边长为一个单位长度），在你所建立的直角坐标系中，点的坐标分别为：点C （）、点C 1（）点C 2（）．3.（20分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？。
相似三角形在现实生活中的应用场景
相似三角形在现实生活中的应用场景
相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1.建筑和工程领域：在建筑设计和工程计算中，相似三角形的判定被用于解
决各种实际问题。
例如，工程师会利用相似三角形原理来计算建筑物的缩放比例，以确定建筑物的外观和尺寸是否符合设计要求。
此外，在桥梁、道路和水利工程的设计和建设中，工程师也需要用到相似三角形的概念来测量斜坡的斜率和角度等参数。
2.地图和导航领域：在地图和导航中，利用相似三角形的原理可以精确地测
量距离和角度。
例如，在地图上测量两点之间的距离时，可以利用相似三角形来计算实际距离。
此外，在导航中，飞行员和船员也需要用到相似三角形的概念来测量飞行或航行的角度和距离，以确保安全飞行或航行。
3.科学实验和观测：在科学实验和观测中，相似三角形的判定也被广泛用于
各种测量和计算。
例如，物理实验中常常需要测量物体的速度、加速度等物理量，这时可以利用相似三角形来测量或计算所需参数。
此外，在天文观测中，天文学家也会用到相似三角形的原理来测量天体的位置和距离。
4.日常生活中的应用：在日常生活中，我们也会遇到一些与相似三角形相关
的应用场景。
例如，摄影时需要调整相机的角度和高度，这时可以利用相似三角形的原理来计算所需的参数。
另外，在测量物体的尺寸或角度时，我们也可以利用相似三角形的概念来进行粗略的估算。
总之，相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，涉及到建筑、工程、科学实验、导航、摄影等领域。
通过掌握相似三角形的原理和应用技巧，我们可以更好地解决各种实际问题，提高生活和工作的效率和质量。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
在数学和几何学中，相似三角形具有广泛的应用，本文将探讨相似三角形在实际问题中的应用和意义。
一、地理测量地理测量是相似三角形应用的典型领域。
在实际测量过程中，我们经常会遇到难以直接测量的地理距离或高度。
通过使用相似三角形的原理，我们可以利用已知的尺寸测量未知的尺寸。
举例来说，当我们想要测量一座高山的高度时，可以在水平地面上测量该高山的基座与观测点的距离，并同时测量观测点与该高山的顶点的夹角。
然后，我们可以构造一个与已知角度相等且具有比例关系的三角形，如此，我们就可以通过比例计算出高山的真实高度。
二、建筑设计相似三角形在建筑设计中也扮演着重要的角色。
当建筑师设计建筑物的平面图时，通常需要考虑到各种限制条件，如建筑物所在地的面积、材料的成本和现有建筑的布局。
相似三角形的应用可以帮助建筑师在平面图中精确计算出各个部分的尺寸。
举例来说，当建筑师需要设计一个大厦的外墙高度时，可以先测量周围已有建筑物的高度，然后利用相似三角形的原理创建一个比例，从而计算出大厦外墙的高度。
三、影视制作在影视制作领域，相似三角形的应用同样不可或缺。
特效动画、绿幕合成和特殊镜头的制作都需要准确的测量和计算。
相似三角形可以帮助摄影师和特效团队准确地计算出场景中各个元素的尺寸和位置关系。
举例来说，当制作一个动画场景时，摄影师可以首先测量实际场景中各个元素的尺寸和位置，然后通过相似三角形的原理将这些尺寸和位置比例应用到动画场景中，从而创造出逼真且准确的效果。
四、遥感技术遥感技术利用卫星或飞机上的传感器来获取地球表面的信息，然后通过相似三角形的应用来测量地球表面的高度、距离和坐标。
相似三角形在遥感图像处理中扮演着重要的角色，可以帮助科学家和地理学家研究地球表面的变化和特征。
举例来说，当科学家想要测量一片森林的总面积时，可以先使用遥感图像获取该森林的部分面积，并且可以测量出图像上的距离。
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O
7.如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现树 的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，测得 CD=4m,BC=10m，CD与地面成30度角，且测得1米竹 杆的影子长为2米，那么树的高度是多少？
A
B
D C
8.数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下 两种方法：
方法一：如图，把镜子放在离树（AB） 8M点E处，然后沿着直线BE后退到D， 这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用 A 皮尺量得DE=2.8M，观察者目高 A CD=1.6M； C
埃及著名的考古专家穆罕穆德决定 重新测量胡夫金字塔的高度.在一个烈 日高照的上午.他和儿子小穆罕穆德来 到了金字塔脚下,他想考一考年仅14岁 的小穆罕穆德. 给你一条2米高 的木杆,一把皮 尺.你能利用所 学知识来测出塔 高吗?
2米木杆
皮尺
借太阳的光辉助我们解题,你想到了吗?
D
B
A
C
┐
E
┐
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高 度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度 OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒 子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似 算出金字塔的高度OB．
C
D
E
B
B
8.数学兴趣小组测校内一棵树高，有 以下两种方法：
方法二：如图，把长为2.40M的标 杆CD直立在地面上，量出树的影长 为2.80M，标杆影长为1.47M。 C
分别根据上述两种不同方
法求出树高（精确到0.1M） 请你自己写出求解过程， 并与同伴探讨，还有其
B A D
E
他测量树高的方法吗？
F
H E B K D G
L
例4.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分 别为AB，PC,并且AB ∥PC．建筑物DE的一端 所在MNAB的直线于点N，交PC于点N．小亮 从胜利街的A处，沿AB着方向前进，小明一直 站在P点的位置等候小亮．
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的 视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）； MN 20m，MD 8m ，PN 24m （2）已知： ， 求（1）中的C点到胜利 M B 街口的距离CM．
C
E
请同学们自已解答 并进行交流
D
例3.已知左、右并排的 两棵大树的高分别是 AB=8m和CD=12m,两 树的根部的距BD=5m. 一个身高1.6m的人沿 着正对这两棵树的一 条水平直路L从左向右 前进，当他与左边较 低的树的距离小于多 少时，就不能看到右 边较高的树的顶端点C?
C A F H B K D C A
一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC， 然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点 D． 此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求 两岸间的大致距离AB．(方法一) A
解： 因为 ∠ADB＝∠EDC,
AB BD 那么 EC DC
∠ABC＝∠ECD＝90°， 所以 △ABD∽△ECD，
B
D
C
E
BD EC 120 50 解得AB 100(米) DC 60 答： 两岸间的大致距离为100米．
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点 D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线 EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸 间的大致距离AB了。 A 此时如果测得DE＝120米， BC＝60米，BD＝50米，求 两岸间的大致距离AB． B
解得
x 36
即高楼的高度为36米。
2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长 16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升 高 m。
16m 0.5m B
8 ？
┏
C
┛
1mO
A
D
练习
3.为了测量一池塘的宽AB,在岸边 找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找 到一点D，在BC上找到一点E,使 DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
木棒
A
如何来测量 液面的高度呢?
提供工具: 木棒(足够长), 刻度尺
木棒 刻度尺
液面
B
D
C
Ｏ
怎样测量旗 杆的高度呢？
Ｏ′
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
求旗杆高度的方法:
因为旗杆的高度不能直 接测量,我们可以利用 旗杆的高度 人身高和 和影长组成 相似于 影长组成 的三角形 的三角形 再利用相似三角形对 应边成比例来求解.
27.2相似三角形的应用
1、判断两三角形相似有哪些方法?
1.定义: 2.定理(平行法): 3.判定定理一(边边边):
4.判定定理二(边角边):
5.判定定理三(角角):
2、相似三角形有什么性质？
对应角相等，对应边的比相等
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西北 四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据考证， 为建成大金字塔，共动用了１０万人花了２０年时间.原 高１４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端 被风化吹蚀.所以高度有所降低 。
c′
1.6m
Ａ
6m
Ｂ
Ａ′ 1.2m
Ｂ′
木棒
A
A
液面
B
E
G
B
D
C
D
C
木棒
A
A
A
液面
B
E
G
B D
E
B
CDΒιβλιοθήκη CC步行街 D E
建筑物
光明巷
A
胜利街
P
N
Q
练习
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比 例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿 的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高 楼的高度是多少米?
解： 设高楼的高度为 x米， 因为 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例
1.8 x 则有 3 60
F
1.
通过本堂课的学习和探索，你学会了什么?
谈一谈!你对这堂课的感受?
2.
1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物 体的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学问 题,建立相似三角形模型,再利用对应边的比相 等来达到求解的目的!
2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型.
⑴
⑵
⑶
⑷
想一想
怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度?
即该金字塔高为137米．
例2:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选
定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和 AE的交点D．
此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求 两岸间的大致距离AB．
A
B
D
C E
例2:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定
2.4m
C E A 5m
┏ 0.8m
？
┏
D
10m
B
6、如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的 厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉 卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若 OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。
（分析：如图，要想求厚度 x，根据条件可知，首先得 求出内孔直径AB。而在图 中可构造出相似形，通过相 似形的性质，从而求出AB 的长度。）
O
O′
A
A′
B′
B
例1：如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝ 274，求金字塔的高度OB. 解：由于太阳光是平行光线， 因此∠OAB＝∠O′A′B′． 又因为 ∠ABO＝∠A′B′O′＝90°． 所以 △OAB∽△O′A′B′， OB∶O′B′＝AB∶A′B′，
O
O′
A A B′
B
AB OB 274 1 OB 137(米) AB 2
温馨提示： １、旗杆的高度是线 段 BC ；旗杆的高 度与它的影长组成什 么三角形？（△ABC） 这个三角形有没有哪 条边可以直接测量？
c
2、人的高度与它的 影长组成什么三角形？ △A）这个 ′B′ C ′ （ 三角形有没有哪条边 可以直接测量？
3、 △ABC与△A′B′ C ′ 有什么关系?试说明理由.
A B
D
E
C
4、如图，一条河的两岸有一段是平行的， 在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边 每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电 线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两 棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
5. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)