九年级数学相似三角形的应用举例

19.7相似三角形的应用
目的：利用相似三角形的性质解决实际问题． 中考基础知识
通过证明三角形相似 线段成比例()()
⎧⇒⎨⎩方程含有未知数的等式函数求最值等问题
备考例题指导
例1．如图，P 是△ABC 的BC 边上的一个动点，且四边形ADPE 是平行四边形． （1）求证：△DBP ∽△EPC ； （2）当P 点在什么位置时，S ADPE
=
1
2
S △ABC ，说明理由． 分析：
（1） 证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有
ADPE ⇒
平行线⇒角相等，命题得证．
（2）设
BP BC =x ，则CP
BC
=1-x ，
ADPE ⇒DP ∥AC ， EP ∥AB ，
△BDP ∽△BAC △CPE ∽△CBA ∴
FPC ABC S S ∆∆=（CP CB ）2=（1-x ）2，BDP BAC S S ∆∆=（BP BC ）2=x 2 ∴
BDP CPE ABC
S S S ∆∆∆+=x 2+（1-x ）2
．
∵S ADPE
=
12
S △ABC ，即ADPE ABC S S ∆=1
2．
∴x2+（1-x）2=1
2
（转化为含x的方程）
x=1
2
，
∴BP
BC
=
1
2
．
即P应为BC之中点．
例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：
1，又关于x的方程1
4
x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n
为整数时，•一次函数y=mx+n的解析式．
分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，•求出m，n再写出一次函数．
抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．
双直角图形⇒有相似形⇒比例式（方程）
∠ACB=90°，CD⊥AB
Rt△BCD∽Rt△BAC
BC2=BD·BA，同理有AC2=AD·AB，
∴
2
2
BC
AC
=
BD BA
AD AB
⇒=m=2n ①
抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．
由（x1-x2）2<192 配方（x1+x2）2-4x1x2<192． 64（n-1）2-16（m2-12）<192，
4n2-m2-8n+4<0．②
①代入②⇒n>1
2
．
又由△≥0得4（n-1）2-4×1
4
（m2-12）≥0，
①代入上式得n≤2．③
由n>1
2
，n≤2得
1
2
<n≤2．
∵n为整数，∴n=1，2．
∴m=2，4
∴y=2x+1，或y=4x+2．
遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑△≥0．
备考巩固练习
1．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．关于x•的一元二次方程x2-2b
（a+
2
2
c
b
）x+（a+b）2=0的两根之和与两根之积相等，D为AB上一点，DE∥AC•交BC•于E，
EF⊥AB，垂足是F．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若BF=6，FD=4，CE=2
3
CD，求CE的长．
2．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上,种植花木如图1
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD•地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？
（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一个花坛图案，•即在梯形内找到一点P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．
3．（1）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当DE
AE
=1时，有EF=
2
a b
+
；②当
DE
AE
=2时，有EF=
2
3
a b
+
；③当
DE
AE
=3时，
有EF=
3
4
a b
．当
DE
AE
=k时，参照上述研究结论，•请你猜想用k表示DE的一般结论，
并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，• DC=120cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案．
(1) (2)
答案:
1．（1）由x 1+x 2=x 1x 2
得2b （a+22c b
）=（a+b ）
2
2ab+c 2
=a 2
+b 2
+2ab
∴△ABC 是直角三角形． ∴c 2
=a 2
+b 2
（2）易证△EFD ∽△EDB ，
∴EF 2=DF ·DB=40． 设CE=x ，则CD=3
2
x ， ∴DE=（
32
x ）2-x 2
=40⇒
． 2．（1）∵四边形ABCD 是梯形（见图）． ∴AD ∥BC ，
∴∠MAD=∠MCB ， ∠MDA=∠MBC ， ∴△AMD ∽△CMB ，∴
AMD BMC S S ∆∆=（AD BC ）2=1
4
． ∵种植△AMD 地带花带160元． ∴
16080
=2（m 2） ∴S △OMB =80（m 2
） ∴△BMC 地带的花费为80×8=640（元）
（2）设△AMD 的高为h 1，△BMC 的高为h 2，梯形ABCD 的高为h ∵S △AMD =
1
2
×10h 2=20 ∴h 1=4 ∵
12h h =1
2
∴h 2
=8
∴S 梯形ABCD =
12（AD+BC ）·h=1
2
×30×12=180 ∴S △AMB + S △DMC =180-20-80=80（m 2
） ∴160+160+80×12=1760（元）
又：160+640+80×10=1600（元） ∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金． （3）点P 在AD 、BC 的中垂线上（如图）， 此时，PA=PD ，PB=PC ．∵AB=DC ∴△APB ≌△DPC ．
设△APD 的高为x ，则△BPC 高为（12-x ）， ∴S △APD =1
2
×10x=5x ， S △BPC =
1
2
×20（12-x ）=10（12-x ）． 当S △APD =S △BPC 即5x=10（12-x ）=8．
∴当点P 在AD 、BC 的中垂线上且与AD 的距离为8cm 时，S △APD =S △BPC ． 3．解：（1）猜想得：EF=
1a kb
k
++ 证明：过点E 作BC 的平行线交AB 于G ，交CD 的延长线于H ． ∵AB ∥CD ， ∴△AGE ∽△DHE ， ∴
DH DE
AG AE
=
． 又EF ∥AB ∥CD ，
∴CH=EF=GB ，∴DH=EF-a ，AG=b-EF ， ∴
EF a b EF --=k ，可得EF=1a kb
k
++．
（2）在AD 上取一点EF ∥AB 交BC 于点F ，
设
DE AB =k ，则EF=1703101k k ++，DE=701k
k
+，
若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=2S梯形DCFE ∵梯形ABCD、DCEF为直角梯形
∴170210
2
+
×70=2×
1
2
（170+
170310
1
k
k
+
+
）×
70
1
k
k
+
，
化简得12k2-7k-12=0，解得k1=4
3
，k2=-
3
4
（舍去）
∴DP=70
1
k
k
+
=40，所以只需在AD上取点E，使DE=40m，作EF∥AB（或EF⊥DA），即
可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．。