天津市南开区2020届高三下学期4月模拟考试数学试题(word版)
2020届天津南开中学高三第五次月考数学(文)试题Word版含解析
2020届天津南开中学高三第五次月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,5}，集合B={2,3,5}，则(∁U B)∩A=（）A．{2}B．{2,3}C．{1}D．{1,4}【答案】C【解析】算出C U B={1,4}后可得(C U B)∩A={1}.【详解】C U B={1,4}，所以(C U B)∩A={1}，选C.【点睛】本题考查集合的交补运算，属于基础题.2．实数x，y满足不等式组{x+y−2≥0x−y−2≤0y≥1，则目标函数z=x+2y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解目标函数的最小值，得到答案.【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数z=x+2y，可化为直线y=−12x+z2，当直线经过点B时，此时直线y=−12x+z2在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由{y=1x+y−2=0，解得B(1,1)，所以目标函数的最小值为z min=1+2×1=3，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．3．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )A．1 B．2 C．4 D．7【答案】C【解析】试题分析：第一次循环；第二次循环；第三次循环；结束循环，输出选C.【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4．若a=(12)13，b=log132，c=log123，则a，b，c的大小关系是（）A．b<a<c B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a【答案】D【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可得到答案. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得a =(12)13∈(0,1)，根据对数函数的图象与性质，可得b =log 132>log 133=−1，c =log 123<log 122=−1，所以c <b <a ，故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，合理得到实数a,b,c 的取值范围是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5．设x R ∈，则“1x <”是“20x x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由20x x -<，解得(-∞，由()(,1-∞⊆-∞，可知“1x <”是“20x x -<”的充分不必要条件，选A.6．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1(−c ，0)，F 2(c ，0)，若直线y =2x 与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．√5 B ．2 C ．√2+1 D ．√2−1【答案】C【解析】联立直线的方程和双曲线的方程，解得交点的横坐标，得到a,b,c 的方程，结合c 2=a 2+b 2和e =ca ，化简整理，即可得到双曲线的离心率. 【详解】由题意，把直线y =2x 代入双曲线的方程x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)， 可得x =，所以c =，又由c 2=a 2+b 2，整理得c 4−6a 2c 2+a 2=0，又由e =ca ，可得e 4−6e 2+1=0，解得e 2=3+2√2或e 2=3−2√2（舍去）， 即有e =1+√2，故选C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c 的值，代入公式e =ca；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．7．函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向左平移π3个单位后得到的函数为偶函数，则函数f (x )的图象（ ） A ．关于点(π12，0)对称 B ．关于直线x =π12对称 C ．关于点(π6，0)对称D ．关于直线x =π6对称【答案】A【解析】根据函数f (x )的最小正周期是π，求得w =2，即f (x )=sin (2x +φ)，再根据三角函数的图象变换求得g(x)=sin(2x +2π3+φ)，利用三角函数的对称性，求得φ=−π6，得到函数f (x )=sin (2x −π6)，再利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数f (x )=sin (ωx +φ)的最小正周期是π，即2πw=π，解得w =2，所以f (x )=sin (2x +φ)，将函数f (x )的向左平移π3个单位后得到函数g(x)=sin[2(x +π3)+φ]=sin(2x +2π3+φ)因为g (x )为偶函数，所以g(0)=sin(2π3+φ)=±1，即2π3+φ=π2+kπ,k ∈Z ， 解得φ=−π6+kπ,k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ=−π6， 所以f (x )=sin (2x −π6)，令2x −π6=kπ,k ∈Z ，解得x =π12+kπ2,k ∈Z ，令k =0，则x =π12，所以函数f (x )关于(π12，0)对称，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．在ΔABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =120°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点，若AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则实数λ=（ ） A ．619B ．738C ．514D ．37【答案】A【解析】在ΔABC 中，由余弦定理和面积公式、勾股定理，求得|BH |=√19和|CH |=√19，得到BH⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =719BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量的运算和平面向量的基本定理，即可求解. 【详解】在ΔABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =120°，由余弦定理可得BC 2=22+32−2×2×3cos1200=19，即BC =√19， 又由ΔABC 的面积为S =12|AB ||AC |sin1200=12×2×3×√32=3√32，所以12|BC |⋅|AH |=12×√19⋅|AH |=3√32，解得|AH |=√3√19，在RtΔABH 中，由勾股定理得|BH |=√|AB|2−|BH |2=√4−2719=√19，则|CH |=√19，所以BH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =719BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， 则AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +719BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=12[AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +719(AC⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )]=619AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +738AC⃑⃑⃑⃑⃑ ， 又由AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以λ=619，故选A.【点睛】本题主要考查了三角形余弦定理和面积公式的应用，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用余弦定理和面积公式，求得BH,CH 的值，再利用平面向量的运算和平面向量的基本定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题9．若(1+ai )2（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =_________. 【答案】±1【解析】利用复数的运算，求得(1+ai )2=1−a 2+2ai ，再根据复数为纯虚数，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，复数(1+ai )2=1+2ai +(ai)2=1−a 2+2ai ，又由复数为纯虚数，则1−a2=0，即a2=1，解得a=±1.【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的运算法则和复数的分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．函数f(x)=−12x2+lnx在[1e,e]上的最大值是________.【答案】−12【解析】利用导数求得函数的单调性，得到当x=1时，函数取得最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数f(x)=−12x2+lnx，可得函数的定义域为(0,+∞)，又由f′(x)=−x+1x =1−x2x，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x=1时，函数取得最大值，最大值为f(1)=−12.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及利用导数求解函数的最值问题，其中解答中熟练应用导数得到函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_________.【答案】3π2【解析】将四面体补成一个正方体，通过正方体的对角线与球的半径的关系，得到球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，将正四面体补形成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球，因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为√22，设球的半径为R，因为球的直径是正方体的对角线，即2R=(√22)(√22)(√22=√62，解得R=√64，所以球的表面积为S=4πR2=4π×(√64)2=3π2.【点睛】本题主要考查了有关求得组合体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长，得到球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.12．已知圆心在x轴正半轴上的圆被y轴截得的弦长为2√3，且与抛物线x2=8y的准线相切，则圆的方程是___________.【答案】(x−1)2+y2=4【解析】由圆心在x轴的正半轴上，可设圆M的标准方程为(x−a)2+y2=r2(a>0)，由弦长公式，可得r2=a2+(√3)2，再由圆M与抛物线的准线相切，求得r=2，进而得到a=1，即可求解圆的方程. 【详解】由题意，因为圆心在x轴的正半轴上，可设圆M的标准方程为(x−a)2+y2=r2(a>0)，如图所示，因为圆M被y轴截得的弦长为2√3，即|AB|=2√3，在直角ΔAOM中，由勾股定理可得|AM|2=|OM|2+|OA|2，即r2=a2+(√3)2，由抛物线的方程x2=8y，可得其准线方程为y=−2又由圆M与直线y=−2相切，所以r=2，将r=2代入r2=a2+(√3)2，可得22=a2+(√3)2，解得a=1，所以所求圆的方程为(x−1)2+y2=4.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中数列应用圆的弦长公式，以及直线与圆的位置关系，列出方程求得a,r 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．若正数a ，b 满足4a +3b −1=0，则12a+b+1a+b的最小值为_________.【答案】3+2√2【解析】设{m =2a +b n =a +b，解得a =m −n,b =2n −m ，又由4a +3b −1=0，得m +2n =1，再利用基本不等式，即可求解其最小值. 【详解】由题意，设{m =2a +b n =a +b，解得a =m −n,b =2n −m 其中m >0,n >0，因为4a +3b −1=0，所以4(m −n)+3(2n −m)−1=0，整理得m +2n =1， 又由12a+b+1a+b=1m+1n=(1m+1n)(m +2n)=3+2n m+m n≥3+2√2n m⋅m n=3+2√2，当且仅当2n m=mn ，即m =√2n 等号成立，所以12a+b +1a+b 的最小值为3+2√2. 【点睛】本题主要考查了换元法的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用换元法，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14．已知函数f (x )={√4−x 2，x ∈(−2,2]1−|x −3|，x ∈(2,4]满足f (x −3)=f (x +3)，若在区间[−4,4]内关于x 的方程3f (x )=k (x −5)恰有4个不同的实数解，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】(−2√217，−38)∪{0}【解析】由题意，把在区间[−4,4]内关于x 的方程3f (x )=k (x −5)恰有4个不同的实数解，转化为函数y =f (x )与y =k3(x −5)的图象在区间[−4,4]内有4个不同的交点，作出函数的图象，结合图象，分类讨论，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数f (x )满足f (x −3)=f (x +3)，即f (x )=f (x +6)，即函数f (x )是以6为周期的周期函数， 又由在区间[−4,4]内关于x 的方程3f (x )=k (x −5)恰有4个不同的实数解， 即在区间[−4,4]内关于x 的方程f (x )=k3(x −5)恰有4个不同的实数解，即函数y=f(x)与y=k3(x−5)的图象在区间[−4,4]内有4个不同的交点，又由函数f(x)={√4−x2，x∈(−2,2]1−|x−3|，x∈(2,4]，作出函数的图象，如图所示，由直线y=k3(x−5)，可知直线恒过点P(5,0)，当k=0时，此时直线y=0与函数y=f(x)的图象恰有4个交点，当直线过点A(−3,3)时，此时k3=1−0−3−5=−18，即k=−38，此时函数y=f(x)与直线y=k3(x−5)有5个同的交点，当直线y=k3(x−5)与半圆y=√4−x2相切时，此时圆心到直线kx−3y−5k=0的距离等于圆的半径，即22=2，解得k=−2√217或k=2√217（舍去），此时函数y=f(x)与直线y=k3(x−5)有3个同的交点，此时函数y=f(x)与直线y=k3(x−5)恰有4个同的交点，则−2√217<k<−38综上可知，实数k的取值范围是(−2√217，−38)∪{0}.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数的解析式和周期作出函数f(x)的图象，把方程的解答的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题.三、解答题15．某教研部门对本地区甲、乙、丙三所学校高三年级进行教学质量抽样调查，甲、乙、丙三所学校高三年级班级数量（单位：个）如下表所示。
2020届天津市南开区2017级高三下学期二模考试数学试卷参考答案
当 k=0 时，可得 m=0， 综上，m∈[0， 1 )．
2 （ⅱ）依题意有|QF1|=|QA|=|QB|，且 F1(–1，0)，
…………11 分
∴由
(
x
m)2 x2
y2 2y
(m 2 2，
1)2，消去
y，得
x2–4mx2–4m=0，
…………12 分
∴x1，x2 也是此方程的两个根．
∴x1+x2=4m=
i 1
pq p2n1
2n1
(1)i1 p q 2n1i i1 ] 2m–1
i 1
[1 ( q )2m1 ] 2n–1＞[1 ( q )2n1 ] 2m–1
p
p
[1
(
q
)2
1
m1]2m1
＞[1
(
q
1
)2n1]2n1
p
p
1 ln[1 ( q )2m1]＞ 1 ln[1 ( q )2n1]．
2m 1
p
2n 1
南开区高三年级模拟考试(二)参考答案 第 4 页（共 8 页） 2020届天津市南开区2017级高三下学期二模考试数学试卷
解得 d=2，q=2 或 d= 1 ，q=5， 2
由于{an}是各项都为整数的等差数列，所以 d=2，q=2． ………………4 分
从而 an=2n–1，bn=2n–1． （Ⅱ）∵log2bn=n–1，
（10）(0，2]； （11）2； （12）4；
（13）3，1；（第一个空 2 分，第二个空 3 分） （14）4；
（15）[0，2]，(–∞，–1]∪(3，+∞)．（第一个空 2 分，第二个空 3 分）
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
天津市南开区2020届高三数学第一次模拟考试 理(无答案)
南开区2020学年度第二学期高三年级总复习质量检测(一)数学试卷(理工类) 201 4．03本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ｉ卷1至3页，第II卷4至10页．祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么()()()P A B P A P B=+U ·如果事件A，B相互独立，那么()()()P AB P A P B=g·棱柱的体积公式V Sh=柱体，其中S表示棱柱的底面积， h表示棱柱的高·球的体积公式343V Rπ=球，其中R表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)若集合A={|10x x-≥}，B={|||2x x>}，则集合A BU等于( )．(A) {|1x x≥} (B) {|21x x x<->或}(C) {|22x x x<->或} (D) {|21x x x<-≥或}(2)已知实数x，y满足约束条件503x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y=+的最小值是（）.(A) 5 (B) -6(C) 10 (D) -l0(3)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于( )．(A) 7 (B) 15(C) 31 (D) 63(4)已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为43π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线310x y-+=被圆22(1)4x y-+=截得的弦长为23．其中真命题的序号是( )。
2020年天津南开外国语高级中学高三数学文月考试卷含解析
2020年天津南开外国语高级中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得：第1次循环：，不满足判断条件；第2次循环：，满足判断条件；终止循环，输出计算的结果，故选A．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出结果，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10. 已知矩形ABCD，AB=1，BC=。
将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直参考答案：A3. 关于函数（）的反函数，正确的是（）（A）有反函数（B）有反函数（C）有反函数（D）无反函数参考答案：B4. 已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率的值是（）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：由已知可知：点在轴上，设，∵，∴，即，在中，，由余弦定理有，由定义有: ，即，∴.考点：1.双曲线的标准方程；2.余弦定理.5. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2），则它的离心率为A．B．C．D．参考答案：C【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【详解】∵渐近线的方程是y=±x，根据对称性，图象也过∴2=?4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：C．6. 设等差数列的前n项和为.若，，则（）A．－32 B．12 C．16 D．32参考答案：D7. 如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数的部分图象，则可能是( )A． B．C． D．参考答案：C8. 下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．y=sin22x﹣cos22xC．y=sin2x+cos2x D．y=sin2xcos2x参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、周期性，得出结论．【解答】解：∵cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，故排除A；∵y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x，是偶函数，且，故B满足条件；∵y=sin2x+cos2x=sin（2x+）是非奇非偶函数，故排除C；∵y=sin2xcos2x=sin4x是奇函数，故排除D，故选：B．9. 若双曲线与椭圆（）的离心率之积大于1，则以为边长的三角形一定是（）A 等腰三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形参考答案：D略10. 则 ( )A．<< B．<< C． D．<<参考答案： C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在四棱柱ABCD ﹣A′B′C′D′中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA′⊥底面A′B′C′D′，AB=2，AA′=4，给出下面五个命题：①该四棱柱的外接球的表面积为24π；②在该四棱柱的12条棱中，与直线B′D 异面的棱一共有4条；③用过点A′、C′的平面去截该四棱柱，且截面为四边形，则截面四边形中至少有一组对边平行； ④用过点A′、C′的平面去截该四棱柱，且截面为梯形，则梯形两腰所在直线的交点一定在直线DD′上；⑤若截面为四边形A′C′NM，且M 、N 分别为棱AD 、CD 的中点，则截面面积为．其中所有是真命题的序号为 _________ ．参考答案：12. 在数列中，已知，，且数列是等比数列，则．参考答案：13. 记公差d 不为0的等差数列{a n}的前n 项和为S n ，S 3=9，a 3，a 5，a 8成等比数列，则公差d= ；数列{a n }的前n 项和为S n = ．参考答案：1，．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a 3，a 5，a 8成等比数列，即有a 52=a 3a 8，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列的求和公式，即可得到所求． 【解答】解：a 3，a 5，a 8成等比数列，即有a 52=a 3a 8， 即为（a 1+4d ）2=（a 1+2d ）（a 1+7d ）， 化简可得2d 2=a 1d ，（d≠0）， 即有a 1=2d ， 又S 3=9，可得3a 1+d=9，即a 1+d=3，解方程可得a 1=2，d=1，S n =na 1+n （n ﹣1）d=2n+n （n ﹣1）=．故答案为：1，．14. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，则双曲线的离心率为 ．参考答案：由题意知所以15. 将个相同的和个相同的共个字母填在的方格内，每个小方格内至多填个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 ▲ 种（用数字作答）参考答案：198略16. 运行右面框图输出的S 是254，则①应为_________.参考答案：略17. 若函数满足，且，则_.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题Word版含解析
1．设 U ∈ R ， A = {-2, -1,0,1,2}， B = {x x ≥ 1}，则 A I ð B = （2．若变量 x, y 满足约束条件 ⎨ x + y - 4 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是（ ）⎪ x - y ≥ 02020 届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题一、单选题U）A ． {1,2}C ． {-2, -1,0}B ． {-1,0,1}D ． {-2,-1,0,1}【答案】C【解析】先根据补集的定义求出 ðU B ，再由交集的定义可得结果.【详解】因为 U ∈ R ，B = {x x ≥ 1}，∴ð B = {x | x < 1}，U又因为 A = {-2, -1,0,1,2 }，∴ A I (ð B )= {-2, -1,0}，故选 C ．U【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 A 且不属于集合 B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.⎧ y ≤ 4⎪ ⎩A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个开放区域，如图其中 B(4,4), C(2,2) ，所以直线 z = 2x + y 过点 C 时取最小值 6，选 B.5，c=log25，则a,b,c的大小关系是（）【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3．设a=0.30.1，b=log13 A．a>b>cC．b>c>a 14B．a>c>bD．c>b>a【答案】D【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a,b,c的取值范围，从而可得结果.【详解】因为0<a=0.30.1<0.30=1，1=log1311<b=log3153=log5<log9=2,33c=log25>log42=2，44∴c>b>a，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看三个区间B．“∃x∈R，x2-x≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x≥0”2r r2，得l1//l2的充要条件是a=±(0,1),(1,2),(2,+∞)）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4．下列选项中说法正确的是（）r r r rA．若非零向量a，b满足a⋅b>0，则a与b的夹角为锐角000C．直线l:2ax+y+1=0，l:x+2ay+2=0，l//l的充要条件是a=11212D．在∆ABC中，“若sin A>sin B，则A>B”的逆否命题是真命题【答案】Dv v【解析】利用a，b同向的情况判断A；利用特称命题的定义判断B；利用l1//l2等价于a=±判断C；利用正弦定理边角互化以及原命题与其逆否命题的等价性判断D.【详解】v v v v对于A，a，b同向时，a与b的夹角为0，不是锐角，故不正确；对于B，“∃x0∈R，x-x≤0”的否定应该是“∀x∈R，x2-x>0”，故不正确；12对于C，l1//l2等价于4a2=1，即a=±1122，故不正确；对于D，Q sinA>sinB，∴由正弦定理可得a>b，由于大边对大角，∴A>B，即原命题正确，∴逆否命题是真命题，故正确，故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角、特称命题的否定、两直线平行的充要条件以及正弦定理边角互化的应用，属于中档题.做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.5．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则A．的值为（）B．C．D．【答案】D= 1(a > 0, b > 0 ) 的离心率为 ，过右焦点 F 作渐近线的垂线，垂足为 M ，B ． -C ． - = 1D ． - = 1由题意可得 e = = ①， 可得 = 1 - = ，+ b【解析】试题分析：又因为 是 与 的等比中项,所以，即 ,，解之得，所以，故选 D.【考点】1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前 项和.【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前 项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比 来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题.6．已知双曲线 x 2 y 2- a 2 b 2 3 2若 ∆FOM 的面积为 5 ，其中 O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（）A ． x 2 - 4 y 2 5= 1x 2 2 y 2 2 5= 1x 2 y 24 5 x 2 y 216 20【答案】C【解析】运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 F 到渐近线的距离为 b ，由勾股定理可得 OM = a ，运用三角形的面积公式，结合 a , b , c 的关系，解得 a, b ，即可求出双曲线方程．【详解】c 3 b c 2 a 2 a a 2设F (c,0 )，渐近线为 y = bx， a52可得F 到渐近线的距离为 MF =bca 2 2= b ，由勾股定理可得O M = | OF |2 - | MF |2 = c 2 - b 2 = a，所以双曲线的方程为 - = 1 ,故选 C.1因为 ∆FOM 的面积为 5 ，所以 ab = 5② ，2又a 2 +b 2 =c 2 ③，由①②③ 解得 b = 5, a = 2, c = 3，x 2 y 24 5【点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7．已知函数，若方程 在 上有且只有四个实数根，则实数 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】作出的函数图象如图所示：令得 或或⎧⎪ x 2 + 2, x ∈ [0,1)8．已知定义在 R 上的函数 f (x ) = ⎨⎪⎩2 - x 2 , x ∈ [-1,0 ) ，且 f x + 2 = f x ,若方程 f (x ) - kx - 2 = 0A ． ,1⎪B ． - , - ⎪C ． -1,- ⎪ U ,1⎪D ． - , - ⎪ U , ⎪3设直线与 在 上从左到右的第 4 个交点为 ，第 5 个交点为 ，、则∵方程在（ 上有且只有四个实数根， 即解得 .故选 B ．( ) ( )有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（）⎛ 1 ⎫⎝ 3 ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 1 ⎫ ⎝ 3 4 ⎭⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎝ 3 4 ⎭ ⎝ 4 3 ⎭【答案】C【解析】由 f (x + 2) = f (x )可得函数周期为 2，结合函数在 [-1,1]上的解析式，利用周期作出f (x )的函数图象,根据 y = f (x ) 和 y = kx + 2图象 交点个数判断 k 的范围.【详解】方程 f (x )- kx - 2 = 0 有三个不相等的实数根，等价于 y = f (x ) 和 y = kx + 2图象 有三个不同交点，由函数 f (x ) = ⎨ ，利用周期性作出 f (x )的函数图象，如图所示:当直线 y = kx + 2 过 (-3,1), (-1,1)时， k 的值分别为 与 1，由图可知， < k < 1 时直线 y = kx + 2 与 f (x )的图象有三个交点，∴ < k < 1 时, 方程 f (x ) - kx - 2 = 0 有三个不相等的实数根,同理,若 k < 0 ,可得 -1 < k < - 时，方程 f (x ) - kx - 2 = 0 有三个不相等的实数根,所以实数 k 的取值范围是 -1,- ⎪ U ,1⎪ ，故选 C.⎪3因为 f (x + 2) = f (x ),所以 f (x )的周期为 2，⎧ x 2 + 2, x ∈ [0,1) ⎪⎩2 - x 2, x ∈ [-1,0 )不妨设 k > 0,13131313⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝⎭ ⎝ 3 ⎭【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数 y = f ( x ) - g ( x ) 的零点 ⇔ 函数 y = f ( x ) - g ( x ) 在 x 轴的交点 ⇔ 方程 f ( x ) - g ( x ) = 0 的根 ⇔ 函数 y = f ( x ) 与y = g ( x ) 的交点.二、填空题9．已知复数 z 满足 1 - z 1 + z= -i ，则 z = ________.【答案】1【解析】化简原式，利用复数的乘法运算法则求得 z = i ，利用复数模的计算公式即可得结果.【详解】Q 复数 z 满足1 - z 1 + z= -i ，∴ (1- i) z = 1 + i ，∴ (1+ i)(1- i) z = (1+ i)(1+ i) ，即2z=2i，∴z=i，则z=1，故答案为1.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．在(2x-1)6的展开式中，含x3项的系数是________（请用数字作答）.【答案】-160【解析】先求出二项式(2x-1)6的展开式的通项公式，令x的指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的项的系数.【详解】(2x-1)6的展开式的通项公式为Tr+1令6-r=3⇒r=3，所以含x3的项是C3(2x)3⨯(-1)36=C r(2x)6-r⨯(-1)r=C r26-r x6-r⨯(-1)r，66=6⨯5⨯43⨯2⨯1⨯23⨯x3⨯(-1)=-160x3，∴含x3项的系数是-160，故答案为-160.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式Tr+1=C r a n-r b r；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查n各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11．已知直线ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为25，则ab的最大值为________.【答案】9 22几何关系，可求得外接球 O 的半径 R = r + ⎪ =2 + 1 = 5，，代入公式即可求球 O 的2【解析】由圆的方程得到圆的半径为 5 ,再由弦长为 2 5 得到直线过圆心,可得到 a 与 b 满足的关系式,再利用基本不等式即可得到结论.【详解】圆 x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0 可化为 ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 5 ,则圆心为 (1,2 ) ,半径为 r = 5 ,又因为直线 ax +by - 6=0(a > 0,b > 0)被圆 x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0 截得的弦长为 2 5 = 2r ,所以直线 ax +by - 6=0(a > 0,b > 0)过圆心,即 a + 2b - 6 = 0 ,化为 a + 2b = 6, a > 0, b > 0 ,∴ 6 = a + 2b ≥ 2 2ab ,当且仅当 a = 2b 时取等号,9 9 9∴ a b ≤ ,∴ a b 的最大值为 ,故答案为 .2 2 2【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键.12．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P - ABC 为鳖臑， P A ⊥ 平面 ABC ，P A = AB = 2, AC = 4 ，三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为__________.【答案】 20π【解析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且 P A ⊥ 平面 ABC ，可得 PC = 2 5 ，PB = 2 2 ．因为 V P BC 为直角三角形，可得 BC = 2 3 ，所以 PB ⊥ BC ，因此 AB ⊥ BC ，结合⎛ P A ⎫2⎝ 2 ⎭ 表面积。
2020届天津市南开区2017级高三高考一模考试数学试卷参考答案
联立
x 3x2
ty 1 4y2
12
，消去
x
整理得(3t2+4)y2+6ty–9=0，
有
y1+y2=
6t 3t2
4
，
……①
y1y2=
9
3t2
4
，
……②
………………7 分
由|MF| =2|FN|，得 y1=–2y2，……③
联立①②③得， 72t2 (3t2 4)2
9 3t2 4
，解得
t=
（Ⅱ）设 P(a，b，c)，由 BP = 2 PC1 ，得(a–1，b，c)= 2 (–a，1–b，1–c)，
解得 P( 2 –1，2– 2 ，2– 2 )，
∴ CP =( 2 –1，1– 2 ，2– 2 )，
设 PC 与平面 ABB1A1 所成角为， ∵平面 ABB1A1 的法向量为 n1=(0，1，0)，
南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 5 页（共 7 页）
知 e–f(e)–e=0，即 f(e)=ae–ea=0，f(e)=2a–aea–1=1，
解得 a=1．
………5 分
（Ⅱ）若函数 f(x)是(1，+∞)内的减函数，
则 f(x)=a(lnx+1)–axa–1≤0 在(1，+∞)恒成立．
∵a＞0，∴lnx+1–xa–1≤0 在(1，+∞)恒成立．
25 5
．
∴直线方程为 5x 2 y 5 0 ．
……………………10 分
（Ⅲ）设 P(x0，y0)，
当直线 l 与 x 轴重合时，∵点 P 在椭圆外，∴x0–2，x0+2 同号，
由|PM|·|PN|=|PF|2，得(x0–2)(x0+2)=(x0–1)2，解得
2020届天津市南开中学高三第五次月检测 数学(理)试题word版含答案
2020届天津市南开中学高三第五次月检测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2.已知实数满足不等式组，则的最小值为( )A ．-4B ．5C ．4D ．无最小值3.已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围( ) A ． B ． C ． D ．4.“考拉兹猜想”又名“猜想”或“奇偶归一猜想”，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果( )A ．4B ．5 C.6 D ．7 5.为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点( )A ．向左平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 {}|11M x x -<<{}2|2,N x x x Z =<∈M N ⊆N M ⊆{}0M N =I M N N =U ,x y 10320x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩2z x y =+:12p x +>:q x a >p ⌝q ⌝a 1a ≥1a ≤1a ≥-3a ≤-31n +i=2cos(2)6y x π=-2sin 2y x =12π12πC.向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度 6.等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前项的积为，则的最大值为( ) A ．B ． C.1 D ．2 7.设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若,，则双曲线的离心率为( ) ABD ． 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若复数，则__________. 10.设为正实数，满足，则的最小值是__________.11.已知，则二项式的展开式中的系数为__________.12.某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是______.13.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴6π6π{}n a 85322116n()2n Tn ≥n T 141222221(0,0)x y a b a b-=>>F F x l ,A B P O (),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r316λμ⋅=9832iz i-=-z =,,x y z 230x y z -+=2y xzsin a xdx π=⎰51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x -13C 13cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩αx的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，，若曲线上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数 ．14.已知抛物线的准线方程为，焦点为为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点在轴下方，若,则直线的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)已知的三个内角的对边分别为，其中，若锐角满足，求的面积. 16. 网购逐步走入百姓生活，网络（电子）支付方面的股票受到一些股民的青睐。
2020届天津市南开区高考一模数学试题解析
（Ⅱ）当 时，求直线 的方程；
（Ⅲ）若直线 上存在点 满足 成等比数列，且点 在椭圆外，证明：点 在定直线上．
答案：（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）详见解析．
（Ⅰ）根据题意得： ， ，及 ，解得 ，进而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）分两种情况：当直线 与 轴重合时，得 ，不合题意；当直线 与 轴不重合时，设直线 的方程为 ， ，联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得 ，由 ，得 ，组成方程组解得 ，进而可得直线 的方程；
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ，
且 ， ，
，
设 ，①
∴ ，②
①﹣②得 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
点评：
本题考查由 和 的关系求数列通项公式，由数列递推公式证明等比数列，以及错位相减求和的应用，计算量较大．
19．已知点 是椭圆 的右焦点，过点 的直线 交椭圆于 两点，当直线 过 的下顶点时， 的斜率为 ，当直线 垂直于 的长轴时， 的面积为 ．
∴ ，
解得： ，
则 ，即 为 的中点，
，即 ，
∴当二面角 的大小为 时， ．
点评：
本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的大小、满足二面角的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．
18．已知数列 的前 项和 ，数列 满足： ， .
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
∴ ．
故答案为： ， ．
点评：
本题考查平面向量在几何问题中的应用，涉及向量的数量积和向量夹角的余弦值，通过建系将问题坐标化是一种常见的求角或距离的解题方法，同时考查学生的转化思想和数形结合思想.
四、解答题
16．在 中， 分别为三个内角 的对边，若 的面积为 ， ， ．
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2019- 2020 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试()
数学试题2020.04
第I卷
参考公式:
柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高｡
锥体的体积公式V锥体=1
3
Sh,其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高
如果事件A,B互斥,那么,P(A∪B)=P(A) +P(B)｡
如果事件A, B相互独立,那么P(AB) =P(A)·P(B)｡
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},集合S={1, 3, 5},T={3, 6},则
U
ð(S∪T)等于( ) .
(A) ∅(B) {1,3, 5, 6} (C) {2, 4, 7} (D) {2, 4, 6}
(2)已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:x>a,且q的一个必要不充分条件是p,则实数a的取值范围是( )｡
(A) [1, +∞) (B) (-∞,1] (C) [-1, +∞)(D) (-∞,-3]
(3)为了调查学生的复习情况,高三某班的全体学生参加了一次在线测试;成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[20, 40), [40, 60), [60, 80), [80,100].若成绩在[60, 80)的人数是16,则低于60分的人数是()
(A) 6 (B) 12 (C) 15 (D) 18
(4)函数
sin
()
3cos
x
e x
f x
x
+
=
+
的部分图象可能是( )
(5)若圆C 的圆心在第一象限,圆心到原点的距离为5,
且与直线4x- 3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是( )｡
22()(1)(2)1A x y -+-=
22()(2)(1)1B x y -+-= 22()(1)(2)5C x y -+-=
22()(2)(1)5D x y -+-= (6)己知函数1()()2x x f x e e -=-,设212(0.31),(log 0.31),(2ln 2)a f b f c f ==-=n2),则a,b, c 的大小关系是( )｡
(A) a>c> b (B) a>b> c (C) b>c> a (D)b a>c
(7)已知函数f(x) =Acos(ωx+φ) (ω>0, -π<φ<0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为( )
5()()2cos()12
A f x x π=- ()()2cos(2)3
B f x x π=- 5()()2cos(2)6
C f x x π=-
5.()2cos(3)6D f x x π=- (8)已知点A 是抛物线2
4y x =与双曲线22
213x y b -=(b>0)的一个交点.若抛物线的焦点为F,且|AF|=4,则点A 到双曲线两条渐近线的距离之和为( )｡
()26A (B) 4 ()23C (D) 2
(9)已知函数2
32,0()1(1)2,0x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++⎩
＞,若方程f(x)=ax 有4个不同的实数根,则实数a 的取值范围是()
(A) (-1, 0) (B) (0, 1) (C) (0, 1] (D)(1, +∞)
第II 卷
二､填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分｡请
将答案填在题中横线上.
(10) 若212
i a i ->-(i 是虚数单位, a 是实数),则a=____ (11)二项式35()x x
的展开式中,常数项为_____ (12)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,D 是1CC 上一点,设四棱锥11D A ABB -的体积为1,V 三棱柱
111ABC A B C -的体积为V 2,则12:V V =
______.
(13)甲､乙两名枪手进行射击比赛,每人各射击三次,甲三次射击命中率均为45
;乙第一次射击的命中率为7,8若第一次未射中,则乙进行第二次射击,射击的命中率为3,4
如果又未中,则乙进行第三次射击,射击的命中率为1.2
乙若射中,则不再继续射击｡则甲三次射击命中次数5的期望为_____,乙射中的概率为_____. (14)已知存在正数a,b 2
242log (1)ab b x +>-成立,则x 的取值范围____. (15)在平面四边形ABCD 中, AB=BC=2CD=2,∠ABC=60°,∠ADC=90°,若BE =
u u u r ,EF FG GC ==u u u r u u u r u u u r 则2AE DC AE AF ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ____;若P 为边BC 上一动点,当PA PC ⋅u u u r u u u r 取最小值时,则cos ∠PDC 的值为____. 三､解答题:(本大题共5个小题,共75分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算少骤)
(16) (本小题满分14分)
在△ABC 中,a, b,c 分别为三个内角A, B, C 的对边,若△ABC 的面积为
3323cos cos 0.a C A -= (1)求c 及cosA;
(II)求cos (2A-C)的值｡
(17) (本小题满分15分)
在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ，(1,AB AC AA AB ==⊥AC, p 为线段1BC 上一点.
(1)若1,BP PC =求PC 与1AA 所成角的余弦值;
(II)若12,BP PC =求PC 与平面11ABB A 所成角的大小;
(III)若二面角A|-AC-P 的大小为45°，求
1BP PC 的值｡
(18) (本小题满分15分)
已知数列{}n a 的前n 项和2.2
n n S n +=数列{}n b 满足:*11212,2()n n n b b b b n ++===∈N ( I)求数列{},{}n n a b 的通项公式;
(II)求
*21121)()(i i i i
n a b n b -=-∈∑N .
(19) (本小题满分15分) 已知点F 是椭圆22
22:1(x y C a a b
+=>b>0)的右焦点,过点F 的直线I 交椭圆于M,N 两点.当直线l 过C 的下顶点时, l 3,当直线l 垂直于C 的长轴时,△OMN 的面积为
3.2 (I)求椭圆C 的标准方程;
(II)当|MF| =2|FN|时, 求直线l 的方程;
(III) 若直线l 上存在点P 满足|PM|, |PF|, |PN|成等比数列,且点P 在椭圆外,证明:点P 在定直线上｡
(20) (本小题满分16分)
已知函数()n ,a f x axl x x =-其中a ∈R .
( I )若曲线y=f(x)在点(e, f(e))处的切线方程为x-y-e=0,其中e=2.71828…是自然对数的底数,求a 的值: (II)若函数f(x)是(1, +∞)内的减函数,求正数a 的取值范围;
(III)若方程f(x) =0无实数根,求实数a 的取值范围.。