湖南省娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高二基础知识考试数学试卷
湖南省娄底市2019-2020学年新高考高二数学下学期期末监测试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()ln f x x =过原点的切线的斜率为（ ）A ．1eB ．1C ．eD ．2e2．正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 14a =，且6542a a a =+，则14m n +的最小值是( )A ．32B ．2C ．73D ．2563．已知{}2|230A x x x =--<，{}|B x x a =<，若A 包含于B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．[)3,+∞ C ．()3,+∞ D ．(],3-∞4．已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知某批零件的长度误差ξ（单位mm ）服从正态分布2(0,4)N ，若(44)0.6826P ξ-<≤=，(88)0.9544P ξ-<≤=，现从中随机取一件，其长度误差落在区间(4,8)内的概率(48)P ξ<<=（ ） A ．0.0456 B ．0.1359 C ．0.2718 D ．0.31746．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+>B ．m n mn m n ->>+C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．若复数2()m m mi -+为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．159．函数sin y x x =在[,]-ππ的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．10．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种11．过点()1,2P ，且与直线230x y -+=平行的直线的方程为（ ）A ．20x y -=B ．210x y -+=C ．210x y --=D ．20x y +=12．若()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B 2C ．2D ．4二、填空题：本题共4小题13．已知集合(){}22,1M x y x y ≤=+，若实数,λμ满足：对任意的(),x y M ∈，均有(),x y M λμ∈，则称(),λμ是集合M 的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①(){},1λμλμ+=； ②()22,143λμλμ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭； ③(){}22,2λμλμ-=； ④(){}2,4λμλμ=．14．如图，E是正方体1111ABCD A B C D-的棱11C D上的一点，且1//BD平面1B CE，则异面直线1BD与CE所成角的余弦值为______．15．若实数x，y满足221x y+=，则xy的取值范围是__________；16．已知|a|=1，()b=13，，()b a a-⊥，则向量a与向量b的夹角为_______________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖南省娄底市2019-2020学年高二下学期期末数学试题(wd无答案)
湖南省娄底市2019-2020学年高二下学期期末数学试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则( )A．B．C．D．(★) 2. 已知向量，，且，则的值为（）A．-6B．6C．D．(★) 3. 设复数满足，则（）A．5B．C．2D．1(★) 4. 若随机变量服从正态分布，则（）附：，．A．0．3413B．0．2718C．0．1587D．0．0228 (★★★) 5. 函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．(★) 6. 已知，那么命题的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知，，，则的最大值为（）A．B．C．4D．8(★★★) 8. 函数的图象可能是( )A．B．C．D．(★★★) 9. 记等差数列的前项和为.若，，则（）A．45B．75C．90D．95(★★★) 10. 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于A．30°B．45°C．60°D．90°(★★★) 11. 某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（）A．150B．240C．360D．540(★★★) 12. 已知函数，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 二项式的展开式中的系数是_______.(★★★) 14. 曲线: 在点处的切线方程为_______________.(★★) 15. 已知数列的前项和为且，则______.(★★★) 16. 以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .三、解答题(★★★) 17. 已知在等比数列中, ,且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足,求的前项和.(★★★) 18. 已知，，是中角，，的对边，且.（1）求角的大小；（2）若的面积，，求的值.(★★★) 19. 如图，三棱锥中，平面，，．分别为线段上的点，且．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．(★★★) 20. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为 k的直线 l过点且与椭圆交于 C， D两点.（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为直线，的斜率，当 k变动时，是否为定值？说明理由. (★★★) 21. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E( X)及方差 D( X)．(★★★) 22. 已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；。
湖南省娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学试题
湖南省娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有（ ） A ．37种B ．1848种C ．3种D ．6种2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．2log ||y x =B ．21x y =-C ．ln y x =D ．21y x =+3．8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A ．38B ．83C ．38AD ．38C4．6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为（ ） A ．66AB ．333AC ．3333A A ⋅ D ．4343A A ⋅5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A =( ) A ．18B ．14C ．25D ．126．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为（ ） A ．81B ．60C ．6D ．117．天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.568．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7 B ．0.6C ．0.4D ．0.39．已知(1n +的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n 的值为（ ）A ．14B ．10C ．14或23D ．10或2310．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．11．已知函数()22,0()ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-12．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭13．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）14．在189x ⎛+ ⎝展开式中，常数项为展开式的第_____项.15．书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有_____种不同的插法（具体数字作答）16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围________.17．一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.若这台机器在3个工作日内，不发生故障，可获利5万元；发生1次故障可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次故障要亏损1万元.这台机器在3个工作日内可能获利的均值是多少？18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(2,)m a c b =-u r与向量(cos ,cos )n C B =r共线.（1）求B ；（2）若b =3a =，且2AD DC =uuu r uuu r，求BD 的长度.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =. （1）求证：1AA ⊥平面ABC ； （2）求二面角111A BC B --的余弦值.20．2019年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行，此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”，旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源.保护海洋生物多样性的认识，为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”，为了响应世界海洋日的活动，2019年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩（得分都在区间[50,100]内）绘制成如图所示的频率分布直方图.若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励，最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.（1）求所抽取的3人不属于同一组的概率；（2）记这3人中，ξ为测试成绩在[90,100]内的人数，求ξ的分布列和数学期望.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）过原点且不与坐标轴重合的直线l 与C 有两个交点,A B ，点A 在x 轴上的射影为M ，线段AM 的中点为N ，直线BN 交C 于点P ，证明：直线AB 的斜率与直线AP 的斜率乘积为定值.22．已知函数(1)()ln ,1a x f x x x R x -=-∈+ ． （1）若x=2是函数f （x ）的极值点，求曲线y=f （x ）在点（1,f （1））处的切线方程； （2）若函数f （x ）在(0,)+∞ 上为单调增函数，求a 的取值范围； （3）设m ，n 为正实数，且m>n ，求证：ln ln 2m n m nm n -+<- ．参考答案1．A 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类进行求解. 【详解】取法分为三类：第一类：从语文书中取1本，有12种取法；第二类：从数学书中取1本，有14种取法；第三类：从英语书中取1本，有11种取法；所以共有12+14+11=37种取法. 故选：A. 【点睛】本题主要考查分类加法原理，合理分类是求解的关键，题目比较简单. 2．A 【解析】 【分析】根据选项逐个验证，得出答案. 【详解】由于21xy =-，ln y x =是非奇非偶函数，21y x =+是偶函数但没有零点，只有2log ||y x =是偶函数又有零点.故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的性质，函数的奇偶性一般利用定义进行判定，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】利用分步计数原理进行求解. 【详解】冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果. 故选：A.【点睛】本题主要考查分步计数原理，题目较为简单，分清是分步计数原理和分类计数是求解关键. 4．D 【解析】 【分析】利用捆绑法进行求解. 【详解】甲、乙、丙3人站在一起有33A 种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有44A 种，共有3434A A ⋅种.故选：D. 【点睛】本题主要考查排列问题，相邻问题一般利用捆绑法求解，侧重考查数学建模的核心素养. 5．B 【解析】 【分析】先求得()P A 和()P AB 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意()22322542105C C P A C +===,()22251=10C P AB C =,故()|P B A =()()1110245P AB P A ==.故选B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】至少有2件一等品包含三类：恰有2件一等品，恰有3件一等品，恰有4件一等品.分别求解再相加即可. 【详解】分三类：恰有2件一等品，有224560C C =种取法；恰有3件一等品，有314520C C =种取法；恰有4件一等品，有441C =种取法.所以抽法种数为6020181++=.故选：A. 【点睛】本题主要考查组合问题，合理分类是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 7．C 【解析】 【分析】两地中恰有一个地方降雨分为两种情况：甲地降雨乙地不降雨，乙地降雨甲地不降雨，分别求解然后求和可得结果. 【详解】因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.2(10.3)(10.2)0.30.38⨯-+-⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查事件的独立性，把事件分解为独立事件的积、互斥事件的和，是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 8．B 【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-Qp 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p Q ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题． 9．C【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求出第9项、第10项、第11项的二项式系数，再结合等差中项求解. 【详解】由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---，化简得2373220n n -+=，解得14n =或23n =【点睛】本题主要考查二项式定理，明确二项式系数为rn C 是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10．B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 11．D 【解析】 【分析】先根据函数解析式作出函数图象，结合图象得出a 的取值范围. 【详解】作出()y f x =的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使|()|ax f x ≤，则0a ≤，且22(0)ax x x x ≤-<，即2a x ≥-对任意0x <恒成立，所以2a ≥-.综上，20a -≤≤.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的性质，结合图象求解恒成立问题的关键是准确作出图象，侧重考查数学抽象的核心素养. 12．D 【解析】 【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a 的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】绘制函数()12,021,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图所示，令()f x t =，由题意可知，方程230t t a -+=在区间()1,2上有两个不同的实数根， 令()()2312g t t t a t =-+<<，由题意可知：()()113024603990242g a g a g a ⎧⎪=-+>⎪⎪=-+>⎨⎪⎛⎫⎪=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，据此可得：924a <<. 即a 的取值范围是92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13．480 【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245480A A =（种）. 【考点定位】排列 14．13 【解析】 【分析】先求出189x ⎛+ ⎝的通项公式，再令指数为零可得常数项为展开式的第13项.【详解】由题意181181831818219()3(9)rr r r r r r r T C x C x ---+==，由题意得31802r -=，解得12r =，所以在189x ⎛+ ⎝展开式中，常数项为展开式的第13项.故答案为：13.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式，通项公式是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 15．504 【解析】 【分析】利用定序相除法进行求解，先求9本书的所有排法，再求原来6本书的排法，相除可得结果. 【详解】原来的6本书，加上新买的3本书，随意排列共有99A 种排法，原来的6本书随意排列共有66A 种排法，而原来特有的顺序只有1种，所以共有9966=987=504A A ⨯⨯种方法.故答案为：504. 【点睛】本题主要考查排列问题，特定顺序要求的排列问题，一般是利用定序相除法来求解，侧重考查数学建模的核心素养. 16．16ln 326m e +≤≤【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性,可得02ln 6mx x ≤-≤ 对[]1,3x ∈ 恒成立,通过参变分离即得ln 2x m x ≥且6ln 2xm x+≤对[]1,3x ∈ 恒成立,求得相应的最大值和最小值,从而得到m 的取值范围.【详解】解:Q 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=()f x ∴ 为偶函数Q 对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立()f x ∴在[0,)+∞ 上单调递减,在(,0)-∞ 上单调递增由()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立得()2ln 3(3)f mx x f --≥在[]1,3x ∈上恒成立32ln 33mx x ∴-≤--≤在[]1,3x ∈上恒成立,即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立此时ln 2x m x ≥且6ln 2xm x +≤对[]1,3x ∈ 恒成立 设ln ()x g x x =,则令1ln '()0xg x x-==,解得x e = ()g x ,'()g x 随x 的变化如下表∴ 当x e =时,max 1()g x e = 12m e∴≥设6ln ()x h x x +=,则当[]1,3x ∈时,25ln '()0xh x x --=< ∴ ()h x 在[1,3] 上单调递减,即当3x = 时,min 6ln 3()(3)3h x h +==则6ln 36m +≤.综上所述, 16ln 326m e +≤≤ 故答案为:16ln 326m e +≤≤. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的单调性在解抽象不等式得应用,考查了运用导数求最值的方法. 若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有()()12120f x f x x x -<-成立,说明()f x 在区间D 上为减函数; 若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有()()12120f x f x x x ->-成立,说明()f x 在区间D 上为增函数.在解抽象不等式时,常常利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.对于含参不等式在某区间上恒成立时,常常采用参变分离的方法,通过求出分离参数后函数的最大值或者最小值,来确定参数的取值范围.17．4.2515 【解析】 【分析】先求所有可能获利的情况，然后再求解每种情况对应的概率，结合期望公式可求均值. 【详解】设这台机器3个工作日内可能获利X 万元， 则X 的可能取值为5、2.5、0、1-3(5)(10.1)0.729P X ==-=123( 2.5)0.1(10.1)0.243P X C ==⋅⋅-= 223(0)0.1(10.1)0.027P X C ==⋅⋅-=3(1)0.10.001P X =-==X 的分布列如下：所以，这台机器在3个工作日内可能获利的均值为()50.729 2.50.24300.027(1)0.001E X =⨯+⨯+⨯+-⨯3.6450.607500.0014.2515=++-=（万元）【点睛】本题主要考查随机变量的期望，求解随机变量的所有可能值及其相应概率是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．（1）3B π=（2）BD =【解析】 【分析】（1）根据共线得到(2)cos cos a c B b C -=，利用正弦定理化简得到答案.（2）根据余弦定理得到9c =，cosC =，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】（1）∵(2,)m a c b =-u r 与(cos ,cos )n C B =r共线，∴(2)cos cos a c B b C -=.即(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin cos sin()sin A B B C A =+= 即sin (2cos 1)0A B -=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵(0,)B π∈，∴3B π=.（2）b =3a =，3B π=，在ABC V 中，由余弦定理得：22229631cos 2232a cbc B ac c +-+-===⨯⨯，∴23540c c --=.则9c =或6c =-（舍去）.∴222cos2a b c C ab +-===∵2AD DC =uuu r uuu r ∴13DC b ==在BDC V 中，由余弦定理得：2222cos 972319BD CB DC CB DC C =+-⋅=+-⨯=，∴BD =【点睛】本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力. 19．（1）见解析（2）1625【解析】 试题分析：本题考查线面垂直的判定和二面角的求法．（1）利用面面垂直的性质证明即可．（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解． 试题解析：(1)证明：因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥.又平面ABC ⊥平面11AAC C ，平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC .（2）由（1）知1AA AC ⊥，1AA AB ⊥， 又3,5,4AB BC AC ===，所以AB AC ⊥. 所以1,,AA AB AC 两两垂直．以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则()()()110,3,0,0,0,4,0,3,4B A B ，()4,0,4C . 设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =v，则11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u uv v 即34040y z x -=⎧⎨=⎩， 令3z =，则得()0,4,3n =v．同理可得平面11B BC 的法向量为()3,4,0m v=，所以16cos ,25n m n m n m ⋅==v vv vv v . 由图形知二面角111A BC B --为锐角， 所以二面角111A BC B --的余弦值为1625． 点睛：用法向量法求二面角的大小时，两个法向量的夹角与二面角大小不一定相等，这里有两种情形，即法向量的夹角可能与二面角相等，也可能互为补角．解题时，在求得两个法向量的夹角的基础上，再根据所给的图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再得出二面角的大小． 20．（1）45；（2）分布列见解析，1.2. 【解析】【分析】（1）先根据分层抽样求出两组的人数，再根据古典概率求解所抽取的3人不属于同一组的概率；（2）先求ξ的所有取值，再求解分布列和数学期望. 【详解】认为“成绩优秀”的被测验学生共有两组，其频率分布为0.24，0.16，根据分层抽样的方法可知，两组抽取的人数分别为6人，4人.（1）从10人中任选3人，有310C 种不同情况，抽取的3人不属于同一组的情况有21126464C C C C +，故所抽取的3人不属于同一组的概率为2112646431045C C C C P C +==； （2）由条件可得ξ的取值可能有0，1，2，3，且363101(0)6C P C ξ===，21641301(1)2C C P C ξ===，23164103(2)10C C P C ξ===，343101(3)30C P C ξ===.ξ∴的分布列为ξ∴的数学期望为11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查古典概率和随机变量的分布列及期望，准确求解随机变量对应值的概率是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.21．（I ）22143x y +=（II ）定值1-【解析】试题分析：（1）（I ）由题意知， C 的焦点坐标为()10±，，利用定义求解,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（II ）设()()()112212,,,A x y P x y x x ≠，则()1111,,,2y B x y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由点,A P 在椭圆C 上得，两式相减得，得111133224BNy y k x x ==⋅， 1212BP y yk x x +=+.因为,,B N P 三点共线，所以BN BP k k =，即可证得AB AP k K ⋅为定值. 试题解析：（I ）由题意知， C 的焦点坐标为()10±，，532422a ==+=，b =所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （II ）设()()()112212,,,A x y P x y x x ≠，则()1111,,,2y B x y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由点,A P 在椭圆C 上得， 12122222143{143x y x y +=+=，两式相减得， 1222122234y y x x -=--.111133224BNy y k x x ==⋅， 1212BP y y k x x +=+.因为,,B N P 三点共线，所以BN BP k k =，即11211243y y y x x x +=⋅+. 11212121212112121212124413x 3AB AP y y y y y y y y y k K x x x x x x x x --+-∴⋅=⋅=⋅⋅=⋅=---+-，为定值. 22．(1)810x y +-= (2)2a ≤ 【解析】试题分析：（1）导函数为()()()222211x a x f x x x ++'-=+，由(2)0f '=，解得并检验94a =，再求得1(1)8k f '==，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程。
精品解析：湖南省娄底市2019-2020学年高二下学期期末数学试题(解析版)
2020年上学期高二期末考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知集合{|(1)(3)0}=+-<A x x x ，{1,2,3}B =，则A B =( )A. {|13}x x -<<B. {|12}x x ≤≤C. {1,2,3}D. {1,2}【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A 的具体范围，然后求两个集合的交集，从而得出正确选项 【详解】由()()130x x +-<解得13x，故{}1,2A B =.故选D.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2. 已知向量()2,1a =，()3,b x =，且a b ⊥，则x 的值为（ ） A. -6 B. 6C.32D. 32-【答案】A 【解析】 【分析】根据a b ⊥，利用数量积的坐标运算由230x ⨯+=求解. 【详解】已知向量()2,1a =，()3,b x =， 因为a b ⊥， 所以230x ⨯+=， 解得6x =- 故选：A【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 3. 设复数z 满足()(1)2z i i i -+=，则||z =（ ）A. 5B.C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算将复数化简，然后求模即可. 【详解】由()()12z i i i -+=， 得2121iz i i i=+=++， 则5z =. 故选B.【点睛】本题考查复数的四则运算和复数模长的计算公式，属于简单题. 4. 若随机变量ξ服从正态分布(0,4)N ，则(2)P ξ>=（ ）附：()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=． A. 0．3413 B. 0．2718C. 0．1587D. 0．0228【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性，以及(22)0.6826P ξ-<<=，可得结果. 【详解】10.6826(2)0.15872P ξ->==， 故选：C【点睛】本题考查正态分布，重点把握正态曲线的对称性，属基础题. 5. 函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】C 【解析】试题分析：可以求得，所以函数的零点在区间(2,3)内．故选C ．考点：零点存在性定理．6. 已知2:0-<p x x ，那么命题p 的一个必要不充分条件是（ ）A. 01x <<B. 11x -<<C.1223x << D.122x <<【答案】B 【解析】【详解】解 : p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<1,则比该集合大的集合都是符合题意的，所以选择B 7. 已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ） A.32B.94C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可． 【详解】解：0a >，0b >，8ab =， 则22log log a b 222(log 8log )log b b =- 22(3log )log b b =-2223log (log )b b =- 22939log 424b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．当且仅当322b =时，函数取得最大值94． 故选：B ．【点睛】本题考查对数运算法则以及函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题． 8. 函数()ln xf x x=的图象可能是( ) A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性，再利用特殊点的函数值符号的正负进行排除即可. 【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为}{0x x ≠，其定义域关于原点对称， 因为()()ln ln x xf x f x x x--==-=--，故()f x 为奇函数，故选项B 、C 排除； 又()ln1101f ==，()ln 0e f e e=>，故选项D 排除； 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别、函数奇偶性的判断；考查运算求解能力和识图能力；熟练掌握函数奇偶性的定义和性质是求解本题的关键；属于中档题.9. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（ ） A. 45 B. 75C. 90D. 95【答案】B 【解析】 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案.【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B.【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.10. 直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ∥A 1B ，∠EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC 1为正三角形，∴∠EC 1B 为60，故选C ．11. 某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A. 150 B. 240 C. 360 D. 540【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有1225422215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有33(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故选A ．考点：排列、组合的应用．【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．12. 已知函数()1212log ,182,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ） A. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 150,8⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，设()()f a f b k ==，则(]2,4k ∈.由122log a k +=，2bk =，得212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log b k =，221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.设函数()221log 2x x x g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(]2,4x ∈，结合函数图像，即可求得答案.【详解】函数()f x 的图象如下图所示.设()()f a f b k ==，则(]2,4k ∈.由122log a k +=，2bk =，得212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log b k =，∴221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.设函数()221log 2x x x g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(]2,4x ∈，()g x 在(]2,4上单调递增，∴()()()24g g x g <≤，即()704g x <≤， ∴70,4b a ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦.故选：B.【点睛】本题考查函数的性质，解题关键是掌握函数的基础知识，查运算求解能力以及数形结合思想，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 二项式91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是_______. 【答案】-84 【解析】【分析】由展开式通项公式求出项数，再计算系数．【详解】二项式91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令923r -=，3r =，所以3x 的系数为339(1)84C -=-，故答案为：84-．【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开通项公式，属于基础题． 14. 曲线C :ln y x x =在点(),M e e 处的切线方程为_______________. 【答案】y=2x ﹣e 【解析】'ln 1y x =+，'|ln 12x e y e ==+=，所以切线方程为2()y e x e -=-，化简得20x y e --=.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且()*32n n S a n N =-∈，则5a=______.【答案】8116【解析】 【分析】根据公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得数列{}n a 是以32q =为公比，11a =的等比数列，再写出{}n a 的通项公式，最后利用通项公式求解即可.【详解】解：根据公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得当1n =时，11132a S a ==-，解得11a =；当2n ≥时，()()111323233n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 即123n n a a -=，所以()1322n n a n a -=≥， 所以数列{}n a 是以32q =为公比，11a =的等比数列， 所以11132n n n a a q--⎛⎫== ⎪⎝⎭所以45381216a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=故答案为：8116【点睛】本题考查等比数列n S 与n a 的关系，是中档题.16. 以双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .【解析】【详解】试题分析：由题意得a b =，又22222c a b a =+=，则c =所以离心率为ce a==考点：双曲线渐近线三、解答题（共70分）17. 已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.【答案】(1) 12n n a (2) n S 221n n =+-【解析】 【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-, 即()2211q q =+-, 解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦()12112212n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18. 已知a ，b ，c 是ABC 中角A ，B ，C 的对边，且23cos cos 23sin sin 2cos B C B C A +=+. （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值. 【答案】（1）3A π=；（2）57. 【解析】 【分析】（1）先根据余弦的和角公式得23cos()22cos B C A ++=，进而利用三角形角的关系得22cos 3cos 20A A +-=，解方程即可得1cos 2A =，故3A π=；（2）结合（1）与面积公式得20bc =，再根据5b =得4c =，进而根据余弦定理公式得a =用正弦定理即可5sin sin sin sin 7b c B C A A a a =⨯=. 【详解】（1）由23cos cos 23sin sin 2cos B C B C A +=+， 得23cos()22cos B C A ++=.即22cos 3cos 20A A +-=.即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=. 解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）. 因为0A π<<，所以3A π=.（2）由13sin 5324S bc A bc ===，得20bc =. 因为5b =，所以4c =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得212516220212a =+-⨯⨯=，故21a =. 根据正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===， 得5sin sin sin sin 7b c B C A A a a =⨯=.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查方程思想与数学运算能力，是中档题. 19. 如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2,22CD DE CE EB ====．(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A PD C --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（23【解析】【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由PC ⊥平面ABC ，可知PC DE ⊥，再分析已知由2,2DC DE CE ===得CD DE ⊥，这样与DE 垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于2ACB π∠=，PC ⊥平面ABC，因此,,CA CB CP 两两垂直，可以他们为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面APD 和平面CPD 的法向量12,n n ，向量12,n n 的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论．试题解析：（1）证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ＡＢＣ，故PC ⊥DE 由CE ＝２，CD=DE ＝２得∆ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD ⊥DE 由PC CD=C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD （2）解：由（１）知，∆CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝4,π，如（１９）图，过点Ｄ作DF 垂直CE 于Ｆ，易知DF ＝FC ＝EF ＝１，又已知EB ＝１，故FB ＝２． 由∠ACB ＝2,π得DF //AC ，23DF FB AC BC ==，故AC ＝32DF ＝32． 以Ｃ为坐标原点，分别以,CA CB CP ， 的方程为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（32,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），(1,1,0),ED =- (1,1,3)(,1,0)DP DA １，２=--=-设平面PAD 的法向量111,,)n x y z １＝（， 由0n DP ⋅=１，0n DA ⋅=１，得11111130{(2,1,10+)12x y z n x y 故可取--==-=.由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取为ED ,即2(1,1,0)n =-. 从而法向量1n ，2n 的夹角的余弦值为1212123,=6||||n n cos nn n n ⋅〈〉=⋅，故所求二面角A-PD-C 考点：考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力．20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>点()0,2A -在椭圆上，斜率为k 的直线l 过点()0,1E 且与椭圆交于C ，D 两点. （1）求椭圆的方程；（2）设1k ，2k 分别为直线AC ，AD 的斜率，当k 变动时，1k ⋅2k 是否为定值？说明理由.【答案】（1）22164x y +=；（2）1k 2k 是定值；答案见解析. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的半焦距为c . ()0,2A -在椭圆上由22232c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩求解.（2）设直线l 的方程为1y kx =+，由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2232690k x kx ++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，根据()0,2A -，得到1112y k x +=，2222y k x +=，然后相乘，并将韦达定理代入求解.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c . ∵椭圆的离心率为3，点()0,2A -在椭圆上，∴2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩.解得a =2b =，c =∴椭圆的方程为22164x y +=.（2）当k 变动时，12k k 为定值－2. 证明如下：设直线l 的方程为1y kx =+.由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2232690k x kx ++-=. 设()11,C x y ，()22,D x y ， 则122632kx x k +=-+，122932x x k =-+. 因为()0,2A -， 所以1112y k x +=，2222y k x +=， 所以()()12121212123322kx kx y y k k x x x x ++++=⋅=， ()212121239k x x k x x x x +++=，222639322932k k k k k ⎛⎫⋅-+ ⎪+⎝⎭=+=--+. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系，定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )． 【答案】(1)0.108.(2) 1.8，0.72. 【解析】试题分析：（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出1()0.6P A =，2()0.15P A =，利用事件的独立性即可求出()P B ；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D （X ）的值.（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= . 2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（2）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为 X123因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.22. 已知函数()2ln f x x x x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2(1)12af x x ax <-+-恒成立；【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可； 解析：（1）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=＞，由f'（x ）＜0，得2x 2﹣x ﹣1＞0．又x ＞0，所以x ＞1，所以f （x ）的单调递减区间为（1，+∞），函数f （x ）的单增区间为（0，1）． （2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()()2111'1ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=，因为a≥2，所以()()11'a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，令g'（x ）=0，得1x a =，所以当()10'0x g x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，＞，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，g'（x ）＜0， 因此函数g （x ）在10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，是增函数，在1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，是减函数， 故函数g （x ）的最大值为()2111111()1122g ln a a lna a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()12h a lna a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为()12204h ln =-＜，又因为h （a ）在a∈（0，+∞）是减函数， 所以当a≥2时，h （a ）＜0，即对于任意正数x 总有g （x ）＜0， 所以关于x 的不等式恒成立．点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性和最值问题；证明不等式的恒成立问题；证明不等式恒成立问题一般采用以下方法：其一可以转化为函数最值问题，使得函数最值大于或者小于0；其二可以转化为两个函数的不等式关系，使得一个函数的最小值大于另一个函数的最大值．。
湖南省娄底市双峰一中2020-2021学年高二上学期9月入学考试数学试题
湖南省娄底市双峰一中2020-2021学年高二上学期9月入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各角中，与角330°的终边相同的是( ) A ．150°B ．－390°C ．510°D ．－150°2．已知角α的终边过点(8,3)P m ，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D 3．10cos3π=（ ）A ．12B ．12-C D ． 4．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+,那么它的通项公式n a = ( ) A ．nB ．2nC ．21nD ．1n +5．数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =（ ） A ．123n +-B ．23n -C ．23n +D ．123n --6．已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2B ．0C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 等于（ ） A ．15B ．30C ．31D ．648．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形9．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图像如图所示，则使()()0f x m f m x +--=成立的m 的最小正值为（ ）A ．512π B ．3π C ．6π D ．12π10．已知函数()()sin 11x x f x x x -+=∈+R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．2 B ．0C ．1D ．-211．定义运算a bad bc c d =-，若sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<，则β等于（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π12．已知正三角形ABC 的边长为ABC 内的动点,P M 满足1AP =，PM MC =，则2BM 的最大值是( )A ．434B ．494C ．374+ D ．372334+二、填空题13．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则b =__________． 14．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=__________；15．购买一件某家用电器需要10000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率0.8%，按复利计算，那么每期应付款为__________元.（121.008 1.1≈）16．在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以PE 为折痕将PEB ∆翻折为PEB ∆'，点B '恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE =__________．三、解答题 17．化简求值：（1）55tantan 41251tan 12πππ+-；（2）1sin10︒18．已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m . 19．已知函数()21sin2cos 22f x x x =--. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a b 、 的值．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .21．设{}n a 是正项数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的*n N ∈，都有()282n n S a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14n n n b a a +=⋅，n T 是{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m 的值.22．设()πcos 213f x m x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()0m ≠. （1）若2m =，求函数()f x 的零点；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()34f x -≤≤恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【解析】分析：由终边相同的角的公式，表示出与角330的终边相同的角，再进行验证即可. 详解：与角330的终边相同的角为()360330k k Z α=⋅+∈， 令2k =-，可得390α=-，故选B.点睛：本题主要考查终边相同的角，考查了终边相同的角的表示方法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 2．A 【解析】 试题分析：由题设可得,经检验成立,应选A.考点：三角函数的定义. 3．B 【分析】利用诱导公式化大角为小角，即可求解. 【详解】101coscos 3cos 3332ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数诱导公式，奇变偶不变，符号看象限，属于基础题. 4．B 【分析】利用关系式1(2)n n n a S S n -=-≥代入公式得到通项公式，再验证1n =时的情况得到答案. 【详解】当2n ≥时, ()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦,当1n =时, 112a S ==,也满足上式,故数列{}n a 的通项公式为2n a n =，故选B.【点睛】本题考查了通项公式里的关系式，忘记验证1n =时的情况是学生容易犯的错误. 5．A 【分析】据递推关系式可得132(3)n n a a ++=+， 利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()1231n n a a n +=+≥， 所以132(3)n n a a ++=+，即数列{3}n a +是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以1342n n a -+=⋅，故1142323n n n a -+=⋅-=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，数列的递推关系，属于中档题. 6．D 【详解】因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =. 7．A 【分析】根据条件求出等差数列的首项和公差，即可得答案； 【详解】79416,1a a a +==，∴11117,78,431,7,4a a d a d d ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩∴12177111544a =-+⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，属于基础题. 8．D 【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D. 【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．9．D 【分析】由图象求()f x 解析式()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用x m =是()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴即可求解. 【详解】由图知min ()1f x A =-=-，所以1A =， 因为74123T ππ=-，所以T π=，可得222T ππωπ===， 712x π=是()f x 的对称轴，所以72122k ππϕπ⨯+=+，()k Z ∈， 所以23k πϕπ=-+，令1k =，得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由()()0f x m f m x +--=得：x m =是()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴. 令232x k πππ+=+()k Z ∈，得122kx ππ=+，()k Z ∈ 当0k =时，m 的最小正值为12π，故选：D 【点睛】本题主要考查了由部分图象求三角函数的解析式，以及求()()sin f x A x =+ωϕ得对称轴，属于中档题. 10．A 【分析】 设()sin 1xg x x =-+,则()g x 为奇函数，则()()1f x g x =+，根据奇函数的对称性可得答案. 【详解】()sin 1sin 111x x xf x x x -+==-++设()sin 1x g x x =-+，则()()sin 1xg x g x x -==-+，则()g x 为奇函数. ()()1f x g x =+,显然当()g x 取得最大值时，()f x 取得最大值.当()g x 取得最小值时，()f x 取得最小值. 又()g x 为奇函数，则()()max min 0g x g x += 所以()()max min 2f x f x M m +=+= 故选：A 【点睛】本题考查奇函数的对称性的应用，属于基础题. 11．D试题分析：由定义运算知，即，又2πβα<<<，又1cos ,072παα=<<，，．考点：同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用12．B 【解析】试题分析：甴已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛-+++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()(22214x y BM -++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B ． 考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题. 13．试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 14．10 【分析】由题意及等比数列的性质可得56479a a a a ==，由对数的运算可得313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5356log ()a a =，代入计算可得结果．【详解】由等比数列的性质可知，5647a a a a =， 又564718a a a a +=569a a ∴= 313231031210log log log log ()a a a a a a ∴+++=5356log ()a a =53log 9=10=.故答案为：10. 【点睛】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属中档题． 15．880【分析】这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和 【详解】设每期应还款x 元，则第1期还款后，还欠款()100010.8%x +-第2期还款后，还欠款()21000 1.008 1.00810000 1.008 1.008x x x x ⨯-⨯-=⨯--……………第12期还款后，还欠款12111010000 1.008 1.008 1.008 1.008x x x x ⨯-----第12期还款后，还欠款应为0所以12111010000 1.008 1.008 1.008 1.0080x x x x ⨯-----=即()()1212111011 1.0081 1.110000 1.008 1.008 1.008 1.00811 1.0081 1.008x x x⨯--⨯=++++=⋅=⋅-- 所以10000 1.10.00810000 1.18800.10.10.008x ⨯==⨯⨯= 故答案为：880 【点睛】本题考查数列的实际问题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 16．278【解析】分析：首先设出BE m =，根据题中的条件1sin 3EPB ∠=，得到3PE m =，结合诱导公式得到1cos 3PEB ∠=，根据翻折的时候三角形全等以及诱导公式及倍角公式，可得2cos 'cos 212cos B EA PEB PEB ∠=-∠=-∠，从而求得其值，最后在'Rt AB E ∆中，利用相关量找到等量关系式，求得结果.详解：根据题意，设BE m =，根据1sin 3EPB ∠=，得到3PE m =，同时可得1cos 3PEB ∠=，从而得到2cos 'cos 212cos B EA PEB PEB ∠=-∠=-∠79=，根据翻折的问题，可得',2B E BE m AE m ===-在直角三角形中，有279m m -=，解得98m =，所以折痕2738PE m ==. 点睛：该题考查的是有关三角形翻折所对应的结果，在解题的过程中，注意对图像特征的挖掘，注意找寻相等的量，结合诱导公式、倍角公式以及直角三角形中锐角三角函数值的表示，得到边之间的等量关系式，最后求得结果. 17．（1）1-；（2）4. 【分析】（1）由和的正切公式可计算；（2）通分并结合和的余弦公式，二倍角公式求解. 【详解】（1）原式5tantan53412tan tan 1541241tan tan 412πππππππ+⎛⎫==+==- ⎪⎝⎭-; （2）原式()2cos 1060cos102cos 70411sin10cos10sin 20sin 2022︒+︒︒︒︒====︒︒︒︒. 【点睛】本题考查和的余弦、正切公式，考查二倍角公式，属于基础题. 18．（1）45t =；（2）35.【分析】(1)利用向量的模长公式计算出||a tb +的表达式然后求最值.(2)先求出a mb -的坐标，利用向量平行的公式得到关于m 的方程，可解得答案. 【详解】（1）∵(23,2)a tb t t +=-+，∴||(2a tb t +=-==当45t =时，||a tb + （2）(32,2)a mb m m -=---.∵a mb -与c 共线，∴32630m m +-+=，则35m =. 【点睛】本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题. 19．（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,2a b == 【分析】(1)通过降幂公式，结合辅助角公式化简三角函数式，即可求得函数的单调递增区间． (2)根据化简的三角函数式和三角函数值，求得特殊角C 的度数，集合正余弦定理即可求得a 、b 的值． 【详解】(1) ()211212*********cos x f x sin x cos x sin x sin x π+⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭. 由222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得(),63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴函数()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. (2)由()0f C =，得216sin C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 110,2666C C ππππ<<∴-<-<， 2,623C C πππ-==.又2sinB sinA =,由正弦定理得2ba=①; 由余弦定理得22223c a b abcos π=+-，即223a b ab +-=，② 由①②解得1,2a b ==. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简及单调区间的求法，正弦定理与余弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题．20．（1）*41,n a n n N =-∈；12n nb -=；（2）(45)25nn T n =-+【解析】试题分析：（1）求数列{}n a 的通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥求解，分情况求解后要验证1n =是否满足2n ≥的通项公式，将求得的{}n a 代入24log 3,n n a b =+整理即可得到n b 的通项公式；（2）整理数列{}n n a b ⋅的通项公式得()141?2n n n a b n -=-，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵2*2,n S n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈.又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=. 故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈. （2）∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯①12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯②由①-②得：1213424242(41)2n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯12(12)34(41)2(54)2512n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯--∴(45)25nn T n =-⨯+，*n N ∈.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和21．（1）42n a n =-（2）10. 【分析】（1）先求出1a ，当2n ≥时，由28(2)n n S a =+，得2118(2)n n S a --=+，两式相减化简得14(2)n n a a n --=≥，从而可得数列{}n a 是以2为首项，公差为4的等差数列，进而可得到数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）得411(42)(42)4242n b n n n n ==--+-+，利用裂项相消法求出n T ，再解不等式可得答案 【详解】28(2)n n S a =+，当1n =，12a =；当2n ≥，28(2)n n S a =+①，2118(2)n n S a --=+②，①-②可得，2211844n n n n n a a a a a --=+--，2211440n n n n a a a a -----=，2211440(0)n n n n n a a a a a -----=>，∴14(2)nn a a n --=≥， ∴{}n a 是以2为首项，公差为4的等差数列， ∴2(1)442n a n n =+-⨯=-. （2）411(42)(42)4242n b n n n n ==--+-+，111111266104242n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭，11242n T n =-+， 20n m T <，1120201024242m n n ⎛⎫>⨯-=- ⎪++⎝⎭，∵10101021n -<+， ∴10m ≥.∴m 的最小最整数为10. 【点睛】此题考查利用数列的递推式求通项公式，考查裂项相消法，考查计算能力，属于基础题 22．（1）()f x 的零点是ππ2x k =+或5ππ6x k =+()k Z ∈；（2）[)51,00,2⎛⎤- ⎥⎝⎦． 【分析】(1)求出()f x 的具体表达式，令()0f x =即可求出函数的零点.(2)分0m >，0m <两种情况进行讨论，分别求出函数的取值范围，结合()34f x -≤≤恒成立可得关于实数m 的不等式，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由2m =⇒()π2cos 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()0f x =， 则π1cos 232x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π2π22π33x k -=+或π4π22π33x k -=+，()k Z ∈， 解得ππ2x k =+或⇒5ππ6x k =+()k Z ∈， ∴()f x 的零点是ππ2x k =+或5ππ6x k =+()k Z ∈. （2）由π02x ≤≤可得ππ2π2333x -≤-≤，所以1πcos 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，（1）当0m >时，易得()1212mf x m -≤≤-，由()34f x -≤≤恒成立可得， ()()min max 34f x fx ⎧≥-⎪⎨≤⎪⎩，即1322140mm m ⎧-≥-⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎩，解得502<≤m ，（2）当0m <时，可得()2112mm f x -≤≤-，由()34f x -≤≤恒成立可得 ()()min max 34f x fx ⎧≥-⎪⎨≤⎪⎩，即213142m m m -≥-⎧⎪⎪-≤⎨⎪<⎪⎩，解得10m -≤<，综上可得，m 的取值范围是[)51,00,2⎛⎤- ⎥⎝⎦． 【点睛】本题考查了函数零点的求解，考查了三角函数最值的求解.本题的易错点是第二问中没对m 进行讨论.。
2019-2020学年湖南省娄底市数学高二下期末监测试题含解析
2019-2020学年湖南省娄底市数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1． 设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20ix 4D ．20ix 42．若函数322ln ()x ex mx xf x x-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭3．某快递公司共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人送货，每人至少送货2天，其不同的排法共有（ ）种. A ．1060B ．5040C ．630D ．2104．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,]e-∞ B ．39[,)e+∞ C ．28[,)e+∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦5．如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m =+ (0)m >，则函数()()()F x g x f x =-（ ）A ．有极小值，没有极大值B ．有极大值，没有极小值C ．至少有两个极小值和一个极大值D ．至少有一个极小值和两个极大值6．已知()*111()123f n n N n =++++∈L ，用数学归纳法证明()*2,2n nf n N >∈时，从假设n k =推证1n k =+成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（ ）A ．21k -B ．2kC ．21k +D ．17．函数()1sin 2=-f x x x 在[0,]2π上的最小值和最大值分别是A ．3,06π- B ．1,04π- C ．3,164ππ-- D ．1122,-8．设函数f(x)＝－，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f(x)]的值域为( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－2,0}9．如图，平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角是3π，PQ 是平面BCEF 内的一条动直线，4DBC π∠=，则直线BD 与PQ 所成角的正弦值的取值范围是（ ）A ．3⎤⎥⎣⎦ B ．64⎤⎥⎣⎦ C ．234⎣⎦D ．22⎤⎥⎣⎦10．给出下列命题：①命题“若240b ac -<，则方程()200++=≠ax bx c a 无实根”的否命题；②命题“在ABC ∆中，AB BC CA ==，那么ABC V 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若0a b >>330a b >>”的逆否命题；④“若m 1≥，则()()22130mx m x m -+++≥的解集为R ”的逆命题；其中真命题的序号为（ ） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．①②③11．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A ．150种 B ．180种C ．300种D ．345种12．已知函数2y x =-M ，集合(){}lg 1N x y x ==-，则M N =I ( )A ．[)0,2B ．()0,2C ．[)1,2D ．(]1,2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若z 是关于x 的方程22280()x x m m R -+-=∈的一个虚数根，则|1|z +的取值范围是________. 14．参加某项活动的六名人员排成一排合影留念，其中一人为领导人，则甲乙两人均在领导人的同侧的概率为_______.15．已知函数32()2f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若存在0x 满足等式012(1)x x x λλ+=+，()0λ>，且函数0()()()g x f x f x =-至多有两个零点，则实数λ的取值范围为__________．16．已知函数()3xx 1f x =x 2x+e -e-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________。
2019-2020学年湖南省娄底市数学高二下期末监测试题含解析
2019-2020学年湖南省娄底市数学高二下期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】通过补集的概念与交集运算即可得到答案. 【详解】 根据题意得，故，答案选C.【点睛】本题主要考查集合的运算，难度很小. 2．函数()sin x xy e ex -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可. 【详解】 函数()()()sin ()xx f x ee xf x --=+-=-,故函数是奇函数,图像关于原点对称,排除B ,D ,当x ＞0且x→0,f （x ）＞0,排除A , 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型. 3．复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A先求得的共轭复数z ，由此判断出其对应点所在象限. 【详解】依题意1z i =+，对应点为()1,1，在第一象限，故选A. 【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 4．在3(1)(1)x x +-的展开式中，2x 项的系数为（ ）． A ．0 B ．3 C ．6 D ．6-【答案】A 【解析】二项式3(1)x -展开式的通项为313(1)(0,1,2,3)r r r r T C x r -+=-=。
所以3(1)(1)x x +-展开式中2x 项的系数为122133(1)C (1)C 330-⋅+-⋅=-+=．选A ．5．已知命题：，使得，则为 A ．，总有 B ．，使得 C ．，总有D ．，使得【答案】C 【解析】 【分析】原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案 【详解】 命题：，使得：，总有故选 【点睛】本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题． 6．若f(x)=ln(x 2-2ax+1+a)在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减， 则1(1)1210a g a a ⎧⎨=-++≥⎩，即：12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]1,2．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．7．已知x ，y 的线性回归直线方程为0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A ．变量x ，y 之间呈现正相关关系B ．可以预测，当5x =时， 5.37y =C ． 2.09m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点()1.5,2.5【答案】C 【解析】 【分析】A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；B 中，利用回归方程计算x ＝5时y 的值即可预测结果；C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；D 中，由题意知m ＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）． 【详解】已知线性回归直线方程为y =0.82x+1.27，b =0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；计算x ＝5时，y =0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确；14x =⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m+3.1+4.3）8.24m +=， 代入回归直线方程得8.24m+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝1.8时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．8．过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且| |3A F =，O 为坐标原点，则AOF 的面积与BOF 的面积之比为 A ．12BCD ．2【答案】D 【解析】 【分析】设点()11,A x y 位于第一象限，点()22,B x y ，并设直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出124y y =-，由抛物线的定义得出点A 的坐标，可得出点B 的纵坐标2y 的值，最后得出AOF ∆的面积与BOF ∆的面积之比为12y y 的值. 【详解】设点()11,A x y 位于第一象限，点()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线方程联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，124y y ∴=-，由抛物线的定义得113AF x =+=，得12x =，21148y x ∴==，10y >，1y ∴=，可得出2y =112212212AOF BOFOF y S yS y OF y ∆∆⋅∴===⋅，故选：D. 【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。
湖南省娄底市2019-2020学年数学高二下期末监测试题含解析
湖南省娄底市2019-2020学年数学高二下期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ()A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】 统计图 【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．2．已知等差数列{}n a 的等差0d ≠，且 1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则 2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．232D ．92【答案】B 【解析】【分析】由题意得（1+2d）2＝1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得2163nnSa++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】∵a1＝1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴a n＝2n﹣1，∴S n()1212n n+-==n2，∴2 216216322nnS na n++=++．令t＝n+1，则2163nnSa+=+t9t+-2≥6﹣2＝1当且仅当t＝3，即n＝2时，∴2163nnSa++的最小值为1．故选：B．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．3．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A．5B．6C．9D．12【答案】C【解析】分析：该题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，另一类是乙和丙在B 社区，计算出每一类的数据，然后求解即可.详解：由题意将问题分为两类求解：第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为11236A A⨯=种；第二类，若乙与丙在B社区，则A社区还缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为133A=种；故不同的安排种数是639+=种，故选C.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理，在解题的过程中，对问题进行正确的分类是解题的关键，并且需要将每一类对应的数据正确算出.4．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()()()()()(),,,,,a f a b f b c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．20,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．20,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,22⎡⎤⎢⎥⎣ 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m 2﹣m+2≤2，即可得出结论． 【详解】易知221m m -+>，所以()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上的最小值为(1)1f =.由题意可知，当()2222f x x x =-+=，∴0x =或2，22201m m m ∴-+≤∴≤≤，，故选A. 【点睛】本题考查新定义，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．5．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。