2015年高考真题——理科数学(浙江卷)
三射线定理及其典型应用
三射线定理及其典型应用2015年10月21日 意琦行 数海拾贝三射线定理 如图，、、分别是从出发的三条射线，、、分别为、、，二面角（记其大小为）满足：三射线定理描述了异面共边的两个角的另外两边构成的角（空间斜角）与这两个角形成的二面角（空间正角）之间的数量关系，因此往往用来求二面角的大小或者空间斜角的大小．三射线定理中的基本图形又称为三面角．证明 如图，过射线上一点作垂直于的平面，射线、分别与该平面相交于、两点．方法一 利用空间向量根据已知，有PA PB PC P ∠APC ∠BPC ∠APB αβθA −PC −B φcos θ=cos α⋅cos β+sin α⋅sin β⋅cos φ.PC H PC PA PB M N ⋅PM −→−−−PN −→−−=(+)⋅(+)PH −→−−HM −→−−−PH −→−−HN −→−−−=P +⋅H 2HM −→−−−HN−→−−−=P +HM ⋅HN ⋅cos φ,H2又于是两边同除以得方法二 利用余弦定理在三角形和三角形中分别应用余弦定理，有两式相减得移项整理即得．三射线定理的记忆 可以借助两角差的余弦公式记忆，当时，三射线定理退化为两角和与差的余弦公式．当时，三射线定理变成著名的三余弦定理：接下来通过两道例题说明该定理在空间求角时的作用．例1 （知斜求正）如图，在直角三角形中，为直角，，，、分别是、上的点，且，，将沿折起到的位置，使．求平面与平面所成锐角的余弦值．⋅=PM ⋅PN cos θ,PM−→−−−PN −→−−PM ⋅PN cos θ=cos α⋅cos β+sin α⋅sin β⋅cos φ.MNP MNH MN 2MN 2=M +N −2⋅MP ⋅NP ⋅cos θ,P 2P 2=M +N −2⋅MH ⋅NH ⋅cos φ,H 2H 20=2P −2⋅MP ⋅NP ⋅cos θ+2⋅MH ⋅NH ⋅cos φ,H 2φ=0,πφ=π2cos θ=cos α⋅cos β.ABC C BC =3AC =6D E AC AB DE ∥BC DE =2△ADE DE △DE A 1D ⊥CD A 1CD A 1BE A 1解 这是一道由2012年高考北京卷理科数学第16题改编的习题．如图，在底面里分别延长和，交于（实际上就是在未折叠的三角形还原在直观图中），于是所求的锐角就是二面角的大小．我们可以利用三面角中解决问题．令，，，，而于是解得BCDE CD BE A ABC C −A −B A 1A −DE A 1∠AD =αA 1∠EA =βA 1∠CAB =θC −A −B =φA 1cos α=,cos β=,cos θ=,2√22√5√25√=⋅+⋅⋅cos φ,25√2√22√5√2√23√5√cos φ=.6√3事实上，取的中点，则即为二面角的平面角．例2（知正求斜）如图，在长方形中，，，为中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面与平面垂直．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是_______．解 这是2009年高考浙江卷理科数学第17题．我们可以利用三面角解决问题．令，，，且，于是可得即于是其取值范围不难求得为．接下来给出两道练习题．练习1、如图，是半径为的球的球心，点、、在球面上，、、两两垂直，、分别是大圆弧与A A 1M ∠DME C −A −B A 1ABCD AB =2BC =1E DC F EC △AFD AF ABD ABC ABD D DK ⊥AB K AK =t t A −DKF ∠DAK =α∠FAK =β∠DAF =θD −AK −F =π2cos ∠DAF =cos ∠DAK ⋅cos ∠FAK ,=⋅,DA AF AK AD DF AFAK =,AD 2DF(,1)12O 1A B C OA OB OC E F AB AC的中点，则点、在该球面上的球面距离是_______．练习2、如图，一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长均为，将正四面体与正四棱锥组合起来，使得正四面体的其中一个面与正四棱锥的一个侧面重合．问得到的多面体有多少个面？参考答案练习1、练习2、组合体为三棱柱，有个面．更多的内容可以参考：《每日一题[46] 三射线定理》《每日一题[154] 折叠中的二面角》《每日一题[202] 又见三射线》《每日一题[255] 代表平面—出击！》E F 1π35每日一题[46] 三射线定理2015年3月5日 意琦行 数海拾贝已知二面角为，，，，与成角，则异面直线与所成角的余弦值为________．正确答案是．事实上，我们有一般的结论（三射线定理）．如图，、、分别是从出发的三条射线，、、分别为、、，则二面角（记其大小为）满足：证明如下：过射线上一点作垂直于的平面，射线、分别与该平面相交于、两点，则α−AB −β120∘CD ⊂αCD ⊥AB EF ⊂βEF AB 30∘CD EF14PA PB PC P ∠APC ∠BPC ∠APB αβθA −PC −B φcos θ=cos α⋅cos β+sin α⋅sin β⋅cos φ.PC H PC PA PB M N −→−−−−→−−−→−−−→−−−−→−−−→−−−又于是两边同除以得在今天的这道试题中，应用三射线定理，有于是所求值为．⋅PM −→−−−PN −→−−=(+)⋅(+)PH −→−−HM −→−−−PH −→−−HN −→−−−=P +⋅H 2HM −→−−−HN −→−−−=P +HM ⋅HN ⋅cos φ,H 2⋅=PM ⋅PN cos θ,PM −→−−−PN −→−−PM ⋅PN cos θ=cos α⋅cos β+sin α⋅sin β⋅cos φ.cos θ=cos ⋅cos +sin ⋅sin ⋅cos =−,30∘90∘30∘90∘120∘1414每日一题[154] 折叠中的二面角2015年6月22日 意琦行 数海拾贝2015年高考浙江卷理科数学第8题（选择压轴题）：如图，已知三角形，是的中点，沿直线将三角形折成三角形，所成二面角的平面角为，则（）A ．B ．C ．D ．正确答案是B．得到答案是容易的，可以取以下两种极端情形进行排除：ABC D AB CD ACD CD A ′−CD −B A ′α∠DB ⩽αA ′∠DB ⩾αA ′∠CB ⩽αA ′∠CB ⩾αA′当时，显然，而，排除D；当时，显然，而，排除A、C．下面证明选项B是正确的．如图，在平面内过作线段垂直于，且，亦为的中点．设在折叠过程中，的对应点为，则根据二面角的平面角的定义有．若线段与线段重合，那么就有，命题成立；若线段不于线段重合，那么和分别位于直线两侧，于是和分别位于平面两侧．进而在三角形和三角形中，且，于是．而在三角形和三角形中，且，于是，于是命题成立．注 也可以利用三射线定理结合，有α=π∠DB =∠ADB =πA ′∠CB =∠ACB <πA ′α=0∠DB =∠DB >0A ′A ′′∠CB =∠CB >0A ′A ′′ABC D MN CD AB =MN D MN M M ′α=∠DN M ′MN AB ∠DN =∠DB M ′A ′MN AB A B MN A ′B DN M ′DB A ′DB M ′D =D M ′A ′B >B A ′M ′∠DB >∠DB A ′M ′DB M ′DN M ′DN =DB B >N M ′M ′∠DB >∠DN M ′M ′cos ∠DB =cos ∠DC cos ∠BDC +sin ∠DC sin ∠BDC cos α,A ′A ′A ′∠DC +∠BDC =πA ′1+cos ∠DB =(1+cos α)⋅sin ∠DC sin ∠BDC ,A ′A′因此考虑到余弦函数在内单调递减，于是命题成立．cos ∠DB ⩽cos α,A ′[0,π]每日一题[202] 又见三射线2015年8月9日 意琦行 数海拾贝2014年全国高中数学联赛山东省预赛第5题：已知直角三角形的两条直角边，，为斜边上一点，将将此三角形折成直二面角，当时，二面角的值为_______．正确答案是．如图，在平面内过作直二面角的棱的垂线交边于，则．于是在平面中过作二面角的棱的垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角，且．根据每日一题[46] 三射线定理，有于是ABC AC =2BC =3P AB CP A −CP −B AB =7√P −AC −B arctan 2√PCB P A −CP −B CP BC E EP ⊥ACP PAC P P −AC −B AC D DE ∠PDE P −AC −B tan ∠PDE =EP PDcos ∠ACB =cos ∠ACP ⋅cos ∠BCP ,+−222解得如图．因此所求二面角的值为．=cos ∠ACP ⋅sin ∠ACP ,A +B −A C 2C 2B 22⋅AC ⋅BC∠ACP =,π4P −AC −B arctan 2√每日一题[255] 代表平面—出击！2015年10月1日 意琦行 数海拾贝已知平面和相交形成的四个二面角中的其中一个为，则在空间中过某定点与这两个平面所成的线面角均为的直线条数为_______．正确答案是．解 我们知道，研究空间的角度问题时，平面与其他空间图形所成的角度往往依托其法线进行计算．换句话说，平面的法线是平面方向的代表．在这个问题中，设平面与平面过点的法线分别为、，则．而此时条件直线与两个平面所成的线面角为可以转化为直线与直线、所成的角均为．如图，平面上的两条直线（所成角为）的平分线——为互相垂直的两条直线——在运动过程中始终保持与两条直线所成的角相等，且该角的取值范围分别为以及．因此当，而与两条直线所成角均为时对应的直线为条．αβ60∘P 30∘l 3αβP m n ⟨m ,n ⟩=60∘l 30∘l m n 60∘θ[,]θ2π2[,]π−θ2π2θ=60∘60∘3下面给出一个练习题．将一个水平放置的正方形绕直线向上转动到，再将所得正方形绕直线向上转动到，则平面与平面所成二面角的正弦值是_______．（）提示 可以化为法线问题后应用三射线定理，可以参考 每日一题[46]三射线定理，以及 每日一题[202] 又见三射线定理．ABCD AB 45∘ABC 1D 1ABC 1D 1BC 145∘B A 2C 1D 2B A 2C 1D 2ABCD 3√2。
15年高考真题——理科数学(浙江卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（浙江卷）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|20P x x x =-≥，{}|12Q x x =<≤，则()R P Q = ð（ ）（A ）[)0,1 （B ）(]0,2 （C ）()1,2 （D ）[]1,22．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）（A ）38cm （B ）312cm （C ）3323cm （D ）3403cm 3．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） （A ）10a d >，0n dS >（B ）10a d <，0n dS < （C ）10a d >，0n dS < （D ）10a d <，0n dS >4．命题“n N +∀∈，()f n N +∈且()f n n ≤”的否定形式是（ ） （A ）n N +∀∈，()f n N +∈且()f n n > （B ）n N +∀∈，()f n N +∈或()f n n > （C ）0n N +∃∈，()0f n N +∈且()00f n n > （D ）0n N +∃∈，()0f n N +∈或()00f n n >5．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ） （A ）||1||1BF AF -- （B ）22||1||1BF AF -- （C ）||1||1BF AF ++ （D ）22||1||1BF AF ++ 6．设,A B 是有限集，定义()()(),d A B card A B card A B =- ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(),0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，()()(),,,d A C d A B d B C ≤+。
【物理】2015年高考真题理综物理——浙江卷(解析版)
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 14下列说法正确的是( )A 电流通过导体的热功率与电流大小成正比B 力对物体所做的功与力的作用时间成正比C 电容器所带电荷量与两极板间的电势差成正比D 弹性限度内，弹簧的劲度系数与弹簧伸长量成正比 【答案】C考点：电功率，功，电容，胡克定律15如图所示，气垫导轨上滑块经过光电门时，其上的遮光条将光遮住，电子计时器可自动记录遮光时间t ∆，测得遮光条的宽度为x ∆，用xt∆∆近似代表滑块通过光电门时的瞬时速度，为使xt∆∆更接近瞬时速度，正确的措施是( )A 换用宽度更窄的遮光条B提高测量遮光条宽度的精确度D使滑块的释放点更靠近光电门D增大气垫导轨与水平面的夹角【答案】A考点：平均速度和瞬时速度16如图所示为静电力演示仪，两金属极板分别固定于绝缘支架上，且正对平行放置。
工作时两板分别接高压直流电源的正负极，表面镀铝的乒乓球用绝缘细线悬挂在金属极板中间，则( )A乒乓球的左侧感应出负电荷B乒乓球受到扰动后，会被吸在左极板上C乒乓球共受到电场力，重力和库仑力三个力的作用D用绝缘棒将乒乓球拨到与右极板接触，放开后乒乓球会在两极板间来回碰撞【答案】D【解析】试题分析：从图中可知金属板右侧连接电源正极，所以电场水平向左，故乒乓球上的电子移动到右侧，即乒乓球的右侧感应出负电荷，A错误；乒乓球右侧带负电，受到的电场力向右，乒乓球左侧带正电，受到的电场力向左，因为左右两侧感应出的电荷量相等，所以受到的电场力相等，乒乓球受到扰动后，最终仍会静止，不会吸附到左极板上，B 错误；乒乓球受到重力和电场力作用，库仑力即为电场力，C 错误；用绝缘棒将乒乓球拨到与右极板接触，乒乓球带正电，在电场力作用下，与左极板接触，然后乒乓球带负电，又在电场力作用下，运动到右极板，与右极板接触后乒乓球带正电，在电场力作用下，运动到左极板，如此重复，即乒乓球会在两极板间来回碰撞，D 正确； 考点：考查了库仑力，静电感应17如图所示为足球球门，球门宽为L ，一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P 点）。
2015年高考真题——理科综合物理部分(浙江卷) Word版含解析1
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 14.下列说法正确的是A 电流通过导体的热功率与电流大小成正比B 力对物体所做的功与力的作用时间成正比C 电容器所带电荷量与两极板间的电势差成正比D 弹性限度内，弹簧的劲度系数与弹簧伸长量成正比 【答案】C15.如图所示，气垫导轨上滑块经过光电门时，其上的遮光条将光遮住，电子计时器可自动记录遮光时间t ∆，测得遮光条的宽度为x ∆，用xt∆∆近似代表滑块通过光电门时的瞬时速度，为使xt∆∆更接近瞬时速度，正确的措施是A 换用宽度更窄的遮光条B 提高测量遮光条宽度的精确度D 使滑块的释放点更靠近光电门 D 增大气垫导轨与水平面的夹角 【答案】A【解析】平均速度近似等于瞬时速度，应用了极限思想，即在0t ∆→的情况下xt∆∆近似看做平均速度，所以要使得xt∆∆更接近通过光电门的瞬时速度，需要缩短通过时间，即换用宽度更窄的遮光条，A 正确；16.如图所示为静电力演示仪，两金属极板分别固定于绝缘支架上，且正对平行放置。
工作时两板分别接高压直流电源的正负极，表面镀铝的乒乓球用绝缘细线悬挂在金属极板中间，则A 乒乓球的左侧感应出负电荷B 乒乓球受到扰动后，会被吸在左极板上C 乒乓球共受到电场力，重力和库仑力三个力的作用D 用绝缘棒将乒乓球拨到与右极板接触，放开后乒乓球会在两极板间来回碰撞 【答案】D17. 如图所示为足球球门，球门宽为L ，一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P 点）。
球员顶球点的高度为h 。
足球做平抛运动（足球可看做质点，忽略空气阻力）则A 足球位移大小x =B 足球初速度的大小0v =C 足球末速度的大小v =D 足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan 2Lsθ=【答案】B二、选择题（本题共3小题，在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，选对但选不选的的3分，有选错的得0分）18.我国科学教正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器。
2015年浙江省高考理科数学试卷及答案
绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B互斥，那么如果事件,A B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率台体的体积公式侧视图其中1S,2S分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高柱体体积公式V Sh=其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式24S Rπ=球的体积公式343V Rπ=其中R表示球的半径一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分, 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P={x|x2-2x≥0}, Q={x|1<x≤2}, 则(C R P)I Q =( )A.[0, 1)B.(0, 2]C.(1, 2)D.[1, 2]2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积是( )A.8cm3B.12cm3C.332cm3 D.340cm33.已知{a n}是等差数列, 公差d不为零, 前n项和是S n, 若a3, a4, a8成等比数列, 则( )A. a1d>0, dS4>0B. a1d<0, dS4<0C. a1d>0, dS4<0D. a1d<0, dS4>0xAyFOB C4.命题“*)(*,N n f N n ∈∈∀ 且f (n )≤n ” 的否定形式是( ) A.*)(*,N n f N n ∉∈∀且f (n )>n B.*)(*,N n f N n ∉∈∀或f (n )>n C.*)(*,00N n f N n ∉∈∃且f (n 0)>n 0 D.*)(*,00N n f N n ∉∈∃或f (n 0)>n 05.如图, 设抛物线y 2=4x 的焦点为F , 不经过焦点的直线上有三个不同的点A , B , C , 其中点A , B 在抛物线上, 点C 在y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.1||1||--AF BFB.1||1||22--AF BFC.1||1||++AF BFD.1||1||22++AF BF6.设A , B 是有限集, 定义d (A , B )=card(A Y B )-card(A I B ), 其中card(A )表示有限集A 中的元素个数,命题①：对任意有限集A , B , “A ≠B ”是“d (A , B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A , B , C , d (A , C )≤d (A , B )+ d (B , C ), 则( ) A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立, 命题②不成立 D.命题①不成立, 命题②成立 7.存在函数f (x )满足, 对任意x ∈R 都有( ) A.f (sin2x )=sin x B. f (sin2x )=x 2+xC.f (x 2+1)=|x +1|D.f (x 2+2x )=|x +1|8.如图, 已知△ABC , D 是AB 的中点, 沿直线CD 将△ACD 折 成△CD A ', 所成二面角B CD A --'的平面角为α, 则( ) A.DB A '∠≤α B.DB A '∠≥α C.CB A '∠≤α D.CB A '∠≥α二、填空题：本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。
2014年高考真题——理科数学(浙江卷)解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{ 【答案】B 【解析】.},2{},4,,3{},4,3,2{B A C A U u 选=∴==ΛΛΛΛΘ（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】..∴.1-,1∴,2),2),1.1-,1.22,0-∴22-)2222222A b a b a i bi a i bi a b a b a b a ab b a i abi b a bi a 选件综上，是充分不必要条不是必要条件，或（是充分条件，（或（=====+=+∴======∴===+=+ΘΘΘ（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm【答案】D【解析】.138.93*3.186*3.363*4*3.935*34*6363*4*3D S S S S S S S S S S S 。
选几何体表面面积左面面积右面面积前后面面积，上底面面积几何体下底面面积右右前后上下左右前后上下=++++=∴=======+===4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】C 【解析】.12π6π(3sin 22π3sin(23cos 2∴)12π(3sin 2)4π3sin(23cos 3sin C x x x y x x x x y 可以得到。
平面向量——2021年高考数学复习必备之2015-2020年浙江省高考试题分项解析
专题五 平面向量一、选择题1.（2018年浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记 ，，，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ．I ３< I １<I ２D ．I ２<I １<I ３二、填空题3．（2020·浙江高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．4.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.5.（2017年浙江卷）已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______。
6.（2016年浙江文）已知平面向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e 为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______.7.（2016年浙江理）已知向量a ，b ，｜a ｜ =1，｜b ｜=2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a·e ｜+｜b·e ｜≤6,则a·b 的最大值是 ． 8.（2015年浙江文）已知1e ， 2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．9.（2015年浙江理）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．优质高三试题一、选择题 1．（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ）A B C D ．52．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知单位向量e ，向量(1,2)i b i =，满足i i e b e b -=⋅，且12xb yb e +=，其中1x y +=，当12||b b -取到最小时，12b b ⋅=( )A ．0B ．1CD ．1-3．（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知C ，D 是以AB 为直径的圆O 上的动点，且4AB =，则AC BD ⋅的最大值是（ ）A．2 B ． C ．D ．44．（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角A BD C --的平面角的大小为π3，若点E ,F 分别是线段AC 和BD 上的动点，则BE CF ⋅的取值范围为（ ）A ．[1,0]-B ．1[1,]4-C ．1[,0]2-D ．11[,]24- 二.填空题 5．（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________.6．（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）设平面向量a ，b 满足12a ≤≤，23b ≤≤，则a b a b ++-的取值范围是________.7．（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知平面向量a ，b 满足1a =，42a b a b -⋅=-，则a b +的取值范围是______.8．（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）平面中存在三个向量a ，b ，c ，若||4a =，||4b =，且0a b ⋅=，且c 满足22150c a c -⋅+=，则||4||c a b c ++-的最小值______． 9．（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知向量a ，b 满足21a b +=，且()1a a b ⋅-=，则a b -的取值范围为______.10．（2020·浙江温州中学3月高考模拟）如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.11．（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知A ，B ，C ，D ，E 为半径为1的圆上相异的5点(没有任何两点重合)，这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为____________. 12．（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足||||1a e b e +=-=，a b ⋅的取值范围是____.13．（2020·浙江温州中学高三3月月考）已知平面向量a ，b 满足4a =，33b =+，0a b ⋅=.记()(),1f x b xa b x a =++-，则()()11f x f x ++-的最大值为______.14．（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =且CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.15.（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知平面向量,,,a b c d →→→→，满足||||||1a b c →→→===，0a b →→⋅=，||||c d b c →→→→-=⋅，则a d →→⋅的取值范围为______.。
2015届(理科数学)二轮复习课件_专题六_立体几何_第2讲_空间图形的位置关系
)
解析:若存在点 E 使 EF∥BD1,则 BD1∥平面 A1BC1,与 BD1∩平面 A1BC1=B 矛盾,故选项 A 不正确;当 E 为 A1C1 的中点时 EF∥A1B, 又 A1B⊥平面 AB1C1D,即存在点 E 使 EF⊥平面 AB1C1D,即选项 B 不正确;当 E 与 A1 重合时,EF⊥BC1,又 BC1∥AD1,则 EF⊥AD1,即 选项 C 不正确;设正方体的棱长为 a,则 VB1 ACE = VB1 ACC1
模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.
(2)熟练掌握立体几何的三种语言——符号语言、文字语 言以及图形语言的相互转换,是解决此类问题的关键.
热点训练1: (2014温州市八校联考)如图所示,正三角形 ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′ED是△AED
绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:
第2讲
空间图形的位置关系
高考导航
热点透析
高考导航
高考体验
研真题
明备考
1.(2014高考广东卷,理7)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定 正确的是( D (A)l1⊥l4 (B)l1∥l4 (C)l1与l4既不垂直也不平行 )
解析:作 AE⊥BD 于 E,若 AC⊥BD, 则 CE⊥BD 显然不成立,即选项 A 不正确. 在翻折过程中,当平面 BCA⊥平面 BCD 时,CD⊥平面 ABC, AB⊥CD,所以选项 B 正确;选项 D 不正确; 在翻折过程中,若 AD⊥BC,BC⊥CD, 则 BC⊥平面 ADC,BC⊥AC,应有 AB>BC,与 AB=1,BC= 2 矛盾, 所以选项 C 不正确.故选 B.
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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（浙江卷）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|20P x x x =-≥，{}|12Q x x =<≤，则()R P Q =ð（ ）（A ）[)0,1 （B ）(]0,2 （C ）()1,2 （D ）[]1,22．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）（A ）38cm （B ）312cm （C ）3323cm （D ）3403cm 3．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） （A ）10a d >，40dS >（B ）10a d <，40dS < （C ）10a d >，40dS < （D ）10a d <，40dS >4．命题“n N +∀∈，()f n N +∈且()f n n ≤”的否定形式是（ ） （A ）n N +∀∈，()f n N +∈且()f n n > （B ）n N +∀∈，()f n N +∈或()f n n > （C ）0n N +∃∈，()0f n N +∈且()00f n n > （D ）0n N +∃∈，()0f n N +∈或()00f n n >5．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ） （A ）||1||1BF AF -- （B ）22||1||1BF AF -- （C ）||1||1BF AF ++ （D ）22||1||1BF AF ++ 6．设,A B 是有限集，定义()()(),d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(),0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，()()(),,,d A C d A B d B C ≤+。
则（ ）（A ）命题①和命题②都成立 （B ）命题①和命题②都不成立（C ）命题①成立，命题②不成立 （D ）命题①不成立，命题②成立7．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）（A ）()sin 2sin f x x = （B ）()2sin 2f x x x =+（C ）()21|1|f x x +=+ （D ）()22|1|f x x x +=+ 8．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）（A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥（C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9．双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是_____________。
10．已知函数()()()()2231lg 11x x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则()()3f f -= ，()f x 的最小值是________。
11．函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是_________________。
12．若2log 3a =，则22a a -+=________。
13．如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________。
14．若实数,x y 满足221x y +≤，则|22||63|x y x y +-+--的最小值是________。
15．已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足12b e ⋅=，252b e ⋅=，且对于任意,x y R ∈，()()()12010200||||1,b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，||b =________。
三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 。
已知4A π=，22212b ac -=。
⑴求tan C 的值；⑵若ABC ∆的面积为3，求b 的值。
17．（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，C 1B 1A 1DCBA090BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点。
⑴证明：1A D ⊥平面1A BC ；⑵求二面角11A BD B --的平面角的余弦值。
18．（本题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记(),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值。
⑴证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；⑵当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值。
19．（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称。
⑴求实数m 的取值范围；⑵求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。
20．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：⑴()112n n a n N a ++≤≤∈；⑵()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++。
2015年普通高校招生全国统考数学试卷浙江卷解答一．CCBDA ADB二．9．32，x y 22±=；10．0，3；11．π，()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；12．；13．78；14．3；15．1，2，16．解：⑴由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos 2sin B C -=。
又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =； ⑵由tan 2C =得sin C =cos C =，又()sin sin sin 4B A C C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故sin 10B =，由正弦定理得3c =，又4A π=，1sin 32bc A =，故bc =，故3b =。
17．⑴设E 为BC 的中点，连1,A E AE 。
由题1A E ⊥平面ABC ，故1A E AE ⊥。
因AB AC =，故AE BC ⊥，从而AE ⊥平面1A BC 。
由,D E分别11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =，从而1//DE A A 且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形，故1//A D AE 。
又AE ⊥平面1A BC ，故1A D ⊥平面1A BC ；⑵作1A F BD ⊥于F ，连1B F ，由题AE EB ==01190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==。
由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆。
由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角。
由1A D 14AB =，0190DA B ∠=，得BD =1143A F B F ==，由余弦定理得11cos 1A FB =-即为所求。
18．解：⑴由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a -≥，故()f x 在[]1,1-上单调，因此()()(){},max |1|,|1|M ab f f =-。
当2a ≥时，由()()1124f f a --=≥，故()()4|1||1|f f ≤+-，因此()(){}max |1|,|1|2f f -≥，即(),2M a b ≥；当2a ≤-时，由()()1124f f a --=-≥，故()()4|1||1|f f ≤-+，因此()(){}max |1|,|1|2f f -≥，即(),2M a b ≥。
综上，当||2a ≥时，(),2M a b ≥；⑵由(),2M a b ≤得()|1||1|2a b f ++=≤，()|1||1|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由()()||0||||||0a b ab a b a b ab +≥⎧⎪+=⎨-<⎪⎩，得||||3a b +≤。
当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[]1,1-的最大值为2，即()2,12M -=，故||||a b +的最大值为3。
19．解：⑴由题知0m ≠，可设直线AB ：1y x b m =-+，代入椭圆方程并整理得()()222224210m x mbx m b +-+-=。
因直线AB 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，C 1B 1A 1FD E C BA故()2222820m m m b ∆=+-> ①。
将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+得2222m b m +=-②。
由①②得3m <-或3m >； ⑵令2130,2t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则)||21AB t =+，且O 到AB 的距离为12d t ⎛=+ ⎝AOB ∆的面积()1||22S t AB d =⋅=≤，当且仅当12t =时，等号成立，故AOB ∆。
20．解：⑴由题210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤。
由()111n n n a a a --=-得()()()12111110n n n a a a a a --=--->，故102n a <≤，从而(]111,21n n n a a a +=∈-，即112n n a a +≤≤； ⑵由题21n n n a a a +=-，故11n n S a a +=- ①。