【解密高考】高考数学大一轮总复习三角函数平面向量阶段性综合检测理新人教A版

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高三数学一轮复习阶段检测卷二三角函数、解三角形与平面向量理(2021年整理)

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阶段检测二三角函数、解三角形与平面向量（时间：120分钟总分:150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1。

已知sin=cos(π—α）,则α的取值范围是( ）A 。

B 。

C. D.2。

已知角α的顶点在原点,始边为x轴正半轴,终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m ，m），则sin 2α=（)A.±B.C.±D.3.已知向量与向量a=(1，—2)的夹角为π,｜｜=2,点A的坐标为（3，—4）,则点B的坐标为( )A。

(1,0）B。

（0,1）C.(5，-8) D。

(-8，5)4.已知tan（α—2β)=-,tan（2α—β）=-,则tan(α+β）=( ）A。

- B 。

C.D 。

5。

已知函数f（x）=sin(2x+φ）的图象关于直线x=对称,则φ可能是（）A 。

B 。

C 。

—D 。

6。

已知△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a,b,c,且a,b，c成等比数列，若sinB=，cos B=，则a+c的值为（)A。

13 B.3C。

37 D.137.已知函数f(x)=2sin（ωx+φ），其中ω〉0，—π<φ≤π.若f（x)的最小正周期为6π，且当x=时, f（x)取得最大值,则（）A.f(x)在区间[—2π，0］上单调递增B.f(x)在区间[—3π，—π］上单调递增C.f(x）在区间[3π，5π］上单调递减D。

新高考数学理一轮总复习知能演练专题二三角函数、平面向量综合题的解答(含答案详析)

π 1． (2013 安·徽皖南质检)已知函数f(x) ＝ Asin( ωx＋ φ) A ＞ 0， ω＞ 0， |φ|＜， x ∈ R 的图2象的一部分如下图．(1)求函数 f(x)的分析式；(2)当 x ∈ － 6，－2时，求函数 y ＝ f(x)＋ f(x ＋ 2)的最大值与最小值及相应的 x 的值．3解： (1)由图象知 A ＝ 2， T ＝ 8，2π π∵T ＝ ω＝ 8，∴ω＝ 4.π又∵图象经过点 ( －1,0)，∴2sin － 4＋φ ＝ 0. π π∵|φ|＜2，∴φ＝ 4.π π∴f(x)＝ 2sin 4x ＋4 .(2)y ＝ f(x)＋ f(x ＋ 2)π ππ π π＝ 2sin 4x ＋4 ＋ 2sin 4x ＋ 2＋ 4π π π ＝ 2 2sin4x ＋ 2 ＝ 22cos 4x.23π ππ∵x ∈－ 6，－ 3 ，∴－ 2 ≤ 4x ≤ － 6.π π 2时， y ＝ f(x)＋ f(x ＋ 2)获得最大值 6；当 π ∴当，即 x ＝－4x ＝－ π，即 x ＝－ 4 时， 4x ＝－ 6 3y ＝ f(x)＋ f(x ＋ 2)获得最小值－ 2 2.2． (2012 ·高考湖北卷)已知向量 a ＝ (cos ωx－ sin ωx， sin ωx )， b ＝ (－ cos ωx－ sin ωx ,23cos ωx )，设函数 f(x)＝ a ·b ＋ λ(x ∈R )的图象对于直线x ＝ π对称，此中 ω，λ为常数，且ω∈(1) 求函数 f(x)的最小正周期；3π (2) 若 y ＝ f(x) 的图象经过点 π，求函数 f(x)在区间 0，， 0 上的取值范围．452 23sin ωx·cos ωx＋ λ解： (1)f(x) ＝ sin ωx－ cos ωx＋ 2π ＝－ cos2ωx＋ 3sin2ωx＋ λ＝ 2sin 2ωx－ 6 ＋ λ.由直线 x ＝ π是函数 f(x)图象的一条对称轴，可得πsin 2ωπ－ 6 ＝±1，ππ k 1因此 2ωπ－ 6＝ k π＋2(k ∈Z )，即 ω＝2＋ 3(k ∈Z )．1 5 又 ω∈2， 1 ，故 ω＝ 6.1，1 .2因此 f(x)的最小正周期是6π5 .(2)由 y ＝ f(x) 的图象过点π，得 f π， 0 4 ＝ 0，45 π π π即 λ＝－ 2sin 6× 2－6 ＝－ 2sin 4＝－ 2，即 λ＝－ 2.5π故 f(x)＝ 2sin 3x － 6 － 2，3π π 5 π 5π由 0≤x ≤ 5 ，有－ 6≤ 3x －6≤ 6 ，因此－ 1≤ sin 5 π≤1，得23x － 6 5π－ 1－ 2≤2sin 3x － 6 － 2≤ 2－ 2，故函数 f(x)在 0，3π5 上的取值范围为 [－ 1－ 2， 2－ 2]．3π3． (2013 锦·州质检 )向量 a ＝ (2,2)，向量 b 与向量 a 的夹角为 4 ，且 a ·b ＝－ 2.(1)求向量 b ； (2)若 t ＝ (1,0)，且 b ⊥ t ，c ＝ cosA ， 2cos2C，此中 A 、B 、C 是△ ABC 的内角，若△ ABC2的内角 A 、 B 、C 挨次成等差数列，试求 |b ＋ c |的取值范围．解： (1)设 b ＝ (x ， y)，则 a ·b ＝ 2x ＋ 2y ＝－ 2，且 |b |＝a ·b＝ 1＝ x 2＋ y 2，3π|a |cos 4x ＝－ 1，x ＝ 0，∴解得或y ＝ 0，y ＝－ 1.∴b ＝(－1,0)或 b ＝ (0，－ 1)．(2)∵b ⊥t ，且 t ＝ (1,0)，∴b ＝ (0，－ 1)．π∵A 、 B 、C 挨次成等差数列，∴ B ＝ 3.2C∴b ＋c ＝ cosA ， 2cos 2 －1 ＝ (cosA ， cosC)．∴|b ＋c |2＝cos 2A ＋ cos 2C1 ＝ 1＋2(cos2A ＋ cos2C)1 4π ＝ 1＋2 cos2A ＋ cos3 －2A113＝ 1＋2 cos2A －2cos2A － 2 sin2A 1 π＝ 1＋2cos 2A ＋3 . π π 5π∵2A ＋ 3∈ 3， 3 ，π 1∴－1≤ cos 2A ＋ 3 ＜ 2，1 2 5∴ ≤|b ＋ c | ＜，242≤ |b ＋c |＜ 5∴2 2 .4． (2011 高·考福建卷 )设函数 f(θ)＝ 3sin θ＋ cos θ，此中，角 θ的极点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ， y)，且 0≤θ≤ π.(1)若点 P 的坐标为 1，3，求 f(θ)的值；22x ＋ y ≥ 1(2)若点 P( x ，y)为平面地区 Ω： x ≤ 1，上的一个动点，试确立角θ的取值范围，y ≤ 1并求函数 f(θ)的最小值和最大值．3sin θ＝ 2 ，解： (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得1cos θ＝2.3 1于是 f(θ)＝ 3sin θ＋ cos θ＝ 3× 2 ＋ 2＝ 2.(2)作出平面地区 Ω(即图中暗影部分 )如下图，此中 A(1,0)， B(1,1)，C(0,1) ．π于是 0≤ θ≤ 2.π又 f(θ)＝ 3sin θ＋ cos θ＝ 2sin(θ＋ 6)，π π 2π≤θ＋ ≤且 6 6 3 ，π π π故当 θ＋ 6＝ 2，即 θ＝3时，f(θ)获得最大值，且最大值等于 2；π π 当 θ＋ 6＝ 6，即 θ＝ 0 时，f(θ)获得最小值，且最小值等于 1.π ππ5．已知函数 f(x)＝ 2cos(x ＋ 3)[sin( x ＋ 3) － 3cos(x ＋ 3)] ．(1)求 f(x)的值域和最小正周期；π(2)若对随意 x ∈ [0， 6] ，使得 m[f(x)＋ 3]＋ 2＝0 恒建立，务实数m 的取值范围．π π π解： (1)f(x) ＝ 2sin(x ＋ )cos(x ＋)－ 2 3cos 2(x ＋)3332π2π＝ sin(2x ＋ 3 )－ 3[cos(2x ＋ 3 )＋ 1]2π 2π ＝ sin(2x ＋ 3 )－ 3cos(2x ＋ 3 )－ 3π＝ 2sin(2x ＋ 3)－ 3.π ∵－1≤ sin(2x ＋3)≤ 1，∴－2－ 3≤ π2π2sin(2 x ＋3， T ＝＝ π，3)－ 3≤ 2－2即 f(x)的值域为 [ － 2－ 3， 2－ 3]，最小正周期为 π.π π π 2π(2)当 x ∈[0， 6] 时， 2x ＋ 3∈[3， 3 ]，π3故 sin(2x ＋ 3)∈[ 2 ， 1]，π此时 f(x)＋ 3＝ 2sin(2x ＋ 3)∈[ 3，2]．由 m[f(x)＋3]＋2＝ 0 知， m ≠ 0，且 f(x)＋ 3＝－ 2 ，m 2m ＋ 3≤ 02≤2，即∴ 3≤ －m2 ＋2≥0，m解得－ 2 3 3≤ m ≤－ 1.即实数 m 的取值范围是－ 2 33，－1 .6.(2013 安·徽名校质检 )如下图， A 、 B 分别是单位圆与 x 轴、 y 轴正半轴的交点，点 P在单位圆上，∠ AOP ＝ θ(0＜ θ＜ π)， C 点坐标为 (－ 2,0)，平行四边形 OAQP 的面积为 S.→ →(1)求 OA ·OQ ＋ S 的最大值；(2)若 CB ∥ OP ，求 sin 2θ－ π的值．6解： (1)由已知得 A 、 B 、P 的坐标分别为 (1,0)、 (0,1)、(cos θ，sin θ)，∵四边形 OAQP 是平行四边形，→ → →＋ (cos θ， sin θ)＝ (1＋ cos θ， sin θ)， ∴OQ ＝ OA ＋ OP ＝ (1,0)→ → ∴OA ·OQ ＝1＋ cos θ，又平行四边形 → →OAQP 的面积 S ＝ |OA| ·|OP|sin θ＝ sin θ， → → θ＋ π ＋ 1. ∴OA ·OQ ＋S ＝ 1＋ cos θ＋ sin θ＝ 2sin 4∵0＜θ＜ π，π → →2＋ 1.∴当θ＝时， OA ·OQ ＋ S 的最大值为4→ →(2)由题意知， CB ＝ (2,1)， OP ＝ (cos θ， sin θ)，∵CB ∥OP ，∴tan θ＝12，π∵0＜θ＜ π，∴0＜ θ＜2，由 cos θ＝ 2sin θ， cos 2θ＋ sin 2θ＝ 1，52 5得 sin θ＝ 5 ， cos θ＝ 5 ，∴sin2θ＝ 2sin θcos θ＝ 4， cos2θ＝ cos 223， 5θ－ sin θ＝ 5 π π π ∴sin 2θ－6 ＝ sin2θcos 6－ cos2θsin 6＝ 4× 4 3－ 3 3－3× 1＝ 10 .5 2 5 2。

【解密高考】届高考数学大一轮总复习三角函数平面向量阶段性综合检测理新人教A版

三角函数平面向量时间120分钟满分150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·马鞍山二模)已知角α的终边上一点的坐标为(sin 23π，cos 23π)，则角α的最小正值为( )A.56π B.23π C.53π D.116π 解析：∵sin 23π＞0，cos 23π＜0，∴点(sin 23π，cos 23π)在第四象限，又∵tan α＝cos 23πsin 23π＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝116π. 答案：D2．(2014·常熟二模)已知sin10°＝a ，则sin70°等于( ) A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1解析：sin70°＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2. 答案：A3．(2014·安庆二模)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ≤2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于( )A.π6B.11π6 C.7π6D.5π6解析：y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋116π)，将y ＝sin x 的图象向左平移116π个单位后得到y ＝sin(x ＋116π)，即y ＝sin(x －π6)的图象．答案：B4．(2014·淮北一模)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3D. 2解析：由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，得sin C ＝12，于是有C ＝30°，从而A ＝30°.于是，△ABC 是等腰三角形，故a ＝c ＝ 2.答案：D5．(2014·连云港一模)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则该函数的解析式是( )A ．y ＝2sin(2x －56π)B ．y ＝2sin(2x ＋56π)C ．y ＝2sin(2x －π6)D ．y ＝2sin(2x ＋π6)解析：由图象可知A ＝2，T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)，又∵2sin(2×π6＋φ)＝2，∴sin(π3＋φ)＝1，∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin(2x ＋π6)．答案：D6．(2014·漳州一模)函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图象为C ，如下结论中正确的是( )A ．图象C 关于直线x ＝π6对称B ．图象C 关于点(－π6，0)对称C ．函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数D ．由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C解析：由f (π6)＝0≠±3，故A 错误；由于正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点，且f (－π6)＝3sin(－2×π6－π3)＝－332≠0，所以(－π6，0)不在函数图象上，此函数图象不关于这点对称，故B 错误；令μ＝2x －π3，当－π12＜x ＜5π12时，－π2＜μ＜π2，由于y＝3sin μ在(－π2，π2)上是增函数，故C 正确；D 错误，由于y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得y ＝3sin2(x －π3)，即y ＝3sin(2x －2π3)的图象，而不是图象C . 答案：C7．(2014·华师附中一模)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值，最小值分别是( )A ．42，0B ．4,4 2C ．16,0D ．4,0解析：∵|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ＋π6)，易知0≤8－8cos(θ＋π6)≤16，∴|2a －b |的最大值和最小值分别为4和0. 答案：D8．(2014·荆门一模)在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A ．[π4，π3]B ．[π6，π4]C ．[π6，π3]D ．[π3，π2]解析：设AB →与BC →的夹角为θ，则AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝3， ∴|AB →||BC →|＝3cos θ.又S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin θ＝12×3cos θ×sin θ＝32tan θ，由题意32≤32tan θ≤32， ∴33≤tan θ≤1，解得π6≤θ≤π4. 答案：B9．(2014·绍兴调研)已知点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足BA →·OA →＋|BC →|2＝AB →·OB →＋|AC →|2，则点O ( )A ．在AB 边的高所在的直线上 B ．在∠C 平分线所在的直线上 C ．在AB 边的中线所在的直线上D ．是△ABC 的外心解析：由|BC →|2－|AC →|2＝AB →·(OA →＋OB →) BC →2－AC →2＝AB →(OA →＋OB →)(BC →－AC →)(BC →＋AC →)＝AB →(OA →＋OB →)BA →(BC →＋AC →)＝AB →(OA →＋OB →) AB →(OA →＋OB →＋BC →＋AC →)＝0 AB →·2OC →＝0，∴AB →·OC →＝0，得点O 在AB 边的高所在的直线上．答案：A10．(2014·黄冈一模)已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA →＋BP →＋CP →＝0，则|PD →||AD →|等于( )A.13B.12C ．1D ．2解析：由于D 为BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB →＋PC →＝2PD →，因此结合PA →＋BP →＋CP →＝0即得PA →＝2PD →，因此易得P ，A ，D 三点共线且D 是PA 的中点，所以|PD →||AD →|＝1. 答案：C11．(2014·荷泽调研)如图所示，正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( )A ．0B ．1C ．2D. 2解析：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为1， ∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，且a ·b ＝0， ∵a 与c 的夹角为135°，b 与c 的夹角为45°， ∴|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝1＋1＋2＋0＋2×2－22＋2×2×22＝2. 答案：C12．(2014·抚顺六校二模)以原点O 和A (4,2)为两个顶点作等腰三角形OAB ，∠OBA ＝90°，则点B 的坐标为( )A ．(1,3)或(3，－1)B ．(－1,3)或(3,1)C ．(1,3)或(3,1)D ．(1,3)解析：设点B 的坐标为(x ，y )，则OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －4，y －2)． ∵∠OBA ＝90°，即OB →⊥AB →，OB →·AB →＝0， ∴x (x －4)＋y (y －2)＝0，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0，①设OA 的中点为C ，则点C (2,1)，OC →＝(2,1)，CB →＝(x －2，y －1)，在等腰三角形AOB 中，OC →⊥CB →，∴2(x －2)＋y －1＝0，即2x ＋y －5＝0，②解①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故B 点坐标为(1,3)或(3，－1)．答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量解三角形5.3解三角形专用题组理新人教B版

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量解三角形 5.3解三角形专用题组理新人教B版考点一正弦、余弦定理答案 A 由正弦定理得sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin B,即sin Bsin(A+C)=sin B,因为sin B≠0,所以sin B=,所以∠B=或π,又因为a>b,故∠B=,选 A.19.(xx陕西,7,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,得sin(B+C)=sin2A,∴sin A=1,即A=.故选 B.20.(xx福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsin A=10得sin A=,因为A为锐角,所以A=60°,cos A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-2×40×=49,故a=7,即BC=7. 评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键. 21.(xx浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC=.答案解析令∠BAM=β,∠BAC=α，故|CM|=|AM|sin(α-β),∵Ｍ为BC的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β).在△AMB中,由正弦定理知:=,即=,∵sin β=,∴cos β=,∴=cos α·=sin αcos α-cos2α，整理得1=2sin αcos α-cos2α，解得tan α=,故sin α=.评析本题考查解三角形,正弦定理的应用和三角函数求值问题.考查学生的图形观察能力和数据处理能力.如何利用M是BC中点是解答本题的关键.22.(xx湖北,11,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .答案解析由已知得a2+b2-c2=-ab,∴cos C==-,∴C=.评析本题考查余弦定理,考查学生的运算求解能力.23.(xx重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c= .答案解析∵A,B,C为三角形内角且cos A=,cos B=,∴sin A=,sin B=.sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.由正弦定理=,得c=b×=3×=.评析本题考查同角三角函数关系及正弦定理.24.(xx北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.解析(1)因为a=3,b=2,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cos A=.(2)由(1)知cos A=,所以sin A==.又因为∠B=2∠A,所以cos B=2cos2A-1=.所以sin B==.在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c==5.评析本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式和诱导公式的熟练应用是解决本题的关键.考点二解三角形及其综合应用16.(xx重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案 A 设△ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=π-B,A+B=π-C.于是sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+?sin 2A+sin 2B=-sin 2C+?sin 2A+sin 2B+sin 2C=?2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=?2sin C·[cos(A-B)-cos(A+B)]=?4sin Asin Bsin C=?sin Asin Bsin C=.则S=absin C=2R2·sin Asin Bsin C=R2∈[1,2],∴R∈[2,2],∴abc=8R3sin Asin Bsin C=R3∈[8,16 ],知C、D均不正确.bc(b+c)>bc·a=R3≥8,∴Ａ正确.事实上,注意到a、b、c 的无序性,并且16>8,若B成立,则A必然成立,排除B.故选A.17.(xx浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 18.(xx陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以△ABC的面积为absin C=.19.(xx四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)tan===.(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+++=+.连结BD.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,所以AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A.则cos A===.于是sin A===.连结AC.同理可得cos B===,于是sin B===.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.20.(xx北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B=×-×=.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD===3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.评析本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.21.(xx陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴ｂ2=ac.由余弦定理得cos B==≥=,当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.22.(xx安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·．因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A===-.由于0<A<π,所以sin A===.故sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.评析本题考查正、余弦定理,三角变换等知识,属容易题.23.(xx浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求△ABC的面积.解析(1)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由a<c,得A<C.从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以,△ABC的面积为S=acsin B=.评析本题主要考查诱导公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.24.(xx四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cos B-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-.(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由2cos2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sinB-cos B=-,即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.(2)由cos A=-,0<A<π,得sin A=,由正弦定理,有=,所以sin B==.由题意知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×，解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cos B=.评析本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化等数学思想.25.(xx安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B===,由题设知0<B<,所以cos B===.在△ABD中,由正弦定理得AD====.26.(xx湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.解析(1)由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin.又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,所以A∈．于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2+≤．由此可知sin A+sin C的取值范围是.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.27.(xx江西,16,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sinA)cos B=0.(2)若a+c=1,求b的取值范围.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0,因为sin A≠0,所以sin B-cos B=0,又cos B≠0,所以tan B=,又0<B<π,所以B=.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.因为a+c=1,cos B=,所以b2=3+.又0<a<1,于是有≤ｂ2<1,即有≤b<1.28.(xx课标全国Ⅰ,17,12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°．(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解析(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°．在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos 30°=.故PA=.(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α．在△PBA中,由正弦定理得=,化简得cos α=4sin α．所以tan α=,即tan∠PBA=.评析本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过PB把△PBC和△PAB联系起来利用正弦定理是解题关键.29.(xx江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin-csin=a.(1)求证:B-C=;(2)若a=,求△ABC的面积.解析(1)证明:由bsin-csin=a,应用正弦定理,得sin Bsin-sin Csin=sin A,sin B-sin Csin B+cos B=,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1,由于0<B,C<π,从而B-C=.(2)B+C=π-A=,因此B=,C=.由a=,A=,得b==2sin,c==2sin,所以△ABC的面积S=bcsin A=sin·sin=cos·sin=.评析本题主要考查解三角形的基本知识,运用正弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式进行求解,考查了推理运算能力及应用意识.。

高考数学一轮总复习专题2 三角函数与平面向量课件理

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[解析]
(1)函数f(x)＝sin2x＋
3sin
xcos
x＝1－c2os
2x＋
3 2 sin
2x＝sin2x－π6＋12，
f(x)的最小正周期为T＝22π＝π.
(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，
可得2x－π6∈－56π，2m－π6，
即有2m－π6≥π2，解得m≥π3，
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【例3】 (2018·湖南期末)已知a＝(5 3cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x) ＝a·b＋|b|2＋32. (1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心； (2)当x∈π6，π2时，求函数f(x)的值域； (3)该函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
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解析：(1)由题设知f(x)＝121＋cos2x＋π6. 因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，所以2x0＋π6＝kπ，k∈Z. 即2x0＝kπ－π6，k∈Z.
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所以g(x0)＝1＋12sin 2x0＝1＋12sinkπ－π6，k∈Z. 当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin－π6＝1－14＝34，当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝54.
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(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝121＋cos2x＋π6＋1＋12sin 2x＝12cos2x＋π6＋sin 2x＋32
＝12
3 2 cos
2x＋12sin

高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题03三角函数图像与性质文(含解析)

高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题03三角函数图像与性质文（含解析）一、本专题要特别小心：1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减）2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几4.五点作图法的步骤5.利用图象求周期6.已知图象求解析式二．【学习目标】1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象.2.会用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx＋φ)的图象，理解A ，ω，φ的物理意义.3.掌握函数y ＝A sin (ωx＋φ)与y ＝sin x 图象间的变换关系.4.会由函数y ＝A sin (ωx＋φ)的图象或图象特征求函数的解析式. 三．【方法总结】1.五点法作图时要注意五点的选取，一般令ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，算出相应的x 值，再列表、描点、作图.2.函数图象变换主要分平移与伸缩变换，要注意平移与伸缩的多少与方向，并要注意变换的顺序.3.给出y ＝Asin(ωx＋φ)的图象，求它的解析式，由最高点或最低点求A 值；常由寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，求φ值，由周期求ω值. 四．【题型方法规律总结】（一）ω与ϕ的求法例1.若0ω>，函数的图像向右平移3π个单位长度后关于原点对称，则ω的最小值为（） A ．112B ．52C ．12D ．32【答案】B 【解析】函数的图像向右平移3π个单位长度后，对应图像的解析式为，因为()g x 的图像关于原点对称，所以，故，因0ω>，故ω的最小值为52，故选B. 练习1。

已知函数，若4x π=-是()f x 图象的一条对称轴，(,0)4π是()f x 图象的一个对称中心，则（） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】因为4x π=-是()f x 图象的一条对称轴，所以①，又因为,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，所以②，②-①得，，所以ω可以表示为：，已知0ω>，所以ω是从1开始的奇数，对照选项，可以选C.练习2.函数（0ω＞，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（）A ．2,3-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π【答案】A 【解析】，∴2T wππ==，2ω∴=，则有，代入512x π=得，则有，，，又22ππϕ-<<， 3πϕ∴=-故答案选A 练习3.已知函数，当时，||m n -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为 A ．9π B ．6π C ．29π D ．3π 【答案】C 【解析】由题可得，因为当时，||m n -的最小值为3π，所以函数()f x 的最小正周期，则223ππω=，解得3ω=，所以，将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位后，得到函数的图象，因为函数的图象关于y 轴对称，所以36ϕπ-=，解得，因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为2399πππ-=．故选C ．（二）由函数性质求解析式例2. 已知函数的图象经过两点， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为，由图可知，又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以，因为，由图可知，，解得，又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=，所以，故答案选D. 练习1.已知函数的图像过两点在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则()f x =（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由已知得，所以4πϕ=或34π. 当4πϕ=时，，所以.若=3ω时，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭有一个极大值点，不符合题意；若7ω=时，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内极大值点为28π，小于极小值点528π，符合题意；当34πω=时，，所以.若5ω=时，在04π⎛⎫⎪⎝⎭，有一个极小值点，不符合题意；若=9ω时，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭极小值点12π和极大值点736π，不符合题意.综上所述：应选C. （三）的图象与性质例3. 已知函数，则下列结论中正确的个数是（）．①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题意，函数，①中，由不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错；②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数的图象，故②对；③中，由，可得,03π⎛⎫-⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由，解得，即增区间为，由，解得，即减区间为，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错．故选：A ．练习1.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间距离为2π，将函数()y f x =的向右平移6π个单位长度后，得到关于y 轴对称，则（） A ．()f x 的关于点(,0)6π对称B ．()f x 的图象关于点(,0)6π-对称C ．()f x 在ππ(,)63-单调递增 D ．()f x 在2(,)36ππ--单调递增【答案】C 【解析】∵函数，其图象相邻两条对称轴之间距离为1222ππω⋅=，∴2ω=，.将函数()y f x =的向右平移6π个单位长度后，可得的图象，根据得到的图象关于y 轴对称，可得，k Z ∈，∴6πϕ=-，.当6x π=时，1()2f x =，故()f x 的图象不关于点(,0)6π对称，故A 错误；当6x π=-时，()1f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不不关于点(,0)6π对称，故B 错误；在ππ(,)63-上，，()f x 单调递增，故C 正确；在2(,)36ππ--上，，()f x 单调递减，故D 错误，故选：C ．练习2. 将函数的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（）A ．函数()g x 的最小正周期是πB ．()g x 图像关于直线7π12x =对称 C ．函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()g x 图像关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】C【解析】由题意，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，可得，对于A ,函数的最小正周期为2=2ππ，所以该选项是正确的；对于B ，令712x π=，则为最大值，∴函数()g x 图象关于直线712x π=，对称是正确的；对于C 中，[,]63x ππ∈-，则，0]，则函数()g x 在区间[,]63ππ-上先减后增，∴不正确；对于D 中，令3x π=，则，()g x ∴图象关于点(,0)3π对称是正确的，故选：C ．练习3．把函数的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在,12πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[2,4]-，则θ的值是（） A ．0 B ．12πC ．6π D ．4π 【答案】D【解析】把函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到的图象，又，则，当时，g(x)的最大值为4，若g(x)的最小值为-2，则分析得，∴，所以4πθ=.练习4.已知函数的部分图像如图所示，现将()f x 图像上所有点向左平移24π个单位长度得到函数()g x 的图像，则()g x （）A ．在,212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 B ．在,213ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数C ．在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 D ．在,313ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数【答案】D【解析】由图象得，2A =，，则22Tπω== 又，k Z ∈ ，k Z ∈2πϕ<4πϕ∴=当时，，此时()g x 不单调，可知A 错误；当时，，此时()g x 不单调，可知B 错误；当时，，此时()g x 不单调，可知C 错误；当时，，此时()g x 单调递增，可知D 正确.本题正确选项：D （四）的图象与性质例4. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为奇函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是（） A ．3⎡-⎣B ．()2,2-C ．(3,2⎤⎦D ．(3,3-【答案】A【解析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π，可知()f x 最小正周期为π 即：22πωπ==向左平移6π个单位长度得：()g x 为奇函数，k Z ∈即：6k πϕπ=+，k Z ∈又2πϕ<π6∴=ϕ当0,2x时，本题正确选项：A 练习1.已知函数()0ω>的最小正周期为π，若函数()y f x =在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】22πωπ==，，令，解得，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B. 练习2．已知函数()0ω>的最小正周期为π，且对x R ∈，恒成立，若函数()y f x =在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】因为函数的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得，所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则，k Z ∈，即，所以，令，解得，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.练习3.已知函数的图象的一条对称轴为π3x =，ϕ满足条件，则ω取得最小值时函数()f x 的最小正周期为( )A ．π2B ．π5C ．πD ．4π5【答案】D 【解析】，，，即，即，则1sin 2ϕ=，π02ϕ<<，∴π6ϕ=，则，又直线π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴，∴，则，0>ω ，∴ω的最小值为52，此时函数()f x 的最小正周期为4π5. 故选D ．（五）的性质例5．已知函数，则下列说法不正确的是（）A ．()y f x =的最小正周期是πB ．()y f x =在ππ(,)44-上单调递增 C ．()y f x =是奇函数 D ．()y f x =的对称中心是【答案】A 【解析】，最小正周期为2T π=；单调增区间为，即，故0k =时，()f x 在,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；()f x 定义域关于原点对称，，故()f x 为奇函数；()f x 对称中心横坐标为22k x π=，即4k x π=，所以对称中心为,04k π⎛⎫⎪⎝⎭()k ∈Z 练习1. 已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为123,,x x x ，则（） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】D【解析】由题意得，，则，易知直线过定点()0,0，如图，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点， ∴，则切线方程过点，∴，即，则，∴.故选D.（六）三角函数与其它函数的综合例6. 函数的零点的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由()0f x =得,在同一坐标系下画出函数的图像，如图所示，，从图像上看，两个函数有5个交点，所以原函数有5个零点. 故选：D练习1.已知函数()f x 的定义域为R ，，对任意的x R ∈满足()4f x x '>.当[0,2]απ∈时，不等式的解集为( )A ．711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意构造函数，则，∴函数()g x 在R 上为增函数．∵，∴．又，∴，∴1sin 2α>，∵02απ≤≤，∴566ππα<<， ∴不等式的解集为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ．练习2.已知函数，则函数与()f x 的图象在区间()1,1-上的交点个数为（） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】C 【解析】，因为22sin 2x xy x =+是奇函数，图像关于原点对称，所以()f x 的图像关于点()0,2对称，同理可得()g x 的图像也关于点()0,2对称，因为当()1,1-∈x 时，，所以()f x 在()1,1-上单调递增，且，作出()f x 和()g x 在()1,1-的图像可以看出交点个数为5.（七）三角函数与数列综合例7. ．己知函数的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图像沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ,下列说法正确的是（） A ．在[,]42ππ上是增函数 B ．其图像关于4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．在区间2[,]63ππ上的值域为[-2，1]【答案】D 【解析】可变形为，因为()y f x =的零点构成一个公差为2π的等差数列，所以()y f x =的周期为π，故ωππ2=，解得2ω=，所以，函数()f x 的图像沿x 轴向左平移6π个单位后得到，，选项A ：，解得：，即函数()y g x =的增区间为显然，故选项A 错误；选项B ：令，解得：，即函数()y g x =的对称轴为，不论k 取何值，对称轴都取不到4x π=，所以选项B 错误；选项C ：()y g x =的定义域为R ，因为，所以函数()y g x =不是奇函数，故选项C 错误；选项D ：当时，故，根据余弦函数图像可得，，故选项D 正确. 故本题应选D. 练习1.函数的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，……n A …在点列{}n A 中存在三个不同的点k A ，t A ，p A ，使得k t p A A A △是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=（） A ．40332πB ．40352πC ．40372πD ．40392π【答案】C【解析】由2x k πωπ=+，得(21)2k x πω+=，k Z ∈，由题意得，即，由123A A A 是等腰直角三角形，得，即221ππωω-⋅=-，得12πω=，同理147A A A 是等腰直角三角形得，得232πω=. 同理6111A A A 是等腰直角三角形得，得252πω=…… 则，故选C.练习2．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则=( )A ．12763πB ．445πC ．455πD ．14573π【答案】C 【解析】函数，令得，即()f x 的对称轴方程为.∵()f x 的最小正周期为.当30k =时，可得463x π=， ∴()f x 在460,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与3y =的交点有31个，且交点12,x x 关于3π对称，23,x x 关于56π对称，……，即，将以上各式相加得：则故选C.（八）三角方程例8.关于x 的方程在上有解，则实数m 的取值范围为（）A ．(2,3)-B ．[2,3]-C ．(3,3)-D ．[3,3]-【答案】B【解析】由关于x 的方程,在上有解，则函数的图像与直线y=m 在有交点，令t=6x π-,则如图,则，故选B.练习1.记函数,若曲线上存在点()00,x y 使得()00f y y =,则a 的取值范围是（）A ．()2,e 4-∞- B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，所以022y -≤≤，若()00f y y =有解，等价于()f x x =在22≤≤-x 上有解，即，也就有2x a e x =-在22≤≤-x 上有解，设，则，由()0h x '>，得为增函数，由()0h x '<，得为减函数，即当ln 2x =时，函数取得极小值同时也取得最小值，则)2(-h 为最大，即，要使2x a e x =-在22≤≤-x 上有解，只需，所以a 的取值范围是，故本题选C.（九）三角函数性质综合应用例9.已知函数的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+（） A ．43π B ．23π C ．3π D ．6π 【答案】B 【解析】函数的图象，对称轴方程：，∴，又304x π<<，∴对称轴方程：3x π=，由图可得1x 与2x 关于3x π=对称， ∴x 1+x 2＝2233ππ⨯=，故选B ．练习1. 已知函数，动直线x t =与的图像分别交于点,P Q PQ 、的取值范围是（）A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,2]【答案】D【解析】因为P Q 、为x t =与图像的交点所以根据辅助角公式，化简可得因为t R ∈ 所以PQ 的取值范围是0,2⎡⎤⎣⎦ 所以选D练习2.如图是函数的部分图象，将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到g （x ）的图象，给出下列四个命题： ①函数f （x ）的表达式为；②g（x ）的一条对称轴的方程可以为4x π=-；③对于实数m ，恒有；④f（x ）+g （x ）的最大值为2．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】由图象知，A ＝2，，即T ＝π，则2πω＝π，得ω＝2，由五点对应法得，则f （x ）＝2sin （2x+3π），故①正确，当x ＝3π时，f （3π）＝2sinπ＝0，则函数关于x ＝3π不对称，故③错误，将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到g （x ）的图象，即g （x ）＝2sin[2（x ﹣6π）+3π]＝2sin2x ，当4x π=-时，g （﹣4π）＝2sin （2π-）＝﹣2为最小值，则4x π=-是函数g （x ）的一条对称轴，故②正确，f （x ）+g （x ）＝2sin （2x+3π）+2sin2x ＝2sinxcos 3π+2cos2xsin 3π+2sin2x ＝3sin2x+3cos2x ＝23sin （2x+6π），则f （x ）+g （x ）的最大值为23，故④错误，故正确的是①②，故选：B ．练习3．若在,22m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则m 的最大值是（） A ．8π B ．4π C ．2π D ．38π 【答案】D【解析】，由辅助角公式可得：令，解得：，则函数()f x 的单调减区间为，又()f x 在,22m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则0m >，当0k =时，函数()f x 的单调减区间为，∴24324m m ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：308m π<≤，故答案选D 。

高考数学一轮总复习三角函数与向量解题思路详解

高考数学一轮总复习三角函数与向量解题思路详解【文章正文开始】在高考数学一轮总复习中，三角函数与向量是重要的考点之一。

掌握解题思路对于学生来说至关重要。

本文将详细介绍三角函数与向量的解题思路，帮助学生更好地应对高考数学考试。

一、三角函数解题思路1. 理解基本概念在解题之前，首先需要对三角函数的基本概念有足够的理解。

这包括正弦、余弦、正切等常见的三角函数及其定义、性质等。

只有理解了基本概念，才能更好地应用于解题过程中。

2. 运用特殊角的性质在解题过程中，经常会遇到特殊角的问题。

对于特殊角，我们可以根据其性质进行换算和简化。

例如，利用30°、45°、60°等特殊角的三角函数值可以快速解题，简化计算过程。

3. 利用三角函数的周期性三角函数具有周期性，即在一定区间内函数值呈现循环变化。

在解题过程中，可以利用三角函数的周期性进行变形和化简。

例如，将题目中给定的角度范围转换为同余角范围，或者利用周期性简化计算。

4. 运用三角函数的变角公式和和差公式三角函数的变角公式和和差公式在解题中起到了关键作用。

变角公式可以将一个角的三角函数值转换为另一个角的三角函数值，从而简化计算。

和差公式可以将两个角的三角函数值表示为一个角的三角函数值，从而使得问题的解法更加灵活多样。

5. 结合无理方程求解三角函数在解无理方程时具有重要的应用。

通过将无理方程转化为三角函数方程，再利用三角函数的性质和方程的特点进行求解，可以有效地解决一些复杂的问题。

学生在解题过程中应该灵活应用这一思路。

二、向量解题思路1. 理解向量的基本概念在解向量题目之前，首先需要对向量的基本概念和运算法则有清晰的理解。

这包括向量的定义、向量的加法、减法、数量乘法等基本运算。

只有掌握了基本概念和运算法则，才能进行后续的解题过程。

2. 运用向量的共线、共面和垂直的性质在解题过程中，常常会涉及到向量的共线、共面和垂直的性质。

学生可以根据向量的这些性质进行方程的构建和求解，从而得到问题的解答。

高考数学一轮总复习专题二三角函数、平面向量综合题的解答课件理

第一章从实验(shíyàn)学
第四章平面(píngmiàn)向量、数系的扩充
与复数的引入专题二三角函数、平面(píngmiàn)向量综合问题的解答
第一页，共28页。
目录
ONTENTS
1 聚焦考向透析 2 学科能力提升
首页尾页上页下页
第二页，共28页。
聚焦考向透析考向一三角(sānjiǎo)恒等变换与化简求值
第八页，共28页。
聚焦考向考透向析二三角函数(sānjiǎhánshù)图象性质的应用
例题(lìtí)精编
(2012·高考四川卷)函数
f(x)＝6cos2ω2x＋ 3sin ωx－3(ω＞0)
在一个周期内的图象如图所示，A 为图象
的最高点 B，C 为图象与 x 轴的交点，
且△ABC 为正三角形．
3 ＝－5.
含有角 A，B，C 及正弦、余弦．
解题目标：(1)求 sin A；(2)在△ABC 中， B→A在B→C上投影．
关系探究：
(1)由三角形内角和定理得 A＋C＝
(1)求 sin A 的值；
π－B，即 sin(A＋C)＝sin B，
(2)若 a＝4 2，b＝5，求向量B→A在B→C
然后利用两角和的余弦公式求得
f(x)＝sinx－π6 ＋cosx－π3 ＝ 23sin x－12cos x＋12cos x＋ 23sin x
＝ 3sin x， g(x)＝2sin2x2＝1－cos x.
(1)由
f(α)＝3
5
3 得
sin
α＝35.
又 α 是第一象限角，所以 cos α＞0.
从而 g(α)＝1－cos α＝1－ 1－sin2α 41
且△ABC 为正三角形．

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二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2014·唐山期末)y ＝log 12[cos(x 3＋π4)]的单调递增区间为________．解析：cos(x 3＋π4)＞0⇒2k π－π2＜x 3＋π4＜2k π＋π2(k ∈Z )．又由复合函数的单调性知，y ＝log 12u 是减函数，只需求出u ＝cos(x 3＋π4)＞0的减区间，即2k π≤x 3＋π4＜2k π＋π2，从而得原函数的增区间为[6k π－3π4，6k π＋3π4)(k ∈Z )．答案：[6k π－3π4，6k π＋3π4)(k ∈Z )14．(2014·石家庄诊断)设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2＝________.解析：由a ⊥b ，|a |＝1，可作一边长为1的矩形，∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )，即得－c 为该矩形的一条对角线．又∵(a －b )⊥c ，∴该矩形的两条对角线相互垂直， ∴所作的矩形为正方形，且其边长为1，对角线长为2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝1＋1＋2＝4. 答案：415．(2014·徐州模拟)已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝4，(12a ＋b )·(2a －3b )＝12，则|b |＝________，b 在a 方向上的投影等于________．解析：依题意可知(12a ＋b )·(2a －3b )＝12⇒a 2＋12a ·b －3b 2＝12，由|a |＝4，〈a ，b 〉＝45°，可知2|b |－3|b |2＋4＝0⇒|b |＝2或|b |＝－223(舍去)，b 在a 方向上的投影为|b |·cos45°＝2×22＝1. 答案：2，116．(2014·泉州二模)下面有五个命题： ①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }；③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点； ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin2x 的图象；⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)解析：①sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，∴T ＝π，正确． ②终边在y 轴上的角的集合应为{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }，错误．③由三角函数线可知在锐角范围内，sin x ＜x ，又y ＝sin x 和y ＝x 均为奇函数，∴它们的图象只有一个公共点，错误．④正确． ⑤y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是增函数，错误．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(2014·黄山一模)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知向量m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A2，sin A2)，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2)＝3，∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵b ＋c ＝3a ，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32＝32.∴sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝32.即sin(B ＋π6)＝32，∴B ＋π6＝π3或23π.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.综上，△ABC 为直角三角形．18．(2014·泰州模拟)(本小题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2. (1)求A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝45°；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC 的面积．(只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分)解：(1)依题意得2sin(A ＋π3)＝2，即sin(A ＋π3)＝1. ∵0＜A ＜π，∴π3＜A ＋π3＜4π3.∴A ＋π3＝π2，∴A ＝π6.(2)方案一选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝asin A sin B ＝2 2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64. ∴S ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.方案二选择①③.由余弦定理b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，得b 2＋3b 2－3b 2＝4，则b ＝2，c ＝23，所以S ＝12bc sin A ＝12×2×23×12＝ 3.说明：若选择②③，由c ＝3b ，得sin C ＝3sin B ＝62＞1，不成立，这样的三角形不存在．19．(2014·天门模拟)(本小题满分12分)如图，已知A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB 与BC 都等于1 km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45°方向上，在B 处看见塔在正东方向，在点C 处看见塔M 在南偏东60°方向上，求塔到直路ABC 的最短距离．解：由题意知∠CMB ＝30°，∠AMB ＝45°. ∵AB ＝BC ＝1，∴S △AMB ＝S △MBC ，即12MA ·MB ·sin45°＝12MC ·MB ·sin30°， ∴MC ＝2MA ，在△MAC 中，由余弦定理得，AC 2＝MA 2＋MC 2－2MA ·MC ·cos75°，∴MA 2＝43－22cos75°.设M 到AB 的距离为h ，则由△MAC 的面积得 12MA ·MC ·sin75°＝12AC ·h ， ∴h ＝2MA 22·sin75°＝22×43－22cos75°×sin75°＝7＋5313(km)，∴塔M 到直路ABC 的最短距离为7＋5313km.20．(2014·东营质检)(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (－1,0)，B (1,0)，顶点C 在直线y ＝3上． (1)sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，求点C 的坐标； (2)设CA ＞CB ，且CA →·CB →＝6，求角C .解：(1)设C (m ，3)，由已知及正弦定理得BC 2＋AC 2＝2AB 2＝8，即(m －1)2＋3＋(m ＋1)2＋3＝8，解得m ＝0，∴C (0，3)．(2)CA →＝(－1－m ，－3)，CB →＝(1－m ，－3)，由CA →·CB →＝6得m ＝±2.又∵CA ＞CB ， ∴m ＝2，∴CA ＝23，CB ＝2，∴cos C ＝CA 2＋CB 2－AB 22CA ·CB ＝32，∴C ＝π6.21．(2014·昆明一模)(本小题满分12分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k ＞0)，令f (k )＝a ·b . (1)求f (k )＝a ·b (用k 表示)；(2)当k ＞0时，f (x )≥x 2－2tx －12对任意的t ∈[－1,1]恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)由题设得|a |2＝|b |2＝1，对|k a ＋b |＝3|a －k b |两边平方得k 2a 2＋2k a ·b ＋b2＝3(a 2－2k a ·b ＋k 2b 2)，展开整理易得f (k )＝a ·b ＝k 2＋14k(k ＞0)．(2)f (k )＝k 2＋14k ＝k 4＋14k ≥12，当且仅当k ＝1时取等号．欲使f (k )≥x 2－2tx －12对任意的t ∈[－1,1]恒成立，等价于12≥x 2－2tx －12，即g (t )＝2xt －x 2＋1≥0在[－1,1]上恒成立，而g (t )在[－1,1]上为单调函数或常函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝2x －x 2＋1≥0，g－＝－2x －x 2＋1≥0，解得1－2≤x ≤2－1，故实数x 的取值范围为[1－2，2－1]．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

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