第四章一次函数综合题

第四章一次函数综合题1．如图，直线y=kx+4与x轴、y轴分别交于点C、D，点C的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．（1）求k的值和该直线的函数解析式；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．2．已知：如图，直线y=kx+6与x轴y轴分别交于点E，F．点E的坐标为（8，0），点A的坐标为（6，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第一象限内的直线y=kx+6上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．3．为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系式．（1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：档次第一档第二档第三档每月用电量x（度）0＜x≤140 __________________（2）小明家某月用电120度，需交电费_________元；（3）求第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式；（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m 的值．4．黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式．（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？11B AO yx5．如图1，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，由A ⇒B ⇒C ⇒D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为Y ，点P 运动的路程为X ，请解答下列问题： （1）当x=1时，求y 的值；（2）就下列各种情况，求y 与x 之间的函数关系式：①0≤x ≤4；②4＜x ≤8 ③8＜x ≤12；（3）在给出的直角坐标系（图2）中，画出（2）中函数的图象．6、已知：如图，A 点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B 点坐标为()03，． （1）求过A B ，两点的直线解析式； （2）过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2OP OA =，求ABP ∆的面积。

7、平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点P 在直线y ＝－x ＋m 上，且AP ＝OP ＝4．求m 的值。

8、 (1)如图，一次函数y=223x -+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC=90∘，求过B 、C 两点直线的解析式.参考答案与试题解析1．如图，直线y=kx+4与x轴、y轴分别交于点C、D，点C的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．（1）求k的值和该直线的函数解析式；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．考点：一次函数综合题。

专题：动点型。

分析：（1）直接把C、D两点坐标用待定系数法可以确定k的值和该直线的函数解析式；（2）如下图，过P作PM⊥OC于M，则△OPA的面积S=OA•PM，而OA已知，PM=y，然后用x表示y，这样就可以求出S与x的函数关系式．解答：解：（1）∵C（﹣8，0），∴0=﹣8k+4，∴k=，∴y=x+4．（2）过P作PM⊥OC于M，则：S=OA•PM=×6×y=3y=3×（），∴S=x+12，∵P在第二象限内的直线上的一个动点，∴﹣8＜x＜0．点评：此题这样考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，也把求三角形的面积和一次函数的图象结合起来了，有一定的综合性．2．已知：如图，直线y=kx+6与x轴y轴分别交于点E，F．点E的坐标为（8，0），点A的坐标为（6，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第一象限内的直线y=kx+6上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题。

专题：动点型。

分析：（1）直接把E的坐标为（8，0）代入y=kx+6就可以求出k的值；（2）根据三角形的面积公式S△OPA=，然后把y转换成x，△OPA的面积S与x的函数关系式就可以求出了；（3）直接把S=9代入（2）中的解析式里．就可以求出x，然后确定P的坐标．解答：解：（1）把点E（8，0）代入y=kx+6，得8k+6=0，解得，k=；（2）∵点P（x，y）在第一象限内的直线y=x+6上∴点P的坐标为（x，x+6）且x＞0，x+6＞0过点P作PD⊥x轴于点D，则△OPA的面积=OA×PD即∴（0＜x＜8）；（3）由S=9得，，解得x=4，把x=4代入y=x+6，得y=×4+6=3这时，P有坐标为（4，3）；即当P运动到点（4，3）这个位置时，△OPA的面积为9．点评：此题这样考查一次函数的图象的性质，还有三角形的面积公式，把求三角形的面积和一次函数的图象结合起来，综合性比较强．3．为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系式．（1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：档次第一档第二档第三档每月用电量x（度）0＜x≤140 140＜x≤230x＞230（2）小明家某月用电120度，需交电费54元；（3）求第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式；（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值．考点：一次函数的应用。

分析：（1）利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出：二档，第三档中x的取值范围；（2）根据第一档范围是：0＜x≤140，利用图象上点的坐标得出解析式，进而得出x=时，求出y的值；（3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：y=ax+c，（140，63），（230，108）代入得出即可；（4）分别求出第二、三档每度电的费用，进而得出m的值即可．解答：解：（1）利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出第二档：140＜x≤230，第三档x＞230；（2）根据第一档范围是：0＜x≤140，根据图象上点的坐标得出：设解析式为：y=kx，将（140，63）代入得出：k==0故y=0.45x，当x=120，y=0.45×120=54（元），故答案为：54；（3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：y=ax+c，将（140，63），（230，108）代入得出：，解得：，则第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：y=x﹣7（140＜x≤230）；（4）根据图象可得出：用电230度，需要付费108元，用电140度，需要付费63元，故，108﹣63=45（元），230﹣140=90（度），45÷90=0.5（元），则第二档电费为0.5元/度；∵小刚家某月用电290度，交电费153元，290﹣230=60（度），153﹣108=45（元），45÷60=0.75（元），m=0.75﹣0.5=0.25，答：m的值为0.25．点评：此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象获取正确信息是解题关键．4.黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式．（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？考点：一次函数的应用。

分析：（1）由图象可得出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式，分为段求函数关系式；（2）由图象可知，当8＜t≤13时，渔船和渔政船相遇，利用“两点法”求渔政船的函关系式，再与这个时间段，渔船的函数关系式联立，可求相遇时，离港口的距离，求两船与黄岩岛的距离；（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，8＜t≤13，渔船与渔政船相距30海里，有两种能：①s渔﹣s渔政=30，②s渔政﹣s渔=30，将函数关系式代入，列方程求t．解答：解：（1）当0≤t≤5时，s=30t，当5＜t≤8时，s=150，当8＜t≤13时，s=﹣30t+390；（2）设渔政船离港口的距离s与渔船离开港口的时间t之间的函数关系式为s=kt则，解得．所以s=45t﹣360；联立，解得．所以渔船离黄岩岛的距离为150﹣90=60（海里）；（3）s渔=﹣30t+390，s渔政=45t﹣360，分两种情况：①s渔﹣s渔政=30，﹣30t+390﹣（45t﹣360）=30，解得t=（或9.6）；②s渔政﹣s渔=30，45t﹣360﹣（﹣30t+390）=30，解得t=（或10.4）．所以，当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里．点评：本题考查了一次函数的应用．关键是根据图象求出渔船的分段函数的解析式及渔政船行驶的函数关系式．5.如图1，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A⇒B⇒C⇒D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成的面积为Y，点P运动的路程为X，请解答下列问题：（1）当x=1时，求y的值；（2）就下列各种情况，求y与x之间的函数关系式：①0≤x≤4；②4＜x≤8 ③8＜x≤12；（3）在给出的直角坐标系（图2）中，画出（2）中函数的图象．考点：一次函数综合题。

专题：动点型。

分析：（1）直接根据三角形的面积公式可得y=AM•AP=1；（2）①当0≤x≤4时，AP=x，直线MP扫过正方形所形成的图形为Rt△MAP，其面积y1=AM•AP=×2×x=x；②当4＜x≤8时，BP=x﹣4，直线MP扫过正方形所形成的图形为梯形MABP，其面为：y2=（AM+PC）•AB=[2+（x﹣4）]×4=2x﹣4；③当8＜x≤12时，DP=12﹣x．直线MP扫过正方形所形成的图形为五边形MABCP其面积为：y3=S正方形ABCD﹣S Rt△MPD=x+4；（3）分别描出点（4，4），（8，12），（12，16），连线即可．解答：解：（1）由题意，x=1时，AP=1，∴y=AM•AP=×2×1=1；（2分）（2）①当0≤x≤4时，点P由A→B在AB线段上运动，AP=x，直线MP扫过正方形所形成的图形为Rt△MAP，其面积为：y1=AM•AP=×2×x=x；（4分）②当4＜x≤8时，点P由B→C在BC线段上运动，BP=x﹣4，直线MP扫过正方形形成的图形为梯形MABP，其面积为：y2=（AM+BC）•AB=[2+（x﹣4）]×4=2x﹣4；（6分）③当8＜x≤12时，点P由C→D在CD线段上运动，DP=12﹣x．直线MP扫过正方形所形成的图形为五边形MABCP，其面积为：y3=S正方形ABCD﹣S Rt△MPD=42﹣MD•DP=16﹣×2×（12﹣x）=x+4；（9分）（3）．点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．。