第03章 直线 平面的相对关系

垂直问题(13/16)
h
例5： 过定点 K作 BDF平 面的垂面。
a
f c g
k b
d f
a d k
c
b
g
h
垂直问题(14/16)
例6. 试判别△ABC与相交两直线DE、FG所确定的平 面是否垂直。
垂直问题(15/16)
h
c d
例7： 试判断 ABC与相交两直 线KG和KH所给 定的平面是否垂 直。
相交问题(18/25)
两一般位置平面相交
M
B
K
A L
F N
C
相交问题(19/25) 两一般位置平 面相交作图 两一般位置 平面相交，求交 线步骤： 1、用直线与平 面求交点的方法 求出两平面的两 个共有点K、E。
b’ c 1’ m b
PV
n l
2’
k QV
e
a
2
e
m
k a l
2、连接两个共 有点，画出交线 KE。
2 k
m 1
综合问题（6/8）
例4：求两交叉直线AB、CD的公垂线。
包含AB做平面ABE平行于直线CD
综合问题（7/8）
过C点做垂线CF垂 直于ABE平面
求AB直线与DCF 平面的交点K
过K点推CF垂线的 平行线KL，KL即 为所求的公垂线
综合问题（8/8）
e’
c‘ 1’
例5. 已知三角形ABC底 边AB的投影，高线就在 DE上，并且顶角为60度， b’ 完成三角形的投影。
S
F
C
如果一平面内的两条相交直线分别与另一平面内 的两条相交直线对应平行，则两平面相互平行。
平行问题(7/11)
例4. 判别平面ABC与平面DEF是否平行。
平行问题(8/11)
a
f s
例5. 试判断 两平面是否 平行
b
n
m c d c n m a d
r
e
e
s
结论： 两平面平行
平行问题(2/11)
例1. 判别图中所示直线AB与平面CDE是否平行。
c’ g’ d’ f’ e’ a’ b’
结论：直线 AB不平行于 CDE平面
e f d a b
g c
平行问题(3/11) c
例2. 试过点K 作水 平线AB平行于ΔCDE 平面
d
f
e b
k
a
e k
a
d
b f
c
平行问题(4/11)
垂直问题(4/16) n’ V a’ k’ d’ B
c’
e’ b’
A
C
E
D
a
k
e d
c
b
n
垂直问题(5/16)
n’
例1: 试过定点K 作BDF 平面的 垂线。
a’ d’
f’ c’ k’ b’
f a d c b
k
n
垂直问题(6/16)
过点 D 作 ABC
平面的垂线DE。
a' d'
b' b
c'
例3. 包含直线AC作一平面，使与直线MN平行，见 解：包含直线AC可以作无数多个平面，但其中只 有一个平面与直线MN平行。
平行问题(5/11)

2. 平面与平面平行 如果一平面内的两条相交直线分别与另一平面内的 两条相交直线对应平行，那么这两个平面相互平行。
平行问题(6/11)
两平面平行
E
P B A D
e
e
f k
综合问题（5/8） c’ PV f1' 2' n' h' k'
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
2、过直线EF作 正垂平面P。 e' 3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。
m’ a’
b’ a h f c n
e
4、求交线ⅠⅡ 与EF的交点H。 5、连接KH，KH 即为所求。
b
f’ b’ 1’
c’ 2’
k a’ a 步骤： 1、过EF作 铅垂平面Q。
e’
QH
f 1
2、求Q平面 与ΔABC的 交线ⅠⅡ。 3、求交线 ⅠⅡ与EF的 交点K。
b k c 2 e
相交问题(15/25)
f’
( 2’ ) b’
c
1’
k
4
3
e
a
f
2 b k （3） 4
a
利 用 重 影 点 , 判 别 可 见 性
相交问题(12/25)
F
C
B
K
A E 过M N 作平面Q垂直于H 投影面
相交问题(13/25)
一般位置直线与一般位置平面求交点的问题, 采用以下步骤: (1) 包含直线作辅助面； (2) 求辅助面与已知平面的交线； (3) 求辅助线与已知直线的交点； (4) 判别可见性。
相交问题(14/25)
相交问题(2/25)
1. 一般位置直线与特殊位置平面相交
V N B P A PH a a’ k’
b’
n’
m’
c’ a n k H m b c
K
b k
M c
C
相交问题(3/25)
相交问题(4/25)
2. 特殊位置直线与一般位置平面相交
d’ f’ B D F a’(b’) (k’)
K d
e’ b f
f’
m
k b f c H n
a l
a l
f
n
相交问题(8/25)
一般位置平面与特殊位置平面相交
相交问题(9/25)
4. 特殊位置平面与特殊位置平面相交
a’ m’ C’
p b’ b n’ c
M(n) a
相交问题(10/25)
特殊位置平面与特殊位置平面相交
相交问题(11/25)
5. 一般位置直线与一般位置平面相交
综合问题（2/8）
例1： 已知矩形ABCD一边AB的两投影及邻边BC的正 面投影，试完成此矩形的投影。
综合问题（3/8）
例2：试求以AB为底，顶点在DE线上的等腰△ABC的 投影。
综合问题（4/8）
例3：试过K点作 一直线平行于已 知平ΔABC，并与 直线EF相交 。
c f' a
k
b’
a b c
平行问题(11/11)
当两平行平面都是某投影面的垂直面时，可直接根 据积聚性投影来判别。
相交问题(1/25)
第二节 直线与平面相交、两平面相交


直线与平面若不平行，则必定相交。 直线与平面相交于一点，该点是直线与平面 的共有点，既在直线上又在平面上。 平面与平面相交于一直线，它是两平面的共 有线。
相交问题(22/25)
三面共点原理求两面交线
相交问题(23/25)
pv SV
5‘
1’ k’ 2‘ 6’ m‘
3’ 7‘
4‘ 8’
1 5 k
3 4
2
6 m
7
8
相交问题(24/25)
利用“三面共点原理求交点”的方法
相交问题(25/25)
当空间两平面均为迹线面时，其同面迹线的交 点就是三平面的共有点(第三平面就是投影面)。只 要作出两个共有点的投影，连接同面投影，交线即 可得出。
第三章 直线、平面的相对关系
目的和要求
1、根据直线与平行平面，平面与平行平面 的几何条件，学会投影判断及投影作图。 2、熟悉直线与平面、两平面相交的基本概 念，并能在各条件下求交点，求交线并 正确进行可见性判断。
平行问题(1/11)
第一节 平行关系 1. 直线与平面平行 由立体几何可知：如果平面外一直线和这个平面内 的一直线平行，那么这直线和这个平面平行。 反之若直线平行某平面，则在平面上必定存在一族 线与该直线平行。
g k
fLeabharlann b’a cg
f k 结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两 平面不垂直。 b d
垂直问题(16/16)
例8：包含点M作平面与△ABC垂直。
m' a' a
b' c'
c m b
综合问题（1/8）
第四节 综合问题举例
点、直线、平面的投影规律以及一些典型的基本 作图方法，如： (1) 求线段的实长，对投影面的倾角以及在直线上 取定长线段； (2) 在平面上取点、取线的作图方法； (3) 求直线与平面的交点及两平面的交线； (4) 过点作直线(或平面)与已知直线(或平面)平行； (5) 过点作直线(或平面)与已知直线(或平面)垂直。
第三章 直线、平面的相对关系
第一节 直线与平面平行、两平面平行 第二节 直线与平面相交、两平面相交 第三节 直线与平面垂直、两平面垂直 第四节 综合问题举例
第三章 直线、平面的相对关系
内容
1、直线与平面平行、平面与平面平行 2、特殊位置面、特殊位置线与一般位置面、一般 位置线相交 3、一般位置面、一般位置线与一般位置面、一般 位置线相交
1 c
e
相交问题(16/25)
相交问题(17/25)
6. 两一般位置平面相交 两平面相交，其交线为一直线,所以只要能 找出交线上的两点,交线也就确定了,但是,由 于一般位置平面的投影没有积聚性,不可能直 接得出交线的投影,而必须通过一定的辅助作 图才能求出。 （1）利用“求一般位置线与一般位置面交 点”的方法。
2
f
e
e
1
1
e
a
e
2
a
k f
2
a
f
1
1
垂直问题(11/16)
2.两平面垂直
若一直线垂直 于一平面，则包 含这条直线的所 有平面都垂直于 该平面。