图像平滑与锐化算法的分析与实现

目录第一章引言 (1)1.1 课题研究的目的 (1)1.2 课题研究的可行性分析 (1)第二章基本理论 (2)2.1 傅立叶变换 (2)2.1.1 二维的傅立叶变换基本原理 (2)2.1.2 离散的傅立叶变换 (2)2.1.3 快速傅立叶变换 (2)2.2 卷积定理 (4)2.2.1 卷积定理的基本理论 (4)2.2.2 卷积定理与二维的傅立叶变换 (4)第三章图像 (5)3.1 图像类型 (5)3.2 图像噪声 (5)第四章图像平滑 (7)4.1 图像平滑的基本概述 (7)4.2 图像平滑的基本方法 (7)4.2.1 线性滤波（领域平均法） (7)4.2.2 中值滤波 (8)第五章图像锐化 (9)5.1 图像锐化的基本概述 (9)5.2 图像锐化的基本方法 (9)5.2.1 微分算子法 (9)5.2.2 拉氏算子 (9)第六章图像平滑和锐化的实现 (12)6.1 图像处理程序设计的思路 (12)6.2 图像处理程序设计的图形界面 (12)6.3 图像处理程序设计的实现 (13)结论 (15)致谢 (16)参考文献： (17)附录： (18)图像平滑与锐化算法的分析与实现宋卫，数学计算机科学学院摘要：随着互联网技术和多媒体技术的发展，越来越多的可视化信息的应用得到了人们的重视。

图像作为一个信息载体中最基础的一部分，在数据结构、互联网应用、数据压缩、通信工程等领域得到广泛的应用。

然而，在采集、传递、分析和数据挖掘中往往会因为分析或者应用的需要对其进行加工性的处理。

由于在处理图像时存在着主观因素而导致的差异性需求，图像的处理方式多种多样。

在众多的处理方法中，图像平滑和图像锐化是最常使用的处理方法。

关键词：图像处理算法；图像平滑；图像锐化；MA TLABAnalysis and Realization of Algorithm of Image Smoothing andSharpeningSong Wei, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract：With the development of internet technology and multimedia technology, more and more visual information of the application of the attention. Image as the most basic part of an information carrier, data structures, internet applications, data compression, communications engineering and other fields has been widely used. However, often in the collection, transmission, analysis and data mining, application or analysis needs its processing and handling. Differences in demand caused by the existence of subjective factors in the image processing, image processing a variety of ways. Processing method, image smoothing and image sharpening to any of the most commonly used approach.Key words：image processing algorithm; image smoothing; image sharpening; MATLAB第一章引言1.1 课题研究的目的由于现阶段，随着科技的发展，计算机技术的应用已经渗透到社会的方方面面，而与图像有关的通信、网络、传媒、多媒体等已经给人们的生活带来巨大的变化。

放观长远，图像技术将在未来的很长一段时间内，影响着计算机应用的各个领域。

因此，探究图像处理技术对今后计算机图像处理的发展有着很好的前瞻作用，也为图像处理的技术创新在以后提供理论上的支持。

图像平滑和图像锐化作为图像处理中比较基础且尤为重要的基本方式，在今后的数字化的信息时代中仍然会有广泛的用处。

作为基本的图像处理，在数字技术应用的许多方面都有需要的地方，无论是计算机，还是微电子、通信工程、嵌入式系统、传感技术都有着十分重要的地位。

1.2 课题研究的可行性分析首先，图像处理的平滑算法和锐化算法在理论上是可行的。

而且目前两种图像处理的常用方法有很多。

就图像平滑处理而言，常见的算法邻域平均法，加权平均法，中值滤波，掩膜平滑法等。

而图像锐化的目的主要是加强图像中的目标边界和图像的细节，以增强图像的质量。

常见的算法有微分算子方法，索贝尔（Sobel）算子，空间高通滤波等。

再者，两种算法在技术上实现是可行的，MATLAB本身是一款数学专业者使用的软件，其本身自带了许多的数学函数，大大减缓的程序设计的压力。

同时，MATLAB在使用的时候，本身的语言比较简单，而且程序设计语言语法十分通俗，对于计算机专业的本科生来说，用起来应该是得心应手的。

在使用MATLAB 的时候，很多在VC和Java环境下需要复杂构写的数学函数，被MATLAB自带的函数库给取代了，大幅度简化的程序设计的时间以及对程序的测试和修改。

最后，图像处理可以在MATLAB这个有着完整界面化程序设计的软件下完成，其被设计的程序拥有比较良好的图形界面和人机交互功能，在这个良好的前提下，算法的实现将会比其他的编程软件好用的多。

第二章 基本理论2.1 傅立叶变换2.1.1 二维的傅立叶变换基本原理傅立叶变化的定义如下：()()mj mj n m een m f F 2121,,ωωωω--∞-∞=∞-∞=∑∑= (2.1)式中，1ω和2ω为变频变量，其单位为弧度每采样单元。

通常函数()21,ωωF 称为函数()n m f ,的频域表征。

()21,ωωF 是复变函数，其变量1ω和2ω的周期均为π2。

因为这种周期性的存在，所以通常在图像显示时，这两个变量额取值范围为πωωπ≤≤-21,。

反傅立叶逆变换的定义如下： ()()⎰⎰--=ππωωππωωωωπ212121,41,d d eeF n m f mj mj (2.2)该方程说明()n m f ,可以表示为无限多项不同频率的复指函数之和。

而不同的频率点()21,ωω所做的贡献由()21,ωωF 所决定。

2.1.2 离散的傅立叶变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是计算机中通常采用的一种傅立叶变换方法，其原因是由于计算机内的DFT 的输入和输出均为离散值。

2.1.3 快速傅立叶变换快速傅立叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)是一种DFT 。

FFT 的设计思想是：将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断将一个奇数项和一个偶数项相加（减），得到需要的结果。

FFT 通过计算两个单点的DFT ，来计算两个双点的DFT 。

通过计算两个双点的DFT ，来计算四个点的DFT ，…，以此类推。

对于任何N=2m 的DFT 的计算，通过计算两个N/2点额DFT ，来计算N 个点的DFT 。

快速傅立叶变换的主要推导过程如下： 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x j WXNπμμ2exp(2.3)则有 ()()w XNN x x f NF μμ∑-==11()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=∑∑-=-=+1201211221222221N x Nx x Nx Nw wx f Nx f Nμμ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∑-=-=1111212121M x M x NxMxNw w wx f Mx f Mμμμ()()[]μμμ021F F w Ne+=(2.4)上式在计算时分成了奇数项和偶数项 同理 ()()()[]M F M F M F W MNe+++=++μμμμ021()()[]μμμ021F F w MNe++= (2.5)又⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅=+N M j ww w wNMN NMNπμμμ2e x p()w wNNj μμπ-=-⋅=exp (2.6)∴ ()()()[]μμμμ021F F M F wNe-=+ (2.7)由以上两式推导可得到FFT 的定义式为()()eN y Mx j N M F y x F ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=∑∑=νμπνμνμ211,, (2.8),1,0=μ…1,-M ,1,0=ν…1,-NFFT 的逆变换为()()∑∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==1021,1,M N y Mx j N eF MNy x F μνμπννμ (2.9),1,0=μ…1,-M ,1,0=ν…1,-N 2.2 卷积定理2.2.1 卷积定理的基本理论二个二维连续函数在空间域中的卷积可求其相应的二个傅立叶变换乘积的反变换而得。

反之，在频域中的卷积可用的在空间域中乘积的傅立叶变换而得。

即 ()()()g F f F g f F ⋅=⨯ (2.10) 其中()f F 表示f 的傅立叶变换。

借由傅立叶逆变换，1-F ，也可以写成 ()()()g F f F F g f ⋅=⨯-1(2.11)以上的写法只对特定形式定义的变换正确，变换可能由其它方式正规化，使得上面的关系式中出现其它的常数因子。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。

对于长度为n 的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做12-n 组对位乘法，其计算复杂度为()2n O ；而利用傅立叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅快速的不理也变换之后，总的计算复杂度为()n n O log 。

2.2.2 卷积定理与二维的傅立叶变换假设A 是N M ⨯的矩阵，B 是Q P ⨯的矩阵，则A 和B 的卷积可以通过一下步骤实现：①对A 和B 补0，使其都为()()11++⨯++Q N P M②用式 (2.8) 对矩阵A 和B 进行二维的FFT 变换。

③将两个FFT 结果相乘，然后利用式 (2.9) 对其乘积进行傅立叶逆变换第三章图像3.1 图像类型数字化图像按照记录方式可以分为两种：矢量图像和位图图像。

(1)矢量图像。

矢量图像是用数学的矢量方式来记录图像内容，以线条和色块为主。

例如，一条线段的数据只需记录两个端点的坐标、线段的粗细和色彩等，因此其文件占有的容量较小，也可很容易地进行放大、缩小和旋转等操作，并不会失真，精确度较高，并可以制作3D图像。