2019年浙江省宁波市高考模拟考试卷【理科】数学试卷及答案

高考数学精品复习资料2019.5宁波市20xx 年高考模拟考试数学（理科）试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M ={x |1122x -<<}，N ={x | x 2 ≤ x }，则M ∩N = （A ）1[1,)2- （B ）1(,1]2- （C ）1[0,)2（D ）1(,0]2-2．设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是（A ）(-a )7＜(-a )9 （B ）b - 9＜b - 7 （C ）11lg lg a b > （D ）11ln ln a b>3．已知R α∈，cos 3sin αα+=，则tan 2α=（A ）43 （B ）34 （C ）34- （D ）43- 4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面， 则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥ （C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ 6．已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为 （A ）23cm （B ）43cm（C ）63cm （D ）83cm 7．251(1)(2)x x--的展开式的常数项是 （A ）48 （B ）﹣48 （C ）112 （D ）﹣1128．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是 （A ）14 （B ）13 （C ）27 （D ）3119．已知实系数二次函数()f x 和()g x 的图像均是开口向上的抛物线，且()f x 和()g x 均有两个不同的零点．则“()f x 和()g x 恰有一个共同的零点”是“()()f x g x +有两个不同的零点”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件(第4题图)（第6题图）正视图侧视图俯视图10．设F 1、F 2是椭圆Γ的两个焦点，S 是以F 1为中心的正方形，则S 的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S 的各边可以不与Γ的对称轴平行）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．已知复数z 满足22z z +-= i （其中i 是虚数单位），则z = ▲ ． 12．设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的取值范围是 ▲ ． 13．已知抛物线23x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方程是 ▲ ．14．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X ，则随机变量X 的数学期望是 ▲ ．15．已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是 ▲ ．16．在△ABC 中，∠C=90︒，点M 满足3BM MC =，则sin ∠BAM 的最大值是 ▲ ．17．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数．．．．x 、y ，使得AO xAB yAC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC = ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 5B c =，11cos 14B =．（I ）求角A 的大小；（II ）设BC 边的中点为D ，AD =ABC ∆的面积．19．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．20．（本题满分15分）如图所示，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 为等边三角形，PA AB =，AC ⊥CD ，M 为AC 中点．（I ）证明：BM ∥平面PCD ；（II ）若PD 与平面PAC 所成角的正切值C -PD -M 的正切值．PABCDM（第20题图）21．（本题满分15分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，其右焦点F 与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线12,l l 交于点F ，其斜率12,k k 满足1234k k =-．设1l 交椭圆Γ于A 、C两点，2l 交椭圆Γ于B 、D 两点． （I ）求椭圆Γ的方程；（II ）写出线段AC 的长AC 关于1k 的函数表达式，并求四边形ABCD 面积S 的最大值．22．（本题满分14分）已知R λ∈，函数(1)()ln 1x f x x x λλ-=-+-，其中[1,)x ∈+∞．（Ⅰ）当2λ=时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）在函数ln y x =的图像上取点(,ln )n P n n ()n N *∈，记线段P n P n +1的斜率为k n ，12111n nS k k k =+++．对任意正整数n ，试证明： （ⅰ）(2)2n n n S +<； （ⅱ）(35)6n n n S +>．宁波市20xx 年高考模拟试卷数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分．1．C 2．D 3．A 4．C 5． B 6．A 7．B 8．D 9．D 10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．11．2 12．[21，31] 13．5310x y ++= 14．7315．27π 16．35 17．23三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由11cos 14B =，得sin B = ……………………1分又sin 5B c =，代入得37a c =， 由sin sin a c A C=，得3sin 7sin A C =， ……………………3分 3sin 7sin()A A B =+， 3sin 7sin cos 7cos sin A A B A B =+ ………5分得tan A =23A π=……………………7分 （Ⅱ）22192cos 4AB BD AB BD B +-=， ……………………9分22771119()266144c c c c +-=，3c =，则7a =……………………11分1153sin 3722S ac B ===……………………14分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，， 112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分 （Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-……………13分（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分20．（本题满分15分）解：（Ⅰ）证明：因为M 为等边△ABC 的AC 边的中点，所以BM ⊥AC ．依题意CD ⊥AC ，且A 、B 、C 、D 四点共面，所以BM ∥CD ． …………3分 又因为BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BM ∥平面PCD ． …………5分（Ⅱ）因为CD ⊥AC ，CD ⊥P A ，所以CD ⊥平面P AC ，故PD 与平面 P AC 所成的角即为∠CPD ．……………7分不妨设P A =AB =1，则PC．由于tan CD CPD PC ∠== 所以CD9分（方法一）在等腰Rt △P AC 中，过点M 作ME ⊥PC 于点E ，再在Rt △PCD 中作EF ⊥PD 于点F ．因为ME ⊥PC ，ME ⊥CD ，所以ME ⊥平面PCD ，可得ME ⊥PD ．又EF ⊥PD ，所以∠EFM 即为二面角C -PD -M 的平面角． ……………12分易知PE =3EC ，ME=，EF=34=，所以tan ∠EFM=ME EF =， PABCDM （第20题图）FE即二面角C -PD -M． ……………15分（方法二）以A 点为坐标原点，AC 为x 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ． 则P （0,0,1），M （1,0,02），C （1,0,0），D ．则(1,0,1)PC =-，(11)PD =-，1(,0,1)2PM =-．若设1111(,,)n x y z =和2222(,,)n x y z =分别是平面PCD 和平面PMD的法向量，则11111110000x z n PC x z n PD ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎪⎪⎩⎩，可取1(1,0,1)n =．由2222222100200x z n PM n PD x z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎩，可取2(2,n =． ………12分所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===故二面角C -PD -M． ……………15分21．（本题满分15分）解：（Ⅰ）设右焦点(,0)F c （其中c =），依题意12c a =，3a c +=，所以2,1a c ==．……………3分 所以b =，故椭圆Γ的方程是22143x y +=． ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，F （1,0）．将通过焦点F 的直线方程(1)y k x =-代入椭圆Γ的方程22143x y +=，可得2222(34)8(412)0k x k x k +-+-=，其判别式22222(8)16(3)(34)144(1)k k k k ∆=--+=+． 特别地，对于直线1l ，若设1122(,),(,)A x y C x y ，则12|||AC x x =-1 ，110k R k ∈≠且. ………………10分又设3344(,),(,)B x y D x y ，由于B 、D 位于直线1l 的异侧，所以133(1)k x y --与144(1)k x y --异号．因此B 、D 到直线1l 的距离之和d34||x x =-2=………12分综合可得，四边形ABCD的面积121||2S AC d =⋅． 因为1234k k =-，所以22121232||2t k k k k =+≥=，于是()S f t === 当3[,)2t ∈+∞时，()f t 单调递减，所以当32t =，即12{,}{k k =时， 四边形ABCD……………15分22．（本题满分14分）解：（Ⅰ）=2λ时， 2(1)()ln (1)1x f x x x x -=-≥+，求导可得 22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)x x x f x x x x x +---'=-=≥++ ……………3分所以，()f x 在(1,)+∞单调递增，故()f x 的最小值是(1)0f =．…………5分（Ⅱ）依题意，ln(1)ln 1ln(1)1n n n k n n n +-==++-． ……………6分（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取2λ=，则当1x >时()0f x >，即2(1)ln 1x x x ->+． 于是 12(11)12ln(1)12111n n n n +-+>=+++，即知1212n n k +<．…………8分 所以 11121(2)22nn n i i i i n n S k ==++=<=∑∑． ……………9分 （ⅱ）取3λ=，则3(1)()ln (1)2x f x x x x -=-≥+，求导可得 2213(2)3(1)(1)(4)()(2)(2)x x x x f x x x x x +----'=-=++ 当(1,2)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(1,2)单调递减．所以，(1,2]x ∈时，()(1)0f x f <=，即3(1)ln 2x x x -<+．……………12分 注意到，对任意正整数n ，11(1,2]n+∈，于是 13(11)13ln(1)13112n n k n n n +-=+<=+++，即知1313n n k +>． ……………13分 所以 11131(35)36n n n i i i i n n S k ==++=>=∑∑． ……………14分。