北师大版高中数学必修一同步教师用书第二章创新演练(1)
北师大版高中数学必修一同步教师用书第二章创新演练
1．函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的变号零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：函数f (x )的图象通过零点时穿过x 轴，则必存在变号零点.根据图象得函数f (x )有3个变号零点．故选D.答案：D2．下列关于函数f (x )，x ∈[a ，b ]的命题中，正确的是( ) A ．若x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0)＝0，则x 0是f (x )的一个零点 B ．若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可以用二分法求x 0的近似值C ．函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点D ．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B 不正确；f (x )＝0的根也一定是函数f (x )的零点，C 不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A 正确．答案：A3．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是 ( )A ．(2，4)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．无法确定解析：∵f (2)·f (4)<0，f (2)·f (3)<0，∴f (3)·f (4)>0，∴x 0∈(2，3)． 答案：B4．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6解析：已知f (0.64)<0，f (0.72)>0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64，0.72].又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)<0，所以零点在区间[0.68，0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，所以0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．答案：C5．已知二次函数f (x )＝x 2－x －6在区间[1，4]上的图象是一条连续的曲线，且f (1)＝－6<0，f (4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1，4]内有零点.用二分法求解时，取(1，4)的中点a ，则f (a )＝________．解析：[1，4]的中点为2.5.f (2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.答案：－2.256．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：则f (x )的零点至少有________个． 解析：因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，∴f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0， 故f (x )的零点至少有3个． 答案：37．用二分法求函数y ＝x 3－3的一个正零点(精确到0.1)．解：f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算，见下表:∵1.437 5与1.445 312 5精确到0.1时，近似值都为1.4，∴函数f(x)＝x3－3精确到0.1的近似正零点为1.4.8．某电视台曾有一档娱乐节目，主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价1 000元，主持人说：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看，猜价格具有很大的碰运气的成分；实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想.你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500，1 000]的中点750.如果主持人说低了，就再取[750，1 000]的中点875；否则取另一个区间(500，750)的中点.若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程中猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格．。
2020届高中数学 教师用书 第二章 2.1.1 第一课时 创新演练 新人教B版必修1.doc
【三维设计】高一数学教师用书 第二章 2.1 2.1.1 第一课时 创新演练课下作业 必修11．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x .A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：B2．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝1x ＋x ＋1B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝x ＋－x解析：函数y ＝1x 的定义域为{x |x >0}．对于A ，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ＋1≥0，即x >0，因此定义域为{x |x >0}．答案：A3．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3 B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：A 中两函数定义域不同，B 、D 中两函数对应法则不同，C 中定义域与对应法则都相同．答案：C4．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，则方程f (x 2)＝35的解为( ) A ．x ＝4B ．x ＝2C ．x ＝±2D ．x ＝2或－3 解析：∵f (x )＝x －1x ＋1，∴f (x 2)＝x 2－1x 2＋1.由题意得x 2－1x 2＋1＝35. 整理得x 2＝4，解得x ＝±2.答案：C5．函数f (x )＝x －2＋2－x 的定义域是________，值域是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2－x ≥0，即x ＝2，∴定义域为{2}．又当x ＝2时，f (x )＝0，∴值域是{0}．答案：{2} {0}6．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________. 解析：f [f (x )]＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x . 答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1) 7．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1x ＋1； (2)y ＝x 2－1＋1－x 2；(3)y ＝2x ＋3；(4)y ＝x ＋1x 2－1. 解：(1)要使函数有意义，即分式有意义，需x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(2)要使函数有意义，需 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2≥1，x 2≤1. 所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝±1}＝{1，－1}．(3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x |x ≠±1，x ∈R}．8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f (12)，f (3)与f (13)；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f (1x )有什么关系？证明你的发现． 解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2， ∴f (2)＝221＋22＝45， f (12)＝1221＋122＝15， f (3)＝321＋32＝910， f (13)＝1321＋132＝110. (2)由(1)发现f (x )＋f (1x)＝1. 证明如下：f (x )＋f (1x )＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x2 ＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1.。
【创新设计】高中数学(北师大版必修一)配套练习：第二章习题课(含答案解析)
习题课 课时目标 1.巩固幂函数及函数奇、偶性的有关知识.2.培养学生知识的应用能力．1．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f (π)，f(－3)的大小关系是( )A ．f(π)>f(－3)>f(－2)B ．f(π)>f(－2)>f(－3)C ．f(π)<f(－3)<f(－2)D ．f(π)<f(－2)<f(－3)2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(1)，则下列不等式中一定成立的是( )A ．f(－1)<f(－3)B ．f(2)<f(3)C ．f(－3)<f(5)D ．f(0)>f(1)3．设a ＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a4．图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－125．设f(x)是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f(－x 1)>f(－x 2)B ．f(－x 1)＝f(－x 2)C ．f(－x 1)<f(－x 2)D ．f(－x 1)与f(－x 2)大小不确定6．已知f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a]，则a ＝________，b ＝________.一、选择题1．设f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x 1>0，x 2<0，且f(x 1)<f(x 2)，那么一定有( )A ．x 1＋x 2<0B ．x 1＋x 2>0C ．f(－x 1)>f(－x 2)D ．f(－x 1)·f(－x 2)<02．下列判断：①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；②对于定义域为实数集R 的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(－x)≤0；③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．其中正确的序号为( )A ．②③④B ．①③C ．②D ．④3．函数f(x)＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．44．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x)x<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)等于( )A ．0.5B ．－0.5C ．1.5D ．－1.56．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)<0}等于()A．{x|x>3，或－3<x<0}B．{x|0<x<3，或x<－3}C．{x|x>3，或x<－3}D．{x|0<x<3，或－3<x<0}二、填空题7．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝________.8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是________．9．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线；②幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．三、解答题10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．能力提升12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数13．若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；(2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．1．函数的奇偶性是其相应图像特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．习题课双基演练1．A [∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(2)<f(3)<f(π)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．]2．D [∵f(－3)＝f(3)，∴f(3)<f(1)．∴函数f(x)在x ∈[0,5]上是减函数．∴f(0)>f(1)，故选D.]3．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝25x 在x>0时是增函数，所以a>c ，y ＝(25)x 在x>0时是减函数， 所以c>b.]4．B [作直线x ＝t(t>1)与各个图像相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]5．A [f(x)是R 上的偶函数，∴f(－x 1)＝f(x 1)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x 2>－x 1>0，∴f(－x 2)＝f(x 2)<f(－x 1)．]6.130 解析 偶函数定义域关于原点对称，∴a －1＋2a ＝0.∴a ＝13. ∴f(x)＝13x 2＋bx ＋1＋b. 又∵f(x)是偶函数，∴b ＝0.作业设计1．B [由已知得f(x 1)＝f(－x 1)，且－x 1<0，x 2<0，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x 1)<f(x 2)，则f(－x 1)<f(x 2)得－x 1<x 2，x 1＋x 2>0.]2．C [判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x ＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.判断③，如f(x)＝x 2，x ∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1∉[0,1]；又如f(x)＝x 2＋x ，x ∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③错误．判断④，由于f(x)＝0，x ∈[－a ，a]，根据确定一个函数的两要素知，a 取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．综上可知，选C.]3．B [因为x ∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.要使f(x)＝x α>|x|，x α在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，所以α＝－1,1显然是不成立的．当α＝0时，f(x)＝1>|x|；当α＝2时，f(x)＝x 2＝|x|2<|x|；当α＝－2时，f(x)＝x －2＝|x|－2>1>|x|. 综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]4．C [∵f(x)为奇函数，∴f(x)－f(－x)x <0，即f(x)x<0，当x ∈(0，＋∞)，∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.由奇函数图像关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上使f(x)x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]5．B [由f(x ＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.]6．D [依题意，得x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0；x ∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0.由x·f(x)<0，知x 与f(x)异号，从而找到满足条件的不等式的解集．]7．－x 2＋x ＋1解析 由题意，当x>0时，f(x)＝x 2＋|x|－1＝x 2＋x －1，当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x 2－x －1，又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x 2－x －1，即f(x)＝－x 2＋x ＋1.8．(－∞，0]解析 因为f(x)是偶函数，所以k －1＝0，即k ＝1.∴f(x)＝－x 2＋3，即f(x)的图像是开口向下的抛物线．∴f(x)的递增区间为(－∞，0]．9．④解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x|x≠0，x ∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图像不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确；④正确．10．解 由f(m)＋f(m －1)>0，得f(m)>－f(m －1)，即f(1－m)<f(m)．又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m≤2－2≤m≤21－m>m ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m≤3－2≤m≤2m<12，解得－1≤m<12. 11．解 由f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0， 2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0， 且f(2a 2＋a ＋1)<f(2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a>23. 12．C [令x 1＝x 2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，解得f(0)＝－1.令x 2＝－x 1＝x ，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＋1，即f(－x)＋1＝－f(x)－1，令g(x)＝f(x)＋1，g(－x)＝f(－x)＋1，－g(x)＝－f(x)－1，即g(－x)＝－g(x)．所以函数f(x)＋1为奇函数．]13．解 (1)令x ＝y ＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.令y ＝－x ，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)＝－f(－x)，所以y ＝f(x)是奇函数．(2)令x ＋y ＝x 1，x ＝x 2，则y ＝x 1－x 2，得f(x 1)＝f(x 2)＋f(x 1－x 2)．设x 1>x 2，∵x>0时f(x)<0，∴f(x 1－x 2)<0， 则f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1－x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)． 所以y ＝f(x)为R 上的减函数．(3)由f(kx 2)＋f(－x 2＋x －2)>0， 得f(kx 2)>－f(－x 2＋x －2)，∵f(x)是奇函数，有f(kx 2)>f(x 2－x ＋2)， 又∵f(x)是R 上的减函数，∴kx 2<x 2－x ＋2，即(k －1)x 2＋x －2<0对于x ∈R 恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧k －1<0Δ＝1＋8(k －1)<0，故k<78.。
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 本章总结提升
(1)求实数m和n的值;
(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.
解(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
2 +2 2 +2
∴
=- 33;2
f(2)=3,∴ 6
=
2 +2
.∴n=0.
-3-
=
5
,解得
3
m=2.
∴实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0.
解(1)由于函数f(x)是R上的奇函数,所以对任意的x都有f(-x)=-f(x),
所以f(-1)=-f(1)=-(-1+2+2)=-3.
(2)设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2.
又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
因此f(x)=x2+2x-2.
【例 1】 (1)函数 y= 2 + 1 + 3-4的定义域为(
A.
1 3
- ,
2 4
B.
1 3
-2,4
C.
1
-∞, 2
D.
1
- 2 ,0
∪(0,+∞)
)
(2)若函数y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数g(x)=f(-x)的定义域是(
A.[-4,4]
B.[-4,2]
C.[-4,-2]
D.[2,4]
)
答案 (1)D
(2)C
1- > 0,
1
解析 (1)由题意得
解得 x<1 且 x≠ .
2
2-1 ≠ 0,
(2)由-1≤x≤2,得-2≤x-1≤1,
高中数学 教师用书 第二章 2.1.2 创新演练 新人教B版
【三维设计】2013届高一数学教师用书 课下作业 第二章 2.12．1.2 创新演练课件 必修11．已知函数f (x )由下表给出，则f [f (3)]等于( )x 1 2 3 4 f (x )3241A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵f (3)＝4，∴f [f (3)]＝f (4)＝1. 答案：A2．在下面四个图中，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是( )解析：根据函数的定义，作出与x 轴垂直的直线，直线与函数图像至多有一个交点，因此只有D 符合．答案：D3．若f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1解析：令1x ＝t ，则x ＝1t，∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1.∴f (x )＝1x －1. 答案：B4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1），2（1<x <2），3（x ≥2）的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．[0，2] ∪{3}解析：作出y ＝f (x )的图像．由图象知，f (x )的值域是[0，2]∪{3}． 答案：D5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x >0，－1， x ＝0，2x －3， x <0，则f {f [f (5)]}等于________．解析：f {f [f (5)]}＝f [f (0)]＝f (－1)＝2×(－1)－3＝－5. 答案：－56．已知函数f (x )＝2x ＋3，g (2x －1)＝f (x 2－1)，则g (x ＋1)＝________． 解析：∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x 2－1)＝2(x 2－1)＋3＝2x 2＋1， ∴g (2x －1)＝2x 2＋1. 令t ＝2x －1，则x ＝t ＋12，∴g (t )＝2(t ＋12)2＋1＝（t ＋1）22＋1，∴g (x )＝（x ＋1）22＋1，∴g (x ＋1)＝（x ＋2）22＋1＝12x 2＋2x ＋3.答案：12x 2＋2x ＋37．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈（－∞，－1），2，x ∈[－1，1]，2x ，x ∈（1，＋∞）.(1)求f (－32)，f (12)，f (4.5)，f [f (12)]；(2)若f (a )＝6，求a 的值．解：(1)∵－32∈(－∞，－1)，∴f (－32)＝－2×(－32)＝3.∵12∈[－1，1]，∴f (12)＝2. 又2∈(1，＋∞)，∴f [f (12)]＝f (2)＝2×2＝4.因为4.5∈(1，＋∞)，故f (4.5)＝2×4.5＝9. (2)经观察可知a ∉[－1，1]，否则f (a )＝2.若a ∈(－∞，－1)，令－2a ＝6，得a ＝－3，符合题意； 若a ∈(1，＋∞)，令2a ＝6，得a ＝3，符合题意． 所以a 的值为－3或3.8.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)．(1)求f [f (0)]的值； (2)求函数f (x )的解析式． 解：(1)直接由图中观察，可得f [f (0)]＝f (4)＝2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4＝b ，0＝2k ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，k ＝－2. ∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2≤x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4， 0≤x ≤2，x －2， 2≤x ≤6.。
高中数学(北师大版必修一)教师用书 第2章 章末分层突破 (1)
章末分层突破①对应关系②函数的值域③解析法④简单的幂函数⑤单调性的定义⑥函数的奇偶性⑦奇偶性的判定方法函数的定义域1.方数非负等)的自变量的取值范围．2．已知函数f (x )的定义域为，求函数f 的定义域，可解不等式a ≤φ(x )≤b 求得；如果已知函数f 的定义域，可通过求函数φ(x )的值域，求得函数f (x )的定义域．(1)若函数y ＝3x －7ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )的定义域为，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的定义域为________． 【精彩点拨】 (1)对任意x ∈R ，都有ax 2＋4ax ＋3≠0成立，分a ＝0，a ≠0两种情况，a ≠0时，Δ<0即可；(2)由0≤12x －1≤1解出x 的范围即为所求．【规范解答】 (1)依题意，x ∈R ，解析式有意义，即对任意x ∈R ，都有ax 2＋4ax ＋3≠0成立，故方程ax 2＋4ax ＋3＝0无实根．①当a ＝0时，3≠0满足要求；②当a ≠0时，则有Δ＝16a 2－12a ＜0，即0＜a ＜34时满足要求．综上可知a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.(2)由题意知，0≤12x －1≤1，解得2≤x ≤4.因此，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的定义域为． 【★答案☆】 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 (2)1．已知函数f (2x －1)的定义域为上的单调性，并加以证明． 【精彩点拨】 (1)利用奇函数定义和f (2)＝53，求a ，b 的值；(2)根据单调性的定义证明． 【规范解答】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b，∴－3x ＋b ＝－3x －b ， 因此b ＝－b ，即b ＝0.又f (2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2x 2＋23x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，f (x )在(－∞，－1]上为增加的．证明：设x 1＜x 2≤－1，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2，∵x 1＜x 2≤－1， ∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，x 1x 2－1>0，因此，(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2<0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－1]上为增加的．2．设f (x )是R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的，f (－2)＝0，若f (m －1)<0，求m 的取值范围．【解】 ∵f (x )是R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减少的， ∵f (－2)＝f (2)＝0，由f (m －1)<0， ∴|m －1|>2，∴m －1<－2或m －1>2， ∴m <－1或m >3.函数图像及其应用函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图像正确的画出．函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．对于函数f (x )＝x 2－2|x |.(1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性； (2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值．【精彩点拨】 (1)按照奇、偶函数的定义对f (x )的奇偶性作出判断；(2)利用f (x )的对称性画出f (x )的图像，根据图像写出f (x )的单调区间和最小值．【规范解答】 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |.则f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数， 图像关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝x －12－1x ≥0，x 2＋2x ＝x ＋12－1x ＜0.画出图像如图所示．根据图像知，函数f (x )的最小值是－1. 单调增区间是，，．3．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是________．【解析】 如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．从图像观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≤0，－x ＋30＜x ≤1，32x ＋121＜x ≤5，x 2－4x ＋3x ＞5.f (x )的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点B (1,2)，所以f (x)的最小值是2.【★答案☆】 2分类讨论思想从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【精彩点拨】 分抛物线的对称轴x ＝1在区间的左侧、内部和右侧三种情况讨论． 【规范解答】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图像如图(1)，函数f (x )在区间上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t ＞1时，函数图像如图(3)，函数f (x )在区间上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.4．已知函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上的最大值为1，求实数a 的值．【解】 当a ＝0时，f (x )＝－x －3，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0. f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为x 0＝1－2a2a.(1)令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1，解得a ＝－103， 此时x 0＝－2320∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，因为a ＜0，f (x 0)最大，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1不合适． (2)令f (2)＝1，解得a ＝34，此时x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2.因为a ＞0，x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，且距右端点2较远，所以f (2)最大，合适．(3)令f (x 0)＝1，得a ＝12(－3±22)，验证后知只有a ＝12(－3－22)才合适．综上所述，a ＝34或a ＝－12(3＋22).1．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x【解析】 当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.【★答案☆】 D2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4a －3x ＋3a ，x ＜0，log ax ＋1＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34【解析】 由y ＝log a (x ＋1)＋1在4. (2016·北京高考) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 由当x ≤a 时，f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1. 如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象． ①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1.【★答案☆】 (1)2 (2)a <－15．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈，则a ＋b ＝________.【解析】 当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.【★答案☆】 －32。
北师大版高中数学必修一创新演练阶段质量检测第二章函数的单调性应用创新演练
1．下列结论中，正确的是( )A ．函数y ＝kx (k 为常数，且k <0)在R 上是增函数B ．函数y ＝x 2在R 上是增函数C ．函数y ＝1x 在定义域内是减函数 D ．y ＝1x在(－∞，0)上是减函数解析：当k <0时，y ＝kx 在R 上是减函数；y ＝x 2在R 上不单调；函数y ＝1x 只可以说在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但不可以说在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为减函数，只有D 正确．答案：D2．下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是( )A ．y ＝1＋1x B ．y ＝－x (x ＋1)2 C ．y ＝xD ．y ＝x 3解析：y ＝1＋1x 在(－∞，0)上递减，对于y ＝－x (x ＋1)2≥0，当x ＝－1时，y ＝0，所以不具有单调性，y ＝x 在(－∞，0)上无意义．答案：D3．函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( )A ．(－∞，0]，(－∞，1]B ．(－∞，0]，[1，＋∞)C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：f (x )＝|x |的递增区间是[0，＋∞)，g (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1的递增区间为(－∞，1]． 答案：C4．y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则f (a 2－a ＋2)与f (74)的大小关系是( )A ．f (a 2－a ＋2)≤f (74)B ．f (a 2－a ＋2)≥f (74)C ．f (a 2－a ＋2)＝f (74)D ．不确定解析：a 2－a ＋2＝(a －12)2＋74≥74.∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋2)≤f (74)．答案：A5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1的减区间是________．解析：函数f (x )的图像如图所示．则减区间是(0,1]．答案：(0,1]6．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：若f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则2a －1<0，∴a <12.答案：(－∞，12)7．讨论函数f (x )＝axx 2－1(－1<x <1，a ≠0)的单调性． 解：任取－1<x 1<x 2<1，则：f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 22－1). 因为x 1x 2＋1>0，x 2－x 1>0，x 21－1<0，x 22－1<0，所以当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，此时f (x )在(－1,1)上是减函数； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，此时f (x )在(－1,1)上是增函数．8．已知函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且在(－2,2)上单调递增．若f (2＋a )＋f (1－2a )>0，求a 的取值范围．解：∵f (2＋a )＋f (1－2a )>0， ∴f (2＋a )>－f (1－2a )． 又∵f (－x )＝－f (x )， ∴f (2＋a )>f (2a －1)，由于f (x )在(－2,2)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<2＋a <2，－2<2a －1<2，2＋a >2a －1，⇒－12<a <0.∴a 的取值范围是：(－12，0)．。
北师大版高中数学必修一同步教师用书第一章创新演练(2)
1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}的另一种表示方法是( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：集合中元素满足x <5且x ∈N ＋，所以集合的元素有1,2,3,4.答案：B2．下列命题中正确的是( )①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上命题都不对解析：①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是有无数个元素，不能一一列举．答案：C3．下列集合的表示法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R解析：选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{ }”与“全体”意思重复．答案：D4．方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}解析：方程组解集中的元素应是有序数对的形式，排除A ，B ，而D 的集合表示方法有误，排除D ，故选C.答案：C5．已知集合M＝{x|x＝7n＋2，n∈N}，则2 011________M,2 012________M(填∈或∉)．解析：∵2 011＝7×287＋2,2 012＝7×287＋3，∴2 011∈M,2 012∉M.答案：∈∉6．已知集合A＝{x|125－x∈N，x∈N}，则用列举法表示为________．解析：根据题意，5－x应该是12的因数，故其可能的取值为1,2,3,4,6,12，从而可得到对应x的值为4,3,2,1，－1，－7.因为x∈N，所以x的值为4,3,2,1.答案：{4,3,2,1}7．用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集．(1)方程x2－9＝0的解集；(2)大于0且小于10的奇数构成的集合；(3)不等式x－3>2的解集；(4)抛物线y＝x2上的点构成的采合；(5)方程x2＋x＋1＝0的解集．解：(1)用列举法表示为{3，－3}，用描述法表示为{x|x2－9＝0}.集合中有2个元素，是有限集．(2)用列举法表示为{1,3,5,7,9}，用描述法表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋且1≤k≤5}.集合中有5个元素，是有限集．(3)用描述法表示为{x|x>5}.集合中有无数个元素，是无限集．(4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}.抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集．(5)方程x2＋x＋1＝0无实数解，故该方程的解集为∅，是有限集．8．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，所以x＝2，此时集合A＝{2}.当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，需Δ＝64－64k ＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．。
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1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是
( )
A ．－12
，－1 B. 12，1 C. 12，－1 D ．－12，1 解析：方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12
，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12
，1. 答案：B
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
解析：函数没有零点⇔函数的图象与x 轴没有交点．
答案：D
3．下列函数中没有零点的是( )
A ．f (x )＝x 2
B ．f (x )＝x
C ．f (x )＝1x
D ．f (x )＝x 2＋x 解析：函数f (x )＝1x 中，对任意自变量x 的值，均有1x
≠0，故该函数不存在零点． 答案：C
4．已知函数f (x )＝x 2
＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．a <1
B ．a >1
C ．a ≥1
D ．a ≤1
解析：由函数的零点与方程的解的关系可知，若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则方程x 2＋2x ＋a ＝0没有实数解，即Δ＝4－4a <0，所以a >1.
答案：B
5．函数f (x )＝x ＋1x
的零点个数为________． 解析：函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0，所以函数f (x )没有零点．
答案：0
6．若函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32
，则f (1)＝________． 解析：因为函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32，所以32
是方程2x 2－ax ＋3＝0的一个根，则2×94－32
a ＋3＝0，解得a ＝5，所以f (x )＝2x 2－5x ＋3，则f (1)＝2－5＋3＝0. 答案：0
7．求函数y ＝－x 2＋3x ＋4的自变量在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0或等于0.
解：由y ＝－x 2＋3x ＋4＝－(x 2－3x －4)＝－(x －4)(x ＋1)，得函数的零点为－1，4. 函数解析式的二次项系数小于0，因此图象的开口向下，画出函数的
简图如图所示．
观察图象可知：当－1<x <4时，y >0；当x <－1或x >4时，y <0；当x
＝－1或x ＝4时，y ＝0.
8．已知函数f (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋a －1，
(1)求a 为何值时，函数的图象与x 轴有两个交点；
(2)如果函数的一个零点在原点，求a 的值．
解：(1)若函数的图象与x 轴有两个交点，则已知函数为二次函数，且方程f (x )＝0有两个不相等的实数根，于是有a ≠0，Δ>0.
又Δ＝4(a ＋1)2－4a (a －1)>0，即a >－13，所以满足题意的实数a 的取值范围为(－13
，0)∪(0，＋∞)．
(2)如果函数的一个零点在原点，即x ＝0是方程f (x )＝0的一个根，易得a －1＝0，解得a ＝1.。