【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第7讲 抛物线习题

2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第7讲 抛物线习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015²山西大学附中第一学期12月月考)若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝导学号 25402067( )A ．1B ．12C ．2D ．14[答案] D[解析] 因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为(0，14a )，则有14a ＝1，a＝14，故选D. 2．(2015²河北保定衡水中学第四次联考)抛物线y ＝4x 2关于直线x －y ＝0对称的抛物线的准线方程是导学号 25402068( )A ．y ＝－1B ．y ＝－116C ．x ＝－1D ．x ＝－116[答案] D[解析] 抛物线x 2＝14y 的准线方程为y ＝－116，关于x ＝y 对称的准线方程x ＝－116为所求．3．(2015²宁夏银川九中第四次月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为导学号 25402069( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x[答案] B[解析] 依题意得，p2－(－3)＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x . 4．(2015²江西新余上学期期末)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PMF 的面积为导学号 25402070( )A ．5B ．10C ．20D ．15[答案] B[解析] 根据题意得点P 的坐标为(4，±4)，所以S △PMF ＝12|y P |²|PM |＝12³4³5＝10，故选B.5．(2015²四川绵阳中学上学期第五次月考)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为导学号 25402071( )A.3716 B ．115C ．3D ．2[答案] D[解析] 直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选D.6．(2015²湖北武汉武昌区上学期元月调研)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是导学号 25402072( ) A. 3 B ．32 C.33D ．34[答案] C[解析] 设|AF |＝a ，|BF |＝b ，过A 点作AQ 垂直于准线交准线于点Q ，过B 点作BP 垂直于准线交准线于点P ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |.在梯形ABPQ 中，∴2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab .因为ab ≤(a ＋b2)2，所以|AB |2≥34(a ＋b )2⇒|AB |≥32(a ＋b )，所以|MN ||AB |≤12a ＋b 32a ＋b ＝33.故选C.二、填空题7．(2015²陕西)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝____________.导学号 25402073[答案] 2 2[解析] y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，又p ＞0，所以x ＝－p2必经过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点(－2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.8．(2015²河北邢台摸底考试)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是____________________.导学号 25402074[答案] 5[解析] 抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，由抛物线的定义得|MF |等于M 到准线的距离d ，所以|MA |＋|MF |的最小值等于圆心C 到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.9．(2015²陕西延安中学第五次月考)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝____________________.导学号 25402075[答案] 2[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，p ＝2.由1|AF |＋1|BF |＝2p ，即12＋1|BF |＝22，∴|BF |＝2.10．(2015²山东枣庄第三中学第二次(1月)学情调查)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QO |＝________.导学号 25402076[答案] 3[解析] 设Q ，F 在准线上的投影分别为Q ′，F ′，由FP →＝4FQ →，知|QQ ′||FF ′|＝34，∴|QQ ′|＝3，∴Q (1，±22)，∴|QO |＝12＋ ±22 2＝3.三、解答题11．(2015²河北唐山上学期期末)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →²OB →＝12.导学号 25402077(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．[答案] (1)y 2＝4x (2)x ±3y ＋2＝0[解析] (1)设直线l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →²OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 和p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(*)化为y 2－4my ＋8＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M (x M ，y M )，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝ 1＋m 216m 2－32 ，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0. 12．(2015²福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.导学号 25402078(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．[答案] (1)y 2＝4x (2)略[解析] 解法一：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.由已知|AF |＝3，得2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22 x －1 ，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2)．又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－ －1 ＝223，k GB ＝－2－012－ －1 ＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA 、GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 解法二：(1)同解法一．(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22 x －1 ，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2)．又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0， 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．B 组 能力提升1．(2015²浙江)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A 、B 、C ，其中点A 、B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是导学号 25402079( )A.|BF |－1|AF |－1 B ．|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D ．|BF |2＋1|AF |2＋1[答案] A[解析] 由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1|AF |－1.2．(原创题)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)与圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)有且只有一个公共点，则导学号 25402080( )A ．r ＝a ＝pB ．r ＝a ≤pC ．r ＜a ≤pD ．r ＜a ＝p[答案] B[解析] 当r ＜a 时，根据圆与抛物线的对称性可知，圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与抛物线y 2＝2px (p ＞0)要么没有公共点，要么有两个或四个公共点，与题意不符；当r ＞a 时，易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当r ＝a 时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(x －a )2＋2px ＝r 2(x ≥0)有且仅有一个解x ＝0，可得a ≤p .故选B.3．(2015～2016学年河南省许昌市长葛一中高三月考试题)已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y2a 2－x 2＝1(a >0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP →²FP →的最小值为导学号 25402081( )A ．3－2 3B ．23－3C ．－74D ．34[答案] A[分析] 抛物线y ＝18x 2，可得x 2＝8y ，焦点F 为(0,2)，则双曲线y 2a 2－x 2＝1(a >0)的c ＝2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出OP →²FP →的最小值．[解析] 抛物线y ＝18x 2，可得x 2＝8y ，焦点F 为(0,2)，则双曲线y 2a 2－x 2＝1(a >0)的c ＝2，则a 2＝3，即双曲线方程为y 23－x 2＝1，设P (m ，n )(n ≥3)，则n 2－3m 2＝3，∴m 2＝13n 2－1，则OP →²FP →＝(m ，n )²(m ，n －2)＝m 2＋n 2－2n ＝13n 2－1＋n 2－2n ＝43(n －34)2－74，因为n ≥3，故当n ＝3时取得最小值，最小值为3－23， 故选：A.[点评] 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．4．(2015²河北正定中学上学期第六次月考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＝－FC →，则1k AB＋1k BC＋1k CA＝________.导学号 25402082[答案] 0[解析] 设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)， ∵FA →＋FB →＝－FC →，∴△ABC 的重心是F .∵抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为F (p2，0)，∴y 1＋y 2＋y 3＝0，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝y 2＋y 12p ＋y 2＋y 32p ＋y 1＋y 32p ＝y 1＋y 2＋y 3p＝0. 5．(2015²浙江金华东区适应性考试)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，C 1，C 2交于O ，A 两点(O 为坐标原点)，且F 1F 2⊥OA .导学号 25402083(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，点P 坐标为(－1，－1)，求△PMN 的面积的最小值．[答案] (1)x 2＝49 (2)8[解析] (1)设A (x 1，y 1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1x 21＝2py 1①F 1(1,0)，F 2(0，p 2)，∴F 1F 2→＝(－1，p 2)∵F 1F 2⊥OA ，∴F 1F 2→²OA →＝0，有－x 1＋p 2y 1＝0，解得py 1＝2x 1，将其代入①式解得x 1＝4，y 1＝4，从而求得p ＝2， ∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)设过点O 的直线方程为y ＝kx (k ＜0)．方法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x ，得M (4k 2，4k )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y ，得N (4k,4k 2)，P (－1，－1)在直线y ＝x 上，设点M 到直线y ＝x 的距离为d 1，点N 到直线y ＝x 的距离为d 2，则S △PMN ＝12²|OP |²(|d 1|＋|d 2|)＝12³2³(|4k 2－4k |2＋|4k －4k 2|2) ＝2(|1k －1k 2|＋|k －k 2|)＝2(－1k－k ＋1k2＋k 2)≥2(2－1k ² －k ＋21k2²k 2)＝8，当且仅当k ＝－1时，“＝”成立，即当过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.方法二：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x ，得M (4k 2，4k)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y ，得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2|4k 2－4k |＝1＋k 2(4k2－4k )，点P (－1，－1)到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，进而S △PMN ＝12²|k －1|1＋k2²1＋k 2(4k2－4k ) ＝2 1－k 1－k 3 k 2＝2 1－k 2 1＋k ＋k 2k2＝2(k ＋1k －2)(k ＋1k＋1)．令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2，即k ＝－1时，过原点的直线为y ＝－x ，△PMN 的面积取得最小值8. 6．(2015²湖北部分高中元月调考)已知点F 是抛物线y 2＝2px 的焦点，其中p 是正常数，AB 、CD 都是抛物线经过点F 的弦，且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k ＞0，C 、A 两点在x 轴上方.导学号 25402084(1)求1|AB |＋1|CD |；(2)①当|AF |²|BF |＝43p 2时，求k ；②设△AFC 与△BFD 的面积之和为S ，求当k 变化时S 的最小值． [答案] (1)12p(2)①k ＝3，②2p 2[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y ＝k (x －p2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k x －p2 ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2p ，x 1²x 2＝p 24.由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝4k 2＋1k22p ，同理用－1k换k ，得|CD |＝(k 2＋1)2p ，所以1|AB |＋1|CD |＝12p.(2)①|AF |²|BF |＝(x 1＋p2)(x 2＋p 2)＝x 1x 2＋p2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 22＋k 2＋2k ²p 22＝k 2＋1k²p 2.当|AF |²|BF |＝43p 2时，k 2＋1k 2²p 2＝43p 2.又k ＞0，解得k ＝ 3.②由①同理知|CF |²|DF |＝(k 2＋1)p 2，|AF |²|BF |＝k 2＋1k 2²p 2，变形得|BF |＝k 2＋1k 2p 2|AF |，|CF |＝ k 2＋1 ²p2|DF |.又AB ⊥CD ，所以S ＝12|AF |²|CF |＋12|BF |²|DF |＝12[|AF ||DF |(k 2＋1)＋|DF ||AF |k 2＋1k 2]p 2≥ k 2＋1 1＋1k2 p 2≥2k 2k p 2＝2p 2，当且仅当k ＝1，1k ＝1，即|AF ||DF |(k 2＋1)＝|DF ||AF |(1＋1k2)时取等号，即当k ＝1时，S 有最小值2p 2.。