三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.8 圆锥曲线的综合问题知能训练
三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习 第八章.
答案 C
解析 ∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=xM+ 2p =5
得M 5
p 2
,
2
p
5
p 2
.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为
5 2
,
1 2
2
p
5
p 2
,∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点
(0,2),从而2= 12
2
p
5
p 2
,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程
为y2=4x或y2=16x.故选C.
1.求抛物线标准方程的方法 求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法.对于焦点在x轴 上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设确定;焦 点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0),这样就减少了不必要 的讨论. 2.抛物线几何性质的应用技巧 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出 抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解 题的直观性.
A.0<a<4 B.a>4
C.a≥2
D.0<a<2
(2)(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比
它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
①求轨迹C的方程;
②设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、
两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则
三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.7 曲线与方程课件
4.注意事项 要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取 值范围.由曲线的方程的概念可知,在求曲线方程时一定要注意它的完备 性和纯粹性,即轨迹若是曲线的一部分,应对方程注明x的取值范围,或同 时注明x、y的取值范围.
程是 ( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=4x D.y2=-4x
答案 B
解析
根据|
uuuur MN
uuur
|·|MP
|+
uuuur MN
uuur
·NP
=0得c4
(x 2)2 y2 +4(x-2)=0,即(x+2)2+y2=
(x-2)2,即y2=-8x.
直译法求轨迹方程 如果动点满足的条件是一些与定点、定直线有关的等量关系,该等量关 系又易于表示成含x,y的等式,从而可直接得到轨迹方程,这种求轨迹方程 的方法称为直译法.
1.方程x2+xy=x表示的曲线是 ( )
A.一个点
B.一条直线
C.两条直线 D.一个点和一条直线
答案 C 方程变为x(x+y-1)=0,则x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0和
直线x+y-1=0.
c
2.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为
()
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
4.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,则点A(0,-1)与点P连线的中点的轨迹
方程是 ( )
A.y=2x2
B.y=8x2
C.2y=8x2-1 D.2y=8x2+1
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.6双曲线
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8.6 双曲线1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】 巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1 (mn <0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a＝5，∴e ＝ 5.2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1 答案 A解析 由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.3．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋－k ＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2－k ＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为________． 答案3解析 双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±mmx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋3m ＋1＝3.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是__________．答案 (1,3]解析 ∵P 为双曲线右支上的任意一点，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，∴|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又双曲线的离心率大于1，∴答案为(1,3]．题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 双曲线定义的应用例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |， 所以|MC 1|－|AC 1|＝ |MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________________．(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________． 答案 (1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1解析 (1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 题型二 双曲线的几何性质例3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5(2)(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 答案 (1)C (2)2＋ 3 解析 (1)如图，∵FB →＝2FA →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴b a＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(b a)2＝4，∴e ＝2.(2)把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b2 ＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝b a. ∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca＝2＋ 3.思维升华 (1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2(2)(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 答案 (1)C (2)B解析 (1)如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a,0)，A 2(a,0)， 易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， 则2A C k ＝b 2aa －c，1A B k ＝b 2aa ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有1A B k ·2A C k ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1. (2)e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝ 1＋b ＋m 2a ＋m2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋ma ＋m(m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选B.题型三 直线与双曲线的综合问题例4 (1)(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3答案 D解析 右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23， ∴A (2,23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3.(2)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．①求k 的取值范围；②若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*) ∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝k 2－－k2－，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2.故k 的取值范围是{k |1<k <2}． ②由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2＋k2－k2k 2－2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， 所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点． ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－k 2，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. ∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2.∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k ，21－3k )．设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－22.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．12．忽视“判别式”致误典例 (14分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误． 规范解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [7分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k－k2－k2. 由题意，得k－k2－k＝1，解得k ＝2.[10分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[13分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[14分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[方法与技巧]双曲线标准方程的求法：(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1 (mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值． [失误与防范]1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.2．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴a －2＋－b 2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.4．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案 A解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(3，＋∞) B．(1，3) C ．(2，＋∞) D．(1,2) 答案 C解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，由圆心(0,2)到直线bx －ay＝0的距离d ＝2aa 2＋b2<1⇒2a <c ⇒ca>2，故选C. 6．(2015·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析 双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝________.答案 5解析 因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．8．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为______________． 答案 (3＋23，＋∞)解析 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)，∴OP →·FP →≥3＋2 3.9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b)， 所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|PA |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2)答案 B解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a)·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)，故选B.12.设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为( )A.213 B.193 C.53D. 3 答案 A解析 以F 1F 2为直径的圆的方程x 2＋y 2＝c 2，与双曲线的渐近线y ＝bax 交于点N (x 0，y 0)．根据对称性得M (－x 0，－y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝b a x 0，x 20＋y 20＝c 2，解得N (a ，b )，M (－a ，－b )．∵A (－a,0)，∠MAN ＝120°，|AN |＝4a 2＋b 2，|AM |＝b ，|MN |＝4a 2＋4b 2＝2c .由余弦定理，得4c 2＝(4a 2＋b 2)＋b 2－24a 2＋b 2·b ·cos 120°，整理得3c 2＝7a 2，因此离心率e ＝ca ＝213，故选A.13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|PA |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|PA |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)右支上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线离心率e 的取值范围为__________． 答案 [2，3＋1]解析 设双曲线左焦点为Q ，则由双曲线的对称性可知△AQF ≌△FBA ，AF ＝2c sin α，AQ ＝2c cos α，AF －AQ ＝2c sin α－2c cos α＝－2a .故e ＝1cos α－sin α＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－24，12， ∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，22，∴e ∈[2，3＋1]．。
三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.3 直线与圆、圆
§8.3直线与圆、圆与圆的位置关系Ａ组基础题组1.(2015浙江丽水中学期中)若过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-3)B.C.(-∞,-3)∪D.(-3,+∞)2.(2015安徽,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或123.(2013陕西,8,5分)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定4.(2013山东,9,5分)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=05.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2B.4C.6D.26.(2015浙江嘉兴一中一模,6)已知直线Ax+By+C=0(A2+B2=C2≠0)与圆x2+y2=4交于M,N两点,O为坐标原点,则·等于( )A.-2B.-1C.0D.17.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.8.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= .9.(2015山东,13,5分)过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·= .10.(2015浙江新高考研究卷五(杭州学军中学),12)已知圆C:(x-a)2+(y-2a)2=4(a>0)与直线y=x+2相交于P、Q两点,则当△CPQ的面积最大时,实数a的值为,当a变化时,圆系C的公切线方程为.11.(2015浙江名校(诸暨中学)交流卷四,13)圆心在抛物线y2=2x(y≥0)上,经过点(2,0)且面积最小的圆为☉C,直线y=kx+2与☉C相交于A,B两点,当|AB|取得最小值时,k= .12.(2015辽宁师大附中期中,14)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上恰有三个不同的点到直线l:y=kx 的距离为2,则k= .13.(2015课标Ⅰ,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.14.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.B组提升题组1.(2014浙江,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( )A.-2B.-4C.-6D.-82.(2016超级中学原创预测卷四,4,5分)已知直线x+y-a=0与圆C:(x-2)2+(y+2)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a=( )A.±B.C.±2D.23.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,2)直线(c-d)(x-a)=(a-b)(y-c)与曲线(x-a)(x-b)+(y-c)(y-d)=0的交点个数为( )A.0B.1C.2D.不确定4.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( )A.7B.6C.5D.45.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-6.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为( )A.πB.πC.(6-2)πD.π7.(2015浙江丽水一模,6)已知圆x2+y2=4,过点P(0,)的直线l交该圆于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB面积的最大值是( )A. B.2 C.2 D.48.(2016领航高考冲刺卷三,12,4分)已知两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,则两圆圆心的最短距离为,此时两圆的位置关系是.(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)9.(2016领航高考冲刺卷六,14,4分)已知圆M:x2+(y+1)2=4,圆N:(x-4cosθ)2+(y+1-4sinθ)2=1,其中θ∈R,过圆N上任意一点P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则与夹角的余弦值的取值范围为.10.(2015浙江测试卷,12,6分)已知过点(1,1)的直线l与圆C:x2+y2-4y+2=0相切,则圆C的半径为,直线l的方程为.11.(2015镇海中学仿真考,10,6分)已知点P(a,b)关于直线l的对称点为P'(b+1,a-1),则圆C:x2+y2-6x-2y=0关于直线l对称的圆C'的方程为;圆C与圆C'的公共弦的长度为.12.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②-=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)13.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.14.(2015浙江镇海中学测试卷三,22)已知圆C:(x-1)2+y2=5.(1)求直线l:4x-3y+1=0被圆C所截得的弦长;(2)过点P(0,3)且斜率为k的直线与圆C相交于A,B两点,若-<k<-,求的取值范围.Ａ组基础题组1.C 圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,则3-2a>0①,过点A(a,a)可作圆的两条切线,所以(a-a)2+a2>3-2a②,由①②解得a<-3或1<a<,即a的取值范围为(-∞,-3)∪.故选C.2.D 易知圆心坐标为(1,1),半径r=1,∵直线与圆相切,∴=1,解得b=2或b=12.故选D.3.B 因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1.故选B.4.A 如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又k AB·k PC=-1,且k PC==,∴k AB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.5.C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|===6.故选C.6.A 设M(x1,y1),N(x2,y2),则·=x1x2+y1y2.由消去y得(A2+B2)x2+2ACx+C2-4B2=0.所以x1x2=.同理,消去x可得y1y2=.所以·=x1x2+y1y2=.又C2=A2+B2,所以x1x2+y1y2=-2,即·=-2.故选A.7.答案x+2y-5=0解析设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方程为x2+y2=5.设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则=(x-1,y-2).由⊥(O为坐标原点),得·=0,即1×(x-1)+2×(y-2)=0,即x+2y-5=0.8.答案 22+b2=1+1=2.解析由题意知直线l9.答案解析如图,易得||=||=,又||=1,||=2,所以∠APO=30°,故∠APB=60°.所以·=||·||cos60°=××=.10.答案4;y=2x±2解析设圆心C到直线y=x+2的距离为d,则|PQ|=2,S△CPQ=d|PQ|=d≤=2(当且仅当d2=2时,取等号),由=2⇒a=4(a=0舍去).因为圆心在直线y=2x上,所以公切线方程可设为y=2x+b.由于圆心到直线y=2x+b的距离为2,所以=2,解得b=±2,故公切线方程为y=2x±2.11.答案解析设C(y≥0),则r==.要使圆面积最小,则圆半径最小,则y2=2,又y≥0,得y=,所以圆心C的坐标为(1,),半径r=.直线y=kx+2恒经过点D(0,2),当直线AB垂直于CD时,|AB|最小,而k CD=-2,故k=-=.12.答案2+或2-解析把圆的方程化为标准方程得(x-2)2+(y-2)2=18,圆心坐标为(2,2),半径r=3,根据题意画出图形,如图所示.根据题意和图形可知:圆心到直线l的距离为d==3-2=,化简得k2-4k+1=0,解得k=2±.13.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(5分)(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.(7分)·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.(12分)14.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.B组提升题组1.B 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.2.C 由题意得圆的圆心为C(2,-2),半径为2,由△ABC为等腰直角三角形可知圆心C(2,-2)到直线x+y-a=0的距离为,所以=,解得a=±2.3.C(c-d)(x-a)=(a-b) (y-c)表示经过(a,c)、(b,d)两点的直线,(x-a)(x-b)+(y-c)(y-d)=0表示以(a,c)、(b,d)两点为直径两端点的圆,则交点个数为2,故选C.4.B 若∠APB=90°,则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆,其方程为x 2+y 2=m 2.由题意知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆O:x 2+y 2=m 2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m ≤6,故m 的最大值为6.选B.5.D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.∵反射光线所在直线与圆相切,∴=1,解得k=-或k=-.故选D.6.A 由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O,圆心C 为AB 的中点,设D 为切点,要使圆C 的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD 最小,其最小值为OE(如图,过原点O 作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=.∴圆C 面积的最小值为π=π.故选A.7.B 易知直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为y=kx+,则圆心到直线l 的距离d=. 又|AB|=2=2=2, ∴S △OAB =×2×=×=×.∵k 2≥0,∴k 2+1≥1,故0<≤1,故当=时,S △OAB 取到最大值2.故选B. 8.答案 ;内含解析 将圆C1:x 2+y 2-2ax+4y+a 2-5=0化为标准方程得(x-a)2+(y+2)2=9,圆心为C 1(a,-2),半径为r 1=3,将圆C 2:x 2+y 2+2x-2ay+a 2-3=0化为标准方程得(x+1)2+(y-a)2=4,圆心为C 2(-1,a),半径为r 2=2.两圆的圆心距d===,所以当a=-时,d min =,此时<|3-2|,所以两圆内含. 9.答案解析 因为圆心N 的坐标为(4cos θ,4sin θ-1),所以圆心在定圆x 2+(y+1)2=16上.连结MA,MB,MP,设∠MPA=α,则与的夹角为2α,cos2α=1-2sin 2α,因为sin α==,又|MP|∈[3,5],所以sin 2α∈,所以cos2α∈,即与夹角的余弦值的取值范围为.10.答案 ;x-y=0解析 圆C 的标准方程为x 2+(y-2)2=2,则圆C 的半径为,圆心坐标为(0,2).点(1,1)在圆C上,则直线l 的斜率k=-=1,则直线l 的方程为y=x,即x-y=0. 11.答案 (x-2)2+(y-2)2=10;解析将圆C的方程化为标准形式为(x-3)2+(y-1)2=10,由已知结论可得圆心C(3,1)关于直线l的对称点C'为(2,2),故所求圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=10.将两圆方程相减消去平方项可得公共弦所在直线的方程为x-y-1=0,故弦长为2=.12.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2(2)①②③解析(1)设圆心C(a,b),半径为r,∵圆C与x轴相切于点T(1,0),∴a=1,r=|b|,又圆C与y轴正半轴交于两点,∴b>0,则b=r.∵|AB|=2,∴2=2,∴r=,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)设N(x,y),而A(0,-1),B(0,+1),则==,又x2+y2=1,∴==·=(+1)2,∴=+1,同理,=+1.∴=,且-=+1-=2,+=+1+=+1+-1=2,故正确结论的序号是①②③.13.答案[-1,1]解析解法一:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0<x0≤1.综上,x0的取值范围是-1≤x0≤1.解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM·sin45°≤1,∴OM≤,∴OM2≤2,∴+1≤2,∴≤1,∴-1≤x0≤1.14.解析(1)圆心C到直线l的距离d==1,所以弦长=2=4.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,AB:y=kx+3, 联立得消去y,得(k2+1)x2+(6k-2)x+5=0,由根与系数的关系知而|PA|==|x1|,同理,|PB|=|x2|,所以==.由得++2==-·.设t=3k+4,则t∈,==.因为y=t+-8在区间上单调递减,所以y∈.故∈(0,2),所以++2∈.设u=,则即解得<u<1或1<u<5.所以的取值范围是∪(1,5).。
三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习 第八章.
>1.
5.焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段
长度称作焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|.
(1) ax22 + by22 =1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0; (2) ay22 + bx22 =1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0.
确定,则要考虑是否有两解.为方便解题,可设椭圆方程为 x2 + y2 =1(m>
mn
0,n>0)或mx2+ny2=1(m>0,n>0).
1-1 (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 33 ,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4
2.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 ax22 + by22 =1(a>b>0),焦点在y轴上的椭 圆的标准方程为 bx22 + ay22 =1(a>b>0).给定椭圆 xm2 + yn2 =1,m>0,n>0,且m≠n,
根据m,n的大小来判断焦点在哪个坐标轴上,当m>n时,焦点在x轴上;当n>
直线l过焦点F2且与椭圆交于A,B两点.若△ABF1构成以A为直角顶点的等
腰直角三角形.设椭圆的离心率为e,则e2= ( )
A.2- 3 B.3- 2 C.11-6 3 D.9-6 2
答案 (1)D (2)D 解析 (1)由直线l与椭圆的两个交点在x轴上的投影恰好是椭圆的两个
2017届高考数学一轮复习课件：第8章 平面解析几何8-5
【跟踪训练】 3．已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)与双曲线mx22－yn22＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是 a、m 的等比中项，n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是( )
3 A. 3
1 C.4
2 B. 2
1 D.2
解析 在双曲线中 m2＋n2＝c2，又 2n2＝2m2＋c2，解得 m＝2c，又 c2＝am，解得 c＝2m，a＝4m，故椭
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小题快做 1.思考辨析 (1)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的 半焦距)．( √ ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越“圆”．( × )
第十九页，编辑于星期六：一点 二十一分。
考点多维探究
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考点 1 椭圆的定义与标准方程
回扣教材 1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的_和____等于_常 __数 ___ (大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做_焦__距__．_ (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝__2_a___，且 2a__>____|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常 数． 注意：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
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(浙江通用)2017版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.9 圆锥曲线的综合问题 课时3 定
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4.已知直线 l：y＝x＋ 6，圆 O：x2＋y2＝5，椭圆 E：ay22＋bx22＝1(a>b>0)的离 心率 e＝ 33，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(1)求椭圆E的方程； 解 设椭圆半焦距为c， 圆心 O 到 l 的距离 d＝ 1＋6 1＝ 3， 则 l 被圆 O 截得的弦长为 2 2，所以 b＝ 2.
解析答案
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(2)过点 S0，－13的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试问：在坐标平面 上是否存在一个定点 Q，使得以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q？若存在， 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
解析答案
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3.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程；
解 由已知，可得ab＝2 3， a2＝b2＋c2，
解得 a＝2，b＝ 3.
故所求椭圆方程为x42＋y32＝1.
解析答案
思维升华
解析答案
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 F(12，0)，直线 l：x＝－12， 跟踪训练2
点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 PF 与 y 轴的交点，RQ⊥FP， PQ⊥l. (1)求动点Q的轨迹C的方程； 解 依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP， ∴RQ是线段FP的垂直平分线. ∵点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|， 又|PQ|是点Q到直线l的距离， 故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0).
解析答案
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦， 当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由. 解 弦长|TS|为定值.理由如下： 取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0， 圆的半径 r＝|MA|＝ x0－12＋y20，
浙江专用高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节抛物线教案含解析
浙江专用高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节抛物线教案含解析第八节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2 1．(2018·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－14，则其焦点坐标为________，实数a的值为________．解析：由题意得焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，抛物线C 的方程可化为x 2＝1a y ，由题意得－14a ＝－14，解得a ＝1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 1 2．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________． 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y3．(教材习题改编)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为__________；准线方程为____________． 解析：抛物线的标准方程为x 2＝14y ，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线方程为y ＝－116.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 y ＝－1161．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．一条直线答案：D2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·温州十校联考)设抛物线C ：y ＝14x 2的焦点为F ，直线l 交抛物线C 于A ，B两点，|AF |＝3，线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，则|BF |＝( )A.72 B ．5 C ．4D ．3解析：选B 抛物线C 的方程可化为x 2＝4y ，由线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，可得|AF |＋|BF |＝8，又|AF |＝3，所以|BF |＝5.2．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5，故选B.[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.[即时应用]1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知其焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3解析：选B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2. 考点二 抛物线的标准方程与几何性质题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现． 常见的命题角度有： (1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性．[题点全练]角度一：求抛物线方程1．(2019·台州重点校联考)已知直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：选B 过A ，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，则|AA 1|＋|BB 1|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 2＝8，解得p ＝4，所以此抛物线的方程是y 2＝－8x .角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选B 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 因为双曲线的离心率为2， 所以1＋b 2a 2＝2，ba ＝ 3.由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得， 2×12×23p 3×2p3＝3， 解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.[通法在握]求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．[演练冲关]1．(2019·宁波质检)已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，由中点坐标公式可知p2＋y 212p＝2×2，y 1＋0＝2×2，解得p ＝4.2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且FM ＝3FP ，则|FP |＝( )A.32B.23C.43D.34解析：选C 设直线l 的倾斜角为θ，如图所示，过点P 作PN 垂直准线于点N ，由抛物线定义知|PN |＝|PF |.∵FM ＝3FP ，∴|FM |＝3|FP |，即|PM |＝2|PN |.在Rt △MNP 中，cos ∠MPN ＝12，∵PN ∥x 轴，∴cos θ＝12，由抛物线焦半径的性质可得|PF |＝p 1＋cos θ＝21＋12＝43，即|FP |＝43. 考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·长兴中学模拟)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 1上一点，|PF |＝4，点P 到y 轴的距离等于3.(1)求抛物线C 1的标准方程；(2)设A ，B 为抛物线C 1上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y ＝x 上，P (0,2)为定点，求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意，p2＋3＝4，∴p ＝2，所以抛物线C 1的标准方程为y 2＝4x .(2)设直线AB ：x ＝ty ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋b ，y 2＝4x消元化简得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b ＞0.且y 1＋y 2＝4t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2b ＝4t 2＋2b ， 所以D (2t 2＋b,2t )，2t 2＋b ＝2t . 由Δ＞0得0＜t ＜2.所以点P 到直线AB 的距离d ＝|－2t －b |1＋t 2＝|2t 2－4t |1＋t 2， 所以|AB |＝1＋t216t 2＋16b ＝41＋t22t －t 2，所以S △ABP ＝12|AB |d ＝12×41＋t 22t －t 2|2t 2－4t |1＋t 2＝22t －t 2·|2t 2－4t |. 令m ＝2t －t 2，则m ∈(0,1]，且S △ABP ＝4m 3. 由函数单调性可知，(S △ABP )max ＝4.[由题悟法]解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时应用]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程． 解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F (1,0)． 因为线段AB 的中点在直线y ＝2上， 所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4.又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)＞0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·4m2－4×－4＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·湖州质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：选 D ∵AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，∴AB 是焦点弦，∴|AB |＝2p ，∴S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍去)，∴直线AB 的方程为x ＝2，∴以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是y 2＝－8x ，故选D.2．(2018·江山质检)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由抛物线的定义可知，4＋p2＝5，解得p ＝2.3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角为2π3.4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A ．8B ．2 3C ．4 3D ．8 3解析：选B 法一：由题意可得p ＝3，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0.不妨设点P 在x 轴上方，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|Q F |＝|Q N |，设直线P Q 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，∴θ＝π3，由抛物线焦半径的性质可知，|PF |＝p1－cos θ＝31－cosπ3＝23，|Q F |＝p1＋cos θ＝31＋cosπ3＝233，∴|MN |＝|P Q|sin θ＝(|PF |＋|Q F |)·sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12|MN |·p ＝12×4×3＝2 3.法二：由题意可得F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，直线P Q 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533，∴|P Q|＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833，∵直线P Q 的斜率为3，∴直线P Q 的倾斜角为π3.∴|MN |＝|P Q|sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12×4×3＝2 3.5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＝4yD ．y 2＝4x解析：选C 设动圆圆心M (x ，y )，则x 2＋y －12＝|y ＋1|，解得x 2＝4y .2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与抛物线C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)．若AF ＝mFB ，则m 的值为( )A. 3B.32C ．2D ．3解析：选D 直线方程为x ＝33y ＋1，代入y 2＝4x 可得y 2－433y －4＝0，则y A ＝23，y B ＝－233，所以|y A |＝3|y B |，因为AF ＝mFB ，所以m ＝3. 3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x 2＝4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为30°，则|AF ||BF |的值等于( )A ．3 B.52C ．2D.32解析：选A 由题可得，F (0,1)，设l ：y ＝33x ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x ，化简得3y 2－10y ＋3＝0，解得y 1＝3，y 2＝13.由抛物线的定义可知|AF ||BF |＝y 1＋1y 2＋1＝3＋113＋1＝3.4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8 B.192C ．10D.212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10.所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B.5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ·MF ＝( )A ．－74B.74C.94D ．－94解析：选A 设M (m ，2pm )，抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以m 2＋2pm ＝94 ①，m ＋p 2＝32 ②，由①②解得m ＝12，p ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，F (1,0)，所以OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，故OM ·MF ＝14－2＝－74.6．(2018·宁波期初)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，若点M 在抛物线上，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.解析：由题可得，p ＝2，焦点在y 轴正半轴，所以F (0,1)． 因为|MF |＝4，所以M (±23，3)．所以tan ∠MFO ＝－tan(π－∠MFO )＝－233－1＝－3，所以∠MFO ＝2π3.答案：2π37．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为________．解析：如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM ―→＝OF ―→＋FM ―→＝OF ―→＋13FP ―→＝OF ―→＋13(OP ―→－OF ―→)＝13OP ―→＋23OF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立，所以直线OM 的斜率的最大值为22. 答案：228．(2018·嵊州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.解析：设点A 在第一象限，B 在第四象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x ，得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，则y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372＝67.答案：679．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20.(2)由(1)得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0. 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 02.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋x 02，y ＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋x 204＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2.所以y 22＝1－mx 0216m4＝x 2012m2，解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 10．(2018·台州模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解：(1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则F 1F 2―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2―→·OP ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y 得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎪⎫4k2－4k ，又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，故S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝21－k1－k3k 2＝21－k21＋k ＋k2k 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k－2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k＋1， 令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)≥8，当t ＝－2，即k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，点M 是抛物线的准线与y 轴的交点，过点A (0，λp )(λ∈R)的动直线l 交抛物线于B ，C 两点．(1)求证：MB ·MC ≥0，并求等号成立时实数λ的值；(2)当λ＝2时，设分别以OB ，OC (O 为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D ，求|DO |＋|DA |的最大值．解：(1)由题意知动直线l 的斜率存在，且过点A (0，λp )， 则可设动直线l 的方程为y ＝kx ＋λp ，代入x 2＝2py (p ＞0)，消去y 并整理得x 2－2pkx －2λp 2＝0，Δ＝4p 2(k 2＋2λ)＞0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2λp 2，y 1y 2＝(kx 1＋λp )(kx 2＋λp )＝k 2x 1x 2＋λpk (x 1＋x 2)＋λ2p 2＝λ2p 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2λp ＝2pk 2＋2λp ＝2p (k 2＋λ)．因为抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p2，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，所以MB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋p 2，MC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋p 2， 所以MB ·MC ＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋p 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋p2(y 1＋y 2)＋p 24＝－2λp 2＋λ2p 2＋p2[2p (k 2＋λ)]＋p 24＝p 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ－122≥0，当且仅当k ＝0，λ＝12时等号成立．(2)由(1)知，当λ＝2时，x 1x 2＝－4p 2，y 1y 2＝4p 2， 所以OB ·OC ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以OB ⊥OC .设直线OB 的方程为y ＝mx (m ≠0)，与抛物线的方程x 2＝2py 联立可得B (2pm,2pm 2)， 所以以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pmx －2pm 2y ＝0.因为OB ⊥OC ，所以直线OC 的方程为y ＝－1mx .同理可得以OC 为直径的圆的方程为 x 2＋y 2＋2p m x －2pm 2y ＝0，即m 2x 2＋m 2y 2＋2pmx －2py ＝0，将两圆的方程相加消去m ，得x 2＋y 2－2py ＝0， 即x 2＋(y －p )2＝p 2，所以点D 的轨迹是以OA 为直径的圆， 所以|DA |2＋|DO |2＝4p 2， 由|DA |2＋|DO |22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫|DA |＋|DO |22，得|DA |＋|DO |≤22p ，当且仅当|DA |＝|DO |＝2p 时，等号成立． 故(|DA |＋|DO |)max ＝22p .2.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
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§8.8圆锥曲线的综合问题Ａ组基础题组1.(2016超级中学原创预测卷十,18,15分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,一个顶点为B(0,-1),且右焦点到直线x-y+3=0的距离为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若P1,P2是椭圆C上不同的两点,P1P2⊥x轴,圆E过P1,P2,且椭圆C上任意一点都不在圆E 内,则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问:椭圆C是否存在过左焦点F的内切圆?若存在,求出圆心E的坐标;若不存在,请说明理由.2.(2015浙江新高考研究卷一(镇海中学),18)设焦点在x轴上的椭圆C:+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,C上存在点M,使·=0.(1)设直线y=x+2与椭圆的一个公共点为P,若|PF1|+|PF2|取得最小值,求此时椭圆的方程;(2)对于(1)中的椭圆,是否存在斜率为k(k≠0)的直线,与椭圆交于不同的两点A,B,且AB的垂直平分线过椭圆的下顶点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.3.(2015北京,19,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.4.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O 的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.5.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.6.(2015浙江冲刺卷四,18)设椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(1,1),离心率e=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l是圆O:x2+y2=1的任意一条切线,且直线l与椭圆C相交于A,B两点.①求·的值;②求△OAB的面积S的最小值.7.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.8.(2015浙江模拟训练冲刺卷一,18)已知椭圆C:+y2=1的上顶点为A(0,1),与x轴不垂直的直线l交椭圆C于不同的两点M, N(点M,N不同于椭圆的四个顶点).(1)当直线l过点(0,-3)时,求△AMN的面积S的最大值;(2)是否存在不过原点O的直线l,使得直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列?若存在,试求出直线l的斜率;若不存在,请说明理由.B组提升题组1.(2013安徽,18,12分)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(2)设F1,F2分别是椭圆E的左,右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.2.(2016金丽衢一联,19,15分)已知点M(0,)是椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点,椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(x0,y0)是定点,直线l:y=x+m(m∈R)交椭圆C于不同的两点A,B,记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.求点P的坐标,使得k1+k2恒为0.3.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.4.(2015浙江衢州二中期中,21)椭圆的中心在坐标原点,长轴的端点为A,B,右焦点为F,且·=1,||=1.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右焦点F作直线l1,l2,直线l1与椭圆分别交于点M,N,直线l2与椭圆分别交于点P,Q,且l1⊥l2,求四边形MPNQ的面积S的最小值以及此时直线l1,l2的方程.5.(2015浙江模拟训练冲刺卷四,18)已知点F是抛物线C1:x2=4y的焦点,过抛物线上一点P 作抛物线的切线l,切点P在第一象限,如图.切线l与椭圆C2:+=1相交于不同的两点A、B.(1)若|FA|,|FP|,|FB|依次成等差数列,求直线l的方程;(2)设定点M,求△MAB的面积S的最大值.6.(2015浙江冲刺卷六,18)已知椭圆E1:+=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线E2:x2=4y的焦点F 重合,点M是两曲线的一个公共点,且|MF|=.(1)求椭圆E1的方程;(2)过点F作斜率为k(k≠0)的直线l交抛物线E2于A,C两点,交椭圆E1于B,D两点,如图.设=m,=λ,当≤m≤时,求λ的取值范围.7.(2015金丽衢一联,21,15分)已知抛物线Γ:y2=2px的焦点到准线的距离为2.(1)求p的值;(2)如图所示,直线l1与抛物线Γ相交于A,B两点,C为抛物线Γ上异于A,B的一点,且AC⊥x轴,过B作AC的垂线,垂足为M,过C作直线l2交直线BM于点N,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1k2=1.(i)线段|MN|的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由;(ii)求证:A,B,C,N四点共圆.8.(2015浙江冲刺卷三,22,15分)如图,已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,斜率为1的直线l 交抛物线于不同的两点P,Q,其中点P在第一象限.过点P作抛物线的切线交x轴于点M,在x 轴的负半轴上取点N,使得|NF|=|QF|,直线QN交直线PM于点T.(1)证明:点T的纵坐标为定值;(2)连结FT,FP,记S1=S△PFT,S2=S△QFT,S3=S△PQT,当=时,求直线l的方程.Ａ组基础题组1.解析(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),由已知得b=1.设椭圆的右焦点为(c,0),则=2,解得c=,所以a2=b2+c2=4.于是椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)存在.由椭圆的对称性,不妨设P1(m,n),P2(m,-n),由题意知,点E在x轴上,设点E(t,0),则圆E的方程为(x-t)2+y2=(m-t)2+n2.由题中椭圆的内切圆的定义知,椭圆上的点到点E的距离的最小值是|P1E|,设点M(x,y)是椭圆C上任意一点,则|ME|2=(x-t)2+y2=x2-2tx+t2+1,当x=m时,|ME|2最小,所以m=-=.①假设椭圆C存在过左焦点F的内切圆,则(--t)2=(m-t)2+n2.②又点P1在椭圆上,所以n2=1-.③由①②③得t=-或t=-,当t=-时,m==<-2,不合题意,舍去,且经验证,t=-符合题意,综上,椭圆C存在过左焦点F的内切圆,圆心E的坐标是.2.解析(1)由条件得∴m≥1.(2分)由得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0,Δ=16(m+1)2-12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0,∴m≥2.(5分)则|PF1|+|PF2|=2≥2,当且仅当m=2时,取等号,此时椭圆的方程为+y2=1.(8分)(2)假设存在斜率为k(k≠0)的直线满足题意,设该直线方程为y=kx+n(k≠0).由得(1+3k2)x2+6knx+3n2-3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.∴AB的中点为,(12分)由已知得·k=-1,∴1+3k2=2n,又由(6kn)2-4(1+3k2)(3n2-3)>0,解得k2<1,又∵k≠0,∴k∈(-1,0)∪(0,1).(15分)3.解析(1)由题意得解得a2=2.故椭圆C的方程为+y2=1.设M(x M,0).因为m≠0,所以-1<n<1.直线PA的方程为y-1=x,所以x M=,即M.(2)y轴上存在点Q,使∠OQM=∠ONQ.因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).设N(x N,0),则x N=.“存在点Q(0,y Q)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,y Q)使得=”,即y Q满足=|x M||x N|. 因为x M=,x N=,+n2=1,所以=|x M||x N|==2.所以y Q=或y Q=-.故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ.点Q的坐标为(0,)或(0,-).4.解析(1)证明:设直线l 1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以==2p1,==2p2-,-,故=,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此=.又由(1)中的=知=.故=.5.解析(1)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x 1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M==,y M=kx M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为x P.由得=,即x P=.将点的坐标代入l的方程得b=,因此x M=.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是=2×,解得k1=4-,k2=4+.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.6.解析(1)∵e==,a2-b2=c2,∴a2=3b2,则椭圆C的方程为+=1.又∵椭圆C过点M(1,1),∴将(1,1)代入方程,解得b2=,∴a2=4,∴椭圆C的方程为+=1.(5分)(2)①当圆O的切线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,则圆心O到直线l的距离d==1,∴1+k2=m2.(6分)将直线l的方程和椭圆C的方程联立,得到关于x的方程x2+3(kx+m)2=4,即(1+3k2)x2+6kmx+3m2-4=0,此时可设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,∴·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)·-+m2==0. (9分)当圆O的切线l的斜率不存在时,验证得·=0.综上可得,·=0.(10分)②由①知∠AOB=90°,则有|OA|2+|OB|2=|AB|2,又S=×|AB|×1=×|OA|×|OB|,从而有|OA|2+|OB|2=|AB|2=|OA|2×|O B|2,则|OA|2×|OB|2=|OA|2+|OB|2≥2|OA|×|OB|,即有|OA|×|OB|≥2,则S=×|OA|×|OB|≥1,当且仅当|OA|=|OB|时,△OAB的面积S取最小值1.(15分)7.解析(1)由C 1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1.②联立①②得a2=9,b2=8.故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.因为x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.因为x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.(ii)证明:由x2=4y得y=x2,则y'=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=-.令y=0,得x=,即M,所以=.而=(x1,y1-1),于是·=-y1+1=+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.8.解析(1)设直线l的方程为y=kx-3(k≠0),与+y2=1联立消去y,整理得(1+4k2)x2-24kx+32=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则则|MN|=|x1-x2|=·=,又点A(0,1)到直线l:y=kx-3的距离为d=,则S=d·|MN|=,又由Δ=242k2-128(1+4k2)>0,得k2>2.令=t,则t>0,S==.∵t>0,∴S=≤=,当且仅当t=,即k=±时,取等号,故△AMN的面积S的最大值为.(8分)(2)假设存在符合题意的直线l,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),与+y2=1联立消去y,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1x2≠0,y1y2≠0,则则k OM·k ON===k2+.由k OM·k ON=,得k2+=k2,由m≠0,得k2=,即k=±.故存在不过原点O的直线l,使得直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,直线l的斜率为±.(15分)B组提升题组1.解析(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为+=1.(2)证明:设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为y=(x-c).当x=0时,y=,即点Q的坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=.由于F1P⊥F1Q,所以·=·=-1.化简得=-(2a2-1).①将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.2.解析(1)由题意,知b=,=,又∵a2-c2=b2,∴c=1,a=2,∴椭圆C的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=x+m代入椭圆方程化简得x2+mx+m2-3=0,由题意知Δ=m2-4(m2-3)=-3m2+12>0,∴m2<4.由根与系数的关系得x1+x2=-m,x1x2=m2-3,∴y1+y2=(x1+x2)+2m=m,而k1+k2=+=0,∴(y1-y0)(x2-x0)+(y2-y0)(x1-x0)=0,∴y1x2+y2x1+2x0y0-y0(x1+x2)-x0(y2+y1)=0,∴x2+x1+2x0y0-y0(x1+x2)-x0(y2+y1)=0,∴x1x2+m(x1+x2)+2x0y0-y0(x1+x2)-x0(y2+y1)=0,∴m+2x0y0-3=0,∴∴或∴P或P.3.解析(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l 的方程为y=x-2或y=-x-2.4.解析(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则由题意知c=1,由·=1得(a+c)(a-c)=1,∴a2=2,∴b2=1,∴椭圆方程为+y2=1.(2)①若直线l1,l2中有一条斜率不存在,不妨设直线l2的斜率不存在,则l2⊥x轴,∴|MN|=2,|PQ|=,∴S=×2×=2.②若直线l1,l2的斜率都存在,设直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0),由得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,|MN|=|x1-x2|=,同理,|PQ|=,∴S=××=≥,当且仅当k=±1时,等号成立.因为<2,所以四边形MPNQ的面积S的最小值为,此时直线l1,l2的方程为y=±(x-1).5.解析(1)显然切线l的斜率存在,设P(2t,t2),t>0,切线l的方程为y=k(x-2t)+t2.l的方程与x2=4y联立并整理,得x2-4kx+8kt-4t2=0,由Δ1=16k2-32kt+16t2=0,得k=t,故切线l的方程为y=tx-t2.由得(3t2+4)x2-6t3x+3t4-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,且Δ2=36t6-12(t4-4)(3t2+4)>0,得0<t2<4.由+=1,得|FA|===,即|FA|=,而-2≤y1≤2,故|FA|=2-y1,同理,|FB|=2-y2.则|FA|+|FB|=4-(y1+y2)=4-t(x1+x2)+t2=,又|FP|=t2+1,依题意有|FA|+|FB|=2|FP|,得3t2=4,而t>0,故t=,故切线l的方程为y=x-.(9分)(2)由(1)知则|AB|=|x1-x2|=,而点M到直线l:y=tx-t2的距离为d==,则S=d·|AB|=,又0<t2<4,则当t2=时,△MAB的面积S取最大值.(15分)6.解析(1)设M(x M,y M),易知点F的坐标为(0,1),则a2-b2=1.(1分)又|MF|=y M+1=,∴y M=,则=.(3分)从而由得所以椭圆E1的方程为+=1.(5分)(2)设A(x A,y A),C(x C,y C),由=m,得x A=-mx C.易知直线l的方程为y=kx+1,代入抛物线方程中,整理得x2-4kx-4=0,则有即消去x C得=4k2.①(7分)设B(x B,y B),D(x D,y D),由=λ,得x B=-λx D.由得(3k2+4)x2+6kx-9=0,则有即消去x D得=.②(10分)由①②消去k2后整理得=.(11分)令1-m=t,由≤m≤,得≤t≤.则==,∵≤≤2,∴15≤16-16·+3≤35,则≤≤.(13分)从而有≤≤,即解得≤λ≤或≤λ≤.(15分)7.解析(1)p=2.(2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(x1,-y1),M(x1,y2),设直线l1的方程为y=k1x+b,由消元整理可得:x2+(2bk1-4)x+b2=0,所以可求得因为直线l2的方程为y+y1=k2(x-x1),所以可求得N,所以|MN|===4.(ii)设AB的中点为E,则E,则AB的中垂线方程为y-=-,与BC的中垂线、x轴的交点为O',所以△ABC的外接圆的方程为+y2=+.由(1)可知N(x1+4,y2),∵x1+4-+x2-=x1+x2+4-×2=0,∴+=-x22+.所以A,B,C,N四点共圆.8.解析(1)证明:设P(x 1,y1),Q(x2,y2),由已知得x1>0,x2>0,y1>0,y2<0.由抛物线的定义知N(-x2,0).显然直线PM的斜率存在,设其方程为y=k(x-x1)+y1,代入y2=4x中,得ky2-4y-4kx1+4y1=0. 由Δ1=16-4k(4y1-4kx1)=0及=4x1得4-4ky1+k2=0,得k=.则直线PM的方程为y=(x-x1)+y1,即y=x+.又直线QN的方程为y=(x+x2),即y=x+,由得即T.设直线l的方程为y=x+n,代入y2=4x中,有y2-4y+4n=0,则有y1+y2=4,y1y2=4n,且Δ2=16-16n>0,即n<1.故T点坐标为(n,2),所以点T的纵坐标为定值2.(2)易知F(1,0),由(1)知点F到直线PM的距离为d1==,点Q到直线PM的距离为d2======,则===,同理得=.则=====,由=,得=,解得n=3,或n=-1.∵n<1,∴n=-1,故所求直线l的方程为y=x-1.。