2020浙江省高考数学模拟试卷【含答案】
2020年浙江省高考数学模拟试卷(12)(20201108234812)
（Ⅰ）证明： PC⊥ AD ； （Ⅱ）若平面 PAD⊥平面 ABCD ，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值．
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1 20．（ 15 分）数列 { an} 满足 a1＝ 1，
= 1 + 1（n∈N *）．
2????+1 2????
1 （ 1）求证：数列 { } 是等差数列；
）
3
A ．1
B ．√2
C． √3
【解答】 解：双曲线 ??2 - y2＝ 1 的渐近线为
√3 y＝± x，
3
3
a2＝ 3， b2＝ 1， c2＝a2+b2＝ 3+1＝ 4，即 C＝ 2，
设一个焦点
F（ 2， 0），渐近线方程为
√3 x+y＝ 0，
3
则焦点 F 到其渐近线的距离
d= | √33× 2| = √1+( √33) 2
）
3
A ．1
B ．√2
C． √3
D．（ 4，+∞） D．2
3．（ 4 分）如图，网格纸上的小正方形的边长为
1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该
几何体的体积为（
）
A ．4
16 B．
3
32 C．
3
D． 16
??≥ 0 4．（ 4 分）若实数 x，y 满足不等式组 {??- 2??≤ 2 ，则 x﹣ 3y（ ）
所以 z 的最大值为 x﹣ 3y＝ 2﹣0＝ 2，且 z 无最小值．
故选： C．
5．（ 4 分）“角 θ为第三象限角”是“ sinθtanθ＜ 0”的（
）
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷及解析word版
浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。
2020年高考模拟试卷浙江省高考数学全真模拟试卷(3月) 含解析
2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。
浙江专用2020高考数学模拟仿真试卷(含两套,解析版)
浙江高考仿真卷(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{x ∈Z |x ≤0}，B ＝{}x |－1≤x ≤6，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤0} B ．{x |x ≤6} C ．{0,1,2,3,4,5,6} D ．{0，－1}答案 D解析 A ＝{x ∈Z |x ≤0}，B ＝{x |－1≤x ≤6}，则A ∩B ＝{0，－1}． 2．若双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的实轴长为2，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2x 答案 A解析 双曲线的实轴长为2，得a ＝1，又b ＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 3．设α是空间中的一个平面，l ，m ，n 是三条不同的直线． ①若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α； ②若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α； ③若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则n ∥l ； ④若m ⊂α，n ⊥α，l ⊥n ，则l ∥m . 则上述命题中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．③④D ．②③ 答案 D解析 对于①，当m ，n 相交时，才能得到l ⊥α，①错误；对于②，由l ∥m ，m ∥n 得l ∥n ，又因为l ⊥α，所以n ⊥α，②正确；对于③，因为m ⊥α，n ⊥α，所以m ∥n ，又因为l ∥m ，所以n ∥l ，③正确；对于④，直线l 与m 可能相交、平行或互为异面直线，④错误．综上所述，正确命题的序号为②③.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于直线x ＝π2对称，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D解析 因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期是π， 所以2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将该函数的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象所对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π3， 由此函数图象关于直线x ＝π2对称，得2×π2＋φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z ， 取k ＝0，得φ＝－π6，满足|φ|<π2，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 5．函数f (x )＝3x 34|x |－4的图象大致为( )答案 A解析 由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠±1}且满足f (－x )＝3(－x )34|－x |－4＝－3x 34|x |－4＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D 项；又由当x ∈(0,1)时，函数f (x )的值小于0，排除B 项，故选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 3>S 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，S 3>S 2⇔a 3>0⇔a 1q 2>0⇔a 1>0，故选C.7．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n (n ∈N *)个黑球．现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一个球，设摸得白球个数为X ，若D (X )＝1，则E (X )等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 设摸取一次摸得白球的概率为p ，则易得X ～B (4，p )，D (X )＝4p (1－p )＝1，解得p ＝12，则E (X )＝4×12＝2.8．将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球，放入编号为1,2，…，7的七个盒子中，每一个盒子至多放2个球，则不同的放法有( ) A ．98种 B ．196种 C ．252种 D ．336种 答案 D解析 3个球放入编号为1,2，…，7的七个盒子中，每个盒子至多放2个球，应采用排除法，每个球放入盒子的放法各有7种，共73种，排除3个球放在同一个盒中的7种放法，则共有73－7＝336(种)放法．9．已知向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝2，则|2a ＋b |＋|b |的最大值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．4＋2 2 D ．8 答案 B解析 记a ＋b ＝m ，则|a |＝|m |＝2，|2a ＋b |＋|b |＝|a ＋m |＋|m －a |≤2(|a ＋m |2＋|m －a |2)＝2m 2＋a 2＝42，当且仅当|a ＋m |＝|m －a |，即a ·(a ＋b )＝0，a ·b ＝－4时，取等号，则所求的最大值为4 2.10．已知偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝ax 2－bx ＋c ，a ，b ，c ∈N *.若函数f (x )在[－100，100]上有400个零点，则a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ．5 B ．8 C ．11 D ．12 答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )，得f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是以2为周期的周期函数，函数f (x )在[－100,100]上有400个零点等价于函数f (x )在[0,1]上有两个不同的零点，又因为a ，b ，c ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝c >0，f (1)＝a －b ＋c >0，0<－－b2a<1，(－b )2－4ac >0，即⎩⎪⎨⎪⎧c >0，a －b ＋c >0，b －2a <0，b 2－4ac >0，所以要使a ＋b ＋c 取得最小值，不妨取c ＝1，则不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1>0，b －2a <0，b 2－4a >0，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(不含边界)所示，由图易得区域内横纵坐标之和最小的整数点为(5,5)，此时a ＝b ＝5，所以a ＋b ＋c 的最小值为11.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．复数z ＝(3＋4i)2的虚部为________，z 的共轭复数z ＝________. 答案 24 －7－24i解析 ∵z ＝(3＋4i)2＝32＋2×3×4i ＋(4i)2＝－7＋24i ，∴虚部为24，共轭复数z ＝－7－24i. 12．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则2x＋y的最大值为________，y ＋1x －2的取值范围为________．答案 8 ⎣⎡⎦⎤－3，－12 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z 表示的是斜率为－1，在y 轴上的截距为z 的直线，当直线在y 轴上的截距最大时，z 最大，即直线过点C 时，z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z max ＝3,2x ＋y 的最大值为23＝8.y ＋1x －2表示的是可行域内的点(x ，y )与点(2，－1)连线的斜率，设D (2，－1)，k AD ＝－12，k CD ＝3－1＝－3，因此y ＋1x －2的取值范围⎣⎡⎦⎤－3，－12.13．某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为________；其外接球的体积为________．答案 4323π 解析 由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥O －ABCD ，且AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AO ＝3，四边形ABCD 是矩形，OA ⊥平面ABCD ， 所以该多面体最长的棱长为OC ＝OA 2＋AD 2＋CD 2＝3＋4＋9＝4，该几何体外接球的半径为2，其体积V ＝43π×23＝323π.14．已知⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝________；二项展开式中含x 3的系数为________． 答案 6 －540解析 ⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 展开式中所有二项式系数和为64， ∴2n ＝64，解得n ＝6；∴⎝⎛⎭⎫3x 2－1x 6展开式的通项公式为 T k ＋1＝C k 6·(3x 2)6－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·36－k ·C k 6·x 12－3k，令12－3k ＝3，解得k ＝3，∴二项式展开式中含x 3项的系数为(－1)3×33×C 36＝－540. 15．已知实数a ≥12，b ≥12，且a 2－a ＝b －b 2，则M ＝b 2a ＋a 2b 的最大值是________．答案322＋1 解析 由a 2－a ＝b －b 2化简得，⎝⎛⎭⎫a －122＋⎝⎛⎭⎫b －122＝12，又实数a ≥12，b ≥12，图形为14圆，如图：由a 2－a ＝b －b 2，可得a 2＝a ＋b －b 2，b 2＝a ＋b －a 2，则M ＝b 2a ＋a 2b ＝a ＋b －a 2a ＋a ＋b －b 2b ＝1＋b a －a ＋1＋a b －b ＝b a ＋ab－a －b ＋2，由几何意义得，b a ∈[2－1,1＋2]，则ab ∈[2－1，1＋2]，则当过点A 或点B 时，a ＋b 取最小值，可得M max ＝2－1＋1＋2－⎝⎛⎭⎫12＋12＋22＋2＝322＋1，所以M ＝b 2a ＋a 2b 的最大值是322＋1.16.如图，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个顶点A (a,0)，B (0，b )，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆M 于D ，C (不同于顶点)，若|BC |＝3|AD |，则椭圆M 的离心率e ＝________.答案63解析 直线AB 的斜率为－b a ，故直线BC ，AD 的斜率都为a b ，所以直线BC 的方程为y ＝ab x＋b ，直线AD 的方程为y ＝ab ()x －a .将直线BC 的方程代入椭圆方程，求得C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3b 2a 4＋b 4，b 5－a 4b a 4＋b 4，将直线AD 的方程代入椭圆方程，求得D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－ab 4a 4＋b 4，－2a 2b 3a 4＋b 4，由于|BC |＝3|AD |，即BC →＝3AD →，也即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3b 2a 4＋b 4，－2a 4b a 4＋b 4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ab 4a 4＋b 4，－2a 2b 3a 4＋b 4，即－2a 3b 2a 4＋b 4＝－6ab 4a 4＋b 4，化简得b 2a 2＝13.故离心率为e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝63.17．已知f (x )＝2x 2＋2x ＋b 是定义在[－1,0]上的函数， 若f (f (x ))≤0在定义域上恒成立，而且存在实数x 0满足：f (f (x 0))＝x 0且f (x 0)≠x 0，则实数b 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，－38 解析 因为f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝b －12，f (x )max ＝f (0)＝f (－1)＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤b －12≤0，－1≤b ≤0，得b ∈⎣⎡⎦⎤－12，0时满足 f (f (x ))≤0；设f (x 0)＝y 0，则f (y 0)＝x 0且y 0≠x 0，所以函数f (x )＝2x 2＋2x ＋b 图象上存在两点关于直线y ＝x 对称， 令l ：y ＝－x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，y ＝2x 2＋2x ＋b ，得2x 2＋3x ＋b －m ＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)为直线与抛物线的交点，线段MN 的中点为E (x E ，y E )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8(b －m )>0，x 1＋x 2＝－32， 所以E ⎝⎛⎭⎫－34，34＋m ，而E 在y ＝x 上， 所以m ＝－32，从而2x 2＋3x ＋b ＋32＝0在[－1,0]上有两个不相等的实数根，令h (x )＝2x 2＋3x ＋b ＋32，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8⎝⎛⎭⎫b ＋32>0，h (－1)＝b ＋12≥0，h (0)＝32＋b ≥0，－1<－34<0，得b ∈⎣⎡⎭⎫－12，－38. 三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝cos x ()3sin x －cos x ＋12.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，求实数c 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝sin π2＝1. (2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. 由不等式c <f (x )<c ＋2恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c <－12，c ＋2>1，解得 －1<c <－12.所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12. 19．(15分)如图，四边形ABEF 是正方形，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝12CD .(1)若平面ABEF ⊥平面ABCD ，求证：DB ⊥平面EBC ； (2)若DF ⊥BC ，求直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值．(1)证明 ∵四边形ABEF 是正方形，∴EB ⊥AB .又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴EB ⊥平面ABCD ，可得EB ⊥BD . 又∵AD ＝AB ＝BC ＝12CD ，不妨设AB ＝BC ＝AD ＝1，DC ＝2， 可求BD ＝3，可得BD ⊥BC ， ∵EB ∩BC ＝B ，EB ，BC ⊂平面EBC ， ∴DB ⊥平面EBC .(2)解 方法一 过点F 作FH ⊥平面ABCD ，连接AH 交CD 于点G ，过点H 作HI ⊥AD 交AD 于点I ，连接FI ，作HO ⊥FI 交FI 于点O ，∵FH ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥BC ， 又∵DF ⊥BC ，且FH ∩DF ＝F ，FH ，DF ⊂平面FDH ， ∴BC ⊥平面FDH ，又DH ⊂平面FDH ，∴BC ⊥DH ，即H 在BD 上，又∵FH ⊥AB ，F A ⊥AB ，且FH ∩F A ＝F ，FH ，F A ⊂平面F AH ，∴AB ⊥平面F AH ， 又AH ⊂平面F AH ，∴AB ⊥AH .又∵AD ⊥FH ，AD ⊥HI ，FH ∩HI ＝H ，FH ，HI ⊂平面FHI ，∴AD ⊥平面FHI ， 又∵AD ⊂平面F AD ，∴平面FHI ⊥平面F AD ， ∴H 到平面AFD 的距离为HO ，由(1)知DG ＝12，HG ＝HI ＝36，HO ＝69，又∵DB ＝3DH ，∴B 到平面AFD 的距离为63， 设直线BD 与平面ADF 所成角为θ，则sin θ＝23， 方法二 设AD ＝AB ＝BC ＝1，以A 为坐标原点，AB 为y 轴建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D⎝⎛⎭⎫32，－12，0， 设F (x ，y ，z )，由题意得⎩⎨⎧F A ＝1，FB ＝2，DF →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，x 2＋(y －1)2＋z 2＝2，⎝⎛⎭⎫x －32，y ＋12，z ·⎝⎛⎭⎫32，12，0＝0，解得x ＝33，y ＝0，z ＝63，即F ⎝⎛⎭⎫33，0，63. 设平面ADF 的法向量为m ＝(r ，s ，t )， 又AD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0，AF →＝⎝⎛⎭⎫33，0，63，∴⎩⎪⎨⎪⎧AD →·m ＝0，AF →·m ＝0，即⎩⎨⎧32r －12s ＝0，33r ＋63t ＝0，令r ＝2，则s ＝6，t ＝－1，即m ＝(2，6，－1)．设直线BD 与平面ADF 所成角为θ，且BD →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，则sin θ＝|cos 〈m ，BD →〉|＝|m ·BD →||m ||BD →|＝23，∴直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值为23. 20．(15分)已知数列{a n }是等差数列，满足a 2＝6，S 4＝28，数列{b n }满足：b 1＝1，1b 1＋12b 2＋…＋1nb n ＝1b n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a n 和b n ；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为S n ，求S n .解 (1)设数列{a n }的首项和公差分别为a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝6，4a 1＋6d ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，∴a n ＝2n＋2，n ∈N *.1b 1＋12b 2＋…＋1nb n ＝1b n ＋1－1，① 1b 1＋12b 2＋…＋1(n －1)b n －1＝1b n－1(n ≥2)，② ①－②得1nb n ＝1b n ＋1－1b n ，b n ＋1b n ＝n n ＋1(n ≥2)，当n ＝1时，1b 1＝1b 2－1，b 2＝12，当n ≥2时，b n＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1·b 1＝1n .当n ＝1时，b 1＝1符合上式，所以b n ＝1n ，n ∈N *.(2)b n a n ＝1n 2n ＋2＝1(2n ＋2)n ＝12·1(n ＋1)n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2n ＋2.21.(15分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点是F (1,0)，直线l 1：y ＝k 1x ，l 2：y ＝k 2x 分别与抛物线C 相交于点A 和点B ，过A ，B 的直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相切．(1)求直线AB 的方程(含k 1，k 2)；(2)若线段OA 与圆O 交于点M ，线段OB 与圆O 交于点N ，求S △MON 的取值范围． 解 (1)焦点是F (1,0)，可得p2＝1，即p ＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k 1x ，可得A ⎝⎛⎭⎫4k 21，4k 1，同理可得B ⎝⎛⎭⎫4k 22，4k 2， 若AB 的斜率存在，可得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k 1k 2k 1＋k 2， AB 的方程为y －4k 1＝k 1k 2k 1＋k 2⎝⎛⎭⎫x －4k 21， 化为k 1k 2x －(k 1＋k 2)y ＋4＝0，若AB 的斜率不存在，也满足上面的方程，则直线AB 的方程为k 1k 2x －(k 1＋k 2)y ＋4＝0. (2)过A ，B 的直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，可得d ＝4()k 1k 22＋()k 1＋k 22＝r ＝2，化简为(k 1k 2)2＋(k 1＋k 2)2＝4，即有－2≤k 1k 2<0， cos ∠AOB ＝OA →·OB→|OA →||OB →|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22 ＝1＋k 1k 2(k 1k 2)2＋k 21＋k 22＋1， 由(k 1k 2)2＋(k 1＋k 2)2＝4，可得cos ∠AOB ＝1＋k 1k 25－2k 1k 2，sin 2∠MON ＝－(k 1k 2)2－4k 1k 2＋45－2k 1k 2，设t ＝5－2k 1k 2∈(5,9]，则S2△MON＝4sin 2∠MON＝4·－(k 1k 2)2－4k 1k 2＋45－2k 1k 2＝4·－(5－t )24－2(5－t )＋4t ＝－t 2＋18t －49t ＝18－⎝⎛⎭⎫t ＋49t ≤18－249＝4， 当t ＝7时取等号，即k 1k 2＝－1∈[－2,0)，所以(S △MON )max ＝2，又S 2△MON >18－⎝⎛⎭⎫5＋495＝165，即S △MON >455， 即有S △MON 的取值范围为⎝⎛⎦⎤455，2.22．(15分)已知函数f (x )＝k e x ()x －1－12x 2，k ∈R .(1)当k ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若函数f (x )有两个零点，求k 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为R ，当k ＝－1时，f (x )＝－e x (x －1)－12x 2，f ′(x )＝－e x x －x ＝－x (e x ＋1)．当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在x ＝0时取到最大值，最大值为f (0)＝1. (2)f ′(x )＝k e x x －x ＝x (k e x －1)，当k ＜0时，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又因为f (0)＝－k ＞0，f (1)＝－12＜0，f (2k －1)＝k e 2k －1(2k －2)－12(2k －1)2＜k (2k －2)－12(2k －1)2＝－12＜0，所以f (x )有两个零点；当k ＝0时，f (x )＝－12x 2，所以此时f (x )只有一个零点；当k ＝1时，f ′(x )＝e x x －x ＝x (e x －1)≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增，f (x )不存在两个零点； 当k >0且k ≠1时，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝ln 1k，当0＜k ＜1时，ln 1k ＝－ln k ＞0，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，－ln k )上单调递减，在(－ln k ，＋∞)上单调递增，且f (0)＝－k ＜0，f (x )不存在两个零点；当k ＞1时，ln 1k ＝－ln k ＜0，f (x )在(－∞，－ln k )上单调递增，在(－ln k ,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且f ()－ln k ＝－(ln k ＋1)2＋12＜0，f (x )不存在两个零点．综上，当f (x )有两个零点时，k 的取值范围是(－∞，0)．浙江高考仿真卷(四)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{}x |x 2<1，B ＝{}x |log 2x <0，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(－1,1) 答案 B解析 由题得A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0<x <1}， 所以A ∩B ＝(0,1)．2．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为3x ＋4y ＝0，则该双曲线的离心率是( )A.53B.54C.43或53D.53或54 答案 D解析 3x ＋4y ＝0⇒y ＝－34x ，当焦点位于x 轴时，b a ＝34⇒b 2a 2＝916，而c 2＝a 2＋b 2，所以c 2－a 2a 2＝916⇒e ＝c a ＝54； 当焦点位于y 轴时，b a ＝43⇒b 2a 2＝169，c 2＝a 2＋b 2⇒c 2－a 2a 2＝169⇒e ＝c a ＝53.3．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－3 答案 C解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，再画出目标函数z ＝2x －y 如图中过原点的虚线， 平移目标函数易得过点A (0，－1)处时取得最大值， 代入得z max ＝1.4．如图是一个几何体的三视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A ．12B ．14C ．16D ．18 答案 D解析 由题意可得，该几何体是由一个四棱柱和一个三棱柱组成的几何体， 其中四棱柱的体积V 1＝1×3×4＝12，三棱柱的体积V 2＝12×3×1×4＝6，该几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝18.5．“对任意正整数n ，不等式n lg a <(n ＋1)lg a a (a >1)都成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．a >2 D ．a >3 答案 A解析 由n lg a <(n ＋1)lg a a 得n lg a <a (n ＋1)lg a ， ∵a >1，∴lg a >0，∴n <a (n ＋1)，即a >n n ＋1＝1－1n ＋1，又1－1n ＋1<1，∴a >1. 即a >1时，不等式n lg a <(n ＋1)lg a a ()a >1成立，则a >0是其必要不充分条件；a >1是其充要条件；a >2，a >3均是其充分不必要条件． 6．与函数f (x )＝sin x 2＋cos x 的部分图象符合的是( )答案 B解析 f (0)＝sin 0＋cos 0＝1排除C ， F ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π24＋cos π2＝sin π24>0，排除A ，D.7．已知随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ 1 3 5 P0.40.1x则ξ的标准差为( )A ．3.56 B. 3.56 C ．3.2 D. 3.2 答案 B解析 由题意，E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×(1－0.4－0.1)＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝1.936＋0.004＋1.62＝3.56， ∴ξ的标准差为 3.56.8．如图，正四面体ABCD 中，P ，Q ，R 分别在棱AB ，AD ，AC 上，且AQ ＝QD ，AP PB ＝CRRA ＝12，分别记二面角A －PQ －R ，A －PR －Q ，A －QR －P 的平面角为α，β，γ，则( )A ．β>γ>αB ．γ>β>αC ．α>γ>βD ．α>β>γ答案 D解析 ∵ABCD 是正四面体，P ，Q ，R 分别在棱AB ，AD ，AC 上，且AQ ＝QD ，AP PB ＝CR RA ＝12，可得α为钝角，β，γ为锐角，设P 到平面ACD 的距离为h 1，P 到QR 的距离为d 1，Q 到平面ABC 的距离为h 2，Q 到PR 的距离为d 2，设正四面体的高为h ，棱长为6a ，可得h 1＝13h ，h 2＝12h ，h 1<h 2，由余弦定理可得QR ＝13a ，PR ＝23a ，由三角形面积相等可得到d 1d 2＝PR QR ＝2313，因为sin γ＝h 1d 1，sin β＝h 2d 2，所以sin βsin γ＝3313>1，即sin β>sin γ，所以γ<β，∴α>β>γ.9.如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中AB ＝2，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC →·PB →的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 答案 B解析 连接BC (图略)，则∠ACB ＝90°， ∵AP ⊥PC ，∴AC →·PB →＝AC →·()PC →＋CB →＝AC →·PC →＝()AP →＋PC →·PC →＝PC →2，依题意可证Rt △APC ∽Rt △ACB ，则PC CB ＝AC AB ，即PC ＝AC ·CB 2，∵AC 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC 2＋CB 2＝4≥2AC ·BC ，即AC ·BC ≤2，当且仅当AC ＝CB 时取等号． ∴PC ≤1，∴AC →·PB →＝PC →2≤1， ∴AC →·PB →的最大值为1.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知()a 2 017－1 2 019＋2 019a 2 017＋()a 2 017－1 2 021＝2 000，(a 2 020－1)2 019＋2 019a 2 020＋(a 2 020－1)2 021＝2 038，则S 4 036等于( ) A ．2 019 B ．2 020 C ．2 021 D ．4 036 答案 D解析 由(a 2 017－1)2 019＋2 019a 2 017＋(a 2 017－1)2 021＝2 000得：(a 2 017－1)2 019＋2 019(a 2 017－1)＋(a 2 017－1)2 021＝－19，①由(a 2 020－1)2 019＋2 019a 2 020＋(a 2 020－1)2 021＝2 038得：()a 2 020－1 2 019＋2 019()a 2 020－1＋()a 2 020－1 2 021＝19，②令f (x )＝x 2 019＋2 019x ＋x 2 021， 则①式即为f ()a 2 017－1＝－19， ②式即为f ()a 2 020－1＝19，又f ()－x ＋f (x )＝0，即f (x )为奇函数，且()a 2 017－1＋()a 2 020－1＝0，∴a 2 017＋a 2 020＝2， ∴S 4 036＝2 018()a 1＋a 4 036＝2 018(a 2 017＋a 2 020)＝4 036.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．复数z ＝11－i 的共轭复数是________，复数z 对应的点位于复平面内的第________象限．答案 12－12i 一解析11－i ＝1＋i ()1－i ()1＋i ＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，复数z 对应的点位于复平面内的第一象限．12．已知圆C ：x 2＋y 2－2ax ＋4ay ＋5a 2－25＝0的圆心在直线l 1：x ＋y ＋2＝0上，则a ＝________；圆C 被直线l 2：3x ＋4y －5＝0截得的弦长为________． 答案 2 8解析 圆C ：x 2＋y 2－2ax ＋4ay ＋5a 2－25＝0的标准方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝52，可得圆心坐标是(a ，－2a )，把圆心坐标代入直线l 1：x ＋y ＋2＝0的方程中得a ＝2； 即圆心为(2，－4)，圆心到直线l 2：3x ＋4y －5＝0的距离d ＝||3×2－4×4－532＋42＝3，所以弦长等于2r 2－d 2＝252－32＝8.13．若x (1－mx )4＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，其中a 2＝－6，则实数m ＝________； a 1＋a 3＋a 5＝________. 答案 32 31316解析 x (1－mx )4＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5 ，则x (1－mx )4＝x ()1－4mx ＋C 24m 2x 2＋…，则－4m ＝a 2＝－6， 解得m ＝32.令x ＝1，则⎝⎛⎭⎫1－324＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5 ， 令x ＝－1, 则－⎝⎛⎭⎫1＋324＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5， ∴2()a 1＋a 3＋a 5＝⎝⎛⎭⎫124＋⎝⎛⎭⎫524， 解得a 1＋a 3＋a 5＝31316.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝54sin C ，且△ABC的周长为9，△ABC 的面积为3sin C ，则c ＝________，cos C ＝________. 答案 4 －14解析 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， 已知sin A ＋sin B ＝54sin C ，则a ＋b ＝5c4，且△ABC 的周长为9， 则c ＋5c4＝9，解得c ＝4 .因为△ABC 的面积等于3sin C ， 所以12ab sin C ＝3sin C ，整理得ab ＝6. ∵a ＋b ＝5c4＝5,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5，ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14.15．某地火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种(用数字作答)． 答案 96解析 若第一棒火炬手为甲或乙，则最后一棒只能由甲、乙中不跑第一棒的火炬手完成，剩下的4段路线全排列，此时有2A 44种不同的传递方案；若第一棒火炬手为丙，则最后一棒由甲或乙完成，剩下的4段路线全排列，此时有2A 44种不同的传递方案，则由分类加法计数原理得共有2A 44＋2A 44＝96(种)不同的传递方案．16．设椭圆C 的两个焦点是F 1，F 2，过F 1的直线与椭圆C 交于P ，Q ，若|PF 2|＝|F 1F 2|，且5|PF 1|＝6|F 1Q |，则椭圆的离心率为________． 答案911解析 画出图形如图所示．由椭圆的定义可知：|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c . ∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴|PF 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2(a －c )． ∵5|PF 1|＝6|F 1Q |，∴|QF 1|＝56|PF 1|＝53(a －c )，∴|QF 2|＝a 3＋5c3.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得： cos ∠PF 1F 2＝|F 1F 2|2＋|F 1P |2－|F 2P |22|F 1F 2||F 1P |＝a －c2c ，在△QF 1F 2中，由余弦定理可得： cos ∠QF 1F 2＝|F 1F 2|2＋|F 1Q |2－|F 2Q |22|F 1F 2||F 1Q |＝2a －3c5c .∵∠PF 1F 2＋∠QF 1F 2＝180°，∴cos ∠PF 1F 2＝－cos ∠QF 1F 2， ∴a －c 2c ＝－2a －3c5c，整理得9a ＝11c ， ∴e ＝c a ＝911.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，则c b ＋bc 的最大值为________．答案5解析 由对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立得BC 边上的高h ≥a . 在△ABC 中，有12ah ＝12bc sin A ，即bc ＝ahsin A ，在△ABC 中，由余弦定理得 b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝a 2＋2ah cos Asin A， 则c b ＋bc ＝b 2＋c 2bc ＝a 2＋2ah cos A sin A ahsin A ＝a 2sin A ＋2ah cos A ah ＝a sin A ＋2h cos A h≤h sin A ＋2h cos Ah＝sin A ＋2cos A＝5sin(A ＋φ)， 其中tan φ＝2，则当A ＋φ＝π2且h ＝a 时，c b ＋bc 取得最大值 5.三、解答题(本大题共5小题，共74分．) 18．(14分)已知：函数f (x )＝2(sin x －cos x )． (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫α，65，π4<α<3π4.求f ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值． 解 (1)f (x )＝2(sin x －cos x ) ＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∴函数的最小正周期为2π，值域为{y |－2≤y ≤2}． (2)依题意得，2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝65，sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，∵π4<α<3π4，∴0<α－π4<π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝2⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4 ＝2×22×⎝⎛⎭⎫35＋45＝725. 19.(15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，CD ＝2AB ＝4，BC ＝2 2.(1)求证：PC ⊥BD ；(2)若直线AB 与平面PBD 所成的角为π6，求P A 的长．解 (1)连接AC ，在△ABC 中，因为AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝22， 所以tan ∠ACB ＝AB BC ＝22.因为AB ∥CD ，AB ⊥BC ，所以CD ⊥BC .在Rt △BCD 中，因为CD ＝4，所以tan ∠BDC ＝BC CD ＝22，所以tan ∠ACB ＝tan ∠BDC ， 所以∠ACB ＝∠BDC .因为∠ACB ＋∠ACD ＝π2，所以∠BDC ＋∠ACD ＝π2，所以BD ⊥AC .因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC . 因为PC ⊂平面P AC ，所以PC ⊥BD .(2)方法一 如图，设P A ＝t ，AC 与BD 交于点M ，连接PM ，过点A 作AH ⊥PM 于点H ，连接BH .由(1)知，BD ⊥平面P AC ，又AH ⊂平面P AC ，所以BD ⊥AH .因为AH ⊥PM ，PM ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，PM ∩BD ＝M ，所以AH ⊥平面PBD ， 所以∠ABH 为直线AB 与平面PBD 所成的角．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，BC ＝22，所以AC ＝AB 2＋BC 2＝23， 所以由三角形相似得AM ＝AB 2AC ＝233.在Rt △P AM 中，易知AH ＝P A ·AM PM ＝P A ·AMP A 2＋AM 2＝t ×233t 2＋43. 因为直线AB 与平面PBD 所成的角为π6，所以∠ABH ＝π6.所以sin ∠ABH ＝AHAB ＝t ×233t 2＋432＝12，所以t ＝2， 所以P A 的长为2.方法二 取CD 的中点E ，连接AE ，因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝4，所以AB ∥CE 且AB ＝CE ， 所以四边形ABCE 是平行四边形，所以BC ∥AE . 因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥AE .又P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE ，故AE ，AB ，AP 两两垂直，故以A 为坐标原点，AE ，AB ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝t ，因为CD ＝2AB ＝4，所以A (0,0,0)，B (0,2,0)，P (0,0，t )，D (22，－2,0)，所以AB →＝(0,2,0)，BP →＝(0，－2，t )，BD →＝(22，－4,0)．设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BP →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋tz ＝0，22x －4y ＝0，令x ＝2，则y ＝1，z ＝2t ，故n ＝⎝⎛⎭⎫2，1，2t 为平面PBD 的一个法向量． 因为直线AB 与平面PBD 所成的角为π6，所以sin π6＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n |·|AB →|＝23＋4t2×2＝12， 所以t ＝2. 所以P A 的长为2.20．(15分)数列{a n }满足： a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝[2＋(－1)n ]a n ＋2，n ＝1,2,3，…. (1)求a 3，a 4，并证明数列{a 2n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前2n 项和S 2n . 解 (1) 当n ＝1时，a 3＝a 1＋2＝3， 当n ＝2时，a 4＝3a 2＋2＝8，令n ＝2k ，a 2k ＋2＝3a 2k ＋2(k ＝1,2,3，…)， 即a 2k ＋2＋1＝3(a 2k ＋1)(k ＝1,2,3，…)． 所以数列{a 2n ＋1}是等比数列．(2)由(1)得，当n 为偶数时，a n ＝23n －1，当n 为奇数时， a n ＋2＝a n ＋2，即数列{a n }的奇数项构成等差数列，可求得a n ＝n ，{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 是奇数，23n －1，n 是偶数.所以在前2n 项中，S 奇＝n ·1＋12n ()n －1·2＝n 2，S 偶＝3()1－3n 1－3－n ＝12()3n ＋1－3－n ，S 2n ＝S 奇＋S 偶＝12()3n ＋1－3＋n 2－n .21．(15分)已知平面上一动点P 到定点C (1,0)的距离与它到直线l ：x ＝4的距离之比为12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)点O 是坐标原点，A ，B 两点在点P 的轨迹上，F 是点C 关于原点的对称点，若F A →＝λBF →，求λ的取值范围．解 (1)设P (x ，y )是所求轨迹上的任意一点，由动点P 到定点C (1,0)的距离与它到直线l ：x ＝4的距离之比为12，则(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，化简得x 24＋y 23＝1，即点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)由F 是点C 关于原点的对称点，所以点F 的坐标为(－1,0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为F A →＝λBF →， 则(x 1＋1，y 1)＝λ(－1－x 2，－y 2)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，∵x 214＋y 213＝1，即(－1－λ－λx 2)24＋(－λy 2)23＝1，① 又由x 224＋y 223＝1，则(λx 2)24＋(λy 2)23＝λ2，②①－②得2λ(λ＋1)x 2＋(λ＋1)24＝1－λ2，化简得x 2＝3－5λ2λ，∵－2≤x 2≤2，∴－2≤3－5λ2λ≤2，解得13≤λ≤3，所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3.22．(15分)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )，其中m ≥1. (1)设x ＝0是函数f (x )的极值点，讨论函数f (x )的单调性； (2)若y ＝f (x )有两个不同的零点x 1和x 2，且x 1<0<x 2， ①求参数m 的取值范围； ②求证：21ex x －－ln(x 2－x 1＋1)>e －1.(1)解 f ′(x )＝e x －1x ＋m， 若x ＝0是函数f (x )的极值点，则f ′(0)＝1－1m ＝0，得m ＝1，经检验满足题意，此时f ′(x )＝e x －1x ＋1，x >－1， 所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)①解 m ≥1, f ′(x )＝e x －1x ＋m，x >－m ，记h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋1()x ＋m 2>0，知f ′(x )在区间(－m ，＋∞)内单调递增． 又∵f ′(0)＝1－1m >0, f ′(－m ＋1)＝e 1－m －1<0，∴f ′(x )在区间(1－m ,0)内存在唯一的零点x 0， 即f ′(x 0)＝0e x －1x 0＋m ＝0，于是0e x＝1x 0＋m ，x 0＝－ln(x 0＋m )．当－m <x <x 0时， f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >x 0时， f ′(x )>0，f (x )单调递增．若y ＝f (x )有两个不同的零点x 1和x 2，且x 1<0<x 2， 易知x →－m 时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞， 所以f (0)＝1－ln m <0，解得m >e.②证明 由①中的单调性知，当x ∈(x 1，x 2)时，f (x )<0，又m >e ，所以f (－1)＝1e －ln(m －1)<1e －ln(e －1)<12－ln(e －1)<12－ln 1.7＝ln e1.7<0，所以x 1<－1.所以x 1<－1<0<x 2，所以x 2－x 1>1，令t ＝x 2－x 1>1， 要证21ex x －－ln(x 2－x 1＋1)>e －1，即证e t －ln(t ＋1)>e －1. 令h (t )＝e t －ln(t ＋1)，t ≥1， 则h ′(t )＝e t －1t ＋1单调递增，又h ′(1)＝e －12>0，所以h ′(t )>0，h (t )单调递增， 所以h (t )>h (1)＝e －ln 2>e －1， 即21e x x －－ln(x 2－x 1＋1)>e －1.。
2020年浙江省高考数学模拟试卷(16)
2020年浙江省高考数学模拟试卷（16）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣9）+（a +3）i 为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．6iC ．±3D ．62．（5分）已知向量a →=(1，3)，b →=(4，m)，且(a →−b →)⊥a →，则向量a →与b →夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．π4D ．π23．（5分）已知sin α+cos α=12，α∈（0，π），则1+tanα1−tanα=（ ）A ．√77B ．−√77C ．√33D ．−√334．（5分）i 2020＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i5．（5分）已知三角形ABC ，那么“|AB →+AC →|＞|AB →−AC →|”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且sin A +cos A =√3−12，a ＝7，3sin B＝5sin C ，则b +c 的值为（ ） A ．12B ．8√3C ．8√2D ．87．（5分）已知向量a →=（1，3），b →=（3，2），则向量a →在向量b →上的投影等于（ ） A ．9√1010B ．9C ．﹣3D ．9√13138．（5分）函数f(x)=(x−1x+1)e x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 是BC 中点，BA →=12BQ →，向量PD →•PQ →=（ ） A ．1B ．5C ．7D ．﹣1310．（5分）已知tan(α−π6)=2√3，则sinαsin(α+π3)=（ ）A ．52B ．72C ．−√32D ．3√3211．（5分）在△ABC 中，BA →⋅AC →|AB →|+AC →⋅BC →|BC →|=0，BC→|BC →|⋅BA→|BA →|=12，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．三边均不相等的三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形12．（5分）在平行四边形ABCD 中，AB →+AC →−DA →=（ ） A ．2AC →B ．0C ．2AD →D ．2BD →二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若复数z 满足zi =2+i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．14．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →=4CD →，若AD →=λ2AB →+μ4AC →，则λ+μ＝ ． 15．（5分）在△ABC 中，若tanA tanB+tanA tanC=3，则sin A 的最大值为 ．16．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，AB →⋅BC →=−2，且满足sin A +sin C ＝2sin B ，则该三角形的外接圆的半径R 为 ． 三．解答题（共6小题）17．已知复数z ＝（2+i ）m +2ii−1（其中i 是虚数单位，m ∈R ）． （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求|z ﹣1|的取值范围．18．已知角α为第一象限角，且sin α=√55． （1）求cos α，tan α的值；（2）求3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)的值．19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）已知a ＝b cos C +c sin B ，求B ；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求证：B ≤π3．20．已知向量m →=（sin x ，34），n →=（cos x ，﹣1），设f （x ）＝2（m →+n →）⋅n →（Ⅰ）若f （x ）=32，求x 的所有取值；（Ⅱ）已知锐角△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a （a +c ），求f （A ）的取值范围．21．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数． 1．sin 213°+cos 217°﹣sin13°cos17° 2．sin 218°+cos 212﹣sin18°cos12°3．sin 2（﹣25°）+cos 255°﹣sin （﹣25°）cos55° （1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数．（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．22．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a +b ＝2c cos B ，c =√3． （1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD ＝CB ，求△ABD 周长的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷（16）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣9）+（a +3）i 为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．6iC ．±3D ．6【解答】解：∵z ＝（a 2﹣9）+（a +3）i 为纯虚数，∴{a 2−9=0a +3≠0，解得a ＝3． ∴z ＝6i ，则复数z 的虚部为6． 故选：D ．2．（5分）已知向量a →=(1，3)，b →=(4，m)，且(a →−b →)⊥a →，则向量a →与b →夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．π4D ．π2【解答】解：∵向量a →=(1，3)，b →=(4，m)，且(a →−b →)⊥a →，∴（a →−b →）•a →=a →2−a →⋅b →=0， 即 a →2=a →•b →，即 10＝4+3m ，∴m ＝2，∴b →=（4，2）． 设向量a →与b →夹角为θ，θ∈[0，π]，则 10＝|a →|•|b →|•cos θ=√10•√16+4•cos θ=√10•2√5•cos θ cos θ=√22，∴θ=π4， 故选：C ．3．（5分）已知sin α+cos α=12，α∈（0，π），则1+tanα1−tanα=（ ）A ．√77B ．−√77C ．√33D ．−√33【解答】解：由sin α+cos α=12，α∈（0，π）， 得1+2sinαcosα=14，∴2sin αcos α=−34， 则sin α＞0，cos α＜0，∴sin α﹣cos α=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+34=√72．联立{sinα+cosα=12sinα−cosα=√72，解得sin α=1+√74，cos α=1−√74，tan α=√71−7=−4+√73． ∴1+tanα1−tanα=1−4+√731+4+√73=−√77． 故选：B ．4．（5分）i 2020＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i【解答】解：i 2020＝i 4×505＝（i 4）505＝1．故选：A ．5．（5分）已知三角形ABC ，那么“|AB →+AC →|＞|AB →−AC →|”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：三角形ABC ，那么“|AB →+AC →|＞|AB →−AC →|”⇒AB →•AC →＞0，可得A 为锐角．此时三角形ABC 不一定为锐角三角形． 三角形ABC 为锐角三角形⇒A 为锐角．∴三角形ABC ，那么“|AB →+AC →|＞|AB →−AC →|”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件． 故选：B ．6．（5分）△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且sin A +cos A =√3−12，a ＝7，3sin B＝5sin C ，则b +c 的值为（ ） A ．12B ．8√3C ．8√2D ．8【解答】解：∵sin A +cos A =√3−12，∴两边平方，可得：1+sin2A =4−2√34，解得：sin2A =−√32， ∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，∴解得：A =2π3或5π6（由sin A +cos A =√3−12舍去），可得：cos A =−12，∵3sin B ＝5sin C ，可得：3b ＝5c ①，∴由a ＝7，根据余弦定理可得：49＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴49＝b 2+c 2+bc ②，∴由①②可解得：b ＝5，c ＝3，b +c ＝8． 故选：D ．7．（5分）已知向量a →=（1，3），b →=（3，2），则向量a →在向量b →上的投影等于（ ） A ．9√1010B ．9C ．﹣3D ．9√1313【解答】解：a →在b →方向上的投影为|a →|⋅cos ＜a →，b →＞=|a →|⋅a →⋅b→|a →||b →|=a →⋅b →|b →|=3+613=9√1313．故选：D ．8．（5分）函数f(x)=(x−1x+1)e x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：当x →﹣∞时，e x →0+，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f （x ）→0+，排除C ，D ；因为x →+∞时，e x →+∞，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f （x ）→+∞，因此排除B ， 故选：A ．9．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 是BC 中点，BA →=12BQ →，向量PD →•PQ →=（ ）A ．1B ．5C ．7D ．﹣13【解答】解：如图，以点D 为原点，以直线DC ，DA 分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则据题意得，D （0，0），P （2，1），Q （﹣2，2），∴PD →⋅PQ →=(−2，−1)⋅(−4，1)=8−1=7． 故选：C ．10．（5分）已知tan(α−π6)=2√3，则sinαsin(α+π3)=（ ） A ．52B ．72C ．−√32D ．3√32【解答】解：∵tan(α−π6)=2√3，∴tanα−tanπ61+tanαtanπ6=tanα−√331+√33tanα=2√3，解得tan α=−7√33， ∴sinαsin(α+π3)=sinαsinαcos π3+cosαsinπ3=12tanα+√32=72．故选：B ．11．（5分）在△ABC 中，BA →⋅AC →|AB →|+AC →⋅BC →|BC →|=0，BC→|BC →|⋅BA→|BA →|=12，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．三边均不相等的三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形【解答】解：因为在△ABC 中，A ，B ，C ∈（0，π）BA →⋅AC →|AB →|+AC →⋅BC →|BC →|=0，BC→|BC →|⋅BA→|BA →|=12，∴−|AB →|×|AC →|×cosA|AB →|+|CA →|×|CB →|×cosC|BC →|=0⇒|CA →|cos A ﹣|AC →|coC ＝0⇒cos A ＝cos C ⇒A ＝C ；∵BC →•BA →=|BC →|×|BA →|×cos B =12|BC →|×|BA →|⇒cos B =12⇒B =π3； ∴△ABC 为等边三角形； 故选：C ．12．（5分）在平行四边形ABCD 中，AB →+AC →−DA →=（ ） A ．2AC →B ．0C ．2AD →D ．2BD →【解答】解：∵ABCD 是平行四边形，∴AB →+AC →−DA →=AB →+AD →+AC →=AC →+AC →=2AC →． 故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若复数z 满足zi =2+i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是 √5 ．【解答】解：∵zi=2+i ，∴z ＝（2+i ）i ＝﹣1+2i ， ∴|z |=√5． 故答案为：√5．14．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →=4CD →，若AD →=λ2AB →+μ4AC →，则λ+μ＝92．【解答】解：如图所示，由BC →=4CD →可知，B 、C 、D 三点在同一直线上，图形如下：根据题意及图形，可得：AD →=AC →+CD →=AC →+14BC →=AC →+14(AC →−AB →)=54AC →−14AB →，∵AD →=λ2AB →+μ4AC →，∴{λ2=−14μ4=54，解得：{λ=−12μ=5，则λ+μ=(−12)+5=92． 15．（5分）在△ABC 中，若tanAtanB +tanAtanC =3，则sin A 的最大值为 √215． 【解答】解：在△ABC 中，tanA tanB+tanA tanC=3，∴sinAcosB cosAsinB+sinAcosC cosAsinC=3．∴sinA(cosBsinC+cosCsinB)cosAsinBsinC =3，即sinAsin(C+B)cosAsinBsinC=3，∴sin 2A cosAsinBsinC=3．根据正弦定理得：a 2bccosA=3．∴a 2＝3bc cos A ．又根据余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴b 2+c 2﹣2bc cos A ＝3bc cos A ．∴cosA =b 2+c 25bc ≥2bc 5bc =25．当且仅当b ＝c 时等号成立， ∴cos 2A ≥425． ∴1−sin 2A ≥425，即sin 2A ≤2125， ∴sinA ≤√215．故答案为：√21516．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，AB →⋅BC →=−2，且满足sin A +sin C ＝2sin B ，则该三角形的外接圆的半径R 为2√33． 【解答】解：因为AB →⋅BC →=accos(π−B)=−12ac =−2，所以ac ＝4． 由余弦定理得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ．又因为sin A +sin C ＝2sin B ，所以a +c ＝2b ．所以(a+c)42=(a +c)2−3ac ， 所以3(a+c)42=12，所以（a +c ）2＝16，所以a +c ＝4，所以b ＝2，所以2R =bsinB =2sin600=4√33，所以R =2√33．故答案为：2√33． 三．解答题（共6小题） 17．已知复数z ＝（2+i ）m +2ii−1（其中i 是虚数单位，m ∈R ）． （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求|z ﹣1|的取值范围．【解答】解：z ＝（2+i ）m +2ii−1=2m +mi +2i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=(2m +1)+(m −1)i ．（1）∵复数z 是纯虚数，∴{2m +1=0m −1≠0，即m =−12；（2）z ﹣1＝2m +（m ﹣1）i ，|z ﹣1|=√4m 2+(m −1)2=√5m 2−2m +1=√5(m −15)2+45≥2√55， ∴|z ﹣1|的取值范围是[2√55，+∞)． 18．已知角α为第一象限角，且sin α=√55． （1）求cos α，tan α的值； （2）求3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)的值．【解答】解：（1）∵角α为第一象限角，且sin α=√55，∴cos α=√1−sin 2α=2√55，tan α=sinαcosα=12． （2）3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)=3sinα+2cosαsinα=3+2tanα=3+212=7．19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）已知a ＝b cos C +c sin B ，求B ；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求证：B ≤π3． 【解答】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：sin A ＝sin B cos C +sin C sin B ， 即sin （B +C ）＝sin B cos C +sin C sin B ， 故 cos B sin C ＝sin C sin B ， 因为 sin C ≠0， 所以 cos B ＝sin B ， 因为 0＜B ＜π，所以 B =π4；………………………………………………………（6分）（2）证明：因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，由余弦定理得 a 2+c 2﹣2ac cos B ＝ac ，由重要不等式知：2ac ﹣2ac cos B ≤ac ，所以cos B ≥12=cos π3， 因为 0＜B ＜π，且函数y ＝cos x 在（0，π）上是减函数，所以B ≤π3． ……………………………………………………………………………（12分）20．已知向量m →=（sin x ，34），n →=（cos x ，﹣1），设f （x ）＝2（m →+n →）⋅n →（Ⅰ）若f （x ）=32，求x 的所有取值；（Ⅱ）已知锐角△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a （a +c ），求f（A ）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）向量m →=（sin x ，34），n →=（cos x ，﹣1）， 可得f （x ）＝2（m →+n →）⋅n →=2（sin x +cos x ，−14）•（cos x ，﹣1） ＝2sin x cos x +2cos 2x +12=sin2x +cos2x +32=√2sin （2x +π4）+32，由f （x ）=32可得sin （2x +π4）＝0，即有2x +π4=k π，k ∈Z ， 解得x =kπ2−π8，k ∈Z ； （Ⅱ）由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B 和b 2＝a （a +c ），可得a ＝c ﹣2a cos B ，又由正弦定理得sin A ＝sin C ﹣2sin A cos B ，又sin C ＝sin （π﹣A ﹣B ）＝sin （A +B ），得sin A ＝sin （A +B ）﹣2sin A cos B ＝sin B cos A ﹣sin A cos B ＝sin （B ﹣A ），由A ，B ∈（0，π2）， 可得A ＝B ﹣A 或A +B ﹣A ＝π（舍去），故B ＝2A ，C ＝π﹣3A ，由于锐角△ABC ，即0＜2A ＜π2，0＜π﹣3A ＜π2，故有π6＜A ＜π4，即有7π12＜2A +π4＜3π4， 即有sin （2A +π4）∈（√22，√6+√24）， 所以f （A ）=√2sin （2A +π4）+32的取值范围是（52，2+√32）． 21．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数．1．sin 213°+cos 217°﹣sin13°cos17°2．sin 218°+cos 212﹣sin18°cos12°3．sin 2（﹣25°）+cos 255°﹣sin （﹣25°）cos55°（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数．（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解答】解：（1）sin 213°+cos 217°﹣sin13°cos17°＝sin 213°+cos 2（30°﹣13°）﹣sin13°cos （30°﹣13°）＝sin 213°+（cos30°cos13°+sin30°sin13°）2﹣sin13°（cos30°cos13°+sin30°sin13°）=sin 213°+34cos 213°+14sin 213°+√32sin13°cos13°−√32sin13°cos13°−12sin 213° =34sin 213°+34cos 213°=34．（2）一般规律：sin 2α+cos 2(30°−α)−sinαcos(30°−α)=34．证明：sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣sin αcos （30°﹣α）＝sin 2α+（cos30°cos α+sin30°sin α）2﹣sin α（cos30°cos α+sin30°sin α）=sin 2α+34cos 2α+14sin 2α+√32sinαcosα−√32sinαcosα−12sin 2α =34sin 2α+34cos 2α=34．22．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a +b ＝2c cos B ，c =√3．（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD ＝CB ，求△ABD 周长的取值范围．【解答】解：（1）根据余弦定理得2a +b =2c a 2+c 2−b 22ac，整理得：a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab =−12， 由于C ∈（0，π），可得C =2π3． （2）由于C =2π3，即∠BCD =π3，又CD ＝CB ，可得△BCD 为等边三角形，可得BD ＝CD ＝a ， 所以△ABD 的周长L ＝2a +b +√3，由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =√3√32=2，所以：a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，因为：A =π3−B ， 又B ∈（0，π3），可得cos B ∈（12，1），所以2a +b ＝4sin A +2sin B ＝4sin （π3−B ）+2sin B ＝4（√32cos B −12sin B ）+2sin B ＝2√3cos B ， 所以2a +b ∈(√3，2√3)，所以周长L ＝2a +b +√3的取值范围是（2√3，3√3）．。
浙江专用2020版高考数学模拟试卷(含两套,解析版)
浙江高考仿真卷(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．若集合A ＝{}x | x 2<1，B ＝{}x | 0<x <2，则A ∪B 等于( )A.{}x | 0<x <1B.{}x | －1<x <0C.{}x | 1<x <2D.{}x | －1<x <2答案 D解析 ∵集合A ＝{}x | x 2<1＝{}x | －1<x <1，B ＝{}x | 0<x <2，∴A ∪B ＝{}x | －1<x <2.2．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于( )A.255B.45C.25D.455答案 A解析 双曲线x 24－y 2＝1的顶点为()±2，0.渐近线方程为y ＝±12x . 双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于11＋14＝255.3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋y ≤3，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．1C ．5D ．6 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示：由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，平移直线y ＝－12x ＋12z ，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，3x ＋y ＝3，得A (0,3)， 此时z 的最大值为z ＝0＋2×3＝6.4．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A.223 B ．20 C ．20＋ 6 D ．20＋10答案 C解析 该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体(如图)，其表面积为S ＝3×2×2＋2×(1＋2)×22＋12×2×2＋12×22×3＝20＋ 6.5．设x ∈R ，则x 3<1是x 2<1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由x 3<1，可得x <1， 由x 2<1，解得－1<x <1， 所以(－1,1)(－∞，1)，所以x 3<1是x 2<1的必要不充分条件．6．函数y＝x3＋ln(x2＋1－x)的图象大致为()答案 C解析因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋ln()x2＋1＋x(－x)2＋1＋x＝－x3＋ln()＝－x3－ln()x2＋1－x＝－f()x，所以f()x为奇函数，图象关于原点x2＋1＋x－1＝－x3－ln()2－1>0，所以排除A.对称，排除B，D，因为f(1)＝1＋ln()7．设随机变量X的分布列如下：则方差D(X)等于()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析a＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，故D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1.8．已知在矩形ABCD中，AD＝2AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使点A′在平面BCD上的射影在△BCD内(不含边界)．设二面角A′－BD－C的大小为θ，直线A′D, A′C 与平面BCD所成的角分别为α，β则()A．α<θ<βB．β<θ<αC．β<α<θD．α<β<θ答案 D解析如图，作A′E⊥BD于E, O是A′在平面BCD内的射影，连接OE，OD，OC，易知∠A′EO＝θ，∠A′DO＝α，∠A′CO＝β，在矩形ABCD中，作AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，由O点必落在EF上，由AD＝2AB知OE<AE<CF<CO<OD，从而tan θ>tan β>tan α，即θ>β>α.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤2，f (4－x )，2<x <4，设方程f (x )－1e x ＝t (t ∈R )的四个不等实数根从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则下列判断中一定成立的是( ) A.x 1＋x 22＝1B ．1<x 1x 2<4C ．4<x 3x 4<9D ．0<()x 3－4()x 4－4<4答案 C解析 由题意，作出函数的图象如图所示，由图可知，0<x 1<1<x 2<2<x 3<3<x 4<4， 所以4<x 3x 4<16，又||log 2()4－x 3>||log 2()4－x 4， 得log 2()4－x 3>－log 2()4－x 4，所以log 2()4－x 3()4－x 4>0，得()4－x 3()4－x 4>1，即x 3x 4－4()x 3＋x 4＋15>0， 又x 3＋x 4>2x 3x 4，所以2x 3x 4<x 3x 4＋154， 所以()x 3x 4－3()x 3x 4－5>0，所以x 3x 4<9， 综上，4<x 3x 4<9.10．已知a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，则ba 2＋c 2的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－55，55 B.⎝⎛⎭⎫－15，15 C ．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎫－2，55 答案 A解析 由a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，得a >0，c <0，b ＝－a －c .因为a >b >c ，即a >－a －c >c ，解得－2<c a <－12.设t ＝b a 2＋c 2，则t 2＝b 2a 2＋c 2＝(－a －c )2a 2＋c 2＝1＋2ac a 2＋c 2＝1＋2c a ＋a c .令y ＝c a ＋a c ，x ＝c a ，x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－12，则y ＝x ＋1x，由对勾函数的性质知函数在(－2，－1]上单调递增，在⎣⎡⎭⎫－1，－12上单调递减，所以y max ＝－2，y >－52，即c a ＋ac ∈⎝⎛⎦⎤－52，－2， 所以2c a ＋ac∈⎣⎡⎭⎫－1，－45， 所以t 2∈⎣⎡⎭⎫0，15. 所以t ∈⎝⎛⎭⎫－55，55. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．二项式(1＋2x )5中，所有的二项式系数之和为_________________； 系数最大的项为________． 答案 32 80x 3,80x 4解析 所有的二项式系数之和为C 05＋C 15＋…＋C 55＝25＝32，展开式为1＋10x ＋40x 2＋80x 3＋80x 4＋32x 5，系数最大的项为80x 3和80x 4.12．圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心C 的坐标是__________，设直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则k ＝__________. 答案 (1,2) 0或125解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0可得(x －1)2＋(y －2)2＝5，故圆心为C (1,2)．又圆心到直线l 的距离d ＝|3k －2|1＋k 2，由弦心距、半径及半弦长之间的关系可得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k －2|1＋k 22＋1＝5，解得k ＝0或k ＝125.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝2，A ＝π3，则B＝________；S △ABC ＝_____________. 答案 π4 3＋34解析 由已知及正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin π33＝22， 由于0<B <π，可解得B ＝π4或B ＝3π4，因为b <a ，利用三角形中大边对大角可知B <A ， 所以B ＝π4，C ＝π－π3－π4＝5π12，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 5π12＝3＋34.综上，B ＝π4，S △ABC ＝3＋34.14．在政治、历史、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____．乙、丙两名同学都选物理的概率是________． 答案 15949解析 由题意知同学甲只要在除物理之外的六门学科中选两门即可，故甲的不同的选法种数为C 26＝6×52＝15(种)；由题意知同学乙、丙两人除选物理之外，还要在剩下的六门学科中选两门，故乙、丙的所有不同的选法种数为m ＝C 26C 26＝6×52×6×52＝225(种)，而同学乙、丙两人从7门学科中选3门的所有选法种数为n ＝C 37C 37＝7×6×53×2×1×7×6×53×2×1＝35×35＝1 225(种)，故所求事件的概率是P ＝2251 225＝949.15．已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x (y ＋1)的最大值为________． 答案 3解析 已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，根据基本不等式得到2x ()y ＋1＝x ()2y ＋2≤x ＋2y ＋22＝3.当且仅当x ＝2y ＋2，即x ＝3，y ＝12时，等号成立． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，则c b ＋bc 的最大值为________．答案5解析 由对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，得BC 边上的高h ≥a . 在△ABC 中，有12ah ＝12bc sin A ，即bc ＝ahsin A ，在△ABC 中，由余弦定理得 b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝a 2＋2ah cos Asin A， 则c b ＋b c ＝b 2＋c2bc ＝a 2＋2ah cos A sin A ahsin A ＝a 2sin A ＋2ah cos A ah ＝a sin A ＋2h cos A h≤h sin A ＋2h cos Ah＝sin A ＋2cos A＝5sin(A ＋φ)，其中tan φ＝2，则当A ＋φ＝π2且h ＝a 时，c b ＋bc取得最大值 5.17．等差数列{a n }满足a 21＋a 22n ＋1＝1，则a 2n ＋1＋a 23n ＋1的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52解析 设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝sin α，a 2n ＋1＝cos α⇒a 2n ＋1＝a 1＋2nd ＝cos α⇒2nd ＝cos α－sin α⇒a 2n ＋1＋a 23n ＋1＝(a 2n ＋1－nd )2 ＋(a 2n ＋1＋nd )2＝2[a 22n ＋1＋(nd )2]＝2⎣⎡⎦⎤cos 2α＋⎝⎛⎭⎫cos α－sin α22＝2cos 2α＋1－2sin αcos α2＝3＋2cos 2α－sin 2α2＝3＋5cos ()2α＋φ2⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25，所以所求的范围为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝cos x ()sin x －3cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的单调性． 解 (1)由题意得f (x )＝cos x sin x －3cos 2x ＝12sin 2x －32()1＋cos 2x ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，其最大值为1－32.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎡⎦⎤π3，2π3，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤π3，5π12.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π12上单调递增；在区间⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 19．(15分)在四棱锥E －ABCD 中，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2BC ，AB ＝AE ＝ED ＝BE ，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥平面EDC ；(2)求BF 与平面EBC 所成角的正弦值． (1)证明 取ED 的中点G ，连接FG ，GC ， 则FG ∥AD ，且FG ＝12AD ，又因为BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，所以FG ∥BC ，且FG ＝BC ， 所以四边形BFGC 是平行四边形， 所以BF ∥CG ，因为BF ⊄平面EDC ，CG ⊂平面EDC ， 所以BF ∥平面EDC .(2)解 分别取AD ，BC 的中点H ，N ，连接EH 交FG 于点M ，则M 是FG 的中点，连接MN ，则BF ∥MN ，所以BF 与平面EBC 所成角即为MN 与平面EBC 所成角， 由EA ＝ED ，H 是AD 的中点，得EH ⊥AD ，由于BC ∥AD ，所以BC ⊥EH ，易知四边形BHDC 是平行四边形，所以CD ∥BH ， 由BC ⊥CD ，得BC ⊥BH ，又EH ∩BH ＝H ，所以BC ⊥平面EBH ，因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面EBH ， 过点M 作MI ⊥BE ，垂足为I ，则MI ⊥平面EBC ， 连接IN ，∠MNI 即为所求的角．设BC ＝1，则AD ＝CD ＝2，所以AB ＝5， 由AB ＝BE ＝AE ＝5，得BF ＝152， 所以MN ＝BF ＝152， 在Rt △AHE 中，由AE ＝5，AH ＝1，得EH ＝2， 在△EBH 中，由BH ＝EH ＝2，BE ＝5， MI ⊥BE ，M 为HE 的中点，可得MI ＝114， 因此sin ∠MNI ＝MI MN ＝16530.20．(15分)正项数列{}a n 满足a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1，a 1＝1.(1)求a 2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，a n <2a n ＋1；(3)记数列{a n }的前n 项和为S n ，证明：对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.(1)解 当n ＝1时，由a 21＋a 1＝3a 22＋2a 2＝2及a 2>0，得a 2＝7－13. (2)证明 由a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1<4a 2n ＋1＋2a n ＋1＝(2a n ＋1)2＋2a n ＋1，又因为y ＝x 2＋x 在x ∈(0，＋∞)上单调递增，故a n <2a n ＋1. (3)证明 由(2)知当n ≥2时，a n a n －1>12，a n －1a n －2>12，…，a 2a 1>12，相乘得a n >12n －1a 1＝12n －1，即a n >12n －1， 故当n ≥2时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n >1＋12＋…＋12n －1＝2－12n －1，当n ＝1时，S 1＝1＝2－12n －1.所以当n ∈N *时，S n ≥2－12n －1.另一方面，a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1>2a 2n ＋1＋2a n ＋1＝2(a 2n ＋1＋a n ＋1)，令a 2n ＋a n ＝b n ，则b n >2b n ＋1，于是当n ≥2时，b n b n －1<12，b n －1b n －2<12，…，b 2b 1<12，相乘得b n <12n －1b 1＝12n －2， 即a 2n ＋a n ＝b n <12n －2，故a n <12n －2， 故当n ≥2时，S n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n )<1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋12n －2＝3－12n －2<3.当n ＝1时，S 1＝1<3， 综上，对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.21．(15分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py ()p >0的焦点分别为F 1，F 2，点P ()－1，－1且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值． 解 (1)F 1(1,0)，F 2⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴F 1F 2→＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2， F 1F 2→·OP →＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2·()－1，－1＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，过点O 的直线的斜率一定存在且不为0，设直线方程为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝kx ，得(kx )2＝4x ，求得M ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ，得N (4k,4k 2)(k ＜0)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ， 点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2()1＋k ＋k 2k 2＝2⎝⎛⎭⎫k ＋1k －2⎝⎛⎭⎫k ＋1k ＋1， 令t ＝k ＋1k ()t ≤－2，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2，k ＝－1时，S △PMN 取得最小值． 即当过原点的直线为y ＝－x 时， △PMN 的面积取得最小值为8. 22．(15分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝(x －2)e x ＋f (x )－1－b ，当a ≥1时，g (x )≤0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，求满足条件的b 最小的整数值．解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，x ＝1a，由f ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，由f ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞， 所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)由g (x )＝()x －2e x ＋ln x －ax －b ， 因为g (x )≤0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，b ≥()x －2e x ＋ln x －ax 在a ≥1时对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立， 因为a ≥1，x >0，所以()x －2e x ＋ln x －ax ≤()x －2e x ＋ln x －x ，只需b ≥()x －2e x ＋ln x －x 对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立即可． 构造函数h (x )＝()x －2e x ＋ln x －x ， h ′(x )＝(x －1)e x ＋1x －1＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e x －1x ， 因为x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以x －1<0，且t (x )＝e x －1x单调递增，因为t ⎝⎛⎭⎫12＝12e －2<0，t ()1＝e －1>0，所以一定存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得t (x 0)＝0， 即e x 0＝1x 0，x 0＝－ln x 0.所以h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，x 0，单调递减区间为()x 0，1. 所以h (x )max ＝h ()x 0＝()x 0－2e x 0＋ln x 0－x 0 ＝1－2⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0∈()－4，－3， 所以b 的最小的整数值为－3.浙江高考仿真卷(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合M ＝{x |1≤x ≤3}，N ＝{x |x >2}，则集合M ∩(∁R N )等于( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |2<x ≤3}答案 A解析 ∵N ＝{x |x >2}， ∴∁R N ＝{x |x ≤2}，∴集合M ∩(∁R N )＝{x |1≤x ≤2}．2．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为( )A.35B.45C.54D.53 答案 C解析 因为双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，所以2c ＝10，c ＝5，所以a 2＝c 2－9＝16，所以a ＝4.所以离心率e ＝54.3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( ) A ．log a x >log b y B ．sin a x >sin b y C ．ay >bx D ．a x >b y答案 D解析 当x >y >0，a >b >1时，由指数函数和幂的性质易得a x >a y >b y .4．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 设y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g (x )，则g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ，因为g (x )为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋7π6(k ∈Z )，故当k ＝－1时，|φ|min ＝π6.5．函数f (x )＝e |x －1|－2cos(x －1)的部分图象可能是( )答案 A解析 因为f (1)＝－1，所以排除B ；因为f (0)＝e －2cos 1>0，所以排除D ；因为当x >2时，f (x )＝e x －1－2cos (x －1)，∴f ′(x )＝e x －1＋2sin(x －1)>e －2>0，即x >2时，f (x )具有单调性，排除C.6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D (ξ)的最大值为( ) A.23 B.59 C.29 D.34 答案 A解析 由分布列得a ＋b ＋c ＝1，又因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，则a ＋c ＝23，所以E (ξ)＝c －a ，D (ξ)＝a (c －a ＋1)2＋b (c －a )2＋c (c －a －1)2＝a (c －a )2＋b (c －a )2＋c (c －a )2＋2a (c －a )＋a －2c (c －a )＋c ＝－(c －a )2＋23，则当a ＝c 时，D (ξ)取得最大值23.7．已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32 B.⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C.⎝⎛⎦⎤0，2＋12 D.⎝⎛⎦⎤0，2＋32 答案 B解析 因为向量e 1，e 2为单位向量， 且e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 〈e 1，e 2〉＝－12，所以|e 1＋e 2|＝1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫－12＝1. 因为(a －e 1)·(a －e 2)＝54，所以a 2－a ·(e 1＋e 2)＋e 1·e 2＝54，所以|a |2－a ·(e 1＋e 2)＝74，所以|a |2－|a |·cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝74，所以cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝|a |2－74|a |，又因为－1≤cos 〈a ，e 1＋e 2〉≤1， 所以|a |的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12. 8.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿直线BD 翻折成△A ′BD ，如图，则直线BA ′与CD 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，π2 B.⎣⎡⎦⎤π6，π3 C.⎣⎡⎦⎤π6，π2 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 A解析 在等腰梯形ABCD 中，易知∠ABC ＝π3，∠ABD ＝∠CBD ＝π6，则∠A ′BD ＝π6，为定值，所以BA ′的轨迹可看作是以BD 为轴，B 为顶点，母线与轴的夹角为π6的圆锥的侧面，故点A ′的轨迹如图中AF 所示，其中F 为BC 的中点．过点B 作CD 的平行线，过点C 作BD 的平行线，两平行线交于点E ，则直线BA ′与BE 所成的角即直线BA ′与CD 所成的角．又易知CD ⊥BD ，所以直线A ′B 与CD 所成角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2，故选A.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －x 2，0≤x <2，2f (x －2)，x ≥2， g (x )＝kx ＋2，若函数F (x )＝f (x )－g (x )在[0，＋∞)上只有两个零点，则实数k 的值不可能为( ) A ．－23 B ．－12 C ．－34 D ．－1答案 A解析 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点，在同一直角坐标系下作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，如图所示，当函数y ＝g (x )的图象经过点(2,0)时满足条件，此时k ＝2－00－2＝－1 ，当函数y ＝g (x )的图象经过点(4,0)时满足条件，此时k ＝2－00－4＝－12 ，当函数y ＝g (x )的图象与(x －1)2＋y 2＝1(x >0，y >0)相切时也满足题意，此时|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 故选A.10．已知数列满足，a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，记T 2n为数列{a n }的前2n 项和，数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 C解析 因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，∴当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，n ∈N *，即a n ＋2a n ＝12，∴a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列；当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，n ∈N *，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以2为公差的等差数列，T 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝n 2＋1－12n ，∵数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，b n ＝2×2n －1＝2n ，则⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1等价为⎝⎛⎭⎫n 2＋1－12n ＋12n ·12n <1，即(n 2＋1)·12n <1，即n 2＋1<2n ，分析函数y ＝n 2＋1与y ＝2n ，则当n ＝1时，2＝2，当n ＝2时，5<4不成立，当n ＝3时，10<8不成立，当n ＝4时，17<16不成立，当n ＝5时，26<32成立，当n ≥5时，n 2＋1<2n 恒成立，故使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为5.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n ＝________；该展开式中的常数项是____________． 答案 3 －27解析 所求系数的绝对值之和相当于⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 中所有项的系数之和，则在⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 中令x ＝1，得(3＋1)n ＝64，所以n ＝3；⎝⎛⎭⎫3x －1x 3的通项为T k ＋1＝C k 3(3x )3－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 3·33－k · (－1)k 332kx-，令3－3k 2＝0，则k ＝1，常数项为C 13×32×(－1)1＝－27. 12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m ，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为_______，如果目标函数z ＝2x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________. 答案 (2，＋∞) 4解析 要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m 所表示的平面区域形状为三角形，直线x ＝1与直线x－2y ＋1＝0的交点(1,1)必在直线的左下方，所以m >2，画出该区域如图阴影部分所示(含边界)，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过点A (1，m －1)时在y 轴上的截距最大，z 最小，所以，－1＝2×1－(m －1)，解得m ＝4.13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是23，则a ＝________，该几何体的表面积为________．答案 1 3＋ 5解析 如图所示，此几何体是四棱锥，底面是边长为a 的正方形，平面SAB ⊥平面ABCD ，并且∠SAB ＝90°，SA ＝2，所以体积是V ＝13×a 2×2＝23，解得a ＝1，四个侧面都是直角三角形，所以计算出表面积是S ＝12＋12×1×2＋12×1×5＋12×1×2＋12×1×5＝3＋ 5.14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 若a ＝7，c ＝3，A ＝60°，则b ＝________，△ABC 的面积S ＝________. 答案 1或2334或332解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即7＝b 2＋9－2b ×3cos 60°，即b 2－3b ＋2＝0，解得b ＝1或2, 当b ＝1时， S ＝12bc sin A ＝12×1×3×sin 60°＝334，同理当b ＝2时， S ＝332.15.如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有____个．答案 312解析 根据题意，分3种情况讨论：①取出的3个点都在圆内，C 34＝4，即有4种取法；②在圆内取2点，圆外12点中有10个点可供选择，从中取1点，C 24C 110＝60，即有60种取法；③在圆内取1点，圆外12点中取2点，C 14()C 212－4＝248，即有248种取法．则至少有一个顶点在圆内的三角形有 4＋60＋248＝312(个)．16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，△PF 1F 2的内心I 的轨迹方程为____________________________． 答案 x 2＋3y 2＝1(y ≠0)解析 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设点P (x ，y )，I (m ，n )，－2<x <2，y ≠0，则|PF 1|＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋3－3x 24＝⎪⎪⎪⎪x 2＋2＝2＋x 2，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－⎝⎛⎭⎫2＋x 2＝2－x 2，|F 1F 2|＝2c ＝2，|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6，则由点I 为△PF 1F 2的内心结合图形(图略)得⎩⎨⎧2＋x 2＝m ＋1＋2－x2－(1－m )，12×|n |×6＝12×2×|y |，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝3n ，代入椭圆C 的方程得三角形的内心I 的轨迹方程为m 2＋3n 2＝1(n ≠0)，即x 2＋3y 2＝1(y ≠0)．17．设点P 是△ABC 所在平面内一动点，满足CP →＝λCA →＋μCB →，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R )，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.若|A B →|＝3，则△ABC 面积的最大值是________． 答案 9解析 由3λ＋4μ＝2，得32λ＋2μ＝1，所以CP →＝λCA →＋μCB →＝32λ·23CA →＋2μ·12CB →.设23CA →＝CM →，12CB →＝CN →， 则由平面向量基本定理知点P ，M ，N 在同一直线上， 又|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，所以P 为△ABC 的外心，且∠ACB 为锐角，PN ⊥BC ，由此可作图，如图所示，设∠ACB ＝θ，CN ＝x ，则BC ＝2x ， CM ＝x cos θ，CA ＝3x2cos θ，所以S △ABC ＝12AC ·BC sin θ＝12·3x 2cos θ·2x ·sin θ＝3tan θ2x 2， 在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos θ， 即4x 2＋9x 24cos 2θ－2·2x ·3x 2cos θ·cos θ＝9， 所以x 2＝36cos 2θ9－8cos 2θ，所以S △ABC ＝3tan θ2·36cos 2θ9－8cos 2θ＝54sin θcos θ9sin 2θ＋cos 2θ＝54tan θ9tan 2θ＋1＝549tan θ＋1tan θ≤9. 当且仅当9tan θ＝1tan θ，即tan θ＝13时等号成立，所以△ABC 面积的最大值是9.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π3上的值域．解 (1)f (x )＝4sin x ·⎝⎛⎭⎫cos x cos π3＋sin x sin π3－ 3 ＝4sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3·()1－cos 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12()k ∈Z . (2)由π4≤x ≤π3，得π6≤2x －π3≤π3，故而2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[1，3]， 即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π3上的值域为[1，3]．19．(15分)如图，已知四边形ABCD 是正方形，AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，PD ＝AD ＝2EA ＝2，G ，F ，H 分别为BE ，BP ，PC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面GHF ；(2)求直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值．解 (1)因为AE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥BC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ⊥BC ，又BA ∩AE ＝A ，BA ，AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥平面AEB ， 因为F ，H 分别为BP ，PC 的中点，所以FH 为△PBC 的中位线， 所以FH ∥BC ， 所以FH ⊥平面ABE ，又FH ⊂平面GHF ，所以平面ABE ⊥平面GHF .(2)解 方法一 因为AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，所以PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥BC ， 又PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD . 连接DH ，则DH ⊥PC ，因为平面PBC ∩平面PCD ＝PC ，所以DH ⊥平面PBC ，所以∠DHG 为直线GH 与平面PBC 所成角的余角，即θ＝π2－∠DHG .在等腰直角三角形PDC 中，因为PD ＝DC ＝2，所以PC ＝22， 所以DH ＝PD ·DCPC ＝ 2.连接DG ，易知DG ＝22＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝212，GH ＝22＋⎝⎛⎭⎫122＝172， 所以在△DHG 中，cos ∠DHG ＝DH 2＋HG 2－DG 22DH ·GH ＝3434，所以sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－∠DHG ＝cos ∠DHG ＝3434， 即直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值为3434. 方法二 易知DA ，DC ，DP 两两垂直，所以以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由PD ＝AD ＝2EA ＝2，易得B (2,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，H (0,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫2，1，12，则CP →＝(0，－2,2)，CB →＝(2,0,0)，HG →＝⎝⎛⎭⎫2，0，－12.设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝(x ，y ，z )·(2，0，0)＝0，n ·CP →＝(x ，y ，z )·(0，－2，2)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0，－2y ＋2z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝z .令y ＝1，则z ＝1，所以n ＝(0,1,1)为平面PBC 的一个法向量， 所以sin θ＝|cos 〈n ，HG →〉|＝|n ·HG →|02＋12＋12×22＋02＋⎝⎛⎭⎫－122＝122×172＝3434， 故直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值为3434. 20．(15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1e n a －(n ∈N *)．(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)(1)证明：a n ＋1>a n (n ∈N *)；(2)设b n ＝1－a n ，是否存在实数M >0，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立？若存在，求出M 的一个值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设f (x )＝e x －x －1，令f ′(x )＝e x －1＝0， 得到x ＝0.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故f (x )≥f (0)＝0，即e x ≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)． 故a n ＋1＝1en a －≥a n ，且取不到等号，所以a n ＋1>a n .(2)解 先用数学归纳法证明a n ≤1－1n ＋1.①当n ＝1时，a 1≤1－12成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k ≤1－1k ＋1成立，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1ek a －≤11ek -+＝111ek +≤11＋1k ＋1＝k ＋1k ＋2 ＝1－1k ＋2，即a k ＋1≤1－1k ＋2也成立．故对n ∈N *都有a n ≤1－1n ＋1. 所以b n ＝1－a n ≥1n ＋1.取n ＝2t －1(t ∈N *)，b 1＋b 2＋…＋b n ≥12＋13＋…＋1n ＋1 ＝12＋⎝⎛⎭⎫13＋14＋… ＋⎝⎛⎭⎫12t －1＋1＋12t －1＋2＋…＋12t . 即b 1＋b 2＋…＋b n ≥12＋12＋…＋12＝t2.其中t ＝log 2n ＋1，t ∈N *，当n →＋∞时，t →＋∞，t2→＋∞，所以不存在满足条件的实数M ，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立． 21．(15分)抛物线C ：y ＝x 2，直线l 的斜率为2. (1)若l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程；(2)若l 与抛物线C 相交于A ，B ，线段AB 的中垂线交C 于P ，Q ，求|PQ ||AB |的取值范围．解 (1)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，Δ＝4＋4b ＝0，所以b ＝－1， 因此，直线l 的方程为y ＝2x －1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，设点A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，P ()x 3，y 3，Q ()x 4，y 4，联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2， 得x 2－2x －b ＝0，Δ＝4＋4b >0，所以b >－1. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－b . 所以|AB |＝5|x 1－x 2|＝25(b ＋1)， 且y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)＋2b ＝4＋2b ， 所以线段AB 的中点为(1,2＋b )，所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋52＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋52＋b ，y ＝x 2，得2x 2＋x －5－2b ＝0， 由根与系数的关系得x 3＋x 4＝－12，x 3x 4＝－52－b ，所以|PQ |＝52|x 3－x 4|＝5441＋16b ， 所以|PQ ||AB |＝1841＋16b 1＋b＝1816＋25b ＋1>12，所以|PQ ||AB |的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 22．(15分)已知函数f (x )＝e x －e x sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2(e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的值域；(2)若不等式f (x )≥k (x －1)(1－sin x )对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2恒成立，求实数k 的取值范围； (3)证明：e x －1＞－12(x －32)2＋1.(1)解 因为f (x )＝e x －e x sin x ，所以f ′(x )＝e x －e x (sin x ＋cos x )＝e x (1－sin x －cos x )＝e x ⎣⎡⎦⎤1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥22，所以f ′(x )≤0， 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，函数f (x )的最大值为f (0)＝1－0＝1； f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝2πe －2πe sin π2＝0， 所以函数f (x )的值域为[0,1]．(2)解 原不等式可化为e x (1－sin x )≥k (x －1)(1－sin x )，(*) 因为1－sin x ≥0恒成立，故(*)式可化为e x ≥k (x －1)． 令g (x )＝e x －kx ＋k ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则g ′(x )＝e x －k ， 当k ≤0时，g ′(x )＝e x －k >0，所以函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故g (x )≥g (0)＝1＋k ≥0，所以－1≤k ≤0；当k >0时，令g ′(x )＝e x －k ＝0，得x ＝ln k ，所以当x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＝e x －k <0； 当x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＝e x －k >0.所以当ln k ＜π2，即0<k <2πe 时，函数g (x )min ＝g (ln k )＝2k －k ln k >0成立；当ln k ≥π2，即k ≥2πe 时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫π2＝2πe －k ·π2＋k ≥0，解得2πe ≤k ≤2πeπ12-， 综上，－1≤k ≤2πeπ12-. (3)证明 令h (x )＝e x －1＋12⎝⎛⎭⎫x －322－1， 则h ′(x )＝e x －1＋x －32.令t (x )＝h ′(x )＝e x －1＋x －32，则t ′(x )＝e x －1＋1>0，所以h ′(x )在R 上单调递增，由h ′⎝⎛⎭⎫12＝12e -－1＜0，h ′⎝⎛⎭⎫34＝14e -－34＞0， 故存在x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，使得h ′()x 0＝0， 即01ex －＝32－x 0. 所以当x ∈(－∞，x 0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0.故当x ＝x 0时，函数h (x )有极小值，且是唯一的极小值， 故函数h (x )min ＝h (x 0)＝01ex －＋12⎝⎛⎭⎫x 0－322－1 ＝－⎝⎛⎭⎫x 0－32＋12⎝⎛⎭⎫x 0－322－1 ＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 0－32－12－32＝12⎝⎛⎭⎫x 0－522－32， 因为x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，所以12⎝⎛⎭⎫x 0－522－32> 12×⎝⎛⎭⎫34－522－32＝132>0，故h (x )＝e x －1＋12⎝⎛⎭⎫x －322－1>0， 即e x －1>－12⎝⎛⎭⎫x －322＋1.。
2020年浙江省高考数学高考综合模拟卷(三)及解析
2020年浙江省高考数学高考综合模拟卷（三）★祝考试顺利★一、选择题(本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．港珠澳大桥于2018年10月23日正式开通，这座当今世界里程最长、施工难度最大的跨海大桥使用了大量的各类材料：路面使用了进口的湖底天然沥青和混凝土、承台和塔座等部位使用了双相不锈钢钢筋、抗震方面使用了新型高阻尼橡胶和钢板。
关于这些材料的说法错误的是( )A．沥青主要成分是有机物，也可以通过石油分馏得到B．混凝土中含有的水泥、沙子都属于无机非金属材料C．不锈钢是通过改变材料结构的途径防锈蚀D．橡胶一定属于合成高分子材料答案 D解析沥青是石油分馏后剩余的固态烃，所以沥青可以通过石油分馏得到，故A 正确；混凝土中含有的水泥、沙子的主要成分都是二氧化硅及其硅酸盐，是传统无机非金属材料，故B正确；不锈钢是通过改变材料的内部结构达到防锈蚀的目的，故C正确；橡胶有天然橡胶、合成橡胶之分，则橡胶不一定属于合成高分子材料，故D错误。
2．下列有关化学用语的表示正确的是( )A．中子数为20的Ar原子：2018ArB．Na2O的电子式：C．F－的结构示意图：D．NaHCO3的电离方程式：NaHCO3===Na＋＋HCO－3答案 B解析A项，中子数为20的Ar原子为3818Ar，错误；B项，Na2O是由Na＋与O2－通过离子键形成的离子化合物，电子式正确；C项，F－的结构示意图为，错误；D项，NaHCO3的电离方程式为：NaHCO3===Na＋＋HCO－3，HCO－3H＋＋CO2－3，错误。
3．含有极性键且分子中各原子都满足8电子稳定结构的化合物是( )A．CH4B．CH2==CH2C．CO2D．N2答案 C解析A、B两项中的氢原子都只满足2电子稳定结构；D项，N2是单质而不是化合物。
4．下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是( )A．食盐水中：Fe2＋、NH＋4、Cl－、SO2－4B．氯化铁溶液中：Mg2＋、K＋、Cl－、SCN－C．苏打溶液中：Ca2＋、Al3＋、Cl－、NO－3D．白醋中：K＋、Na＋、CO2－3、SO2－4答案 A解析食盐水中Fe2＋、NH＋4、Cl－、SO2－4之间均不反应，可以大量共存，故A符合题意；氯化铁溶液中的Fe3＋与SCN－能反应，不能大量共存，故B不符合题意；白醋显酸性，碳酸根离子不能大量共存，故D不符合题意；苏打溶液中含有碳酸根离子，Ca2＋、Al3＋均不能大量共存，故C不符合题意。
2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案
2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0]B ．(−154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 ．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．13．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ ． 15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为 ．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°， CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为 ．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当x∈[0，π3]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}， ∴所以A ∩B ＝{1，2，3}， 故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方． 取得最小值：(6−24+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α=±√33，则cos2α=13”是“sin α=√33”的不充分条件；若sin α=√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sin α=√33”的必要条件； 综上所述：“cos2α=13”是“sin α=√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为对于任意的x ∈R ，f （x ）＝x 2+e |x |＞0恒成立，所以排除A ，B ， 由于f （0）＝02+e |0|＝1，则排除D ， 故选：C ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点， 在A 中，当Q 为线段B 1C 1中点时，线段PQ 与平面CDD 1C 1平行，故A 正确； 在C 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1， ∴线段PQ 与DD 1所成角为∠C 1DD 1=π4，故B 正确；在C 中，PQ ≥√2AB ，当且仅当Q 为线段B 1C 1的中点时取等号，故C 正确； 在D 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1，CD 1与PQ 垂直，故D 错误． 故选：D ．7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增【解答】解：依题可知{E(ξ)=−13+b a +b =23，∴E(ξ)=−13+23−a ，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0] B ．(−154，2] C ．[﹣4，+∞） D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根 即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2， 不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4， ﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故−154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点， 记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β， 二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ． ∴根据最小角定理得α≥β， 根据最大角定理得β≤γ． 故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n ＜﹣2，则a n +1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n +1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B ． 二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，0）∪（0，12） ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入双曲线可得：{x 12−y 122=λx 22−y 222=λ，两式相减可得：y 1−y 2x 1−x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2，而由题意可得，x 1+x 2＝2×1＝2，y 1+y 2＝2×1＝2， 所以直线AB 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=2×22=2，所以直线AB 的方程为：y ﹣1＝2（x ﹣1），即y ＝2x ﹣1，代入双曲线的方程可得：2x 2﹣4x +1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：λ＜12， 所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体， 如图所示：所以：V =13×12(2+4)×3×3=9， 故答案为：913．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ 15 ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ 64 ．【解答】解：由（1﹣x ）6的通项为T r+1=C 6r (−x)r 可得，令r ＝2，即x 2项的系数a 2为C 62=15，即a 2＝15，由（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，取x ＝﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ √2 ． 【解答】解：∵a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74， ∴sin C =√1−cos 2C =√74，可得√74=12ab sin C =√78ab ，解得ab ＝2，∴b ＝2，∴由余弦定理可得c =2+b 2−2abcosC =√12+22−2×1×2×34=√2． 故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为2√23． 【解答】解：设P （x 0，y 0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，+b ），由|kPB 1−kPB 2|=89，|y 0−b x 0−y 0+b x 0|=89，∴|x 0|=94b ，由题意得圆M 的圆心在x 轴上，设圆心（t ，0），由题意知：t 2+b 2＝2b 2∴t 2＝b 2， ∴MP 2＝2b 2＝（x 0﹣t ）2+y 02，∴y 02=716b 2，P 在椭圆上，所以81b 216a +716=1， ∴a 2＝9b 2＝9（a 2﹣c 2），∴e 2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23． 16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，过点D 做DP ⊥x 轴，过点D 做DQ ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，CB =CD =2√3， ∴B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），D （3，√3），设M （0，a ），则AM →=（﹣2，a ），DM →=（﹣3，a −√3），故AM →•DM →=6+a （a −√3）=(a −√32)2+214≥214， 故答案为：214．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 （1，2）【解答】解：令g （x ）＝xf （x ），x ∈（0，+∞）．g ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＞0， ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）即不等式（x +1）f （x +1）＞（x 2﹣1）f （x 2﹣1），x +1＞0． ∴x +1＞x 2﹣1＞0，解得：1＜x ＜2．∴不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13， ∴sin A =√1−cos 2A =2√23， ∵△ABC 的面积为12bc •sin A =bc 2•2√23=√23bc ＝2√2，∴bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2， ∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3． 再根据正弦定理可得a sinA=c sinC，即2√23=2sinC，∴sin C =4√29． （Ⅱ）∴sin2A ＝2sin A cos A =4√29，cos2A ＝2cos 2A ﹣1=−79， 故 cos （2A −π6）＝cos2A cos π6+sin2A sinπ6=−79•√32+4√29•12=4√2−7√318． 19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，连结BO ，DO ， ∵AD ＝CD ，AB ＝BC ，∴AC ⊥BO ，AC ⊥DO ， ∵BO ∩DO ＝O ，∴AC ⊥平面BOD ， 又BD ⊂平面BOD ，∴AC ⊥BD ．（2）解：由（1）知∠BOD 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，∴∠BOD ＝150°， ∵AC ⊥平面BOD ，∴平面BOD ⊥平面ABC ， 在平面BOD 内作Oz ⊥OB ，则Oz ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得OB ＝4，在△BOD 中由余弦定理得OD ＝4√3，∴A （0，﹣4，0），B （4，0，0），C （0，4，0），D （﹣6，0，2√3），∴M （﹣3，2，√3），BM →=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量n →=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=√356=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q +2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）c n =a b n =2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝n c n +n ＝n •2n +1，则d n ＝2n •（﹣2）n ，前项和为T n ＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n •（﹣2）n ，﹣2T n ＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n •（﹣2）n +1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n •（﹣2）n +1＝﹣4+2•4(1−(−2)n−1)1−(−2)−2n •（﹣2）n +1，化简可得T n =−49−6n+29•（﹣2）n +1． 21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A •y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2， ∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p =12，∴M 与焦点的距离为MF =x M +p 2=2+14=94．（2）证明：设M （y 02，y 0），直线PM ：y ﹣1=y 0−1y 02−1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，y A =y 0−1y 0+1，直线QM ：y +1=y 0+1y 02−1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =−y 0−1y 0−1，∴y A y B ＝﹣1， ∴y A •y B 为常数﹣1．（3）解：设M （y 02，y 0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=y 0−y A y 02−t （x ﹣y 02）， 联立y 2＝x ，得y 2−y 02−t y 0−y A y +y 02−t y 0−y A y 0−y 02=0，∴y 0+y p =y 02−t y 0−y A ，即y P =y 0y A −t y 0−y A， 同理得y Q =y 0y B −1y 0−y B，∵y A •y B ＝1，∴y P y Q =y 02−ty 0(y A +y B )+t 2y 02−y 0(y A +y B )+1， 要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cos x ，g （x ）＝e 2x ﹣2ax ．（1）当x ∈[0，π3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e 2x 恒成立（f '（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）．令f '（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）＝0，得x =π4∈[0，π3]． 当x ∈(0，π4)时，f '（x ）＞0，当x ∈(π4，π3)时，f '（x ）＜0，所以f(x)max =f(π4)=√22e π4，f(x)min =min{f(0)，f(π3)}．因为f(π3)=e π32＞e 332=e 2＞1=f(0)，所以f （x ）min ＝1， 所以f （x ）的值域为[1，√22e π4]． （2）由g(x)≥f′(x)e 2x 得e 2x −2ax ≥cosx−sinx e x ， 即sinx−cosxe +e 2x −2ax ≥0．设ℎ(x)=sinx−cosx e x +e 2x −2ax ，则ℎ′(x)=2cosx e x +2e 2x −2a ． 设φ（x ）＝h '（x ），则φ′(x)=4e 3x −2√2sin(x+π4)e x． 当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2sin(x +π4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0． 所以φ（x ）即h '（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h '（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
2020年浙江省普通高中高考数学模拟试卷(二)(5月份)(有答案解析)
A. 5
B. -5
C. -2
D. 2
3. 若 α∈（ ，π），sin（π-α）= ，则 cosα=（ ）
A.
B.
C.
D.
4. lg（ ）2=（ ）
A. -4
B. 4
5. 下列函数中，最小正周期为 的是（
A. y=2018sinx
C. y=-cos2x
C. Байду номын сангаас0
）
D. -10
B. y=sin2018x D. y=sin（4x+ ）
考查函数定义域的概念及求法，指数函数的定义域．
7.答案：C
解析：解：直线 y=x，即 x -y=0，它与直线 x-y+2=0 的距离为 = ，
故选：C． 由题意利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基 础题．
8.答案：C
解析：解：∵1=log44＜log49＜log416=2， ∴1＜a＜2，
2020 年浙江省普通高中高考数学模拟试卷（二）（5 月份）
一、选择题（本大题共 18 小题，共 54.0 分） 1. 已知集合 P={-3，-2，-1，0}，Q={x∈N|-2＜x＜2}，那么集合 P∪Q 中元素的个数是
（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2. 已知向量 =（-1，1）， =（3，-2），则 =（ ）
6. 函数 f（x）=2x
的定义域为（
A. [-2，2] C. （-∞，-2]∪[2，+∞）
7. 直线 y=x 与直线 x-y+2=0 的距离为（
A. 2
B.
2020年浙江省高考数学高考仿真模拟卷(一)及解析
2020年浙江省高考数学高考仿真模拟卷（一）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{x |x 2<1}，集合B ＝{x |log 2x <0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)答案 A解析 根据题意集合A ＝{x |－1<x <1}，集合B ＝{x |0<x <1}，∴A ∩B ＝(0,1)．2．在平面直角坐标系中，经过点P (22，－2)，渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 22＝1 B.x 27－y 214＝1 C.x 23－y 26＝1 D.y 214－x 27＝1 答案 B解析 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，∴设所求双曲线的标准方程为2x 2－y 2＝k .又()22，－2在双曲线上，则k ＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x 2－y 2＝14，∴双曲线的标准方程为x 27－y 214＝1. 3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．7答案 C 解析 画出约束条件⎩⎨⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎨⎧ x ＋y －2＝0，2x －3y －9＝0，可得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1，将z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(3，－1)时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大，z 的最大值为z ＝2×3－1＝5.4．若复数z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，其中i 是虚数单位，则|z 1－z 2|的最大值为 A.5－1 B.5－12 C.5＋1 D.5＋12答案 C解析 方法一 由题可得z 1－z 2＝2＋i －cos α－isin α＝2－cos α＋(1－sinα)i(α∈R )，则|z 1－z 2|＝(2－cos α)2＋(1－sin α)2＝4－4cos α＋cos 2α＋1－2sin α＋sin 2α＝6－2sin α－4cos α＝6－22＋42sin (α＋φ) ＝6－25sin (α＋φ)，其中tan φ＝2，当sin(α＋φ)＝－1时， |z 1－z 2|有最大值，此时|z 1－z 2|＝6＋25＝5＋1.方法二 ∵z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，∴z 2在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z 1＝2＋i 对应的点为Z 1(2,1)．如图：。