第五章刚体运动学
理论力学05点的运动学和刚体的基本运动
例 5.7 如图圆盘 C 以匀角速度ω 绕倾斜轴 OB 转动，盘面与 转轴垂直，圆盘的半径为 r； 设 OB 轴在 平面Oyz内，盘面与 平面Oyz的交线为 CD，点A 为圆盘边缘上一个固连点。 求： CA 与CD 为任意角φ时
A 点的速度和加速度矢量。
解：以矢量思路考虑，有
vA w OA OB方向单位矢 :
引言
5-1 运动学的基本概念
①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
②运动学研究的对象 ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
பைடு நூலகம்
④运动是相对的 ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。
arctg |a |
an
11
例 5.1 一绳AMC的一端系于固定点A，绳子穿过 滑块M上的小孔。绳的另一端系于滑块C上。滑块 M以已知等速v0运动。绳长为l，AE的距离为a且 垂直于DE。求滑块C的速度与距离AM = x之间的 关系。又当滑块M经过E点时，滑块C的速度为何 值？
vc v0
12
曲率半径与法 向加速度有关 先求速度和法 向加速度
（否则△ t 时间后，该直线将被弯曲或伸缩，这对刚体是不容许的）。
同理AB 线上各点的速度也必须是直线分布， 因为与 矢端的连线不平行于π平面，这条矢端连线一定会与π 平面相交，设交点为 C，其速度必为零，所以 OC 线上所有点 的速度为零（OC 线上所有点的速度也必须直线分布）
一.弧坐标,自然轴系
1.弧坐标的运动方程S=f (t)
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
刚体的转动第五章
第五章 大学物理辅导 刚体的转动～26～ 第五章 刚体的转动一、教材系统的安排与教学目的 1、教材的安排 本章从观察一些刚体定轴转动的现象开始，说明物体具有保持原有运动状态的特性—转动惯性。
转动惯性的大小由转动惯量来量度。
改变刚体的转动状态，需要外力矩；进而讲授力矩的瞬时作用规律—转动定律，力矩对空间积累作用规律—动能定理，力矩对时间的积累作用规律—角动量定理，以及角动量守恒定律和它们对的应用 2、教学目的：使学生理解力矩、转动惯量、冲量矩、角动量等概念，掌握力矩的规律，并学会运用它们说明、解释一些现象，分析、解决一些有关的问题。
二、教学要求 1、理解力矩的概念，明确刚体具有转动惯性。
牢固掌握转动定律并能熟练地运用。
2、明确转动惯量的物理意义，会计算简单情况下物体的转动惯量。
3、掌握刚体定轴转动的动能定理，并会运用。
4、理解角动量和冲量矩的概念，掌握并会运用角动量定理和角动量守恒定律 三、内容提要 1、力矩 定义：力F 与力的作用线，到转轴的垂直距离的乘积公式 M r F M Fr =⨯⇒=⎡⎣⎢大小方向：按右手螺旋法则判断：sin α物理意义：表明了改变刚体转动状态的效果 2、转动定律公式M J =β J 为转动惯量，β为角加速度意义：为刚体定轴转动中的基本定律，与平动中的牛顿第二定律相当。
说明： M 为刚体所受的合外力矩，在定轴转动中它只有正负之分。
3、转动惯量定义：J m r i i =⇒∑()∆2即对于质点系转动惯量大小等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和。
如果刚体上各质点是连续分布的，则有 J r dm dm dl dm ds dm dv =⇒=⋅⇒=⋅⇒=⋅⇒⎡⎣⎢⎢⎢⎰2λσρ质量为线分布质量为面分布质量为体分布物理意义：是刚体转动惯性大小的量度，与平动中的质量相当。
应掌握的几种转动惯量公式：杆对其中心轴：J ml =1122第五章 大学物理辅导 刚体的转动～27～ 杆对其一端： J ml =132均匀圆盘：J ml =1224、转动动能：E J k =⇒122ω与平动中的动能相当，是描写刚体转动状态的物理量。
5第五章 点的运动学描述和刚体的简单运动
R
M
y
o
M
R
x C 解：取坐标系Axy如图所示，并设M 点所在的一个最低位置为 原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为
x AC OM sin R ( sin )
y OC OM cos R (1 cos )
A
这是旋轮线的参数方程。
M点的速度为：
动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，弧长s 为代数量，
二、自然轴系
b τn
以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴 组成的正交坐标轴称为曲线在点M的自然坐标系，这三 个轴称为自然轴。
曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。 t 曲率半径 ：曲率的倒数。 如曲率半径以ρ表示，则有
1
M
△
⑥
()t
2)刚体
( )t t 2 t 1
力学模型 运动分类
1)点
五章 点的运动学描述和刚体的 简单运动
§5-1 点的运动学描述 §5-2 刚体的平移 §5-3 刚体的定轴转动 §5-4 轮系的传动比 §5-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢 积表示点的速度和加速度
a
ax a y 4R
2 2
2 2
2
a 4 x i 4 y j 4 ( x i y j ) 4 r
2 2
例7 半径为R 的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。 设轮子保持在同一竖直平面内运动， t，试分析轮 子边缘一点M的运动。
o M
不断增加，点作加速运动；当速度v与切向加速度at指向
相反时，速度的绝对值不断减小，点作减速运动。
a a t an atτ an n
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
大学物理第5章刚体
B C
分析受力和力矩情况
第一篇 力 学
解：由ABC和绳子组成系统为研究对象，分析受力和力矩情况。
系统受到的合力矩： M m2 gr m3gr
对整个系统列出角动量定理积分形式
t
Mdt Lt L0
t0
分别计算，有 Mdt (m2gr m1gr)t
L0 0
0
L
LA
若质量连续分布 J r2dm
一维
二维
三维
dm
dl
线密度 dm dl
J r2dl
面密度 dm dS
J r2dS
体密度 dm dV
J r2dV
第一篇 力 学
例1．求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解：取如图坐标，dm=dx
J A
L x2dx mL2 / 3
0
L
JC
2 L
x2dx
mL2
/12
2
A L
A
C
L/2
B X
B L/2 X
例2．求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂
直并通过圆心。
解：
J R2dm R2 dm mR2
O
R
dm
第一篇 力 学
例3．求长求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂 直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr 的薄圆环
dm 2rdr
dJ r2dm 2r3dr
dr rR
J dJ R 2r3dr 1 R4
0
2
m
R 2
第5章 刚体定点运动、自由刚体运动、刚体运动的合成陀螺仪近似讲解
第5章 刚体定点运动、自由刚体运动、刚体运动的合成∙陀螺仪近似理论5-1 曲柄OA 绕固定齿轮中心的轴O 转动，在曲柄上安装一双齿轮和一小齿轮，如图所示。
已知：曲柄转速r/min 300=n ；固定齿轮齿数600=z ，双齿轮齿数401=z 和502=z ，小齿轮齿数353=z 。
求小齿轮的转速和转向。
解：以曲柄OA 为动系分析轮系的运动，轮系相对于动系作定轴转动，0z 齿轮与1z 齿轮相对OA 作反向转动。
设0z 齿轮相对于动系OA 转动角速度为r ω，且0r ωω-=则 r 102r ωωz z -= 因 2z 齿轮与3z 齿轮相对OA 作反向转动 2r 323r ωωz z -= 003012r 10323r 3ωωωω-=-==z z z z z z z z 根据合成运动定理 00312003r 3e 32)(ωωωωωω-=-+=+=z z z z rad/min 60203-=-=n n （3n 与0n 转向相反）5-3 在齿轮减速器中，主动轴角速度为0ω，齿轮Ⅱ与定齿轮V 相内啮合。
齿轮Ⅱ和Ⅲ又分别与动齿轮I 和Ⅳ相外啮合。
如齿轮I 、Ⅱ和Ⅲ的半径分别为1r 、2r 和3r ，求齿轮I 和Ⅳ的角速度。
解：将动系固连在系杆，则轮系相对于系杆作定轴转动，原来静止不动的轮V 相对于系杆运动的角速度为05ωω-=r于是轮I 和Ⅳ相对于系杆的角速度分别为015r 51225r 1)1(ωωωr r r r r r =⋅-= 04253r 54325r 4)1(ωωωr r r r r r r r =⋅-= 根据角速度合成定理 0150r 1e 1ωωωωωr r +=+= 042350r 4e 4ωωωωωr r r r +=+= 由啮合关系知3214r r r r -+=，2152r r r +=代入上式得)1(21201r r +=ωω（与0ω同向） )())((3212322104r r r r r r r r -+++=ωω（与0ω同向）5-5 图示一双重差动机构，其构造如下：曲柄Ⅲ绕固定轴ab 转动，在曲柄上活动地套一行星齿轮Ⅳ，此行星齿轮由两个半径为mm 501=r 和mm 202=r 的锥齿轮牢固地连接而成。
力学 第五章刚体的转动
J 2 mR2 511
* 平行轴定理
以 m 表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心 c 的轴
的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此刚
体对于后一轴的转动惯量为：J
例：
L
c
m
Jc
Jc 1
12
md mL2
2
L
J ( 1 mL2 ) m( L)2 1 mL2
t1
2．刚体定轴转动的角动量
L J （Pv mvv）
3．刚体系定轴转动的角动量定理
vv 微分形式 Mdt dL
v M
v dL dt
积分形式
t2 t1
v M 外 dt
n 1
v Li 2
n 1
v Li1
Jv2 Jv1
40
4．刚体系角动量守恒定律
mr，2 则挖去小圆盘后剩余
部分对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？
答案：
R
o
r
J 1 (4M 3m)r2 2
13
四、 转动定律的应用
刚体定轴转动的两类问题：
M J d J
dt
(t ) (t ) (t ) J M 用求导的方法
M
J
(t
)
(t )
xdm m
N
yimi
ydm
yc i1 m
m
N
zimi zdm
zc i1 m
m
质心是相对于质点系本身的一个特定位置, 其相对位置不随坐标系选择而变化。
26
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。