第5章 点的一般运动和刚体的基本运动
理论力学05点的运动学和刚体的基本运动
例 5.7 如图圆盘 C 以匀角速度ω 绕倾斜轴 OB 转动，盘面与 转轴垂直，圆盘的半径为 r； 设 OB 轴在 平面Oyz内，盘面与 平面Oyz的交线为 CD，点A 为圆盘边缘上一个固连点。 求： CA 与CD 为任意角φ时
A 点的速度和加速度矢量。
解：以矢量思路考虑，有
vA w OA OB方向单位矢 :
引言
5-1 运动学的基本概念
①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
②运动学研究的对象 ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
பைடு நூலகம்
④运动是相对的 ( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。
arctg |a |
an
11
例 5.1 一绳AMC的一端系于固定点A，绳子穿过 滑块M上的小孔。绳的另一端系于滑块C上。滑块 M以已知等速v0运动。绳长为l，AE的距离为a且 垂直于DE。求滑块C的速度与距离AM = x之间的 关系。又当滑块M经过E点时，滑块C的速度为何 值？
vc v0
12
曲率半径与法 向加速度有关 先求速度和法 向加速度
（否则△ t 时间后，该直线将被弯曲或伸缩，这对刚体是不容许的）。
同理AB 线上各点的速度也必须是直线分布， 因为与 矢端的连线不平行于π平面，这条矢端连线一定会与π 平面相交，设交点为 C，其速度必为零，所以 OC 线上所有点 的速度为零（OC 线上所有点的速度也必须直线分布）
一.弧坐标,自然轴系
1.弧坐标的运动方程S=f (t)
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
《理论力学》考试知识点.
《理论力学》考试知识点静力学第一章静力学基础1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。
2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。
3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。
4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。
第二章力系的简化1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。
2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。
3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。
4、掌握合力投影定理和合力矩定理。
5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。
第三章力系的平衡条件1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。
2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。
3、了解静定和静不定问题的概念。
4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。
第四章摩擦1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。
2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。
运动学第五章点的运动1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。
2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。
第六章刚体的基本运动1、掌握刚体平动和定轴转动的特征；掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度；掌握定轴转动刚体角速度矢量和角加速度矢量的概念以及刚体内各点的速度和加速度的矢积表达式。
2、熟练掌握如何计算定轴转动刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度。
力学第5章刚体的转动
3 g sinθ
L
解二：
M = J
=M
=
mg
L
2
cosθ
J
1 3
mL2
θ
L2
mg L 2
=
3
g cosθ 2L
=
dω
dt
=
dω
dθ
dθ dt
=ω
dω
dθ
ωω
0
dω
=
θβ 0
dθ
= θ 3gcosθ
0 2L
dθ
ω
=
3 g sinθ L
例某冲床上飞轮的转动惯量4.00×103kg·m2．当
它的转速达到 30 r/min时，它的转动动能是多少？
T 1=
m
1(2
m
2
+
m
2
m 1+m 2 +
m
2
)g
T 2=
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
mr
T1
T2
m1
m2
提问：
若将m2g换成外力 F，且F=m2g，左边的 四个量还是同样的结 果吗？
§4 定轴转动中的功能关系= Fds cos
= Frdθ sinφ
r
F2
r ×F1 只能引起轴的
变形，对转动无贡献。
在定轴动问题中，如不加说明，所指的力 矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩
二、转动定律
0
Fi 外力, f i 内力 ω
对Δ m i 质点应用牛二律：
fi
ri θ i Δ mi
第5章 刚体定轴转动.
J过一端垂直于杆 13m L2
圆环： J对称轴mR2
圆盘：
J对称轴
1 2
mR2
薄球壳：
J直径
2 3
mR2
球体：
J 直径
2 5
mR2
例: 如图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动
mL
惯量如何计算？(棒长为L ,
球半径为R）
mO
刚体的转动定律
力矩质点系的角动量改变 任意质点系的角动量定理：
M
轴向总力矩： M z M iz riF isin i
i
i
§5-4 转动定Biblioteka 的应用规范的解题思路：认物体
分析题意，确定哪些物体是刚体， 哪些是质点，及其与问题关系。
看运动
分析刚体的转动和质点运动情况，
找出相关的线量( v,a ) 和角量(,)，
确定它们之间的关系。
查受力
画隔离体受力分析图，确定对刚体 有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。
列方程
选择坐标系和角量的参考方向，对 刚体列出转动定律方程，对质点列出牛 顿定律方程，并列出角量与线量的关系， 再求解。
[例]一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O以
角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样， F
将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿
F
O
盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 [
时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
0
O
an r
v
a
at
a0 50rad/2s
t
50
3.14rad/2s
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
00t1 2a2t505 01 2520 125ra0d
第5章 刚体力学
F Fz F
z k Fz来自 F M z k r F M z rF sin
O
r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
大学物理讲义
M M1 M 2 M 3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
大学物理讲义
四
角量与线量的关系
d dt
d d 2 dt dt
2
a
an r
et v a
t
at r an r
2
大学物理讲义
5.2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
M
F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴
>0
z
z
<0
d dt
定轴转动(fixed-axis rotation)的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标变量 .
大学物理讲义
三
匀变速转动公式
大学物理讲义
质点运动
转动(rotation)：刚体中所有的点都绕同一直线 做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
大学物理讲义
二 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r 角位移
第五章刚体的运动
ω θ
=[3gsinθ/(2l)]dθ
θ
p O N
ωdω= 0 [3gsinθ/(2l)]dθ 0 ω=[3g(1–cosθ)/l]1/2
例题 一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的 定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物 体 ，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的 摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转 动的角加速度和绳的张力。
L
O
·
*质点作匀速率圆周运动时， 对圆心的角动量的大小为 v R L Rmv m 方向圆平面不变。
*同一质点的同一运动，如果选取的固定点不同， 其角动量也会不同。
锥摆
O
L 0 ro m m v
Lo ' r mv
L 0 lm v
方向变化
L o ' lm v sin
②积分形式：
其中：
t2 t1
t2 t1
M d t L 2 L1
M d t 称冲量矩
—力矩对时间的积累作用
例题 锥摆的角动量
r ①对O点： om T 0 rom m g l sin （ mg ）
锥摆
O
T l
m
v mg
解: m1, m2 及定滑轮切向受力如 图, 以运动方向为坐标正向. T1–m1g=m1a1 m2g–T2=m2a2
T1 m1 T1
T2
T2 m2
T2R2–T1R1=Jβ
β=a1/R1=a2/R2 J=M1R1
2/2+M 2R2 2/2
m1g
m2g
2(m2R2–m1R1)g 解得 β= 2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R22
理论力学第五章——点的运动
'
当Δt 0， Δv/Δt的极限称为点在瞬时t的加速度：
v dv d 2 x a lim 2 x t 0 t dt dt
5.1 点的直线运动
已知加速度或速度方程， 采用积分法 求运动方程 ，积 分常数由运动初始条件决定。 dv a dv adt dt v t dv adt
由于
dτ dτ ds dτ ds v n dt dt ds ds dt
所以
dv v a τ n dt
2
5.4 自然法
4 点的切向加速度和法向加速度
dv v a τ n dt
上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它 表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 an的方向永 远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方 向随时间的变化率。
2 t 2
2
at tan | | 0.25 an
2
5.4 自然法
全加速度为aτ和an的矢量和
a at an
全加速度的大小和方向由下列二式决Leabharlann ： 大小：a at an
2
2
方向：
at an cos(a ,t ) , cos(a ,n ) a a
5.4 自然法
如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动 点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规 律。 at c
dτ τ j 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
t"
5.4 自然法
3 点的速度
r s ds v lim lim t 0 t t 0 t dt
刚体的基本运动
三、刚体平面运动的运动方程 刚 体 平 面 运 动 建立如图的静坐标系， 建立如图的静坐标系， 基点。 点称为基点 将 O′点称为基点。 当刚体作平面运动时， 当刚体作平面运动时， xO′，yO′ 和 均随时间连续变 化，它们均为时间的单值连 续函数， 续函数，即 x = f (t ) (t
1 O′ yO′ = f 2 (t ) = f 3 (t )
O
vO
O
ω
A B
O
ω
O1
二、刚体平面运动的简化 刚 体 平 面 运 动 如图所示， 如图所示，刚体作平面 运动时， 运动时，刚体上所有与空间 某固定平面距离相等的点所 构成的平面图形就保持在它 自身所在的平面内运动。 自身所在的平面内运动。
A1
π
A
S
经分析可得如下结 论：
π0
A2
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 刚体的平面运动可以简化为平面图形 在其自身所在的平面内运动。 在其自身所在的平面内运动。
静 平 面 动
z
= (t )
平 面
这就是刚体的转动方程。 开门 这就是刚体的转动方程。(开门 转动方程 开门)
刚体上任意一点的轨迹都为圆。
O
二、角速度、角加速度 角速度、
刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时 8.2 间的一阶导数，用ω 表示，即 间的一阶导数， 表示，
刚 体 的 定
d ω= = dt
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度
aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度 ar 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 牵连点 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。 四．动点的选择原则： 动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有 运动的点。 五．动系的选择原则： 动系的选择原则 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者能直接看出的。
点的一般运动与刚体的基本运动
05 点与刚体的相互作用
与力矩作用在刚体上
力是改变物体运动状态的原因，力的大小、方向和作用点决定了力的效果。
力矩是力和力臂的乘积，用来描述力对物体转动效果的量，其方向垂直于 力和转动轴所在的平面。
在刚体上施加力或力矩，会导致刚体产生平动或转动加速度，进而改变其 运动状态。
旋转矩阵描述
旋转矩阵是一个3x3的实数矩阵，用 于描述刚体在三维空间中的旋转。
旋转矩阵描述的优点是数学表达严谨， 适用于进行复杂的坐标变换和组合旋 转。
通过给定绕着三个坐标轴的旋转角度， 可以计算出一个唯一的旋转矩阵。
四元数描述
四元数是复数的一种扩展，用于描述三维空间中 的旋转和方向。
四元数由一个实部和三个虚部组成，可以表示为 一个有序实数四元组。
2. 可描述性
点的运动可以通过数学方程进 行描述，如运动方程和轨迹方
程。
3. 受约束性
点在运动过程中可能受到某些 约束，如固定点、运动范围等
。
运动方程与轨迹
运动方程
描述点在空间中的位置随时间变化的数学表达式。
轨迹
点在空间中移动时所形成的路径。
速度与加速度分析
速度
描述点在空间中移动的快慢程度，由 方向和大小组成。
课程目标
理解点的一般运动和平动、转动的关系。 掌握刚体运动的基本定理和定理的应用。
掌握刚体的基本运动和平动、旋转、平移的关系。 了解刚体运动的实例和应用。
02 点的一般运动
定义与特性
01
02
03
04
定义
点的一般运动是指一个点在三 维空间中按照一定的规律和轨
第五章刚体的基本运动PPT课件
第一节 刚体的平动
第二节 刚体绕定轴转动
第三节 轮系的传动比
本章重点：
1、平动刚体上点的速度、加速度的计算；
2、定轴转动刚体角速度、角加速度的计算；
3、转动刚体上点的速度、加速度的计算。
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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7
三、刚体绕定轴转动运动描述 1. 刚体的转动方程
过轴z作固定平面A、与刚体固连的转动平面B，两平面间的夹角用 表示，称为刚体的转角。当刚体转动时，随时间 t 变化， f(t) ，
该方程称为刚体的转动方程。
：
转角的符号规定：迎z 轴的正向看， 逆时针转向为正，反之为负；或用右手 法则确定。
8
2. 角速度和角加速度
角速度
单位为rad/s(弧度/秒)。
角加速 单位为rad/s2(弧度/秒2)。
角速度、角加速度都是代数量，符号规定和转角一致。当角速度、角加 速度同号时，刚体作加速转动，否则作减速转动。
用转速n（每分钟内的转数，以r/min为单位）来表示转动的快慢，
角速度与转速之间的关系是：
2πn πn
(2) 0，等于常量，0 t
12
例5-2 杆AB以匀速v运动，通过套筒A带动OC杆绕定轴转动。
开始时 0 ，试求 时，(1)摇杆OC的角速度、角加速度。 4
（2）设杆OC长d，杆端C点的速度和加速度。
解：（1）求角速度、角加速度
由几何关系可得：tan vt
l
等号两边同时对时间 t 求导， sec2d v
tana
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第5章 点的一般运动和刚体的基本运动
5-1 设点的直线运动方程为x ＝f (t )，试分析在下列情况下点作何种运动：
常数。
常数常数==≠==2222d d (e);0d d (d)d d (c);d d (b);0d d (a)t x t x t
x t x t x
5-2 切向加速度和法向加速度的物理意义有何不同？试分别求点作匀速直线运动与匀速曲线运动时的切向、法向加速度。
5-3 点作直线运动，某瞬时的速度为v ＝5 m/s 。
问这时的加速度是否为
0d d ==t v a
为什么？点作匀速曲线运动，是否加速度等于零？ 5-4 题5-4图中所示两种半径为R 的圆形凸轮，设偏心距AO ＝e ，ϕ＝ωt （ω＝常量），讨论顶杆和滑块B 点的运动方程。
5-5 动点A 和B 在同一直角坐标系中的运动方程分别为
⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==42222t y t x t y t x B B A A 其中x 、y 以cm 计t 以s 计，试求：（1）两点的运动轨迹；（2）两点相遇的时刻；（3）相遇
时A 、B 点的速度、加速度。
答：（1）2222112,2x y x y ==，（2）t ＝1 s ；（3）v A ＝4.13 cm/s ，v B ＝8.25 cm/s ， a A ＝4 cm/s 2，a B ＝24.1 cm/s 2。
5-6 已知动点的运动方程为x ＝t 2–t ，y ＝2t ，求其轨迹及t ＝1 s 时的速度、加速度，并分别求切向、法向加速度及曲率半径。
x 及y 的单位为m ，t 的单位为s 。
答：24.2,0422==--v x y y m/s ，a ＝2 m/s 2；a τ＝0.894 m/s 2，a n ＝1.79 m/s 2，ρ＝2.8 m 。
题5-4图
5-7 题5-7图中OA 绕O 轴转动，ϕ＝ωt ，同时轮绕A 转动，若使轮上任一直线AA '在空间的方位保持不变（平动），讨论轮子相对OA 杆的转动规律。
5-8 如图所示，摇杆机构的滑杆AB 以匀速u 向上运动，试建立摇杆OC 上点C 的运
动方程，并求此点在 4πϕ=的速度大小。
假定初始瞬时ϕ＝0，摇杆长OC ＝a ，距离OD ＝l 。
答：
L ut a s l au v t u l aut y t u l al x C C C arctg ,,2/,/,/222222===+=+=ϕϕ。
5-9 曲柄OA 长r ，在平面内绕O 轴转动，如图所示。
杆AB 通过固定于点N 的套筒与曲柄OA 铰接于点A 。
设ϕ＝ωt ，杆AB 长l ＝2r ，试求点B 的运动方程、速度和加速度。
答：2sin 4,2cos sin ,2sin cos 22
t rl l r v t l t r y t l t r x ωωωωωω-+=-=+=， 2sin 21622
2t rl l r a ωω-+=。
题5-9图 题5-10图 5-10 如图所示，OA 和O 1B 两杆分别绕O 和O 1轴转动，用十字形滑块D 将两杆连接。
在运动过程中，两杆保持相交成直角。
已知：OO 1＝l ，∠AOO 1＝ϕ＝kt ，其中k 为常数。
求滑块D 的速度和相对于OA 的速度。
答：v ＝ak ，v r ＝－ak sin kt 。
5-11 刚体作平动时，刚体上的点是否一定作直线运动？试举例说明。
5-12 刚体作定轴转动时，转动轴是否一定通过物体本身？若一汽车由西开来，经过十字路口转弯向北开去如题5-12图所示，在转弯时由A 至B 这一段路程中，车厢的运动是平动还是转动？
题5-7图 题5-8图
题5-12图题5-13图
5-13一绳缠绕在鼓轮上，绳端系一重物M，M以速度v和加速度a向下运动如题5-13图所示。
问绳上两点A、D和轮缘上两点B、C的加速度是否相同？
5-14 已知刚体的角速度ω与角加速度ε如题5-14图所示，求A、M两点的速度、切向和法向加速度的大小，并图示方向。
题5-14图
5-15 物体作定轴转动的运动方程为ϕ＝4t－3t2（ϕ以rad计，t以s计）。
试求此物体内，转动半径r＝0.5 m的一点，在t0＝0与t1＝1 s的速度和加速度的大小，并问物体在哪一瞬时改变转向？
答：v0＝2 m/s，a0＝8 m/s2；v1＝－24 m/s，a1＝15.4 m/s；t＝0.667 s。
5-16 搅拌机如图所示，已知O1A＝O2B＝R，O1O2＝AB，杆O1A以不变转速n r/min。
试分析BAM构件上M点的轨迹、速度和加速度。
答：900
π
,
30
π2
2
Rn
a
Rn
v
M
M
=
=。
5-17某飞轮绕固定轴O转动的过程中，轮缘上任一点的全
加速度与其转动半径的夹角恒为α＝60︒。
当运动开始时，其转角
ϕ0为零，角速度为ω0，求飞轮的转动方程及其角速度与转角间的
关系。
答：
ϕ
ω
ω
ω
ϕ3
e
,
3
1
1
ln
3
3
=
-
=
t。
5-18 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时
间成正比地增大。
经过 5 min后，转子的角速度ω＝600π rad/s。
试求转子在这段时间内转过多少转？
题5-16图
答：N ＝30 000转。
5-19 OA 杆长L ＝1m 。
在题5-19图所示瞬时杆端A 点的全加速度a 与杆成θ 角。
θ＝60︒，a ＝20m/s 2。
求该瞬时OA 杆的角速度和角加速度。
答：s /110s /13102==ωε。
5-20 如图所示，曲柄CB 以匀角速度ω0绕C 轴转动，其转动方程为ϕ＝ω0t ，通过滑块B 带动摇杆OA 绕O 转动，设OC ＝h ，CB ＝r ，求摇杆的转动方程。
答：
t r h t r A 00cos sin arctg ωωθ-=。
题5-19图 题5-20图 5-21 一木板放在两个半径r ＝0.25 m 的传输鼓轮上面。
在图示瞬时，木板具有不变的加速度a ＝0.5 m/s 2，方向向右；同时，鼓轮边缘上的点具有一大小为3 m/s 2的加速度。
如果木板在鼓轮上无滑动，试求此木板的速度。
答：v ＝0.86 m/s 。
5-22 一偏心圆盘凸轮机构如图示。
圆盘C 的半径为R ，偏心距为e 。
设凸轮以匀角速度ω绕O 轴转动，求导板AB 的速度和加速度。
答：θωθωsin ,cos 2e a e v AB AB -==。
题5-21图 题5-22图 5-23 图示仪表机构中，已知各齿轮的齿数为z 1＝6，z 2＝24，z 3＝8，z 4＝32，齿轮5的半径R ＝4 cm 。
如齿条BC 下移1 cm ，求指针OA 转过的角度ϕ。
答：ϕ＝4 rad 。
5-24 摩擦传动机构的主动轮Ⅰ的转速为n ＝600 r/min ，它与轮Ⅱ的接触点按箭头所示的方向平移，距离d 按规律d ＝10－0.5t 变化，单位为厘米。
摩擦轮的半径r ＝5 cm 。
求：（1）以距离d 表示的Ⅱ的角加速度；（2）当d ＝r 时，轮Ⅱ边缘上一点的全加速度的大小。
答：（1）22π50d =εrad/s 2；（2）a ＝30π
1π400002+cm/s 2。
题5-23图
题5-24图。