2015高中数学重点基本不等式训练题
基本不等式练习题(较全)
1、若实数x ，y 满足224x y +=，求xy 的最大值
2、若x>0,求9()4f x x x =+
的最小值;
3、若0x <，求1y x x =+
的最大值
4、若x<0,求9()4f x x x =+
的最大值
5、求9()45
f x x x =+
-(x>5)的最小值.
6、若x ，y R +∈，x+y=5，求xy 的最值
7、若x ，y R +∈，2x+y=5，求xy 的最值
8、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值
1、求1 (3)3y x x x =
+>-的最小值.
2、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值.
3、求1(14)(0)4y x x x =-<<的最大值。
4、求123 (0)y x x x =
+<的最大值.
5、若2x >，求1252y x x =-+
-的最小值
6、若0x <，求21x x y x ++=
的最大值。
7、求2
y =
的最小值.
8（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?。
2015届高考数学大一轮复习配套精品试题：基本不等式]
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精品题库试题文数1.(安徽省合肥市2021届高三第二次教学质量检测) 圆与圆相外切，那么的最大值为〔〕D.A. B. C.[解析] 1.由题意圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，由两圆外切知，即，所以，.2.〔江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考〕“〞是“〞的〔〕A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 2.假设，那么，反之，假设，那么，得，所以是充要条件.3.〔天津市蓟县第二中学2021届高三第一次模拟考试〕假设直线平分圆, 那么的最小值是( )A.1B.5C.D.[解析] 3.由题意知圆心在直线上，所以，即，当且仅当取得等号.4.(天津市蓟县邦均中学2021届高三第一次模拟考试) 以下四个命题中，真命题的序号有〔写出所有真命题的序号〕①假设那么“〞是“a> b〞成立的充分不必要条件；②当时，函数的最小值为2；③命题“假设，那么〞的否命题是“假设〞；④函数在区间〔1，2〕上有且仅有一个零点[解析] 4. ①中由“可得，反之可能为0，不成立，所以是充分不必要条件，②中根本不等式的等号取不到，故②错误，否命题是将条件和揭露同时否认，或的否认为，故③正确，因为为增函数，且，，所以在区间上有且仅有一个零点.5.〔河北衡水中学2021届高三上学期第五次调研〕在中，内角，边，那么的面积的最大值为．[解析] 5.，由余弦定理得，即，6.〔吉林市普通高中2021—2021学年度高中毕业班上学期期末复习检测〕正数满足，使得取最小值的实数对是A．(5，10〕B．〔6，6〕C．〔10，5〕D．〔7，2〕[解析] 6.因为，所以，当且仅当时取得等号，代入中得7.(江西省七校2021届高三上学期第一次联考) 以下说法：①命题“存在〞的否认是“对任意的〞；②关于的不等式恒成立，那么的取值范围是；③函数为奇函数的充要条件是；其中正确的个数是〔〕A．3 B．2 C．1 D．0[解析] 7.①正确，量词和结论同时否认；②错误，因为，所以a的范围为；③中为偶函数，要使为奇函数，那么，为奇函数等价于，所以③正确8.(2021年兰州市高三第一次诊断考试) 设, ，假设，，那么的最大值为( )A．1B．2C．3D．4[解析] 8.因为，所以，因为，所以，9.〔成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测〕某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格根底之上继续下跌．假设用函数f〔x〕＝－x2＋4x＋7 进行价格模拟〔注x=0表示4月1号，x=1表示5月1号，…，以此类推，通过多年的统计发现，当函数，取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，那么可以预测明年拓展外销市场的时间为〔A〕5月1日〔B〕6月1日〔C〕7月1日〔D〕8月1日[解析] 9.依题意，设，，当且仅当，即时取得最大值10.〔广东省汕头市2021届高三三月高考模拟〕假设(其中), 那么的最小值等于[解析] 10. 因为，那么，当且仅当，即时取等号，此时，.11.(吉林省实验中学2021届高三年级第一次模拟考试) 假设直线被圆截得的弦长为4, 那么的最小值是.[解析] 11.由题意知圆的方程为，又因为直线被圆截得的弦长为4，所以直线经过圆心，即，，所以，当且仅当时取得等号．12.(山东省青岛市2021届高三第一次模拟考试) ，那么的最小值_________; [解析] 12.因为，所以，当且仅当时取等号.13.(江苏省苏、锡、常、镇四市2021届高三数学教学情况调查) 正数满足，那么的最小值为▲．[解析] 13.因为，而，所以当且仅当时取得等号.14.(山东省潍坊市2021届高三3月模拟考试) a> b> 0, ab=1，那么的最小值为．[解析] 14.因为，所以，最小值为，当且仅当时取得等号.15.〔上海市嘉定区2021-2021学年高三年级第一次质量检测〕在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之积等于，那么到原点距离的最小值为_________．[解析] 15.两条直线与垂直，设到的距离为，到的距离为，那么，到原点的距离为，所以16.〔天津七校联考高三数学〔文〕学科试卷〕函数的图象恒过定点, 且点在直线上，其中，那么的最小值为______________[解析] 16.由题意知点M的坐标为，所以，17.〔重庆南开中学高2021级高三1月月考)实数满足，那么的最大值是。
历年高考数学真题精选23基本不等式
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题23基本不等式（学生版）一.选择题（共10小题）1. （2015・湖南）若实h 满足、+七=向,则汕的最小值为（）a hA・ J5 B. 2 C. 2>/2 D. 42. （2O15・上海）已知“>O・ /?>O,若“ + b = 4.则（ ）A. u2+b 2^最小值B.应有最小值C. 1+1有最大值D. L 】L 有最大值3. （2O15・福建）若直线- + ^ = i G/>o.fr>O ）过点（1J ）.则“ +人的最小值等于（a bA. 2 B・ 3 C. 4 D. 54. （2014f 重庆）若 log 4（3a + 4Z^） = log 2 yfah , WO a + b 的最小值是（）A. 6 + 2a /5B. 7 4-2>/3C. 6 + 4>/3D. 7 + 4^35.（2013•山东）设正实数x, y, z 满足f 一3° + 4尸-1 = 0・则当打取得最大值时,+1--的最大值为（V z 76.7.8.9. A. 0(2O13・福建)A. [0. 2](2O12・浙江)A.癸5（2010-四川）A. 2（2010* 四川）A. 1B. 1若2l +2v =l,则x+y 的取值范围是（B. |一2, 0] C. [-2, +x)D・3D. (-x, -21若正数x , y 满足x + 3y = 5a / ,则3x + 4y 的最小值是（设">b>c>0,则2疽 +二 +B. 4C. 5D. 6ab a(a — b )- 10s・ + 25b 的最小值是（D・5H u>h>Q 9 则 u z + ——+------ab u — b )的最小值是（B. 2 C. 3 D.4B ?10. （2010*重庆）己知x>0, y>0,工+ 2）・+ 2个・=8,则x + 2），的最小值是（9 2H 2A.3B.4C.D.二.填空题（共10小题）IL（2019•上海）12・（2019・天津）ye/T,且！+2）・=3,则土的最大值为_.•X设x>0,）>0, x+2y=4,贝I］土旭m的最小值为_,13・（2018・天津）己知a,beR.且〃一％+6=0,则2"+—的最小值为____.O14.（2017•山东）若直线-+-=l（t/>0^>0）过点（1,2）,则M+b的最小值为a b15.（2014*上海）若实数工，y满足.口=1，则x2+2/的最小值为16.（2013•上海）设常数〃>0,若9x+—^1+1对一切正实数a•成立，则a的取值范国x为■17.（2O13-四川）已知函数/（x）=4x+-（x>0a/>0）在人=3时取得最小值，则。
2015届高考数学(文)课时检测7-4基本不等式(人教版)
课时作业(四十三)1．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 答案 D解析 只需比较a 2＋b 2与a ＋b .由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b .2．(2013·福建)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案 D解析 ∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2，故选D.3．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx ＋ny 的最大值是( ) A. 3B ．2 C. 5D ．102 答案 A解析 方法一 设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈(0°，180°)．∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos(α－β)．故选A. 方法二 m 2＋n 2＝3⇔(m 3)2＋(n 3)2＝1， ∴2＝x 2＋y 2＋(m 3)2＋(n 3)2≥23(mx ＋ny )． ∴mx ＋ny ≤ 3.4．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2的最小值是( )A．3 B．7 2C．4 D．9 2答案 C解析原式＝x2＋xy＋14y2＋y2＋yx＋14x2≥4.当且仅当x＝y＝12时取“＝”号．5．(2011·上海)若a，b∈R，且ab>0，下列不等式中，恒成立的是() A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2abC.1a＋1b<2abD．ba＋ab≥2答案 D6．(2012·福建)下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋14)>lg x(x>0)B．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1>1(x∈R)答案 C解析取x＝12，则lg(x2＋14)＝lg x，故排除A；取x＝32π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则1x2＋1＝1，故排除D.应选C.7．(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2答案 A解析设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为Sa，从乙地到甲地所需时间为S b .又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2S S a ＋S b＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ，2ab a ＋b >2ab 2b＝a ，即a <v <ab ，则选A. 8．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 令p ：“a ＝18”，q ：“对任意的正数x,2x ＋a x ≥1”． 若p 成立，则a ＝18，则2x ＋a x ＝2x ＋18x ≥22x ·18x ＝1，即q 成立，p ⇒q ； 若q 成立，则2x 2－x ＋a ≥0恒成立，解得a ≥18，∴q ⇒/ p .∴p 是q 的充分不必要条件．9．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2答案 D解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y ＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.10．(2011·北京文)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B 解析 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x 8，总的费用是800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8时取等号，即x ＝80. 11．(1)当x >1时，x ＋4x －1的最小值为________． (2)当x ≥4时，x ＋4x －1的最小值为________． 答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x >1，∴x －1>0. ∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5. (当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立) ∴x ＋4x －1的最小值为5. (2)∵x ≥4，∴x －1≥3. ∵函数y ＝x ＋4x 在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163. 12．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则ab ＋1ab 的最小值为________．答案 174解析 ab ≤(a ＋b 2)2＝14， 当且仅当a ＝b ＝12时取等号．y ＝x ＋1x 在x ∈(0，14]上为减函数．∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝174.13．(2013·四川)已知函数f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.答案36解析f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a(当且仅当4x＝ax，即a＝4x2时取等号)，则由题意知a＝4×32＝36.14．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．答案 3解析因为1＝x3＋y4≥2x3·y4＝2xy12＝xy3，所以xy≤3，当且仅当x3＝y4，即x＝32，y＝2时取等号，故xy的最大值为3.15．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？答案(1)f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)(2)10层910元解析(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72(万元)，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)，建筑第x层楼房的建筑费用为72＋(x－1)×2＝2x＋70(万元)，建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y＝f(x)＝72x＋x(x－1)2×2＋100＝x2＋71x＋100，综上可知y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．(2)该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)＝f(x)×10 0001 000x＝10f(x)x＝10(x2＋71x＋100)x＝10x＋1 000x＋710≥210x·1 000x＋710＝910.当且仅当10x＝1 000x，即x＝10时等号成立．综上，可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．。
【全程复习方略】2015届高考数学第一轮总复习 不等式选讲提能训练(含2013年高考真题)新人教A版
考点55 不等式选讲一、选择题1.（2013·某某高考理科·Ｔ4）“a ≤0”“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题指南】 画出函数()=(-1)f x ax x 的简图，数形结合判断。
【解析】选C.由函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增可得其图象如图所示，,由图象可知选项C 正确。
二、填空题2. （2013·某某高考理科·Ｔ15）已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为.【解题指南】利用柯西不等式求解.【解析】212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am （,且仅当 n m bmbnan am =⇒=时取最小值 2. 【答案】 2.3. （2013·某某高考文科·Ｔ15）设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是. 【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识||||b x a x -+-表示数轴上某点到a ，b 的距离之和即可得解. 【解析】函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为： 2||)().|,[|>-≥∈∀+∞-b a x f R x b a 时，因此，当. 所以，不等式2||||>-+-b x a x 的解集为R 。
【答案】 R.4.（2013·某某高考理科·Ｔ15）在实数X 围内，不等式||x 2|1|1--≤的解集为___________. 【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.【解析】由绝对值的意义，||x 2|1|1--≤等价于0|x 2|2≤-≤，即2x 22-≤-≤，即0x 4≤≤.【答案】[0,4].5. （2013·某某高考理科·Ｔ16）若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解，则实数a 的取值X 围是【解题指南】 利用绝对值不等式的性质进行求解.【解析】不等式53x x a -++<无解，即()min35++-≤x x a因为8)3()5(35=+--≥++-x x x x ,所以8≤a 【答案】(]8,∞-.6. （2013·某某高考理科·Ｔ13）设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2+y 2+z 2=1,x+2y+3z=14,则x+y+z= 【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件，求出相应的x ，y ，z 的值。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练第7章第4节基本不等式Word版含解析
第七章 第四节1．(2014·东北三校联考)设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．26 B ．42 C ．6D ．8解析：选B 2a ＋2b ≥22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时，等号可以取到，此时2a ＋2b 有最小值．故选B.2．(2013·福建高考)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵2x ＋2y ＝1≥22x ＋y ，当且仅当x ＝y 时等号成立．∴(12)2≥2x ＋y ，即2x ＋y ≤2－2.∴x ＋y ≤－2，∴所求范围为(－∞，－2]．故选D. 3．在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是( ) A ．3 B ．2 C ．4D ．5解析：选A 设扇形的半径为r ，其弧长为l ，由题意可得S ＝12lr ＝9，故lr ＝18.所以扇形的周长C ＝2r ＋l ≥22rl ＝22×18＝12，当且仅当2r ＝l ，且lr ＝18即r ＝3，l ＝6时等号成立．故选A.4．(2014·宁夏质检)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值2D ．a 2＋b 2有最小值22解析：选C 由基本不等式得1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，故A 错误；由基本不等式，得ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以ab ≤14，故B 错误；由基本不等式，得a ＋b 2≤a ＋b2＝ 12，即a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D错误．因此选C.5．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按每次进货量的一半来计算，每件收费2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )A ．200件B ．5 000件C ．2 500件D ．1 000件解析：选D 设每次进货量为x 件，费用为y 元，则y ＝10 000×100x＋x 2·2≥2 1 000 000x ·x ＝2 000，当且仅当1 000 000x＝x ，即x ＝1 000时费用y 最小．故每次的进货量应为1 000件．选D.6．(2014·江西七校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0(m ，n ＞0)上，则1m ＋2n的最小值等于( )A ．16B ．12C ．9D ．8解析：选D 依题意，点A 的坐标为(－2，－1)，则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥4＋2n m ×4m n ＝8，当且仅当n m＝4m n ，即n ＝2m ＝12 时取等号，所以1m ＋2n的最小值是8，选D. 7．(2014·福建六校联考)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：9 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2，即|xy |＝22时等号成立，故最小值为9..8．已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为________．解析：12由2a ＋b ＝4，得22ab ≤4，即ab ≤2，又a ＞0，b ＞0，所以1ab ≥12.当且仅当2a ＝b 且2a ＋b ＝4，即b ＝2，a ＝1时，1ab 取得最小值12.9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，则P 与Q 的大小关系为________． 解析：P ＞Q P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)＝12log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 6，Q ＝log 0.5a 3＋a 92＜log 0.5a 3a 9＝log 0.5a 6，所以P ＞Q .10．(2014·惠州模拟)如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树______米时，看A ，B 的视角最大．解析：6 问题转化为求△ABC 中∠BCA 的取值范围．过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D .设该人距离此树的距离CD ＝x 米，看A 、B 的视角最大，即∠BCA 最大．不妨设∠BCD ＝α，∠ACD ＝β，则∠BCA ＝β－α，且tan α＝4x ，tan β＝9x ，所以tan ∠BCA ＝9x －4x 1＋9x ×4x ＝5x x 2＋36＝5x ＋36x ≤52x ×36x＝512，当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时取等号，此时∠BCA 最大．11．已知a ，b ＞0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b ，证明：∵a ＞0，b ＞0， ∴a b 2＋b a2≥2a b 2·b a 2＝2 1ab＞0， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， ∴⎝⎛⎭⎫a b 2＋b a 2(a ＋b )≥21ab·2ab ＝4. ∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a b 2＝b a 2，a ＝b .时，即a ＝b 时等号成立. 12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和？并求出此时商品的每件定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意知当x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．由于150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10，当且仅当150x ＝x6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.13．(2014·海淀模拟)若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，得(2＋x )y ＝30－x ， 又2＋x ≠0，所以y ＝30－x2＋x ＞0,0＜x ＜30.(1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32＝－⎣⎡⎦⎤(x ＋2)＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＋2＝64x ＋2，即x ＝6时等号成立．所以xy 的取值范围是(0,18]．(2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎨⎧x ＝42－2y ＝42－1时等号成立．由y ＝30－x2＋x＞0，得x ＜30.∵x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3(0＜x ＜30)，令x ＋2＝t (2＜t ＜32)，且f (t )＝t ＋32t ，则函数f (t )＝t ＋32t 在(2,42)上单调递减，在(42，32)上单调递增，∴f (t )≥f (42)＝82，又f (2)＝18，f (32)＝33，∴f (t )＜33. ∴x ＋2＋32x ＋2－3＜30，即x ＋y ＜30.∴x ＋y 的取值范围是[82－3,30).1．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋2xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值是2；又λ≥x ＋22xyx ＋y 恒成立，因此有λ≥2，所以λ的最小值是2.2． (2014·广东六校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎭⎫0，32 C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A目标函数y ＝－a b x ＋zb (a ＞0，b ＞0)经过点A (4,6)时z 有最大值，所以4a ＋6b ＝12，ab ＝124(4a ·6b )≤124⎝⎛⎭⎫1222＝32，当且仅当4a ＝6b 且4a ＋6b ＝12，即a ＝32，b ＝1时取等号，所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.故选A. 3．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32B.53 C.256D ．不存在 解析：选A 由题意可知，a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝2.又由已知条件a m a n ＝4a 1，得a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，∴qm＋n －2＝16＝24，所以m ＋n＝6，所以1m ＋4n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ×m ＋n 6＝16×⎝⎛⎭⎫5＋4m n ＋n m ≥16×⎝⎛⎭⎫5＋24m n ×n m ＝32，当且仅当4m n ＝nm，即n ＝2m 时等号成立. 4．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值为( )A ．20B ．19C ．16D ．18解析：选D 依题意得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 30°＝23，则|AB →|·|AC →|＝4，故S △ABC ＝12|AB→|·|AC →|sin 30°＝1，即12＋x ＋y ＝1，x ＋y ＝12，所以1x ＋4y ＝2(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝2⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ≥2⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝18，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时等号成立，因此1x ＋4y的最小值为18，选D.5．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的“上确界”．若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的“上确界”为________．解析：－92 由题意知，求－12a －2b 的“上确界”相当于求－12a －2b 的最大值．∵－12a －2b ＝－⎝⎛⎭⎫12a ＋2b (a ＋b )＝－⎝⎛⎭⎫12＋2＋b 2a ＋2a b ≤－52－2b 2a ·2a b ＝－52－2＝－92(当且仅当a ＝13，b ＝23时等号成立)， ∴－12a －2b 的“上确界”为－92.。
2015高考数学高考考点课时训练课件：专题二 不等式、推理与证明(共35张PPT)
课时3 均值不等式
【例】（专题2课时3第5题）
第十一页，编辑于星期五：十五点 十分。
【答案】
第十二页，编辑于星期五：十五点 十分。
【例】（专题2课时3第19题）
第十三页，编辑于星期五：十五点 十分。
【答案】
第十四页，编辑于星期五：十五点 十分。
课时4 简单的线性规划问题
【例】（专题2课时4第1题） 【答案】
第十五页，编辑于星期五：十五点 十分。
【例】（专题2课时4第5题）
第十六页，编辑于星期五：十五点 十分。
【答案】
第十七页，编辑于星期五：十五点 十分。第十八页，编辑于星期五：十五 Nhomakorabea 十分。
【例】（专题2课时4第10题 ）
第十九页，编辑于星期五：十五点 十分。
第三十四页，编辑于星期五：十五点 十分。
第三十五页，编辑于星期五：十五点 十分。
【答案】
第二十页，编辑于星期五：十五点 十分。
课时5 合情推理与演绎推理
【例】（专题2课时5第8题）
第二十一页，编辑于星期五：十五点 十分。
【答案】
第二十二页，编辑于星期五：十五点 十分。
第二十三页，编辑于星期五：十五点 十分。
【例】（专题2课时5第14题）
第二十四页，编辑于星期五：十五点 十分。
第二十九页，编辑于星期五：十五点 十分。
【例】（专题2课时6第11题）
第三十页，编辑于星期五：十五点 十分。
【答案】
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课时7 数学归纳法
【例】（专题2课时7第10题）
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高中数学基本不等式习题专练
高中数学基本不等式专题训练1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． )b a R b ,a ()2b a (ab ab 2b a 2时等号成立当且仅当和变形式=∈+≤≥++: 2．重要的不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；常用式：),()()(2222时等号成立当且当b a R b a b a b a =∈+≥+),,(222时等号成立当且当c b a R c b a ac bc ab c b a ==∈++≥++),,()()(32222时等号成立当且当c b a R c b a c b a c b a ==∈++≥++3.两个不等式链(1)a 2＋b 22≥(a ＋b2)2≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 4.利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 应用一：求最值题型一：基本不等式直接运用用 1．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．a 2+b 2＞2abB ．C ．D ．2．下列结论正确的是（ ）A ．当x ＞0且x ≠1时，lgx+≥2B ．当x ＞0时，+≥2C ．当x ≥2时，x+的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x ﹣无最大值3.若x ＞0，则x+的最小值为 ．4．已知x ，y ∈R +，且x+4y=1，则xy 的最大值为 ．5．设实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则x+y 的最大值为 ． 6．若实数a ，b 满足+=，则ab 的最小值为（ ） A ． B ．2 C ．2 D ．47.已知t ＞0，则函数的最小值为 ． 8.若数列{n a }的通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项 9．若b 为实数，且a+b=2，则3a +3b 的最小值为（ ）A ．18B ．6C ．2D ．2 10.不等式)10)(1(<<-=x x x y 的最大值是 ,此时x=_____ .11．若a ＞b ＞1，P=，Q=（lga+lgb ），R=lg ，则（ ） A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜R C ．Q ＜P ＜R D ．P ＜R ＜Q12．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ．题型二： 拼凑或拆项之后使用基本不等式1. 当1x >时，函数11y x x =+-的最小值为_____ ,此时x=_____ 2.函数 12,33y x x x =+>-的最小值是_____ ,此时x=_____ 3. 函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值是_____ ,此时x=_____ 4.的最小值为函数1x 2x y 22++=_____ ,此时x=_____5.若x<0，则2 + x + 4x的最大值是 ,此时x=_____ 6.若x ＞4，则函数x x y －＋＝－41 （ ）A 有最大值—6 B 有最小值6 C 有最大值—2 D 有最小值2 7. 当时，求(82)y x x =-的最大值 ,此时x=_____8.已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 题型三： 连续使用基本不等式1.已知a ＞0，b ＞0，则的最小值是（ ）A2 B C4 D5 2．若x ，y 是正数，则+的最小值是（ ） A ．3B ．C ．4D ．3．若a ，b ∈R ，ab ＞0，则的最小值为 ． 4．设x ，y 为正数，则（x+y ）（+）的最小值为（ ）A.6B.9C.12D.155. 设a ＞0，b ＞0．若是3a 与3b 的等比中项，则的最小值为（）A.8B.4C.1D.6．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（ ）7．设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．48．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC于点D ，且BD=1，则4a+c 的最小值为 ．题型四：基本不等式与一元二次不等式结合求最值1．已知,x y 是正实数，3=--y x xy ，则y x +的最小值为_________。
高中数学基本不等式知识点及练习题
高中数学基本不等式知识点及练习题1.基本不等式：对于任意正实数a和b，有ab≤(a+b)/2.2.几个重要的不等式：1) 平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2+b^2≥2ab.2) 两个同号数的平方和大于它们的积：对于任意正实数a 和b，有a^2+b^2≥2ab.3) 两个异号数的平方和小于它们的积：对于任意实数a和b，如果ab<0，则a^2+b^2<2ab.4) 平均值不等式：对于任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab).3.算术平均数与几何平均数：对于任意正实数a和b，它们的算术平均数为(a+b)/2，几何平均数为√(ab)。
基本不等式可以叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题：1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p.2) 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p^2/4.一个技巧：在运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a^2+b^2≥2ab逆用就是ab≤(a^2+b^2)/(a+b)^2；还要注意“添、拆项”等技巧和公式等号成立的条件等.两个变形：1) a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.2) a^2+b^2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.三个注意：1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视。
要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值：例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.解题技巧：技巧一：凑项.例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.技巧二：凑系数.例1.当x^2+7x+10/(x+1)的值域.技巧三：分离.例3.求y＝x(8-2x)的最大值，当y＜4时。
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考生们只要加油努力，就一定会有一片蓝天在等着大家。以上就是查字典数学网的编辑为大
家准备的2015高中数学重点。1.若xy0，则对 xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2 B.有最
小值2C.无最大值和最小值 D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，
则xy的最大值是()A.400 B.100C.40 D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小
值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)
的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值
83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅
当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，
能用基本不等式直接求得最值的是()A.x+12x B.x2-1+1x2-1C.2x+2-x D.x(1-x)答案：C2.函
数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3 B.-3C.62 D.62-3解析：选
D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小
值是()A.200 B.100C.50 D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出
下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，
4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.
①② B.②③C.③④ D.①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，
ab(0，+)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;②虽然x，y(0，+)，但当x(0,1)
时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合基本不等
式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx
提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则
1a+1b+2ab的最小值是()A.2 B.22C.4 D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当
a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，
则xy有()A.最大值64 B.最大值164C.最小值64 D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，
xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的
最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.
解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大 1169.(2016年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，
则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.
答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)
的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，
即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是
9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，
x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.
已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，
a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分
别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为
矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米
400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为
200x米.总造价
f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120001600x225x+12000=36000(元)当且
仅当x=225x(x0)，即x=15时等号成立.这篇2015高中数学重点就为大家分享到这里了。希
望对大家有所帮助！