最新第六章刚体的基本运动习题解答
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：RvR v A A ==ωR v R v B B 22==ωB A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。
试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
hv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===习题6-1图ABCv 0hθ习题6－2图PωABv CABCv ohθ习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图v A = vv B = v ωAωB习题6-6图习题6-6解图解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点D BDv B ⋅=ωBPBD BP v B BC ⋅==ωω ︒︒⨯=30sin 27030cos 36012 rad/s 8=PC v BC C ⋅=ωm/s 87.130cos 27.08=︒⨯=6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
大物第六七节习题册答案
由机械能守恒定律
E0 Ex
解出
k mg sin 2 Ek Ek 0 ( x ) 2 k
6 设想有两个自由质点，其质量分别为m1和m2，它们之间的相互作用符
合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态
试求当它们的距离变为1/2 l时，两质点的速度各为多少？
• 解:两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系 统的动量和机械能均守恒。 设两质点的间距变为L/2
2
1
1 2 Md ( J ) = 2
1 1 2 J 2 J 12 2 2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
１）质点对固定点的角动量 L r mv
角动量是矢量，角动量L的方向垂直 于r和mv 所组成的平面，其指向可用 右手螺旋法则确定。
v v v
2 x
2 y
答案：B
2
1
1 1 2 2 F .d r mv2 mv1 2 2
• 2 一质点在几个外力同时作用下运动时， 下述哪种说法正确？ （ ） （A）质点的动量改变时，质点的动能一定改 变。 （B）质点的动能不变时，质点的动量也一定 不变。 （C）外力的冲量是零，外力的功一定为零。 （D）外力的功为零，外力的冲量一定为零。 解析：结果为C
时，它们的速度分别为v1及v2则有
m1v1 m2v2 0
（1）
- Gm1m2 1 1 2Gm1m2 2 m1v12 m2v2 l 2 2 l 联立（1） （2）解得：
（2）
v1 m2
2G l (m1 m2 )
v2 m1
2G l (m1 m2 )
刚体习题和答案
作业5 刚体力学♫刚体：在力的作用下不发生形变的物体⎰=-⇒=210t t dt dtd ωθθθω角速度⎰=-⇒=210t t dt dtd βωωωβ角加速度1、根底训练〔8〕绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为05rad s ω=，t ＝20s 时角速度为00.8ωω=，那么飞轮的角加速度β= -0.05 rad/s 2 ，t ＝0到 t ＝100 s 时间飞轮所转过的角度θ= 250rad ． 【解答】飞轮作匀变速转动，据0t ωωβ=+，可得出：200.05rad s tωωβ-==-据2012t t θωβ=+可得结果。
♫定轴转动的转动定律：定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.βJ M =质点运动与刚体定轴转动对照[C ]1、根底训练〔2〕一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如下图．绳与轮之间无相对滑动．假设某时刻滑轮沿逆时针方向转动，那么绳中的力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 【解答】逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外, 由于(m 1＜m 2)，实际上滑轮在作减速转动,角加速m 2m 1 O度方向垂直纸面向,所以,由转动定律21()T T R J β-=可得：21T T >[C ] 2、自测提高〔2〕将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为．如果以拉力2mg 代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将(A) 小于． (B) 大于，小于2． (C) 大于2． (D) 等于2． 【解答】设飞轮的半径为R ,质量为m ，根据刚体定轴转动定律M J β=，当挂质量为m 的重物是：mg T maTR J a R ββ-=== 所以2mgRJ mRβ=+,当以2F mg =的拉力代替重物拉绳时，有： '2mgR J β=，2'mgRJβ=，比拟二者可得出结论。
理论力学练习册及答案(南华版)
动系固连摇杆CB上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
B点速度为：
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
B点加速度为：
7-4.半径为R的半圆形凸轮以匀速V0沿水平线向右平动，带动顶杆AB沿铅直方向运动，当OA与铅直线夹角为300时，求此时杆AB的速度和加速度。
解：动点取杆OA上A点，动系固连杆O1C上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
再取动点杆O1C上C点，动系固连套筒B上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理:
作加速度图。
取 方向投影，得：
取 方向投影，得：
第八章 刚体平面运动
分别取节点A、B为研究对象，受力如图
对于节点A： ，
(压)
对于节点B： , (压)
2-11.计算桁架中1、2、3杆的受力。
解：取I-I剖面右边部分为研究对象，受力如图。
,
(拉)
,
(压)
研究节点B: ，
(压)
第三章 空间力系
3-1.图示正立方体，各边长为a，四个力F1、F2、F3、F4大小皆等于F，如图所示，作用的相应的边上。求此力系简化的最终结果，并在图中画出。
8-7.四杆机构中，曲柄OA以匀角速度ω0=25 rad/s绕O轴转动，OA=50 cm，AB=100 cm，O1B= cm。求∠OAB=900时，B点的加速度，摇臂O1B的角速度和角加速度。
8-8.图示机构中，设当OA与水平线成450角的瞬时，曲柄OA有反时针方向的匀角速度ω＝25 rad/s，连杆AB水平，扇形板BD铅垂。求扇形板绕定轴D转动的角加速度ε。
《刚体运动习题》课件
刚体的转动问题涉及到分析刚体的转动惯量、角速度、角加速度等物理量，以及力和扭矩对刚体转动的影响。通过解决刚体的转动问题，可以了解刚体在转动过程中的运动规律和特点。
刚体的复合运动问题涉及到刚体的平动和转动同时发生的情况。
总结词
刚体的复合运动问题需要综合考虑刚体的平动和转动，分析其相互影响和耦合作用。这类问题通常比较复杂，需要运用力学和运动学的知识进行求解。
总结词
在解答进阶习题时，学生需要具备较强的分析能力和计算能力，能够根据题目要求进行正确的分析和计算，并得出正确的结论。
详细描述
总结词：高难度习题是刚体运动中的高级题目类型，主要考察学生对刚体运动理论的深入理解和应用能力。
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详细描述
刚体的振动问题主要研究刚体在周期性外力作用下的振动现象。
总结词
刚体的振动问题涉及到分析刚体的振动频率、振幅、相位等物理量，以及周期性外力对刚体振动的影响。通过解决刚体的振动问题，可以了解刚体在振动过程中的运动规律和特点，对于工程实践中的振动控制和减振设计具有重要意义。
详细描述
刚体运动的解题方法
03
它基于力学的基本原理和数学工具，如微积分、线性代数和常微分方程等，来推导和求解刚体运动的数学模型。
解析法可以给出精确的解，但有时可能比较复杂，需要较高的数学水平。
解析法是一种通过数学公式和定理来求解刚体运动问题的方法。
几何法是通过图形和几何形状来描述和解决刚体运动问题的方法。
它通过绘制刚体的运动轨迹、速度和加速度等矢量图，以及分析刚体的转动和角速度等来解决问题。
04
建筑结构中的刚体运动是指建筑物在风、地震等外力作用下产生的运动，包括平动、扭转和复合运动等。
刚体的转动部分习题分析与解答
动轨迹为一个圆弧。
刚体的定轴转动和平面转动的比较
03
定轴转动和平面转动是刚体转动的两种基本形式，它们在运动
学和动力学上有一些不同之处，如角速度、角加速度等。
03
刚体的动能与势能
刚体的动能
总结词
刚体的动能是指刚体在转动过程中所 具有的能量，与刚体的转动速度和质 量分布有关。
详细描述
刚体的动能计算公式为$E_{k} = frac{1}{2}Iomega^{2}$，其中$I$为刚体的转 动惯量，$omega$为刚体的角速度。转动惯量 是描述刚体质量分布对其转动影响的物理量， 与刚体的质量分布、形状和大小有关。
解答过程
钢球下落过程中，其速度逐渐增大，故其动能在 不断增加。同时，钢球离地面的高度逐渐减小， 故其势能在不断减小。由于钢球下落过程中只有 重力做功，故其机械能守恒。
习题五：关于刚体的机械能守恒的题目
总结词
理解机械能守恒的概念，掌握机械能守恒的条件和机械能守恒的计算方法。
详细描述
机械能守恒是指系统内各种形式的能量在相互转化时总量保持不变。对于刚体系统，只有重力或弹力 做功时机械能守恒。机械能
刚体的势能
总结词
刚体的势能是指刚体在转动过程中相对于某一参考点所具有 的能量。
详细描述
刚体的势能计算公式为$U = -GMmcostheta$，其中$G$为万 有引力常数，$M$和$m$分别为两个质点的质量，$theta$为 两质点连线和垂直于势能参考平面的夹角。对于刚体，势能的 具体值取决于参考点的选择。
实际问题。
习题五解答与解析
要点一
总结词
刚体的角动量守恒
要点二
详细描述
这道题目考察了学生在刚体转动中如何应用角动量守恒的 知识。学生需要理解角动量的概念，知道角动量等于刚体 的转动惯量乘以角速度，并能够根据角动量守恒的条件判 断刚体的运动状态。
大学物理刚体的转动知识点及试题带答案
刚体的转动一、基本要求：1、理解刚体的概念；了解刚体的平动和转动；掌握转动惯量的物理意义；掌握力矩的物理意义及其计算。
2、理解转动惯量的物理意义及其计算；掌握刚体定轴转动的转动定律及计算。
3、理解质点和刚体的角动量；掌握角动量守恒定律的适用条件及应用；掌握刚体转动动能的概念及计算。
二、主要内容： 1、刚体：是在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。
是一个理想化的力学模型，它是指各部分的相对位置在运动中（无论有无外力作用）均保持不变的物体。
即运动过程中没有形变的物体。
2、平动：当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线时，刚体的运动叫作平动。
3．转动：刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。
这条直线叫作转轴。
4、描述刚体转动的物理量引入：刚体作定轴转动时，刚体上的各点都绕定轴作圆周运动。
刚体上各点的速度和加速度都是不同的，用线量描述不太方便。
但是由于刚体上各个质点之间的相对位置不变，因而绕定轴转动的刚体上所有点在同一时间内都具有相同的角位移，在同一时刻都具有相同的角速度和角加速度，故采用角量描述比较方便。
为此引入角量：角位置、角位移、角速度、角加速度。
5、角量与线量的关系半径R ，角位移θ∆ 弧长 θ∆⋅=∆R s 线速度v: ωθR t R t s v t t =∆∆=∆∆=→∆→∆lim lim法向加速度： 222)(ωωr RR R v a n === 切向加速度： αωωτ⋅=⋅===R dtd R R dt d dt dv a )( 结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；而各点的线位移、线速度和线加速度均与r 成正比。
6转动定律：刚体在合外力矩的作用下，刚体所获得的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
● 合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； ● 转动定律是解决刚体定轴转动的基本定律，它的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当。
工程力学6第六章
点的曲线运动与刚体的定轴转动的比较 运动性质 匀速运动 点的曲线运动 刚体定轴转动
s s0 vtv为常量 0 t 为常量
v v0 a t
0 at
1 2 0 0t t 2
匀变速 运动
2 2 v 2 v0 2a s s0 2 0 2 0
• 例6-2 • 作业：导学篇P88 1、6、7
按自然法 ds d s R , v R R dt dt dv d a R R dt dt v2 an R 2 R
M点全加速度
2 a a2 an R 2 4
tan
a an
2
例：已知轮1的角速度和角加速度，轮2的角速度与 角加速度？
则角速度为 d lim f `t t 0 t dt 即刚体绕定轴转动的角速度等于 转角对时间的一阶导数, 单位：rad / s
3.角加速度
角加速度是反映角速度变化快慢的物理量 如右图所示刚体， 设在瞬时t， 刚体的角速度为 到瞬时t t角速度变为 刚经过t时间后， 角速度的改变量为
• 二、以矢积表示转动刚体上点的速度与加速度 • 如图6-7
M点的速度 v r , 三者按右手法则确定方向。 矢积的 r 大小 : r r sin R v M点的加速度 dv d dr a r r v dt dt dt r ( r ) a a n 矢积 r 的大小： r r sin R a 矢积 v 的大小： v v sin 90 R 2
如何确定刚体在空间的位置?
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习 题6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图6-16所示。
图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为rad/s 5=ω，角加速度为2rad/s 2=α,试求三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。
图6-16m/s 5.051.01=⨯===ωA O v v D C2221n n m/s 5.251.0=⨯===ωA O a a D C21ττm/s 2.021.0=⨯===αA O a a D C6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm ，圆心O 1在导杆BC 上。
曲柄长OA =100mm ，以等角速度rad/s 4=ω绕O 轴转动。
设t =0时，0=ϕ，求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角︒=30ϕ时，导杆BC 的速度和加速度。
图6-17m 4cos 2.04cos 1.02cos 2cos 21t t t R OA x O =⨯⨯===ωϕm/s 4sin 8.01t xO -= ︒=30ϕ时 m/s 4.01-=O x 21m/s 4cos 2.3t x O -= 21m/s 36.1-=O xm /s 4.0=v 22m/s 771.2m/s 36.1==a6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为2ωαc b --=,式中b 、c 均是常数。
设运动开始时飞轮的角速度为0ω，问经过多长时间飞轮停止转动？2ωαc b --= t c b d d 2-=+ωω ⎰⎰-=+t t c b 002d d 0ωωω t b c bc -=00|)arctan(1ωω )arctan(10ωbc bc t =6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334t t -=ϕ。
试求物体内与转轴相距R =0.5m 的一点，在t =0及t =1s 时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。
234t t -=ϕ 294t -=ϕt 18-=ϕ t =0时4=ϕ0=ϕ m/s 245.0=⨯==ωR v222n m /s 845.0=⨯==ωR a0τ==αR a2n m/s 8==a at =1s 时5-=ϕ 18-=ϕ m/s 5.255.0=⨯==ωR v222n m /s 5.12)5(5.0=-⨯==ωR a2τm/s 9)18(5.0-=-⨯==αR a2m/s 4.15=a什么时刻改变其转向0942=-=t ϕs 32=t 6-5 电机转子的角加速度与时间t 成正比，当t =0时，初角速度等于零。
经过3s 后，转子转过6圈。
试写出转子的转动方程，并求t =2s 时转子的角速度。
ct =α t ct d d =ω⎰⎰=t t ct 00d d ωω 221ct =ω 221d d ct t =ϕ 361ct =ϕ t =3s 时，π12π26=⨯=ϕ3361π12⨯⨯=c 9π427π1261==c 39π4t =ϕ3396.1t = t =2s 时rad/s 76.163π1643π43π42==⨯==t ω 6-6 杆OA 可绕定轴O 转动。
一绳跨过定滑轮B ，其一端系于杆OA 上A 点，另一端以匀速u 向下拉动，如图6-18所示。
设OA=OB =l ，初始时0=ϕ，试求杆OA 的转动方程。
ut l AB -=2lut l ut l OA AB OAB 21222/cos -=-==∠ 即 l ut 212cos -=ϕ )21arccos(2lut -=ϕ6-7 圆盘绕定轴O 转动。
在某一瞬时，轮缘上点A 的速度为m /s 8.0=A v ，转动半径为m 1.0=A r ；盘上任一点B 的全加速度B a 与其转动半径OB 成θ角，且6.0tan =θ，如图6-19所示。
试求该 瞬时圆盘的角加速度。
图6-19m /s 8.0==ωA A r v rad/s 81.08.0===A A r v ω 6.0tan 2==ωαθ 22rad/s 4.386.0||=⨯=ωα6-8 如图6-20所示，电动机轴上的小齿轮A 驱动连接在提升铰盘上的齿轮B ，物块M从其静止位置被提升，以匀加速度升高到1.2m 时获得速度0.9m/s 。
试求当物块经过该位置时：（1）绳子上与鼓轮相接触的一点C 的加速度；（2）小齿轮A 的角速度的角加速度。
图6-20(1)2.1209.0τ22⨯=-a 3375.04.249.0τ==a 5.16.09.0==B ω 35.15.16.02n =⨯=a 222n m/s 39.135.13375.0=+=a(2)3150450===A B B A R R ωω rad/s 5.43==B A ωω 5625.06.03375.0τ===C B R a α 2rad/s 6875.13==B A αα6-9 杆OA 的长度为l ,可绕轴O 转动，杆的A 端靠在物块B 的侧面上，如图6-21所示。
若物块B 以匀速v 0向右平动，且x =v 0t ,试求杆OA 的角速度和角加速度以及杆端A 点的速度。
图6-21t v x 0= l t v l x 0cos ==ϕ lt v 0arccos =ϕ 22020200)(1t v l v lt v l v O -=-==ϕω3220230)(t v l tv O O -==ωα22020t v l lv l v O A -==ω6-10 图6-22所示机构中，杆AB 以匀速v 向上滑动，通过滑块A 带动摇杆OC 绕O 轴作定轴转动。
开始时0=ϕ，试求当4/πϕ=时，摇杆OC 的角速度和角加速度。
图6-22lvt =ϕtan 对时间求导 lv=ϕϕ2sec ϕϕϕω22cos sec lv l v === ϕϕωϕωα222cos 2sin )2sin (lv l v -=-⨯== 4π/=ϕ时l v 2=ω 222lv -=α6-11 如图6-23所示，电动绞车由皮带轮Ⅰ和Ⅱ以及鼓轮组成，鼓轮Ⅲ和皮带轮Ⅱ刚性地固定在同一轴上。
各轮的半径分别为m 4.0m 75.0m 3.0321===r r r ，，，轮Ⅰ的转速为n 1=100r/min 。
设皮带轮与皮带之间无相对滑动，求重物M 上升的速度和皮带各段上点的加速度。
图6-233π1030π11==n ω 3π43π1075.03.01212=⨯==ωωr r m/s 6755.13π44.023=⨯==ωr v 0==CD AB a a222211m/s 8987.323π10)3π10(3.0==⨯==ωr a AD222222m /s 1595.133π4)3π4(75.0==⨯==ωr a BC6-12 两轮Ⅰ、Ⅱ铰接于杆AB 的两端，半径分别为m m 200m m 15021==r r ，，可在半径为R =450mm 的曲面上运动，在图6-24所示瞬时，点A 的加速度大小为2mm/s 1200=A a ，方向与OA 连线成︒60角。
试求该瞬时：（1）AB 杆的角速度和角加速度；（2）点B 的加速度。
图6-242mm/s 1200=A a2n mm/s 60060cos =︒=A A a a 2112)(ωr R r R v A +=+= rad/s 1150450600=+=ω α)(360060sin 1τr R a a A A +==︒=21rad/s 33600=+=r R α 222n mm/s 650)(=+=ωr R a B22τmm/s 3650)(=+=αr R a B2mm/s 1300=B a6-13 如图6-25所示，机构中齿轮Ⅰ紧固在杆AC 上，AB=O 1O 2，齿轮Ⅰ与半径为2r 的齿轮Ⅱ啮合，齿轮Ⅱ可绕O 2轴转动且与曲柄O 2B 没有联系。
设O 1A = O 2B=l ，t b ωϕsin = ，试确定)2(πω=t 时，轮Ⅱ的角速度的角加速度。
图6-25t b B O ωωϕωcos 2== t b B O ωωϕαsin 22-== 当ω2π=t 时 02=B O ω 0=B v0==B D v v (齿轮Ⅰ与杆AC 平动，点D 为轮I 、II 接触点) 0II =ω22ωαb B O -= 2τ2ωαbl l a B O B -== 2ττωbl a a B D -== 222τII r bl r a D ωα-==6-14 如图6-26所示，摩擦传动机构的主动轴Ⅰ的转速为n =600r/min 。
轴Ⅰ的轮盘与轴Ⅱ的轮盘接触，接触点按箭头A 所示的方向移动。
距离d 的变化规律为d =100-5t ，其中d 以mm 计，t 以s 计。
已知mm 50=r ，R =150mm 。
求：（1）以距离d 表示的轴Ⅱ的角加速度；（2）当r d =时，轮B 边缘上一点的全加速度。
图6-26 (1)π2030π==n ω dπ10002=ω 222222rad/π5000)5(π1000π1000s dd d d =-⨯-=-== ωα (2) r d =时π2050π10002==ω 22πrad/2s =α 232242242mm/s 10177.5921π40000π300π4π)20(150⨯=+=+=+=αωR a B2m/s 177.592=6-15 如图6-27所示，录音机磁带厚为δ，图示瞬时两轮半径分别为1r 和2r ，若驱动轮Ⅰ以不变的角速度1ω转动，试求轮Ⅱ在图示瞬时的角速度和角加速度。
图6-272211ωωr r = 1212ωωr r = 222211ωωω r r r += 222112r r r ωωω -= 轮Ⅰ转过一周π)2(，半径增大δ，转过1d ϕ，则增大1d π2ϕδ 故 11d π2d ϕδ=r tt r d d π2d d 11ϕδ⨯= 11π2ωδ=r而在轮Ⅰ转过一周π)2(时，轮Ⅱ半径减小δ21r r ，故1212π2ωδ⨯⨯-=r r r 2221122r r r ωωωα -==12221212121211ωωωr r r r r r r r r r-=⨯-= 122121121π2π2ωωδωδr r r r r ⨯⨯+⨯=212222212π2)1(ωδ⨯+=r r r r )1(π22221221r r r +=δω 观沧海①东临②碣石③，以观沧海。
水何澹澹④，山岛竦峙⑤。
树木丛生，百草丰茂。
秋风萧瑟，洪波涌起。
日月之行，若出其中；星汉⑥灿烂，若出其里。
幸甚至哉⑦，歌以咏志。
注释（1）选自《曹操集》（中华书局2012年版）。
这是曹操诗《步出夏门行》的第一章。
曹操（155—220），字孟德，沛国谯（qiáo）县（今安徽亳州）人，东汉末政治家、军事家、诗人。