大学物理刚体力学习题讲解
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大学物理第5章：刚体力学基础练习汇总
5. 机械能守恒
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定
律仍2019成/10/2立0 。
6
三、习题基本类型
1.定轴转动的运动学问题
解法：利用定轴转动的运动学描述关系
d
dt
d
dt
d2
dt 2
0 t
v r
at r
an r 2
2019/10/20
15
5. (P29 47) 一长为l、重W的均匀梯子，靠墙放置，如图， 梯子下端连一倔强系数为k 的弹簧。当梯子靠墙竖直放置
时，弹簧处于自然长度，墙和地面都是光滑的。当梯子
依墙而与地面成θ角且处于平衡状态时，
(1)地面对梯子的作用力的大小为 W 。
(2)墙对梯子的作用力的大小为 kl cos θ 。
t
物0 M体d所t 受J合2ω外2力 矩J1为ω1零。
，
动量矩守恒的条件
11. (P3053) .如图所示，一匀质木球固结在一细棒下 端，且可绕水平光滑固定轴 o 转动，今有一子弹沿着与
水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击
中过程中，木球、子弹、细棒系统的 • 对 o 轴的角动量 守恒，原因是 对该轴的合外力矩为零 , 在木球
4.定轴转动中的功能问题 解法：利用动能定理和机械能守恒定律
5.角动量原理及角动量守恒定律 6.混合题型
解Hale Waihona Puke ：应用运动学公式、转动定律和角动量守恒定律。
四、典型习题分析与讲解
2019/10/20
9
1(为.(rP沿24Z13轴7iˆ)正. 4一方ˆj刚向体5)k。ˆ以, 设其每某单分时位钟刻为6刚0“转体10绕上-2m一z ”轴点，做P若的匀以位速“置转10矢动-2m量•s-
刚体的转动习题课解读
l l0 m
v
v0
m′
第四章 习题课
22
物理学
第五版
分析: 两个过程(1)子弹与滑块撞击的过程.完全 非弹性碰撞,满足动量守恒. (2)碰后以共同速度运动时,弹簧伸长,滑块在弹 力的作用下作弧线运动.弹力为有心力,无力矩, 角动量守恒.同时,对滑块和弹簧组成的系统只有 保守内力(弹力)做功,机械能守恒.
第四章 习题课
a2
P2 P1
a1
12
物理学
第五版
第四章 刚体的转动
m1R m2 r a1 gR 2 2 J 1 J 2 m1R m2 r 解上述方程组
m1R m2 r a2 gr 2 2 J 1 J 2 m1R m2 r
J1 J 2 m2 r 2 m2 Rr FT1 m1 g 2 2 J1 J 2 m1R m2 r
1 2 J1 m R 2 2 J 2 2mR 2 J 2 2mR l
R A
第四章 习题课
l
B
20
物理学
第五版
两质点在起始时和轻线割断瞬间的过程中系统的 机械能守恒
1 1 2 2 2 J1 J 2 2mR l 2 2 m 联立方程解得 l R 1 1 4 m
第四章 习题课
1
2
28
物理学
第五版
例10 长为l，质量为m1的匀质杆，一端 悬挂，可通过点o转动。今使杆水平静止的落 下，在铅直位置与质量为m2的物体作完全非 弹性碰撞后,沿摩擦因数μ 的水平面滑动。求 m2滑动的距离。 m1 , l o
m2
第四章 习题课
29
物理学
第五版
v
v0
m′
第四章 习题课
22
物理学
第五版
分析: 两个过程(1)子弹与滑块撞击的过程.完全 非弹性碰撞,满足动量守恒. (2)碰后以共同速度运动时,弹簧伸长,滑块在弹 力的作用下作弧线运动.弹力为有心力,无力矩, 角动量守恒.同时,对滑块和弹簧组成的系统只有 保守内力(弹力)做功,机械能守恒.
第四章 习题课
a2
P2 P1
a1
12
物理学
第五版
第四章 刚体的转动
m1R m2 r a1 gR 2 2 J 1 J 2 m1R m2 r 解上述方程组
m1R m2 r a2 gr 2 2 J 1 J 2 m1R m2 r
J1 J 2 m2 r 2 m2 Rr FT1 m1 g 2 2 J1 J 2 m1R m2 r
1 2 J1 m R 2 2 J 2 2mR 2 J 2 2mR l
R A
第四章 习题课
l
B
20
物理学
第五版
两质点在起始时和轻线割断瞬间的过程中系统的 机械能守恒
1 1 2 2 2 J1 J 2 2mR l 2 2 m 联立方程解得 l R 1 1 4 m
第四章 习题课
1
2
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物理学
第五版
例10 长为l，质量为m1的匀质杆，一端 悬挂，可通过点o转动。今使杆水平静止的落 下，在铅直位置与质量为m2的物体作完全非 弹性碰撞后,沿摩擦因数μ 的水平面滑动。求 m2滑动的距离。 m1 , l o
m2
第四章 习题课
29
物理学
第五版
刚体力学基础 习题 解答
衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 刚体力学基础 习题命题教师：郑永春 试题审核人：张郡亮一、填空题（每空1分）1、三个质量均为m 的质点，位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上。
此系统对通过三角形中心并垂直于三角形平面的轴的转动惯量J 0＝__ ma 2 _，对通过三角形中心且平行于其一边的轴的转动惯量为J A ＝__12ma 2_，对通过三角形中心和一个顶点的轴的转动惯量为J B ＝__21ma 2 。
2、两个质量分布均匀的圆盘A 和B 的密度分别为ρA 和ρ B (ρA >ρB )，且两圆盘的总质量和厚度均相同。
设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则有J A < J B 。
3、 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J ＝3.0 kg ·m 2，角速度ω0＝6.0 rad/s ．现对物体加一恒定的制动力矩M ＝－12 N ·m ，当物体的角速度减慢到ω＝2.0 rad/s 时，物体已转过了角度∆θ ＝__4.0rad4、两个滑冰运动员的质量各为70 kg ，均以6.5 m/s 的速率沿相反的方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10 m ，当彼此交错时，各抓住一10 m 长的绳索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝__2275 kg·m 2·s 1 _；它们各自收拢绳索，到绳长为5 m 时，各自的速率υ ＝__13 m·s 1_。
5、有一质量均匀的细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。
如将此棒放在水平位置，然后任其下落，则在下落过程中的角速度大小将 变大 ，角加速度大小将 变小 。
二、单项选择题（每小题2分）（ A ）1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列说法正确的是：A.这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；B.这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；C.当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；D.当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。
力学习题课_刚体
Fx ma x 直角坐标系 Fy ma y Fz ma z
第三定律： F 12 F 21 作用在不同物体上两力的性质完全相同
8
力学中常见的力
m1m2 Mm 1、万有引力：F G 2 er 重力： W G 2 mg r R
2、弹性力：发生形变的物体，由于力图恢复原状， 对与它接触的物体产生的作用力。 如压力、张力、拉力、支持力、弹簧的弹力。 弹簧的弹性力：f =﹣k x 3、摩擦力：物体运动（或有运动趋势）时，由于接 触面粗糙而受到的阻碍运动的力。 滑动摩擦力 f k k N 最大静摩擦力 f s max s N 4. 黏滞阻力（与相对运动方向相反） 1 2 f C A v 相对速率较小时 f d k v 相对速率较大时 d
r
v
24
（二）转动ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量
单个质点的转动惯量：I = m r2
2 I ( m r 质点系的转动惯量： ii) i 1 n
质量连续分布的刚体的转动惯量： I r 2 dm
m
质量为线分布 dm = λdl
质量为面分布 dm = σdS 质量为体分布 dm = ρdV
其中、、 分别为质量的
v x dv dv ( 2) v k v vdv kdx v0 0 dt dx 2 2 x (v03/2 v 3/2 ) x(v = 0 ) v03/2 3k 3k
17
4. 一小球放在光滑的碗内以角速度 ω 绕 y 轴转动， 在任一点上都能保持平衡，试证明碗的内表面是旋转 抛物面。
1 1 ( A) R ( N 3mg ) ( B ) R (3mg N ) 2 2 1 1 (C ) R ( N mg ) ( D ) R ( N 2mg ) 2 2
演示文稿大学物理刚体习题
7
tg 1| Nt | tg 1( 4 ctg )
Nl
13
4、一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时 处于水平位置，然后让它自由下落。求：
ω =ω（θ ）
解一： M 1 mgL cos
2
A Md
1mgL cos d
02
1 mgL sin
2
A 1 J2 0
2
W
=
1 2
Jω
2
ω 0 3g sLi=n
d(J ) 或
dt
Mdt
J 22
J11
(3)角动量守恒定律
当刚体(系统)所受外力矩为零时，则刚体(系统)
对此轴的总角动量为恒量。
M 0
Jii 恒量
例题1一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端
分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所示
。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为 M 。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳 的张力。
2 g
t
1
dt R
0
d
3
0
2 0
由此求得
t
3 4
R
g
0
3 、已知：均匀直杆 m，长为 l，初始水平静止，轴光滑，
AO
l 4
。 求 : 杆下摆 角后，角速度 ?
轴对杆作用力 N ?
解：杆 地球系统， ∵只有重力作功，∴E 守恒。
则：
初始： E 0，
k1
令 E 0
P1
末态：
E k2
1 2
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量
重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r 和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，
tg 1| Nt | tg 1( 4 ctg )
Nl
13
4、一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时 处于水平位置，然后让它自由下落。求：
ω =ω（θ ）
解一： M 1 mgL cos
2
A Md
1mgL cos d
02
1 mgL sin
2
A 1 J2 0
2
W
=
1 2
Jω
2
ω 0 3g sLi=n
d(J ) 或
dt
Mdt
J 22
J11
(3)角动量守恒定律
当刚体(系统)所受外力矩为零时，则刚体(系统)
对此轴的总角动量为恒量。
M 0
Jii 恒量
例题1一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端
分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所示
。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为 M 。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳 的张力。
2 g
t
1
dt R
0
d
3
0
2 0
由此求得
t
3 4
R
g
0
3 、已知：均匀直杆 m，长为 l，初始水平静止，轴光滑，
AO
l 4
。 求 : 杆下摆 角后，角速度 ?
轴对杆作用力 N ?
解：杆 地球系统， ∵只有重力作功，∴E 守恒。
则：
初始： E 0，
k1
令 E 0
P1
末态：
E k2
1 2
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量
重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r 和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，
大学物理第五章刚体力学
v0
3
4J
4Ml
mv
例3 、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在 同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆
自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状
态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆
下端达到的高度h。
l l
m
ho
h’
a
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
c hc
h=3h0/2
b
L
mv
v o m o• L
（A） 2v 3L
（B） 4v 5L
（C） 6v 7L
8v （D） 9L
以顺时针为转动正方向
两小球与细杆组成的系统 对竖直固定轴角动量守恒
L
mv
v o m o• L
由 Lmv+Lmv=2mL2+J
及 J= mL2/3
可知正确答案为 [ C ]
6.如图所示,一均匀 细杆长为 l ,质量为 m,平放在摩擦系数
速度。
用功能定理重解该题
取起始位置为零势能参考点 O
0 mgl sin / 2 1 J2
2
Ａ mg
3g sin
l
？棒端A的速度 vA 3gl sin
例2.已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止，
轴光滑，AO4l 。 求:杆下摆角后，角速度 ?
解：杆+地球系统， ∵只有重力作功，∴ E守恒。
1 (1 ml 2 ) 2 1 mgl(1 cos )
23
2
3
arccos23
例4、一飞轮以角速度0绕轴旋转，飞轮对轴的
转动惯量为J1，另一静止飞轮突然被啮合到同一 个轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。 啮合后整个系统的角速度 (1/3)0 .
1.3大学物理(上)刚体力学基础解析
四、转动定律的应用
[例3.3]: 质量为m的二物体A、B。A放在倾角为α的光滑 斜面上，经定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连。定滑轮半 径R，质量为m。物体运动m时，绳与滑轮无相对滑动。 求绳中张力T1和T2及物体的加速度。 [分析]: 要采用隔离体法
T1 mg NA a T1 A mg β T2 T2 B a
1、刚体的平动 若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说 刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置 间的连线. 刚体平动
2、刚体的转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 分定轴转动和非定轴转动 . 转动又
质点运动
三、刚体定轴转动的描述
1、角位移、角速度和角加速度
刚体在一段时间内转过的角 度Δθ＝θ2－θ1称为角位移
平均角速度
角速度
t
t 0
转动平面
lim
d t dt
角加速度
d lim t 0 t dt
2、角量与线量的关系
当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元 i 到转轴的 距离为ri ,则该质元的线速度为
vi ri
切向加速度和法向加速度分别为
则 k 2 J k 2 即 J (2)求时间t d d 2 由M J J , 则 k J dt dt 1 0 1 t k 3 即 d dt 2 0 0 J
3-3
刚体定轴转动的动能定律
一、转动动能 n 1 1 n 1 2 2 2 2 2 Ek mi ri ( mi ri ) J 2 i 1 2 i 1 2
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
大学物理CH.-刚体力学（ＰＤＦ）
β
ri Fi
sinϕi
+
ri
fi
sinθi
=
∆mi
r2 i
β
质点∆mi的外力矩
质点∆mi的内力矩
对所有质点求和，可以得到：
∑ ∑ ∑ riFi sinϕi +
ri fi sinθi =
∆mi
r2 i
β
i=1
i=1
i=1
合内力矩∑ri fi sinθi 为零，则：
∑ ∑ riFi sinϕi =
∆mi
F = 0 p = 常量
Ek
=
1 2
mv2
A = ∫ F ⋅ dr =∆Ek
刚体定轴转动规律
M = r × F = dL = J β
dt
L = r × p = Jω
∫t2 Mdt = ∆L t1
M = 0 L = 常量
Ek
=
1 2
Jω2
A = ∫ M ⋅ dθ = ∆Ek
第五节 进 动 一、 进动(precession)现象：
= ∫ r 2λdl l
质量体分布，例如立方体、球体 质量面分布，例如薄片、薄球壳 质量线分布，例如细棒、细环
例2 计算质量为 m ，长为 L 的匀质细棒绕通过其 端点的垂直轴的转动惯量。
解：J = ∫ r 2dm
z
dm = λdl = m dl o
L
∫ J = L l2 ⋅ m dl 0L = 1 mL2 3
o ω
o’
ω
oG
二、杠杆回转仪的分析
设右图中的刚体回转仪处于平
o
衡状态，现将重物左移并将飞
ω 轮作如图方向旋转。则飞轮进
动的方向如何？