大学物理刚体力学
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
大物刚体力学公式总结
大物刚体力学公式总结一、基本概念刚体力学是研究刚体运动和静力学平衡条件的一个分支学科。
所谓刚体是指形状不变的物体，其内部各点间的距离在运动或受力作用下保持不变。
刚体的运动可以分为平动和转动两种类型。
二、刚体运动的描述刚体的平动运动可以用质点的运动来描述，质点的位置可以用位矢来表示。
刚体的转动运动可以用刚体固定在某一轴上的角度来描述。
刚体的运动状态可以用位移、速度和加速度来表示，其中位移是位置的变化量，速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率。
三、刚体力学的基本公式1.平动运动的基本公式：•位移公式：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
即 S = V0t + (1/2)at2；•速度公式：速度等于初速度加上加速度乘以时间。
即 V = V0 + at；•加速度公式：加速度等于速度差除以时间。
即 a = (V - V0) / t。
2.转动运动的基本公式：•角位移公式：角位移等于角速度乘以时间。
即θ = ωt；•角速度公式：角速度等于角位移除以时间。
即ω = θ / t；•角加速度公式：角加速度等于角速度差除以时间。
即α = (ω - ω0) / t。
3.平衡条件公式：•平衡条件一：物体受力的合力等于零。
即ΣF = 0；•平衡条件二：物体受力的合力矩等于零。
即ΣM = 0。
四、刚体的平衡问题刚体在平衡时，其受力和受力矩必须满足平衡条件。
通过平衡条件可以解决刚体的平衡问题，例如平衡杆的支点位置计算、悬挂物体的平衡问题等。
刚体的平衡问题还涉及到力的作用点的选取、力的方向的确定等。
通过恰当选择作用点和确定力的方向，可以简化刚体的平衡问题的求解。
五、刚体力学问题的求解步骤1.定义问题：明确刚体的运动类型和求解目标。
2.给定条件：根据实际情况给出题目的已知条件。
3.分析问题：根据题目所给条件，分析问题的物理本质和特点。
4.建立模型：根据问题的要求，建立适当的物理模型。
5.进行计算：根据已知条件和所建模型，进行计算求解。
1.3大学物理(上)刚体力学基础
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞 轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
平均角速度
角速度
t
大学物理_第06章 刚体力学
接触点相同线速度时： 1r1 2r2
联立解得：
1
J1
J1 ( r1 r2
)2
J2
0
2
r1 r2
J1
J1
(
r1 r2
)2
J
2
0
书上177页
解： dm
2 rdr
m2 rdr R2
2mrdr R2
df
2mrdr R2
g
dM
r
2mrdr R2
g et
2mr 2dr R2
g
M
R
dM
0
R 0
2mr 2 dr R2
dm dV
其中、、分别为质量线密度、面密度和体密度。
转动惯量
2）. 转动惯量的计算：
质点、圆环、圆筒绕中心轴转动
z
z
Rm
oR m
R
m
o
质点的转动惯量为
Jo mR2
对于匀质圆环和薄圆筒，因各质元到轴的垂直距
离都相同，则有
Jo mR2
圆盘、圆柱绕中心轴转动
对于质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘取半径为 r宽
需要一个动力学方程 — 角动量定理
角动量定理： M dL
dt
转轴转动角动量表达式：
Mz
dLz dt
转轴分量角动量定理表达式：
n
Lz z mi (xi2 yi2 ) z J i1
转动定律：
Mz
dLz dt
d (J)
dt
J
d
dt
J
z v
r
P
当刚体绕固定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速 度的乘积等于外力对此轴的合力距。 — 定轴转动定律
大学物理刚体力学
大学物理刚体力学标题：大学物理中的刚体力学在物理学的研究中，大学物理是引领我们探索自然界规律的重要途径。
而在大学物理中，刚体力学是一个相对独特的领域，它专注于研究物体在受到外力作用时的质点运动规律。
本文将探讨大学物理中的刚体力学。
一、刚体概念及特性刚体是指物体内部各质点之间没有相对位移，形状和体积不发生变化的理想化物体。
在刚体力学中，我们通常将刚体视为一个整体，研究其宏观运动规律。
刚体具有以下特性：1、内部质点无相对位移。
2、刚体不发生形变，形状和体积保持不变。
3、刚体在运动过程中，内部任意两质点间的距离保持不变。
二、刚体力学的基础知识1、刚体的运动形式刚体的运动形式包括平动、转动和振动。
平动是指刚体沿直线作均匀速度的运动；转动是指刚体绕某轴线作角速度变化的运动；振动是指刚体在平衡位置附近作往复运动的周期性运动。
2、刚体的动力学基础动力学是研究物体运动状态变化的原因和规律的科学。
在刚体力学中，动力学的基本方程包括牛顿第二定律、动量定理和动能定理等。
这些方程为我们提供了分析刚体运动状态变化的基本工具。
三、刚体的转动惯量转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量。
它与刚体的质量、形状和大小有关。
在物理学中，转动惯量是研究刚体转动规律的重要参数。
通过计算转动惯量，我们可以了解刚体在受到外力矩作用时角速度变化的规律。
四、刚体的角动量角动量是描述物体绕某轴线旋转的物理量，与物体的质量、速度和半径有关。
在刚体力学中，角动量是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解刚体在受到外力矩作用时的角速度变化规律。
同时，角动量守恒定律也是刚体力学中的一个重要定律。
在已知刚体的质量、转动惯量和角动量的基础上，我们可以建立刚体的动力学方程。
动力学方程可以帮助我们分析刚体在受到外力作用时的运动状态变化规律。
对于复杂的动力学问题，我们通常需要借助数学软件进行数值模拟和分析。
六、总结在大学物理中，刚体力学是一个相对独立且具有重要应用价值的领域。
大学物理刚体力学
一 刚体定轴转动的运动方程 如图，一刚体定轴转动，如何确
定该刚体的位置。在固定轴上固结 ox
轴。
设想在刚体上有一直线 op，在刚
o
体转动中，op与 ox的夹角 t 不断
变化，是时间 t 的函数， t 一定，
则刚体的位置确定（或曰刚体上的所
有质点的位置确定）， t 变化，说明 刚体的位置变化。 因而，用 t
可确定刚体的位置。
t
为刚体定轴转动的运动方程。
如同质点一维运动时的 x x t
固定轴
t
p
x
刚 体
二 角速度
设t
t
t t t t
则 t t t
称为角位移，代数量。
o
平均角速度
t
瞬时角速度
lim
t 0
t
t
即
d 对运动方程求一阶导数。
dt
固定轴
t
段如何求解此题?轮质量不计。仅研究 A和 B
二物体，绳仅为连接体。则有
o
T2
m2 a
m2 g
T 1 m1
m2
a B
m1 g
m1
A
T1 T2
然而,此处要考虑轮(因给出了质量与半径)-----刚体。此为一刚
体与二质点组成得物体系。如何求解:用隔离体法,分析各物体受力。
mN
o
o
T2
mg
T2
m2 a
若是变化的，同理得瞬时角加速度.
d
dt
或
d 2
dt 2
o
单位 弧度 或 rad
矢量式为
秒2
s2
d
dt
减速转动
同样，在定轴转动中，角加速度仅两个
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
大学物理：第 05 章 刚体力学基础
j
i
设作用在质元Dmi上的外力
位于转动平面内。
z
合外力对刚体做的元功： P
力矩的功：
功率：
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：
z
i O
五、 刚体定轴转动的功能原理
将重力矩作的功用重力势能差表示：
如：直立旋转陀螺不倒。
o
此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作 定轴转动——定向回转仪—— 可以作定向装置。
二、非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。
如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩 (R0，0) (R，) 中子星 的形成等。
[例5-11] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角 速度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿 半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
(2)
(3) (4)
[例5-16] 细杆A ： (m ， L)可绕轴转动，水平处静止释放， 在竖直位置与静止物块B ： (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1)物块B的速度 vB ，(2)细杆A 的角速度2 ， (3)细杆A 转过的最大角度 θmax 。 解： B
A
碰后反方向转动。
A
B
[例5-17] 圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动， 小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑 块相对圆锥体的速度、圆锥体角速度。
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 J 可变情形： ——刚体定轴转动的角动量定理
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d
dt
d2
dt2
方向：沿转轴
3 角量与线量的关系
vωr
an r 2
at
dv dt
r
昨天我们学习了什么？
1 速度定义式 ，加速度定义式
。
(A) ．d r
d r
dv
; (B)
; (C)
d v
；(D) ．
z
dt
dt
dt
dt
2 圆盘旋转如图，其角速度方向 。
(A) ．沿z轴向上 ; (B) 沿z轴向下 ; (C) 顺时针方向
为轴的逆时针转动。
力臂 d : 从参考点o到力F 作用线的垂直距离。
2. 力 F 对转轴的力矩 F// 平行于转轴，相对转轴无力矩；
力 F 对Z轴的力矩等于 F 对Z轴的力矩。
M rF
力矩大小：MFrsin Fd
力臂 d :转轴与力 F作用线的距离。
力矩方向： 右手螺旋拇指方向.
z F// M M1
F
F
F
F
F
F
A
B
C
（2）粗细均匀、质量均匀的棒，重力对O轴的力矩？
m
O • •l • mg
mg
重力对棒力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩。
水 平 位M 置 1时 mgl 2
倾斜位 M置 1m时 g co ls
2
请课下思考：建筑工地上经常要移动比人的体重大
得多的石块，如果你只有一根长铁杆和一些小石块 与木块，如何移动？
A ①容易；
B ② 容易； C ①与② 同样容易；
①
②
D 其它
昨天我们学习了什么？
1 角速度定义式
(A) ．d ; (B) dt
，角加速度定义式
d r
d
; (C)
d v
；(D) ．
dt
dt
dt
。
z
2 圆盘旋转如图，其角速度方向 。
(A) ．沿z轴向上 ; (B) 沿z轴向下 ; (C) 顺时针方向
3若 t3，角速度为 。角加速度为 。
上题若为圆盘，半径为r，其边缘切向加速度为
。
(E) 3 t 2
(F) 6 t
(G) r(3t 2 )2
(H) 6tr
看一下自我学习效果
力分作析无用论力在力矩刚多为体么零上大一的都定情不能能况改对，变刚请刚体选体的的择转转动动状状态态产吗生？影响，
我们称为该力无力矩（零力矩）。
第3章 刚体的定轴转动
本章内容
3.1 刚体运动学 3.2 力矩 刚体绕定轴转动的转动定律 3.3 角动量 角动量矩守恒定律 3.4 刚体绕定轴转动的动能和动能定理 质点模型基本上只能描述物体的平动特征。 物体转动时, 物体自身大小与形状所不可以忽略， 引入刚体模型。
刚体: 是指在任何情况下，都没有形变的物体(理想模 型).
A有力矩 B无力矩（力矩为零 ） 1力的方向平行门轴向上，该力相对于
C不清①楚
门轴 。
②
2力的延长线通过门轴，该力相对于
门轴 。
③
3力与门轴线不在同一平面上,此力相对 于门轴 。
4地球所受太阳引力指向太阳中心点O ，
该力相对于O点 。
④
O
请同学们用手边的物品分析！
力矩为零的情况： 对定轴：
当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。
F1
F2
力对固定点：
当力的作用线通过该点，或有心力的力矩为零。
若力对刚体的转动状态有影响，称该力有力矩。若两个 力对刚体的转动状态影响相同，称为力矩相同。
力矩的影响因素分析，请选择：
1力矩与哪些因素有关？ A 力的大小； B 力的方向； C 力的大小和方向； D力的大小、力的方向、力的作用点；
2 如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心①与边 缘② ，两种方式中哪个更容易推动一个静止的门？
F
与所引起转动方向成右手螺 旋方向.
对定轴转动，力矩用正负表示方向。
F1
M1 0 M2 0
d r
A
F
M2
F2
3.合力矩
M M 1 M 2 M 3
对同一定轴的合力矩等于各分力矩的代数和 M Mi
与正方向相同的力矩取 正值，相反的取负值.
看看我们对概念的掌握情况：
（ 1 ）以下合力矩与合力均为零的情形是
3若 t2 ，圆盘半径为r，其边缘加速度为 。
(E) 2r(2t)2r (G) r(2t )2
(F) 2r
(H) 2re t(2t)2re n
力矩为零的情况： 对定轴：
当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。
F1
F2
力对固定点：
当力的作用线通过该点，或有心力的力矩为零。
法，此处全部可用。此处注意方向性。
定轴转动：可沿转轴设正方向，角速度的正负表示方向.
2方角向加：速右度手：螺旋α拇指z方 dd向ωt . z方向沿转轴
3 角量与线量的关系
法向加速度 an r 2
切向加速度 avt ω 0ddvt rr0
A r
v
小结：
角速度 d
dt
方向：右手螺旋拇指方向
角加速度
力矩表达式的构成分析： 请同学们动手测量！
2 如图两个力分别作用在门的边缘与中心，在对门的转
动 下是产力否生，有影看结响 二F论1大 力：小 的F相 大2同小的？情l况下（Ol门/•2保持F静2l • 止9）0F1，•测15量0 一
F 1lsi1 n5 0F22si9 n0
那么力矩表达式该是怎样形式？d
3.1 刚体运动学 3.1.1 刚体的平动和转动
刚体的一般运动可看作：
+ 随质心的平动
绕质心的转动 的合成
1 平动： 刚体的平动可用质点模型描述. 2 转动: 定轴转动和非定轴转动 .
定轴转动：转轴固定不动.
3.1.2 角速度和角加速度
1圆由角周于速运组度动成矢，刚量因体此的前大各面小质关：点于ω均质在点各圆ddtθ自周的运转动动的平全面套内描绕述轴方作
3.2.2 刚体对定轴的转动定律
实验证明 MJ
MJ
合力矩
在国际单位中
刚体对 z 轴
的转动惯量
注意：合力矩与刚体的转动惯量相对于同一轴。
讨论
(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大；
(2) (3)
力与矩牛相顿同定，律比J大 较 ： F 小 ， mJ a 小 M 大 F ,J m , a
写成矢量运M 算：FM sr i nr FF d O •
F
r
•
产生逆时针转动
力的作用点相对于 O点的位置矢量
3.2.1 力矩
1. 力对点o的力矩
M Or F
单位：牛顿米 Nm
Mo
F
O . r
大小： ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFsrin Fd
方将会向产：生右质手是 点螺r与 绕旋以拇F的 该指方夹 向 角
d: 力臂
MJα
刚体的定轴转动定律：作定轴转动的刚体，在 合外力矩 M 的作用下，所获得的角加速度与合 外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反 比。 ➢ J 是转动惯性大小的量度 。