二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题
专题03 最值问题-用思维导图突破圆锥曲线压轴题
专题03 最值问题最值（含范围）问题是解析几何中常见的 问题之一，其基本解题方法是把所求量表示成某个变量的函数，利用二次函数或函数单调性 求最值或范围，也可以利用基本不等式，有时 也会利用几何量的有界性确定范围. 最值问题不仅解答题中分量较大，而且客 观题中也时常出现.求最值的思维导图如右 最大最小为最值 单调二次不等式 几何有界也有用 具体问题再审视思路点拨解1 显然两条直线的斜率都存在且不为0，抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F .设1:(1)l y k x =-，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消元y 得2222(24)0k x k x k -++=，所以22224424A B k AB x x p k k+=++=+=+， 同理，244DE k =+，2214()816AB DE k k+=++≥，当且仅当1k =±时取等号.选（A ）. 解2 设直线1l 的倾斜角为α，则2l 的倾斜角为2+πα，因为22sin p AB =α，22sin ()2pDE =+πα， 例1 已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 用参数表示该量求 某 量 最 值化简、换元转化为可以利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数、几何图形有界等方法求最值所以2244sin sin ()2AB DE +=++παα 2222444sin cos sin cos =+=αααα21616sin 2=≥α， 当且仅当4=πα或34=πα时取等号.选（A ）.注1 过抛物线22y px =的焦点弦长22||sin p AB θ=.注2 也可以设1:1l x ty =+，则214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，消取x 得2440y ty --=，所以2()444A B A B AB x x p t y y t =++=++=+，同理，244DE t =+， 2214()816AB DE t t +=++≥，当且仅当1t =±时取等号.思路点拨当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=33≥，得01m <≤. 当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=≥，得9m ≥. 故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞.(0,1][9,)+∞ 3][9,)+∞ (0,1][4,)+∞ 3][4,)+∞思路点拨要求两个绝对值之和的最小值，就要去掉绝对值，需要分类讨论.怎么确定分类标准？就是令绝对值内部的式子为0.比如，若令220x y +-=，则直线220x y +-=与圆相交，把圆分成两部分.解1 原问题可以转化为如下的非线性规划问题：可行域为单位圆（含内部）的任意一点，直线22y x =-将可行域分成两个部分，不妨将左下方的区域（大弓形区域）记作Ⅰ，将右上方的区域（小弓形区域）记作Ⅰ．因为单位圆221x y +≤及其内部在直线630x y --=下方，所以630x y -->，所以(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--42,22,834,22.x y y x x y y x +-≥-⎧=⎨--<-⎩ 直线22y x =-与单位圆221x y +=交点10E ,（），3455F （，）.设1242,834z x y z x y =+-=--，分别作直线13,24y x y x ==-并平移，则1242,834z x y z x y =+-=--都在点3455F （，）取得最小值3.所以2263x y x y +-+--的最小值是3.解2 (,)|22||63|f x y x y x y =+-+--|(22)(63)||348|x y x y x y ≥+----=+-，（当220x y +-≤时取等号）.设cos ,sin x r y r θθ==，其中01,02r θπ≤≤≤≤. 则 |348||3cos 4sin 8|x y r r θθ+-=+-|5sin()8|85853r r θϕ=+-≥-≥-=.其中ϕ由34sin ,cos 55ϕϕ==确定，等号当且仅当1,sin+=1r θϕ=（），即3455x ,y ==.另外，当220x y +->时，2263x y x y +-+--3>. 所以2263x y x y +-+--的最小值是3.思路点拨在平面直角坐标系中画出可行域如图，22x y +的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方．xy BA –1–2–3–412341234例4 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围为____.是 ．过原点O 作直线220x y +-=的垂线，垂足为A ，可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点O 到直线220x y +-=的距离，d ==()22min45x y +=， 图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13xy +=．所以，22x y +的取值范围为4[,13].5思路点拨第（2）题的关键是选择适当的参数表示||||PA PQ ⋅，可以用直线AP 的斜率为k 为参数，需要求出Q 的坐标，再分别求出||||PA PQ 、的表达式，计算量较大.也可以设2(,)P t t ，以t 为参数，从向量的角度得到||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠PA PQ =-⋅+PA PB BQ PA PB =-⋅-⋅（）=.转化为t 函数，再求最大值. 满分解答（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-.（2）解1设直线AP 的斜率为k ，则 直线AP 的方程为y =kx +12k +14，BQ 的方程为y =13924x k k -++.联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，，解得点222234981(,)2244k k k k Q k k +-++++.因为1||)1)2PA x k =+=+，2||)Q PQ x x =-=，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=--+.令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716. 解2 用向量法，令2(,)P t t ，所以||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠PA PQ PA PB =-⋅=-⋅221319()()()()2244t t t t =+-+--4233216t t t =-+++222127(1)(1)216t t =----+2716≤. 当且仅当1t =时等号成立.第（2）题可设SOMθ∠=，则2SOTθ∠=，则23sin23ABMCOM OC ABθ==+.223OCAB=+⋅，只要求sinθ的最小值，即只要求OCAB的最小值.(2) 设SOMθ∠=，则2SOTθ∠=，且223sin2233ABMCOCOM OC ABABθ===++⋅.设1122(,),(,)A x yB x y，联立方程22112xyy k x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2211(42)10k x x+--=，由题意知0∆>，且1121222111,212(21)x x x x k k +==-++，故12212AB x k =-=+.联立方程221124x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==.注 211k OCAB +=22=令21112,1(0,1)t k t t =+>∈，，则211=2t k -，代入上式整理得OC AB =当且仅当112t=，即2t =时OC AB的最小值23，此时12k =±.思路点拨第（1）题直接计算可得。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题(精)(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉ba m n 2，时 若-<bam 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
二次函数最值问题专题PPT课件
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
解：⑴ f x 2x2 2ax 3
2(x a )2 a2 3 22
⑵
①当 a 2 时
g(a) 2a 5 1
g(a)
f ( 1)
f (a) 2
f (1)
2a 5
(a 2
1a
2)
a2 2
3( 1
a 2
1
2 a 2)
a 9(x
⑴当
a
13
)2 即
2a
a
6
1时
331
f (x)min
a2 5
f(
0
) 30Βιβλιοθήκη a 1a⑶当即a
3
f(
a2
3
x)min
4a
f
(
1) 3
5
1时
0
0
a
5或a 5
a5
⑵当 1 a 1 即 1 a 1时
333
a
f (x)min
2a
f( ) 0
63 0
(a
a
5)(a1或1)a
0
5
a5
综上：a 5或a 5
思3、 考已讨知论函：数f x 2x2 2ax 3
2a
5
(a 2
1
a
2)
②当
g(a)
③当a
g(a)
2a2
a2 3 2
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最
第五讲 二次函数的最值问题
第五讲 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)yaxbxca是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，
函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得
最大值244acba，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．
【例1】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值． 解：
【例2】当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值． 解： 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
【例3】当0x时，求函数(2)yxx的取值范围． 解： 【例4】当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)． 分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解： 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量
m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数1623,3054mxx．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 解： A 组 1．抛物线2(4)23yxmxm，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点． 2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．求下列二次函数的最值：
(精)二次函数最值知识点总结_典型例题及习题
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b a m 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
二次函数的最值问题课件.最全优质PPT
5 5 隐 藏
2 -3 -2 -1 O x
2 -1 O 1 x
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
1
③ [-2,1] ；④[-3, ]
2
y
y
显
显 fmin=f(a)=a2-2a-3 fmax=f(-3)=12
示 3, ] 示 显 示 文 本
变式1：二次函数f(x)=x2-2x-3在[-3,a] (a>-3)上的最值是多少？
y
(1)当 3a1时
-3 o a 1
fmin=f(a)=a2-2a-3 x fmax=f(-3)=12
f(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a] (a>-3)
y
y
-3 o 1 a 5 x -3 o 1
5a x
(2)当 1a5时
fmin=f(1)=-4 fmax=f(-3)=12
(3)当a5时
fmin=f(1)=-4 fmax=f(a)= a2-2a-3
变式2：二次函数f(x)=x2+2x-1-a2在 [-a,a](a>0)上有最小值-2, a的值是多少？
-a a-a a
x
-1 思考题 :已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x+1在 [-3/2,2] 上的最大值为3, 求a的值.
二次函数的最值问题课件
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
1
① [-3,-2]； ② [-2,1] ； ③ [0,1] ； ④[-3, ]
2
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
二次函数中的几何最值问题(共10张PPT)
(1, 4)
（2）有一条固定线段（固定线段两端点为动点）
2个原理，2种手段，1种思想
利用作“平移”将其转化为一条线段求之。 （2）如图，M为y轴上一动点， 求BM+DM最小值.
(0, 3)
Байду номын сангаас
(2, 3)
（1）求三条线段之和最短；
（3）如图，M为 y轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
（3）如图，M为 y轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
二次函数中的几何最值问题
1. 在学过的几何中，有哪些与线段最值相关的定理？
1. 所有两点的连线中，线段最短。
2. 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短。
2. 如图，已知线段AB，点C 为平面内任一点，比较大小
AC+BC
AB
若求两条（或多条）线
段之和最短时，常将其
A
B
转化为一条线段求之。
3. 求几何最值有哪些常见方法呢？
如图，已知线段AB，点C 为平面内任一点，比较大小
（4）如图，M为 x 轴上一动点， 求
的最小值.
（1）求三条线段之和最短；
求几何最值有哪些常见方法呢？
对称 + 垂线
利用作“对称”将其转化为一条线段求之。
Q 变式：如图，M为 y 轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
C M AC+BC
AB
解决方法：
对称 + 垂线
2
（1）两点之间，线段最短；（2）垂线段最短。
2
（1）轴对称； （2）平移。
转化的思想
M
解决方法：
Q
构造角 + 垂线
利用作“平移”将其转化为一条线段求之。
高一数学二次函数区间的最值15页PPT
x 1 x 2 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 24a26a10
所x1 以 12x21 2的取值 [8， 范 ) 围
变1式 ：设 x1, x2是方 2x2 程 4mx5m29m120
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ],y源自22求函数f(x)的最大值；
1
5
2
2
–1 0 1 2 3 4 x
（二）二次函数的区间最值
求解二次函数 f(x)a2x b xc(a0)在区间 m,n 的最值，
注意分顶点横坐标在区间的左、中、右三种情况进行讨论。
类别
最小值
最大值
y
b m 2a
m b n 2a
f(x)minf(m) f(x)maxf(n)
答 ：当 a1或a3时 ，x112x122取得最2小值
应用举例
❖ 例3,求下列函数的最小值:
fx x 2 2 x 1 ,x t,t 1
变式1：练习
求函 fx数 x22ax5，x2, 3的最小
4a9, a2
答； fxmina25, 2a3
6a14, a3
： ， 变式 2函 练 fx 数 x 2 习 2 a x 5x 2 ,3 ， 的最 1求 a 小 的答 值 值 ：a2是
《二次函数的最值》课件
二次函数的最值应用
总结词
了解二次函数最值的实际应用
详细描述
二次函数的最值在实际生活中有着广泛的应用，如建筑学中拱桥的设计、物理学中的抛射运动、经济学中的成本 利润问题等。通过理解和掌握二次函数的最值，可以更好地解决这些实际问题。
03
二次函数最值的实际应用
投资的最优解
总结词
投资组合优化
详细描述
在投资领域，投资者通常面临多种投资选择，如股票、债券、基金等。通过使用二次函数最值的概念 ，可以对投资组合进行优化，以确定最优的投资比例，从而实现最大的收益或最小的风险。
二次函数最值的求法
通过配方法、顶点式、导数法等方法 ，可以求出二次函数的最值。
学习心得分享
01
02
03
理解概念
通过学习本章，我深刻理 解了二次函数最值的定义 和求法，对最值的性质也 有了更深入的认识。
掌握方法
在学习过程中，我掌握了 多种求二次函数最值的方 法，如配方法、顶点式和 导数法等。
实际应用
最大利润问题
总结词
生产与销售策略
详细描述
在生产和销售过程中，企业常常需要制定生产计划和销售策 略。通过建立二次函数模型来表示成本、收益和销售量之间 的关系，可以找到使利润最大的最优解，从而实现企业的盈 利目标。
最小成本问题
总结词
资源分配与调度
详细描述
在资源分配和调度中，最小化成本是一个重要的目标。例如，在物流和运输行业中，运 输成本和时间是关键因素。通过使用二次函数最值的概念，可以优化运输路线和调度方
A 总结词
二次函数的性质总结
B
C
D
解释
这些性质是二次函数的基本特征，对于理 解和解决与二次函数相关的问题非常重要 。
初中数学《二次函数》单元教学设计以及思维导图
数
出示反比例函数的图象，提问：这是什么函数的图像？ 反比例函
数
2、画函数图象的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
3、研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
主要工具是函数的图象
活动二、实践、观察、对比、归纳 1、实践 （1）画二次函数 y=x2 的图象：（同学们可参照已展示的画反比例函 数的方法和步骤） 解：列表
抛物线
y= x2
顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 增减性 最值
y= -x2
通过列表的对比可以使学生更直接的找出两个函数的相同点和不同 点，能比较容易的归纳和理解函数 y=ax2 的性质，降低学生对函数性 质的理解难度
4、归纳：二次函数 y=ax2 的性质
（1）抛物线 y=ax2 的顶点是原点（0,0)，对称轴是 y 轴。
适用年 九年级
级
二次函数
所 需 时 9 课时（说明：课内共用 7 课时，每周 5 课时；课外共用
间
2 课时）
主题单元学习概述
本章内容属于《全日制义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领 域，是在已学习了平面直角坐标系，一次函数，反比例函数的基础上， 又一次进入函数领域，让学生进一步探索函数的内涵，并且感受现实 世界中存在的各种函数及如何应用函数来解决实际的问题。二次函数 是基本函数之一，是学习后续的各类函数的基础。它不同于一次函数， 却又建立在一次函数之上，且为今后更高层次的函数学习，函数、方 程、不等式之间的关系的处理奠定了基础。是衔接初，高中函数知识 的最主要的一类函数。函数本身就是数学的学习中重要内容，而二次 函数又是基础函数，因此，本章内容有着举足轻重的地位。由于九年 级学生是首次接触抛物线，因此在教学时要注意引导学生抓住二次函 数图象的各种特征，让学生对二次函数有一个直观形象的认识
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二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题
二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确
定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。
一、轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“轴定区间定”。
例1. 函数2()42fxxx在区间[]3,0[上的最大值是_______，最小值是______。
思维导图：第一步：对2()42fxxx配方第二步：求出对称轴，判断图
像开口方向第三步：判断对称轴与区间]3,0[的关系第四步：确
定该函数在]3,0[上的单调性第五步：求最值。
解析：由配方法得2(2)2yx，
其对称轴方程是x2，且图象开口向下， 又2[0,3]，
)(xf
在]2,0[上单调递增，]3,2[上单调递减，
如图所示，故函数的最大值为f()22，
最小值为f()02。
同学们试着求一下：2()42fxxx分别在区间]5,3[],1,1[上的最值。
小结：二次函数2(),(0)fxaxbxca在给定区间],[nm内的最值情况：
当0a时，
（1）当[,]2bmna时，fx()的最小值是24()()24bacbffxaa，的
最大值是fmfn()()、中的较大者。
（2）当[,]2bmna时，若bam2，由fx()在[,]mn上是增函数
则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()
若nba2，由fx()在[,]mn上是减函数，
则fx()的最大值是fm()，最小值是fn()
这样我们把二次函数0a在闭区间上的最值情况都罗列出来了，对0a时，二
次函数在闭区间上的最值情况也可作类似的讨论。
二、轴定区间动
例2：求函数]1,[,22)(2mmxxxxf的最值。
思维导图：第一步：对2()22fxxx配方第二步：求出对称轴，判断图
像开口方向第三步：讨论对称轴与区间]1,[mm的关系第四步：确
定该函数在]1,[mm上的单调性第五步：求最值。
解析：由配方法得2()(1)1fxx，
故其对称轴方程是1x，且图象开口向上
（1）当]1,[1mm，即10m时，
)(xf在]1,[m上单调递减，]1,1[m上单调递增，
故函数的最小值为(1)1f，
又22()(1)22(1)2(1)221fmfmmmmmm。
当210m时，22)(2maxmmmfy；
当121m时，1)1(2maxmmfy；
同学们自己完成1m时、0m的情况，
三、轴动区间定
二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们
称这种情况是“轴动区间定”。
例3. 求函数fxxax()23在区间]1,1[上的最值。
思维导图：第一步：对fxxax()23配方第二步：求出对称轴，判断图
像开口方向第三步：判断对称轴与区间]1,1[的关系第四步：确定
该函数在]1,1[上的单调性第五步：求最值。
解析：将fx()配方得：22()()324aafxx
易知对称轴方程是xa2，图象开口向上
（1）当12a，即2a时，fx()在]1,1[上递增，
所以函数的最小值是fa()14，最大值是fa()14。
（2）当12a，即2a时，fx()在]1,1[上递减，
所以函数的最大值是fa()14，最小值是fa()14。
（3）当112a，即22a时，
同学们自己完成第三种情况：
三、函数动区间动
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“函数动区间动”。
例8. 求函数222(1)()(4)4xfxxa在区间),12[a的最小值。
解：将)(xf整理配方得2259)517(45)(axxf
易知对称轴方程是175x，图象开口向上，顶点坐标为2179()55a，，
（1）若17512a，即a65时，
)(xf
在]517,12[a上单调递减，),517[上单调递增，
则当x175时，2min9()5fxa；
（2）若17512a，即a65时，
)(xf
在),12[a上递增，
则当xa12时，22min5179()(12)455fxaa。
针对性测试题：
1.已知函数23()1,[0,]2fxxxx的最值情况为 （ ）
A . 有最大值34，但无最小值 B. 有最小值34，有最大值1
C. 有最小值1，有最大值194 D . 无最大值，也无最小值
2.求函数]2,3[,124)(xxfxx的最大值和最小值。
3. 求下列函数的值域：
（1）xxy142； （2）432)21(xxy；（3）)124(log221xxy。
4.已知函数122xxy, 求它当]1,1[ttx时的最小值。
5.求函数122axxy在区间]2,0[上的最值。
6.已知]9,1[,log2)(3xxxf，求)()]([22xfxfy的最大值及取得最大值时
x的值。